专题02 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题02.全等模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 1.“一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 2.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 2 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 10 15 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 例1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，猜想线段之间的数量关系，请加以证明． 例3．（2023·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 例4．（2023·山东·八年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形． 例5．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 例6．（2023·浙江·一模）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（23-24九年级下江苏期中）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 例2．（2023·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 例3．（2023·江苏·八年级专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】(2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； 【深入探究】(3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”） (4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________． 1．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，正方形ABCD的面积为169，G是BC上的一点，于点E，，且交AG于点F，若，则EF的长是（   ） A． B．13 C．8 D．7 2．（2023·广西·八年级假期作业）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 3．（2023·山东·一模）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是AD边上的动点，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，则BF的最小值为 ． 6．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____． 7．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等． 8．（2023春·广西·七年级期末）已知，在中，，三点都在直线m上，且． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 9．（2023·河南濮阳市·八年级期末）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．（1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，_____，_____，_____；点D从B向C运动时，逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 11．（23-24八年级上·四川广元·期末）已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N． (1)如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：； (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由； (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由． 12．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，四边形是正方形，M是边上的任意一点，于点于点．(1)求证：；(2)若，求线段的长度； (3)如果将题目改为“是直线上的任意一点”，其它条件均不变，那么（1）所证结论是否仍然成立?若认为仍成立，则简述理由；若认为不一定成立，请直接写出关于之间数量关系的正确结论，不必写演推过程．    13．（2023·河北承德·八年级统考期末）如图1一直角三角板，，，过点C的直线l不经过三角形内部，过点A、B作，，垂足分别为D，E． (1)请你在图1中写出一对全等三角形：___________ (2)请证明你所写结论． (3)尝试探究：若，；①图1中四边形的面积为：________（用含a，b的代数式表示，） ②图2中过点C的直线l经过三角形内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含a，b的代数式表示，） (4)拓展应用：，，则B点坐标为：___________；若点P（不与B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为：___________ 14．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】（1）如图1，，，于点，于点．求证：． 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．①求证；②若，，求的面积． 15．（2023·江苏·八年级假期作业）综合与实践 数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究． (1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：_______； (2)拓展应用：如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：_____； (3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由； ②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系． 16．（2023·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 17．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 18．（2022秋·江苏·八年级期末）【基础模型】已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于 E． （1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：△ACD≌△CBE 【模型应用】在平面直角坐标性xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点 B．以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC． （2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，点C的坐标为　 　． （3）若D是函数y＝x（x＜0）图象上的点，且BD∥x轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，则EB的长度为　 　． （4）设点C的坐标为（a，b），探索a，b之间满足的等量关系，直接写出结论．（不含字母k） 19．（2023·江苏八年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 20．（2023·江苏·八年级期末）阅读下列材料，并按要求解答． 【模型建立】如图①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA． 【模型应用】应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，BC＝10，AB2＝200．求线段BD的长． 应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ为等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），点Q始终在直线OP的上方． （1）折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，当m＝2时，求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标；（2）若无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02.全等模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 1.“一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 2.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 2 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 10 15 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 例1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵每本书长，厚度为，∴， ∴．故选：A． 例2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，猜想线段之间的数量关系，请加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，证明，则，，利用线段之间的关系即可得到答案． 【详解】证明：如图， ∵，，∴ 在和中∴ ∴，∴ 例3．（2023·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由见解析；（2）PC⊥PQ，证明见解析；（3）存在，当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 【分析】（1）利用定理证明；（2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系；（3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）△ACP与△BPQ全等， 理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，则BP＝9﹣2＝7，∴BP＝AC，又∵∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）； （2）PC⊥PQ，证明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直； （3）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ， ∴9﹣2t＝7，解得，t＝1（s），则x＝2（cm/s）； ②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则2t＝×9， 解得，t＝（s），则x＝7÷＝（cm/s）， 故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分 类讨论思想的灵活运用是解题的关键． 例4．（2023·山东·八年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形． 【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解 【分析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断； （2）利用，则，得出，然后问题可求证；（3）由题意易得，由（1）（2）易证，则有，然后可得，进而可证，最后问题可得证． 【详解】（1）证明：直线，直线，， ，，，， 在和中，，； 解：（2）成立，理由如下：， ，， 在和中，，； （3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴， ∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴（SAS），∴， ∴，∴△DFE是等边三角形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 例5．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【答案】（1）5；（2）2；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识． （1）由，得，可证明，即得，故； （2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为14且的长为7，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【详解】解：（1）∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴；故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为14且的长为7，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴． 例6．（2023·浙江·一模）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（，0） 【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论；（3）过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，∴∠ACB＝∠ADC． ∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠CAD＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC．∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE， （2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G， 由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°，∴由（1）得△OFM≌△MGN， ∴MF＝NG，OF＝MG，设M（m，n），∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，NG＝m， ∵点N的坐标为（4，2）∴解得∴点M的坐标为（1，3）； （3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H， 对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4， ∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1， ∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°＝∠QPS．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP． ∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1．∴S（5，1）， 设直线PR为y＝kx+b，则，解得．∴直线PR为y＝x+4． 由y＝0得，x＝，∴R（，0）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（23-24九年级下江苏期中）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长． 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：4． 例2．（2023·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又∴△ABE≌△CAF，∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同则=5 故与的面积之和为5故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 例3．（2023·江苏·八年级专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】(2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； 【深入探究】(3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”） (4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________． 【答案】(1)DE(2)见解析(3)(4)2 【分析】（1）利用全等三角形对应边相等，可知；（2）分别过点和点作于点，于点．利用“字”模型证，，同理得出，推出．再证明，推出，即可证明点是的中点；（3）过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M．先证，，推出，，．再证，推出，再通过等量代换证明；（4）同（3）可证， ，由勾股定理解直角可得，等量代换可得，可知，由此可解． 【详解】（1）解：∵，∴； （2）证明：分别过点和点作于点，于点， ∴，∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，，， ∴，∴，同理可证，∴． ∵，，∴， 在和中，，，， ∴，∴，即点是的中点； （3）解：如图所示，过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M． ∵四边形与四边形都是正方形，∴，，， ∵，，∴，，， 又∵，∴， 在和中，，，， ∴，∴，． 同理可以证明，∴，，∴． 又∵，，，∴，∴， ∵，， ∴，∴，即； （4）解：同（3）中的方法可以证明，且， ． 由勾股定理得：，∴，∴， ∵图形总面积是16，正方形KCMG的面积是4，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查“字”模型的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握“字”模型和类比推理思想． 1．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，正方形ABCD的面积为169，G是BC上的一点，于点E，，且交AG于点F，若，则EF的长是（   ） A． B．13 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，先证，得出，根据正方形的性质以及勾股定理，可知的长，根据即可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∵于点， ， ∵于点， ，∴， ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故选：D． 2．（2023·广西·八年级假期作业）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ，， 又，，． ，，．故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 3．（2023·山东·一模）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA=BO，∠AOB=90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案． 【详解】解：∵A（-2，5），AD⊥x轴，∴AD=5，OD=2， ∵△ABO为等腰直角三角形，∴OA=BO，∠AOB=90°， ∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，∴∠DAO=∠BOE， 在△ADO和△OEB中，，∴△ADO≌△OEB（AAS）， ∴AD=OE=5，OD=BE=2，∴DE=OD+OE=5+2=7．故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 【答案】7 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．易证，即可证明，可得，根据，即可解题． 【详解】解：∵，∴． ∵，∴．∴， 在和中，∵， ∴，∴，， ，．故答案是：7． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是AD边上的动点，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，则BF的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，由旋转的性质可得，，由“AAS”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作直线于H，∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到，∴， ∴，∴， ∴，∴，设，则， ∴，当时，BF的最小值为，故答案为：． 6．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____． 【答案】 【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H， ∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°， ∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ， 在△ACP和△CBQ中，，∴△ACP≌△CBQ（AAS）， ∴AP＝CQ，PC＝BQ，∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝， ∵AP∥BQ，∴∠OAP＝∠OBH，∵点O是斜边AB的中点，∴AO＝BO， 在△APO和△BHO中，，∴△APO≌△BHO（AAS）， ∴AP＝BH，OP＝OH，∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，∴PQ＝QH＝， ∵∠PQH＝90°，∴PH＝PQ＝12，∵OP＝OH，∠PQH＝90°，∴OQ＝PH＝6．故答案为：6 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键． 7．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等． 【答案】2或 【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ，，，，解得：， ，，解得：； ②当，时，，，，，解得：， ，，解得：， 综上所述，当或时，与全等，故答案为：2或． 【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 8．（2023春·广西·七年级期末）已知，在中，，三点都在直线m上，且． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得；（2）由（1）同理可得，得，可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：； （2），由（1）同理可得， ∴，∴； （3）存在，当时，∴，∴，此时； 当时，∴ ∴，，综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 9．（2023·河南濮阳市·八年级期末）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．（1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）DE＝BD＋CE．理由见详解 【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ABD≌△CAE； （2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）DE＝BD＋CE．理由如下：如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE， ∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE， 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA）， ∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题． 10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，_____，_____，_____；点D从B向C运动时，逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25，25，65，小 (2)当时，，理由见解析； (3)当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【分析】（1）先求出的度数，即可求出的度数，再利用三角形的外角性质即可求出的度数，根据点D从B向C运动时，逐渐增大，而不变化，，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当时等腰三角形，只存在或两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴； ∵点D从B向C运动时，逐渐增大，而不变化，， ∴点D从B向C运动时，逐渐变小，故答案为：25，25，65，小； （2）解：当时，， 理由：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （3）解：当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形， 理由：∵，，∴， ∴当时等腰三角形，只存在或两种情况， 当时，∴， ∵，∴，∴； 当时，∴，∴， 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 11．（23-24八年级上·四川广元·期末）已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N． (1)如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：； (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由； (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析． 【分析】（1）根据AC= BC， E为AB中点，得出CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°，∠AEC= 90°，∠A=∠ACE= 45°，AE= CE，再根据DF= EF，∠DFE= 90°， 得出∠FED= 45°，∠FED=∠AEC，即可得出AM = MC；（2）先在AM截取AH，使得AH = CN，连接EH，根据AE= CE，∠A=∠BCE = 45°证出， HE= NE，∠ AEH = ∠CEN，∠HEM =∠AEC-∠AEH-MEC=∠AEC-∠CEN-MEC=∠AEC-∠MEF= 90°- 45°= 45，∠HEM=∠NEM=45°然后证出， HM = MN，最后根据AM=AH+HM=CN+MN即可得出答案； （3）先在CB_上截取CH = AM，根据SAS证得，得出EM = EH，∠AEM=∠CEH，AM=CH，再根据∠M EN和∠AEC的度数，得出∠CEH +∠CEN =∠HEN=45°，再在△EMN和△EHN中，根据SAS证得，得出MN = HN，可求出答案． 【详解】（1）证明：∵，E为AB中点 ∴CE⊥AB，∴，∴，∴ ∵，∴∴又∵∴． （2）解：，理由如下：如图2，在AM截取AH，使得，连接EH， 由（1）知， 在与中：∴∴， ∴ ∴在与中：∵，， ∴∴∴即．   （3）解：猜得∶ MN = AM + CN，理由如下∶如图3，在CB_上截取CH = AM，连接EH， ∵在△AEM和△CEH中，∴ (SAS)，∴EM=EH，∠AEM=∠CEH， ∵AM = CH，∠MEN=45°，∠AEC=90°∴∠AEM+∠CEN=45 ∴∠CEH + ∠CEN =∠HEN = 45°∴∠MEN =∠HEN，   在△EM N和△EHN中， ∴ (SAS)， ∴MN = HN，∴MN=CH+CN，∴MN=AM+CN． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 12．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，四边形是正方形，M是边上的任意一点，于点于点．(1)求证：；(2)若，求线段的长度； (3)如果将题目改为“是直线上的任意一点”，其它条件均不变，那么（1）所证结论是否仍然成立?若认为仍成立，则简述理由；若认为不一定成立，请直接写出关于之间数量关系的正确结论，不必写演推过程．    【答案】(1)见解析(2)(3)不一定成立，正确结论见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得，利用等量代换可得，证明，可得，再根据进行等量代换即可得证； （2）由正方形的性质可得，利用勾股定理求得，再利用的面积公式求得，再利用勾股定理求得，由（1）可知，，再利用求解即可； （3）根据全等三角形的判定与性质、正方形的性质分类讨论：当是线段上的任意一点；当M是线段延长线上的任意一点；当是线段延长线上的任意一点，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， 于点F，于点E，∴，， 又，，，， ∵，∴； （2）解：∵四边形是正方形，， 又，，又， ，，， 由（1）可知，，； （3）解：不一定成立，正确结论： 需分情况，当是线段上的任意一点时，由（1）可知，成立； 当M是线段延长线上的任意一点时，∵四边形是正方形，∴， 于点F，于点E，∴，， 又∵，∴，∴，∴，， ∵，∴；       当是线段延长线上的任意一点时，∵四边形是正方形，∴， 于点F，于点E，∴，， 又∵，∴，∴， ∴，，∵，∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（2023·河北承德·八年级统考期末）如图1一直角三角板，，，过点C的直线l不经过三角形内部，过点A、B作，，垂足分别为D，E． (1)请你在图1中写出一对全等三角形：___________ (2)请证明你所写结论． (3)尝试探究：若，；①图1中四边形的面积为：________（用含a，b的代数式表示，） ②图2中过点C的直线l经过三角形内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含a，b的代数式表示，） (4)拓展应用：，，则B点坐标为：___________；若点P（不与B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为：___________ 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，②或 (4)，或或 【分析】（1）由图可知；（2）利用可证；（3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证，四边形的面积为和面积之和； （4）参照1-3，在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论． 【详解】（1）解：和是一对全等三角形，故答案为：； （2）证明：，，，，， 在和中，，； （3）解：①由（2）知，，，四边形的面积为：； ②同（2）可证，，，， 四边形的面积为：， 故答案为：，； （4）解：如图所示，作轴于点D． ，，，． ，轴，，，， 在和中，，， ，，，； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H．，轴， ，，， 在和中，，， ，，， ；同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 故答案为：，或或． 【点睛】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． 14．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】（1）如图1，，，于点，于点．求证：． 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．①求证；②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析； 【分析】（1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：，， ，，，，， 在和中，，． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则． （3）①过点作于，过点作交的延长线于． 图3 由【模型呈现】可知，，，，， ，， 在和中，，． ②由①可知，，，， ，，， 由①得，， ，，． 15．（2023·江苏·八年级假期作业）综合与实践 数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究． (1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：_______； (2)拓展应用：如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：_____； (3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由； ②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系． 【答案】(1)(2)(3)①，理由见解析；② 【分析】（1）由全等得到边长关系即可． （2）分别按照（1）中情形过A、B做出轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A坐标． （3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长关系．②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系． 【详解】（1）由等腰直角得，， 又， 又， ， （2）过A、B作出轴垂线，，由（1）可得，， 又得，，， ， （3）① 又，， ②与①中同理可得 分别取，中点，连接． ，, 又 又 在与中 ， 【点睛】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范进行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键． 16．（2023·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm 【分析】①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED≌△BDF； ②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE≌△CFD； ③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质即可求得EF的长； （2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，根据正方形的性质及和角关系，可得△COE≌△OAD，从而可求得OE、CE的长，进而得到点C的坐标； （3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性质即可求得BE的长． 【详解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜ ∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜ ∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD 在△AED和△BDF中 ∴△AED≌△BDF(AAS) 答案为：△BDF； ②∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜ ∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF 在△BDE和△CFD中 ∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案为：△CFD； ③∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC ∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜ ∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜ ∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF 在△ABE和△BCF中 ∴△ABE≌△BCF(AAS) ∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3； （2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，如图所示 ∵四边形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC ∴∠COE+∠AOD=180゜−∠ACO=90゜ ∵AD⊥x轴，CE⊥x轴∴∠CEO=∠ADO =90゜ ∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD 在△COE和△OAD中 ∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD ∵∴OD=1，∴CE=1， ∵点C在第二象限∴点C的坐标为故答案为：； （3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜ ∵BE⊥CE，AD⊥CE ∴∠CEB=∠ADC=90゜ ∴∠BCE+∠CBE=90゜ ∴∠CBE=∠ACD 在△BCE和△CAD中 ∴△BCE≌△CAD(AAS) ∴BE=CD，CE=AD=6cm ∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm) 【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． 17．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)0.8cm(2)，证明见解析(3)结论成立，证明见解析 【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用定理证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （2）．证明：∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （3）结论成立， 证明：，∴， 在和中，，∴， ∴，∴；即结论成立； 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 18．（2022秋·江苏·八年级期末）【基础模型】 已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于 E． （1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：△ACD≌△CBE 【模型应用】在平面直角坐标性xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点 B．以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC． （2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，点C的坐标为　 　． （3）若D是函数y＝x（x＜0）图象上的点，且BD∥x轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，则EB的长度为　 　． （4）设点C的坐标为（a，b），探索a，b之间满足的等量关系，直接写出结论．（不含字母k） 【答案】（1）详见解析；（2）(﹣6，﹣2)；（3）2；（4）a+ b=-4或b﹣a＝4． 【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而利用AAS即可得出结论； （2）先求出直线l的解析式，进而确定出点A，B坐标，再判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论； （3）同（2）的方法可得△OAB≌△FBC，从而得BF＝OA＝4，再证△BED≌△FEC（AAS），即可得到答案；（4）分点C在第二象限，第三象限和第四象限三种情况：先确定出点A，B坐标，再同（2）（3）的方法确定出点C的坐标（用k表示），即可得出结论． 【详解】（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE， ∵CA＝CB，∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E， ∵直线l：y＝kx﹣4k经过点(2，﹣3)，∴2k﹣4k＝﹣3，∴k＝， ∴直线l的解析式为：y＝x﹣6，令x＝0，则y＝﹣6， ∴B(0，﹣6)，∴OB＝6，令y＝0，则0＝x﹣6，∴x＝4，∴A(4，0)，∴OA＝4， 同（1）的方法得：△OAB≌△EBC（AAS）， ∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝4，∴OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2， ∵点C在第三象限，∴C(﹣6，﹣2)，故答案为：(﹣6，﹣2)； （3）如图2，对于直线l：y＝kx﹣4k，令x＝0，则y＝﹣4k， ∴B(0，﹣4k)，∴OB＝4k，令y＝0，则kx﹣4k＝0，∴x＝4，∴A(4，0)，∴OA＝4， 过点C作CF⊥y轴于F，则△OAB≌△FBC（AAS）， ∴BF＝OA＝4，CF＝OB＝4k，∴OF＝OB+BF＝4k+4，∵点C在第四象限，∴C(4k，-4k-4)， ∵B(0，﹣4k)，∵BD∥x轴，且D在y＝x上，∴D(﹣4k，﹣4k)，∴BD＝4k＝CF， ∵CF⊥y轴于F，∴∠CFE＝90°，∵BD∥x轴，∴∠DBE＝90°＝∠CFE， ∵∠BED＝∠FEC，∴△BED≌△FEC（AAS），∴BE＝EF＝BF＝2，故答案为：2； （4）①当点C在第四象限时，由（3）知，C(4k，-4k-4)， ∵C(a，b)，∴a＝4k，b＝-4k-4，∴a+ b=-4； ②当点C在第三象限时，由（3）知，B(0，﹣4k)，A(4，0)，∴OB＝4k，OA＝4， 如图1，由（2）知，△OAB≌△EBC（AAS），∴CE＝OB＝4k，BE＝OA＝4， ∴OE＝OB﹣BE＝4k﹣4，∴C(﹣4k，-4k+4)， ∵C(a，b)，∴a＝﹣4k，b＝-4k+4，∴b﹣a＝4； ③当点C在第二象限时，如图3，由（3）知，B(0，﹣4k)，A(4，0)，∴OB＝4k，OA＝4， ∵△OAB≌△MBC（AAS），∴CM＝OB＝4k，BM＝OA＝4， ∴OM＝BM﹣BO＝4﹣4k，∴C(﹣4k，4﹣4k)， ∵C(a，b)，∴a＝﹣4k，b＝4﹣4k，∴b﹣a＝4； ④点C不可能在第一象限；综上所述：a+ b=-4或b﹣a＝4． 图3 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理与等腰直角三角形的性质定理以及一次函数图象的综合，掌握“一线三垂直”三角形全等模型，是解题的关键． 19．（2023·江苏八年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵ ∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又∴△ABE≌△CAF，∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同则=5 故与的面积之和为5故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20．（2023·江苏·八年级期末）阅读下列材料，并按要求解答． 【模型建立】如图①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA． 【模型应用】应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，BC＝10，AB2＝200．求线段BD的长． 应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ为等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），点Q始终在直线OP的上方． （1）折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，当m＝2时，求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标；（2）若无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式　 　． 【答案】模型建立：见解析；应用1：2；应用2：（1）Q(1，3)，交点坐标为(，0)；（2）y＝﹣x+4 【分析】根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可； 应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论． 【详解】如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE， ∵AC＝BC，∴△BEC≌△CDA（AAS）； 应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H， ∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝10， ∵BC＝10，AB2＝200，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°， ∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBH， ∵AC＝BC＝10，∴△ADC≌△CHB（AAS）， ∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，∴DH=6+8=14， ∵BH⊥DC，∴BD＝＝2； 应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，由题意易：△OKQ≌△QHP（AAS）， 设H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y， 又∵OK＝y，∴6﹣y＝y，y＝3，∴Q(1，3)， ∵折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M， ∴点M是OP的中点，∵P(4，2)，∴M(2，1)， 设直线Q M的函数表达式为：y＝kx+b， 把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：，解得： ∴直线l的函数表达式为：y＝﹣2x+5，∴该直线l与x轴的交点坐标为(，0)； （2）∵△OKQ≌△QHP，∴QK＝PH，OK＝HQ， 设Q(x，y)，∴KQ＝x，OK＝HQ＝y，∴x+y＝KQ+HQ＝4，∴y＝﹣x+4， ∴无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y＝﹣x+4， 故答案为：y＝﹣x+4． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$