专题 线段、角的常见应用-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步训练方案(华东师大版2024)

专题　 线段、角的常见应用 线段、角的和差倍分关系在计算中的 应用 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 名师点拨 1. 线段的计算是利用线段的和差及倍分关系 进行计算,而线段的中点是进行线段计算 的重要依据,对于一些比较复杂的线段计 算,若能适当引进未知数,理清它们的关 系,巧妙地运用方程求解,会使问题简化. 2. 角平分线的定义是进行角度计算常见的重 要依据,因此,解这类题目要从角平分线找 角的数量关系,利用图形中相等角的位置 关系,结合角的和差关系求解. 1. (3 分)如图,已知∠AOC = 60°,∠BOD = 90°, ∠AOB 是 ∠DOC 的 3 倍, 求 ∠AOB 的 度 数(　 　 ) A. 112. 5° B. 110° C. 122. 5° D. 120° 2. (5 分)已知 A、M、N、B 为一直线上顺次 4 个 点,若 AM ∶MN = 5 ∶2,NB-AM = 12,AB = 24,求 BM 的长. 3. (6 分)(承德期末)如图,已知线段 AB 的长为 a,延长线段 AB 至点 C,使 BC= 1 2 AB. (1)求线段 AC 的长(用含 a 的代数式表示); (2)取线段 AC 的中点 D,若 DB= 3,求 a 的值. 4. (6 分) (台州期末) ( 1) 已知∠BOC = 120°, ∠AOB= 70°,求∠AOC 的大小; (2)已知∠AOB= 80°,过 O 作射线 OC(不同于 OA、OB),满足∠AOC = 3 5 ∠BOC,求∠AOC 的 大小. (注:本题中所说的角都是指小于平角的角) 线段的中点在计算中的应用 方程思想在解线段中点问题中的应用 5. (5 分)如图,C,D,E 将线段 AB 分成 2 ∶4 ∶4 ∶6 四部分,M,P,Q,N 分别是 AC,CD,DE,EB 的 中点,且 MN= 24,求线段 PQ 的长度. 17 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 分类思想在解线段中点问题中的应用 6. (7 分)(佛山期末)如图所示,点 C 在线段 AB 上,AB = 40 cm,AC = 16 cm,点 M,N 分别是 AB,BC 的中点. (1)求 BN 的长度; (2)求 MN 的长度; (3)若点 P 在直线 AB 上,且 PA = 2 cm,点 Q 为 BP 的中点,请直接写出 QN 的长度,不用说 明理由. 线段中点的意义在动态问题中的应用 7. (7 分)直线 AB 上有一点 P,点 M,N 分别为 PA,PB 的中点,线段 AB= 14. (1)如图,若点 P 在线段 AB 上运动时,MN 的 长为　 　 　 ; (2)若点 P 在直线 AB 上运动时,试说明线段 MN 的长度与点 P 在直线 AB 上的位置无关. 角平分线在计算中的应用 分类思想在解角平分线问题中的应用 8. (3 分)已知射线 OC 是∠AOB 的三等分线,射 线 OD 为∠AOB 的平分线,若∠AOC = 40°,则 ∠COD= 　 　 　 　 　 　 　 . 整体思想在解角平分线问题中的应用 9. (8 分)(重庆期末)如图,∠AOB = 90°,∠BOC = 30°,ON 是∠AOC 的平分线,OM 是∠BOC 的平分线. (1)求∠MON 的大小; (2) 若∠AOB = n°, ∠BOC = m°,其他条件不 变,求∠MON 的大小. 27 13. 解:(1)15 (2)由 AC ∶CD ∶DB= 2 ∶3 ∶4,且 AC= 4,可以得到:CD= 3AC 2 = 3 ×4 2 = 6,DB= 4AC 2 = 4 ×4 2 = 8,所以 AB = AC+CD+ DB= 4+6+8 = 18; (3)因为 M 是线段 AB 的中点,N 是线段 DB 的中点, 所以 BM= 1 2 AB,BN = 1 2 DB,所以 MN = MB-NB = 1 2 AB- 1 2 DB= 1 2 (AB-DB)= 1 2 ×(18-8)= 5. 3. 6　 角 3. 6. 1　 角 1. C　 2. B 3. (1)36. 61°　 (2)91°28′48″ 4. 解:如图所示: 5. B 6. 解:(1)1　 3　 6　 10　 (2)45 (3)观察图形可知:当角的内部有 0 条射线时,该图中 有 (0+1) ×(0+2) 2 = 1(个)角;当角的内部有 1 条射线 时,该图中有 (1+1) ×(1+2) 2 = 3(个) 角;当角的内部 有 2 条射线时,该图中有 (2+1) ×(2+2) 2 = 6(个) 角; ……;当 角 的 内 部 有 n 条 射 线 时, 该 图 中 有 (n+1)(n+2) 2 个角. 3. 6. 2　 角的比较和运算 1. B　 【解析】因为∠AOC = ∠BOD,所以∠AOC-∠DOC = ∠BOD-∠DOC,所以∠1 = ∠2. 故选 B. 2. C　 3. 49° 4. 解:如图所示: 5. 解:因为∠BOC = 2∠AOC,∠AOC = 40°,所以∠BOC = 2×40° = 80°. 所以∠AOB = ∠BOC+∠AOC = 80°+40° = 120°,因为 OD 平分∠AOB,所以∠AOD = 1 2 ∠AOB = 60°. 所以∠COD= ∠AOD-∠AOC= 20°. 6. C　 7. 80° 8. 解:(1)∠MON= ∠BON-∠BOM = ∠AOB+ 1 2 ∠AOC- ( 1 2 ∠AOB+ 1 2 ∠AOC)= 1 2 ∠AOB= 45°. (2)不会,因为∠MON 的大小与∠AOC 无关,总是等 于∠AOB 的一半. 3. 6. 3　 余角和补角 1. D　 2. C　 3. D 4. D 　 【解析】∠BOE 和∠EOC 互余;∠EOC 和∠COD 互余;∠COD 和∠DOA 互余;∠DOA 和∠BOE 互余. 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了余角的和等于 90°的性质,找 出和等于 90°的两个角是解题的关键. 5. A 6. 解:因为 OE 平分∠BOF,所以∠BOF = 2∠BOE. 因为 ∠BOE= 55°,所以∠BOF = 2×55° = 110°. 因为∠AOC = ∠FOG= 90°,所以∠AOD = ∠BOC = 90°,∠1 = ∠2, 所以∠2 = ∠1 = ∠BOF-∠BOC = 110°-90° = 20°. 所以 ∠DOG= ∠AOD-∠2 = 90°-20° = 70°. 7. 解:(1)∠2 和∠3 互余; (2)∠2 和∠4 互余,由∠1 + ∠4 = 90°,∠1 = ∠2,得 ∠2+∠4 = 90°; (3)∠AOD,由∠2+∠4 = 90°,∠2+∠3 = 90°,得∠3 = ∠4,又因为 ∠AOD + ∠4 = 180°,所以 ∠3 + ∠AOD = 180°,所以∠3 的补角是∠AOD. 8. C　 9. B 10. C　 【解析】由图可知:∠1+∠2 = 180°,所以 1 2 (∠1+ ∠2)= 90°,所以 90° - ∠1 = 1 2 ( ∠1 + ∠2) - ∠1 = 1 2 (∠2-∠1) . 故选 C. 11. 解:(1)135°　 50° (2)∠ACB 与∠DCE 互补. 理由:因为∠ECB = 90°, ∠ACD = 90°, 所以 ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB = 90° + ∠DCB,∠DCE = ∠ECB-∠DCB = 90°-∠DCB,所以 ∠ACB+∠DCE= 90°+∠DCB+90°-∠DCB = 180°,即 ∠ACB 与∠DCE 互补. (3)因为∠ACB+∠DCE= 90°+∠DCB+90°-∠DCB = 180°,∠DCE ∶∠ACB = 4 ∶5,所以 5 4 ∠DCE+∠DCE = 180°,解得∠DCE= 80°. 数学活动　 制作包装盒 1. D　 2. A　 3. 2 专题　 线段、角的常见应用 1. A　 【解析】由题可知,∠AOC= 60°,∠BOD= 90°,所以 ∠AOC+∠BOD= 60°+90° = 150°,所以∠AOD+∠COD +∠BOC+∠COD = 150°,所以∠AOB+∠COD = 150°. 因为∠AOB = 3∠DOC,所以 3∠DOC+∠COD = 150°, 所以∠COD= 37. 5°,所以∠AOB = 3×37. 5° = 112. 5°. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了角的计算,会利用角的和差倍 分进行角度计算是解题的关键. 2. 解:设 AM= 5x,MN = 2x,则 NB = 12+5x,所以 5x+2x+ (12+5x)= 24,解得 x = 1,所以 AM = 5,所以 BM = AB- AM= 24-5 = 19. 3. 解:(1)因为 AB= a,BC= 1 2 AB,所以 BC= 1 2 a. 因为 AC =AB+BC,所以 AC= a+ 1 2 a= 3 2 a. (2)因为 D 是线段 AC 的中点,所以 AD = DC = 1 2 AC, 追梦之旅·七年级上·ZBH·数学　 第 11 页 因为 AC= 3 2 a,所以 DC = 3 4 a. 因为 DB = 3,BC = 1 2 a, DB=DC-BC,所以 3 = 3 4 a- 1 2 a,所以 a= 12. 4. 解:( 1) 当射线 OA 在∠COB 内部时,因为∠AOB = 70°,∠BOC = 120°, 所以 ∠AOC = ∠BOC - ∠AOB = 120°-70° = 50°;当射线 OA 在∠COB 外部时,因为 ∠AOB= 70°, ∠BOC = 120°, 所以 ∠AOC = ∠BOC + ∠AOB= 120°+70° = 190°,而求解的只是小于平角的 角,所以∠AOC = 360°-190° = 170°,所以∠AOC 等于 50°或 170°. (2) 因为 ∠AOB = 80°, ∠AOC = 3 5 ∠BOC, 所以设 ∠BOC= 5x,则∠AOC = 3x,如图 1,∠AOB = ∠BOC + ∠AOC= 5x+3x = 80°,解得 x = 10°,所以∠AOC = 30°, ∠BOC= 50°;如图 2,∠BOC+∠AOC = 360° -∠AOB, 所以 5x+ 3x = 280°,解得 x = 35°,所以∠AOC = 105°, ∠BOC= 175°,所以∠AOC 等于 30°或 105°. 图 1 　 　 图 2 5. 解:设 AC= 2x,CD=DE= 4x,BE= 6x,因为M、N 分别是 AC、BE 的中点,所以 MC= 1 2 AC= x,EN= 1 2 EB= 3x,所 以 x+4x+4x+3x= 24,解得 x= 2,所以 CD=DE = 4x = 8. 因为 P,Q 分别是 CD,DE 的中点,所以 DP= 1 2 CD= 4, DQ= 1 2 DE= 4,所以 PQ=DP+DQ= 4+4 = 8. 6. 解:(1)因为 BC = AB-AC = 40 - 16 = 24( cm),点 N 是 BC 的中点,所以 BN=CN= 1 2 BC= 12cm; (2)因为 AB= 40cm,点 M 是 AB 的中点,所以 AM=BM = 1 2 AB = 20cm. 因为 BN = 12cm,所以 MN = BM -BN = 8cm; (3)QN= 7cm 或 QN = 9cm. 　 【解析】当点 P 在线段 AB 上时,因为 AP = 2cm,所以 BP = AB-AP = 38cm. 因 为点 Q 为 BP 的中点,所以 BQ=PQ= 1 2 BP = 19cm,所 以 QN=BQ-BN= 7cm;当点 P 在线段 BA 的延长线上 时,因为 PA= 2cm,所以 PB= AP+AB = 42cm. 因为点 Q 为 BP 的中点,所以 BQ=PQ= 1 2 BP= 21cm,所以 QN= BQ-BN= 9cm;综上所述,QN= 7cm 或 QN= 9cm. 7. 解:(1)7　 【解析】因为点 M,N 分别为 PA,PB 的中 点,所以 MP = 1 2 AP,NP = 1 2 BP,所以 MN = MP+NP = 1 2 AB= 7; (2)当点 P 在点 A 左侧时,因为点 M,N 分别为 PA, PB 的中点,所以 MP= 1 2 AP,NP= 1 2 BP,所以 MN=NP -PM= 1 2 (PB-AP)= 1 2 AB;当点 P 在线段 AB 上时,因 为点 M,N 分别为 PA,PB 的中点,所以 MP= 1 2 AP,NP = 1 2 BP,所以 MN = NP+PM = 1 2 (PB+AP) = 1 2 AB;当 点 P 在点 B 右侧时,因为点 M,N 分别为 PA,PB 的中 点,所以 MP = 1 2 AP,NP = 1 2 BP,所以 MN = PM-PN = 1 2 (AP-BP)= 1 2 AB. 所以综上所述:线段 MN 的长度 与点 P 在直线 AB 上的位置无关. 8. 10°或 20° 　 【解析】如图 1,当 OC 靠近 OA 时,因为 OC 是∠AOB 的三等分线,∠AOC = 40°,所以∠AOB = 120°. 因 为 OD 为 ∠AOB 的 平 分 线, 所 以 ∠AOD = 1 2 ∠AOB= 60°,所以∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 60° - 40° = 20°;如 图 2,当 OC 靠 近 OB 时,因 为 OC 是 ∠AOB 的三等分线,∠AOC = 40°,所以∠BOC = 20°, ∠AOB = 60°. 因 为 OD 为 ∠AOB 的 平 分 线, 所 以 ∠BOD= 1 2 ∠AOB= 30°,所以∠COD = ∠BOD-∠BOC = 30°-20° = 10°;综上,∠COD= 10°或 20°. 图 1 　 　 图 2 9. 解:(1)因为∠AOB = 90°,∠BOC = 30°,所以∠AOC = 120°. 因为 ON 是∠AOC 的平分线,OM 是∠BOC 的平 分线,所以∠NOC = 1 2 ∠AOC,∠MOC = 1 2 ∠BOC,所 以∠MON= 1 2 ∠AOC- 1 2 ∠BOC = 1 2 (∠AOC-∠BOC) = 1 2 ×(120°-30°)= 45°. (2)因为∠AOB = n°,∠BOC = m°,所以∠AOC = n° + m°. 由 ( 1 ) 可 知 ∠MON = 1 2 ∠AOC - 1 2 ∠BOC = 1 2 (∠AOC-∠BOC)= 1 2 (n°+m°-m°)= 1 2 n°. 追梦第 3 章章末复习　 图形的初步认识 1. B　 【解析】①②的左视图与俯视图相同. 故选 B. 2. D　 3. B 4. 解:(1)四棱柱 (2)2×(10×5+5×6+10×6)= 280(cm2),即这个四棱柱 的表面积为 280cm2 . 5. 解: 6. D 7. B　 【解析】MN=MC-NC= AC 2 -BC 2 =AB 2 . 故选 B. 追梦之旅·七年级上·ZBH·数学　 第 12 页