第四章 1 线段、射线，直线-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步训练方案(北师大版2024)

1　 线段、射线、直线 第 1 课时　 线段、射线、直线 线段、射线、直线的认识和表示 1. (3 分)有下列说法:①电线杆可看作射线,② 探照灯光线可看作射线,③A 地到 B 地的高速 公路可看作一条直线. 其中正确的有(　 　 ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2. (3 分)下列表示方法不正确的是(　 　 ) A. B. C. D. 3. (3 分)如图,下列说法正确的是(　 　 ) A. 直线 AB 与直线 BC 是同一条直线 B. 线段 AB 与线段 BA 是不同的两条线段 C. 射线 AB 与射线 AC 是两条不同的射线 D. 射线 BC 与射线 BA 是同一条射线 4. 学习情境·你出我答 (3 分)小明和小亮为了 互相促进学习,两人实行你出题我答题的模 式,如图,这是小亮出的题 目,小明的答题情况,则小 明的得分是(　 　 ) A. 25 分 B. 50 分 C. 75 分 D. 100 分 5. (3 分)如图所示,图中共有　 　 　 　 条直线, 　 　 　 　 条射线,　 　 　 　 条线段。 第 5 题图 　 　 变式题图 (3 分)如图,设图中有 a 条射线,b 条线 段,则 a+b= 　 　 　 　 。 6. [教材习题 2 变式] (8 分)如图,已知平面上 有四个点 A,B,C,D,按照下列语句画出图形. (1)画线段 AB; (2)画线段 BD,作线段 BD 的延长线; (3)画线段 BC,并反向延长线段 BC。 点与直线、射线、线段的位置关系 7. (3 分) (信阳月考) 如图,下列说法错误的 是(　 　 ) A. 点 P 为直线 AB 外一点 B. 直线 AB 不经过点 P C. 直线 AB 与直线 BA 是同一条直线 D. 点 P 在直线 AB 上 8. (3 分) (北京期末)下列各图中所给的线段、 射线、直线能相交的是(　 　 ) A. B. C. D. 两点确定一条直线 9. (3 分)小红家分了一套住房,她想在自己的房 间的墙上钉一根细木条,挂上自己喜欢的装 饰物,那么小红至少需要几根钉子使细木条 固定(　 　 ) A. 1 根 B. 2 根 C. 3 根 D. 4 根 10. 中考新趋势·结论开放 (3 分)请举生活中的 实例说明“两点确定一条直线”这个基本事 实: 　 。 65 11. 跨学科试题·语文 (3 分)(保定期末)《红楼 梦》第 57 回有这么一句话,“自古道:‘千里 姻缘一线牵’,管姻缘的有一位月下老儿,暗 里只用一根红线,把这两个人的脚绊住. ”请 问,这里所说的“线”若是真的,则在数学中 指的应是(　 　 ) A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 以上都不对 12. (3 分)(安阳月考)下列说法:①经过一点可 以画无数条直线;②经过两点只能画一条直 线;③射线和线段都是直线的一部分;④经 过平面内的任意三点 A,B,C 一定可以画一 条直线. 其中正确的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 学习情境·学科内融合 (7 分)已知数轴上的 原点为 O 点,点 A 表示 3,点 B 表示-1,回答 下列问题。 (1)数轴在原点左边的部分(包括原点)是一 条什么线? 怎么表示? (2)射线 OB 上的点表示什么数? (3)数轴上表示不大于 3,且不小于-1 的数 的部分是什么图形? 怎么表示? 14. 学科素养·类比思想 (9 分) (1)【观察思考】:如图,线段 AB 上有两个点 C、D,请分别写出以点 A、B、C、D 为端点的线 段,并计算图中共有多少条线段; (2)【模型构建】:如果线段上有 m 个点(包 括 线 段 的 两 个 端 点 ), 则 该 线 段 上 共 有　 　 　 　 条线段; (3)【拓展应用】:某班 45 名同学在毕业后的 一次聚会中,若每两人握 1 次手问好,那么共 握多少次手? 请将这个问题转化为上述模 型,并直接应用上述模型的结论解决问题。 75 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·七年级数学上册 第 2 课时　 比较线段的长短 线段的基本事实及两点间的距离 1. 文化情境·建筑文化 (3 分)如图,曲桥是中国 园林中特有的桥式,桥与径、廊均为园林中游 人赏景的通道. “景莫妙于曲“,故园林中的桥 多做成折角,以形成一条折线,达到延长风景 线,扩大景观画面的效果。 其中蕴含的数学 道理是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. (3 分)如图,线段 AB = 6,延长 AB 到点 C。 若 线段 BC 的长是 AB 的长的一半,则 A,C 两点 间的距离为　 　 　 　 。 线段长短的比较 3. (3 分)为了比较线段 AB 与 CD 的长短,小明 将点 A 与点 C 重合并使两条线段在一条直线 上,且点 B 和点 D 在同侧,结果点 B 在 CD 的 延长线上,则(　 　 ) A. AB<CD B. AB>CD C. AB=CD D. 以上都不对 4. (3 分)如图,用圆规比较两条线段 AB 和 A′B′ 的长短,其中正确的是(　 　 ) A. A′B′>AB B. A′B′=AB C. A′B′<AB D. 没有刻度尺,无法确定 作一条线段等于已知线段 5. [教材习题 4 变式] (8 分)如图,已知线段 a, b,c,用尺规作一条线段 AE,使 AE = 2a+b-c。 (保留作图痕迹,不必写作法) 线段的中点 6. (3 分)下列说法正确的是(　 　 ) A. 若 AC= 1 2 AB,则点 C 是 AB 的中点 B. 若 AB= 2CB,则点 C 是 AB 的中点 C. 若 AC=BC,则点 C 是 AB 的中点 D. 若 AC=BC= 1 2 AB,则点 C 是 AB 的中点 7. (3 分)如图所示,AB =DE,点 C 为线段 AE 的 中点,下列式子不正确的是(　 　 ) A. BC=CD B. CD= 1 2 AE-AB C. CD=AD-CE D. CD=DE 8. (7 分)如图,已知点 C 是线段 AB 上一点,点 D 和点 E 分别是 AC、CB 的中点,若 AC= 4 cm, CB= 3 cm,求线段 DE 的长。 85 考虑问题不全面而漏解 9. (3 分)已知点 A、B、C 为直线 l 上的三点,线段 AB= 9 cm,BC= 1 cm,那么 A、C 两点间的距离 是(　 　 ) A. 8 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 8 cm 或 10 cm 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋【解题技巧】分点 C 在线段 AB 上和线段 AB 延长线 上两种情况讨论。 10. (3 分) (郑州期末)如图,B、C 两点把线段 AD 分成 2 ∶5 ∶3三部分,点 M 为 AD 的中点, BM= 9 cm,则 AD 的长为(　 　 ) A. 20 cm B. 30 cm C. 25 cm D. 35 cm 11. (6 分)如图,A,B,C,D 分别代表四个村庄, 现要在 A,B,C,D 所组成的四边形内建一个 供水站,作图并说明,这个供水站建在何处, 才能使供水站到各村的供水管道总长最短? 12. (10 分)如图,点 P 是线段 AB 上任一点,AB = 12 cm,C,D 两点分别从点 P,B 同时向点 A 运动,且点 C 的运动速度为 2 cm / s,点 D 的 运动速度为 3 cm / s,运动的时间为 t s。 (1)若 AP= 8 cm,当点 D 在线段 PB 上运动 时,试说明 AC= 2CD; (2) 如果 t = 2 s 时,CD = 1 cm,试探索 AP 的值. 13. 学科素养·图形探究 (10 分)如图所示,点 C 在线段 AB 上,线段 AC= 8 cm, BC= 6 cm, 点 M,N 分别是 AC, BC 的中点,求: (1)线段 MN 的长度; (2)根据(1) 中的计算过程和结果,设 AC+ BC=m,其他条件不变,你能猜测 MN 的长度 吗? 说明理由; (3) 若题中的条件改变为“点 C 在直线 AB 上”,其他条件不变,结果会有变化吗? 若有 变化,请求出结果。 95 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·七年级数学上册 专题　 线段的中点在计算中的应用 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 方法点拨:线段的计算是利用线段的和差及倍分关系进行计算,而线段的中点是进行线段计算 的重要依据,对于一些比较复杂的线段计算,若能适当引进未知数,理清它们的关系,巧妙地运 用方程求解,会使问题简化。 线段的和差倍分关系在计算中的应用 1. (3 分)如图,线段 AB = 24 cm,C 为 AB 的中 点,点 D 在线段 AC 上,且 AD ∶ CB = 1 ∶ 3,则 DB 的长度是(　 　 ) A. 8 cm B. 12 cm C. 16 cm D. 20 cm 2. (6 分)如图,已知 AB = 10,BD = 4,AC = 7,E 是 线段 BC 的中点,FD= 2AF,求 CE 和 EF 的长。 整体思想在解线段中点问题中的应用 3. (6 分)如图,E、F 分别是线段 AC、AB 的中点, 若 EF= 20 cm,求 BC 的长。 分类讨论思想在解线段中点问题中的 应用 4. (10 分) (佛山期末)如图所示,点 C 在线段 AB 上,AB= 40 cm,AC= 16 cm,点 M,N 分别是 AB,BC 的中点。 (1)则 BN 的长度是　 　 　 　 cm,MN 的长度 是　 　 　 　 cm; (2)若点 P 在直线 AB 上,且 PA = 2 cm,点 Q 为 BP 的中点,请求出 QN 的长度。 线段中点的意义在动态问题中的应用 5. (10 分)直线 AB 上有一点 P,点 M,N 分别为 PA,PB 的中点,线段 AB= 14。 (1)如图,若点 P 在线段 AB 上运动时,MN 的 长为　 　 　 　 ; (2)若点 P 在直线 AB 上运动时,试说明线段 MN 的长度与点 P 在直线 AB 上的位置无关。 06 (此时 a= 0),当 b= 4 时,原式 = 1 2 ×64-2×16+3×4-4 =8。 当 b= 2,a= 0 时,原式= 1 2 ×8-2×4+3×2-4 = -2。 所以 1 2 b3-2b2+3b-4 的值为 8 或-2。 5. 解:由题意可知 3a+2 = 0,9a+10b = 0,则 a = - 2 3 ,b = 3 5 ,所以当 a= - 2 3 ,b = 3 5 时,3a-5b = 3×(- 2 3 ) -5× 3 5 = -5。 6. 解:(1)ab (2)S=(ab- 1 2 πr2)平方米; (3)当 a= 3,b= 2,r= 0. 5 时,S=(6- π 8 )平方米。 7. 解:(1)因为(60-50)÷100= 0. 1(升), 所以该车平均每千米的耗油量是 0. 1 升,行驶 x 千米 时油箱的剩余油量为(60-0. 1x)升; (2)当 x= 260 时,剩余油量为 60-0. 1×260= 34(升); (3)不能。 理由如下:因为 60-0. 1×300×2= 0<3,所以 往返途中不加油,他们不能在汽车报警前回到家。 8. B　 【解析】原式= b+c-a+d = (b-a) +( c+d)= -(a-b) +(c+d),当 a-b= -3,c+d = 2 时,原式 = 3+2 = 5。 故选 B。 9. 解:(1)原式= 5ab2-2a2b+3ab2-4ab2+2a2b= 4ab2, 当 a= -3,b= 1 2 时,原式= 4×(-3)×( 1 2 ) 2 = -3; (2)原式= 9-2mn+2m+3n-3mn-2n+2m-m-4n-mn = 9-6mn+3(m-n), 因为 m-n= 4,mn= -1,所以原式= 9+6+12= 27。 10. 解:(1)1 (2)5　 -1 (3)当 k= -1 时,A= -2x2+2x+1,B = -2(x2-x+2),因 为 C+2A=B,所以 C=B-2A= -2(x2-x+2) -2( -2x2+ 2x+1)= -2x2+2x-4+4x2-4x-2= 2x2-2x-6。 11. D　 【解析】因为第一个图需棋子 3×1+3 = 6(个);第 二个图需棋子 3×2+3= 9(个);第三个图需棋子 3×3 +3 = 12(个),…,所以第 n 个图需棋子(3n+3)个。 故选 D。 12. (6n+3) 13. C　 【解析】由所给图形可知,图形①中木棒的根数 为:5= 1×4+1;图形②中木棒的根数为:9= 2×4+1;图 形③中木棒的根数为:13= 3×4+1;…,所以图形 n 中 木棒的根数为(4n+1)根,当 n= 6 时,4n+1= 4×6+1 = 25(根),即图形⑥中木棒的根数为 25 根。 故结论Ⅰ 正确。 令 4n+1= 589,解得 n = 147。 故结论Ⅱ错误。 故选 C。 14. 5　 【解析】因为 21 -1 = 1,22 -1 = 3,23 -1 = 7,24 -1 = 15,25-1= 31,…,所以计算结果中的个位数字依次 以 1,3,7,5 循环出现。 因为 2024÷4 = 506,所以 22024 -1 的个位数字是 5。 15. 解:(1)(4x+1360) (2)(1440+3. 6x) (3)当 x= 100 时,按优惠方案①需付款:400+1360 = 1760(元),按优惠方案②需付款:1440 + 360 = 1800 (元),因为 1760<1800,故按优惠方案①购买比较合 算。 第四章　 基本平面图形 1　 线段、射线、直线 第 1 课时　 线段、射线、直线 1. B　 2. B 3. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【方法汇总】1. 直线和线段都有两种表示方法:①用一 个小写字母表示;②用表示直线上两点的两个大写字 母表示;用两个大写字母表示线段和直线时,字母可 以交换位置,没有顺序性。 2. 射线的表示方法为用两 个大写字母表示;表示射线时,表示射线端点的字母 要写在前面;当两条射线为同一条射线时,需满足两 个条件,①端点相同,②延伸方向相同。 4. A 5. 1　 8　 6　 【解析】由图可得,直线有 1 条,是直线 AB; 射线有 8 条,分别是射线 AB,BA,BC,CB,CD,DC,还 有分别以 A,D 为顶点向外边射去的射线;线段有 6 条,分别是线段 AB、AC、AD、BC、BD、CD。 【变式】12　 【解析】由图可得,射线有 6 条,所以 a = 6,线段有 6 条,所以 b= 6,则 a+b= 12。 6. 解:(1)(2)(3)如图。 7. D 8. B　 【解析】A. 直线 AB 与线段 CD 无交点;B. 直线 AB 与射线 EF 有交点;C. 直线 AB 与射线 EF 无交点;D. 直线 AB 与射线 CD 无交点。 故选 B。 9. B 10. 植树时,只要栽下两棵树,就可以把同一行树栽在同 一条直线上(答案不唯一) 11. C　 12. C 13. 解:(1)数轴在原点 O 左边部分(包括原点)是一条 射线,表示为射线 OB; (2)射线 OB 上的点表示非正数; (3)线段,可表示为线段 AB。 14. 解:(1)以点 A 为左端点向右的线段有:线段 AB、AC、 AD,以点 C 为左端点向右的线段有线段 CD、CB,以 点 D 为左端点的线段有线段 DB,所以共有 3+2+1 = 6 条线段; (2) 1 2 m(m-1) (3)当 m= 45 时, 1 2 m(m-1)= 1 2 ×45×(45-1)= 990 —11— (次),所以共握 990 次手。 第 2 课时　 比较线段的长短 1. 两点之间,线段最短 2. 9　 【解析】因为线段 AB = 6,线段 BC 的长是 AB 的长 的一半,所以 BC= 1 2 AB = 3,所以 AC = AB+BC = 6+3 = 9。 3. B　 4. C 5. 解:线段 AE 即为所求: 6. D　 7. D 8. 解:由题意得:DC= 1 2 AC = 2cm,CE = 1 2 BC = 1. 5cm,所 以 DE=DC+CE= 3. 5cm。 9. D　 【解析】分两种情况:①点 C 在线段 AB 上,则 AC= AB-BC= 9-1= 8(cm);②点 C 在线段 AB 的延长线上, 则 AC=AB+BC= 9+1= 10(cm)。 故选 D。 10. B　 【解析】设 AB= 2xcm,BC = 5xcm,CD = 3xcm,所以 AD=AB+BC+CD = 10xcm。 因为点 M 是 AD 的中点, 所以 AM = MD = 1 2 AD = 5xcm,所以 BM = AM -AB = 3xcm。 因为 BM= 9cm,所以 3x= 9,x= 3。 故 AD= 10x = 30cm。 故选 B。 11. 解:如图,根据两点之间,线段最短可 知,供水站建在 AC、BD 的交点 E 处能 使供水站到各村的供水管道总长最 短。 12. 解:(1)因为 AP= 8cm,AB= 12cm,CP = 2tcm,所以 BP = 4cm,AC=(8-2t)cm,所以 DP=(4-3t)cm,所以 CD =DP+CP=(4-t)cm,所以 AC= 2CD; (2)当 t= 2s 时,CP= 4cm,DB= 6cm,当点 D 在点 C 的 右边时,由于 CD= 1cm,所以 CB=CD+DB= 7cm,所以 AC=AB-CB= 5cm,所以 AP=AC+CP= 9cm,当点 D 在 点 C 的左边时,AD = AB-DB = 6cm,所以 AP = AD+CD +CP= 11cm,综上所述,AP= 9cm 或 11cm。 13. 解:(1)因为点 M、N 分别是 AC、BC 的中点,所以 MC = 1 2 AC= 4cm,CN= 1 2 BC= 3cm。 所以 MN=MC+CN= 7cm; (2)MN = 1 2 m。 理由:由 ( 1) 知 MC = 1 2 AC,CN = 1 2 BC,MN=MC+CN= 1 2 (AC+BC)= 1 2 m; (3)有变化,有两种情况:①点 C 在线段 AB 上与(1) 同;②点 C 在线段 AB 的延长线上,MN= 1 2 (AC-BC) = 1 2 ×(8-6)= 1(cm)。 专题　 线段的中点在计算中的应用 1. D　 【解析】因为 AB = 24cm,C 为 AB 的中点,所以 AC =BC= 1 2 AB= 12(cm)。 因为 AD ∶ CB = 1 ∶ 3,所以 AD = 1 3 CB= 4(cm),所以 CD=AC-AD= 12-4 = 8(cm),所 以 DB=CD+CB= 8+12= 20(cm)。 故选 D。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】根据 AB = 24cm,C 为 AB 的中点,可计算 出 AC 和 BC 的长度,根据 AD ∶CB = 1 ∶3,可得 AD = 1 3 CB,即可计算出 CD 的长度,再根据 DB =CD+CB 计算 即可得出答案。 2. 解:因为 AB= 10,BD= 4,AC = 7,所以 CD = AC+BD-AB = 4+7-10 = 1,所以 AD = AC-CD = 6。 因为 FD = 2AF, 所以 DF= 2 3 AD= 4。 因为 E 是线段 BC 的中点,BC = BD-CD= 4-1= 3,所以 CE = 1 2 BC = 3 2 ,所以 EF =DF+ CD+CE= 4+1+ 3 2 = 13 2 。 3. 解:因为 E、F 分别是线段 AC、AB 的中点,所以 AC = 2AE= 2CE,AB= 2AF= 2BF。 因为 EF = AF-AE = 20cm, 2AF-2AE= AB-AC = 2EF = 40cm,BC = AB-AC = 2EF = 40cm。 4. 解:(1)12　 8　 【解析】因为 AB = 40cm,点 M 是 AB 的 中点,所以 AM=BM = 1 2 AB = 20cm。 因为 BC = AB-AC = 40-16= 24(cm),点 N 是 BC 的中点,所以 BN=CN= 1 2 BC= 12cm,所以 MN=BM-BN= 8cm; (2)当点 P 在线段 AB 上时,因为 AP = 2cm,所以 BP = AB-AP= 38cm。 因为点 Q 为 BP 的中点,所以 BQ=PQ = 1 2 BP= 19cm,所以 QN = BQ-BN = 7cm;当点 P 在线 段 BA 的延长线上时,因为 PA= 2cm,所以 PB = AP+AB = 42cm。 因为点 Q 为 BP 的中点,所以 BQ = PQ = 1 2 BP= 21cm,所以 QN=BQ-BN= 9cm;综上所述,QN= 7cm 或 QN= 9cm。 5. 解:(1)7　 【解析】因为点 M,N 分别为 PA,PB 的中 点,所以 MP = 1 2 AP,NP = 1 2 BP,所以 MN =MP+NP = 1 2 AB= 7; (2)当点 P 在点 A 左侧时,因为点 M,N 分别为 PA,PB 的中点,所以 MP = 1 2 AP,NP = 1 2 BP,所以 MN = NP- PM= 1 2 (PB-AP)= 1 2 AB;当点 P 在线段 AB 上时,因 为点 M,N 分别为 PA,PB 的中点,所以 MP = 1 2 AP,NP = 1 2 BP,所以 MN=NP+PM= 1 2 (PB+AP)= 1 2 AB;当点 —21— P 在点 B 右侧时,因为点 M,N 分别为 PA,PB 的中点, 所以 MP = 1 2 AP,NP = 1 2 BP,所以 MN = PM-PN = 1 2 (AP-BP)= 1 2 AB。 综上所述:线段 MN 的长度与点 P 在直线 AB 上的位置无关。 2　 角 第 1 课时　 角 1. D　 2. B 3. C　 【解析】48′÷60= 0. 8°,36″÷60÷60 = 0. 01°,15°48′36″ =15°+0. 8°+0. 01°=15. 81°。 故选 C。 4. B　 5. D　 6. D　 7. B　 8. (1)270　 (2)1. 3 9. C　 10. A 11. B　 【解析】因为∠A = 48°15′ = 48. 25°,∠B = 48. 3°, ∠C= 48. 15°,所以∠B>∠A>∠C,即∠B 最大。 故选 B。 12. 解:(1)原式= 59°14′-53°17′= 5°57′; (2)原式= 67°31′+48°39′-106°25′= 9°45′。 13. 解:(1)∠B,∠C; (2)∠CAD,∠BAD,∠BAC; (3)∠C,∠B,∠1,∠2,∠3,∠4,∠CAB。 14. 解:(1)6　 0. 5 (2)分针转过的角度为(360°÷60) ×(55-30)= 150°, 时针转过的角度为 ( 360° ÷ 60 ÷ 12) × ( 55 - 30) = 12. 5°。 答:分针转过的角度为 150°,时针转过的角 度为 12. 5°; (3)(360° ÷ 12) -15×(360° ÷ 60 ÷ 12) = 30° - 7. 5° = 22. 5°。 答:时针与分针所成的锐角的度数是 22. 5°。 15. 解:(1)1　 3　 6　 10　 (2)45 (3)观察图形可知:当角内部有 0 条射线时该图中有 (0+1)×(0+2) 2 = 1(个)角;当角的内部有 1 条射线 时,该图中有 (1+1)×(1+2) 2 = 3(个)角;当角的内部 有 2 条射线时,该图中有 (2+1)×(2+2) 2 = 6(个)角; 当角的内部有 3 条射线时,该图中有 (3+1)×(3+2) 2 = 10(个)角,…,故当角的内部有 n 条射线时,该图 中有 (n+1)(n+2) 2 个角。 第 2 课时　 角的比较 1. A　 2. A　 3. B　 4. D 5. 解:因为∠BOC = 2∠AOC,∠AOC = 40°,所以∠BOC = 80°,所以∠AOB =∠BOC+∠AOC = 120°。 因为 OD 平 分∠AOB,所以∠AOD = 1 2 ∠AOB = 60°,所以∠COD = ∠AOD-∠AOC= 20°。 6. D 7. 解:如图所示: 8. D　 【解析】如图,射线 OC、OD 在 直线 AB 的同一侧时,因为∠COD = 90°,所以∠BOD = 180° - 90° - ∠AOC= 180° -90° -30° = 60°;射 线 OC、OD′在直线 AB 的两侧时, 因为∠COD′= 90°,所以∠AOD′ = 90° -∠AOC = 90° - 30° = 60°,所以∠BOD′ = 180° -∠AOD′ = 180° - 60° = 120°。 综上所述,∠BOD 的度数 60°或 120°。 故选 D。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】分射线 OC、OD 在直线 AB 的两侧两种情 况作出图形,在同一侧时,根据平角等于 180°列式计 算即可得解,在两侧时,先求出∠AOD′,再根据平角等 于 180°列式计算即可得解。 9. A　 【解析】由∠AOD ∶∠BOC = 5 ∶ 1,设∠BOC = x,则 ∠AOD= 5x,因为∠AOB = ∠COD = 90°,所以 5x+x = 360°- 90° - 90°,则 x = 30°,所以∠BOC = 30°,所以 ∠BOD=∠BOC+∠COD= 120°。 因为 OE 为∠BOD 的 平分线,所以∠BOE =∠DOE = 60°,则∠COE =∠BOE -∠BOC= 30°。 故选 A。 10. D　 【解析】由于 45°-30° = 15°,45°+30° = 75°,60°+ 45° = 105°,不能画出 130°角。 故选 D。 11. ① 12. 解:(1)55　 40　 【解析】∠BOC = 90°-∠AOC = 55°, ∠NOB= 150°-∠MOB= 150°-2∠BOC = 150°-110° = 40°。 (2)70　 20　 【解析】∠BOC = 1 2 ∠MOB = 1 2 ×(150°- ∠BON)= 70°,∠AOC = ∠AOB-∠COB = 90° -70° = 20°。 (3)2α-β= 30° 理由如下:因为∠AOC = α,∠NOB = β,所以∠BOC = 90°-α。 因为 OC 平分∠MOB,所以∠MOB = 2∠BOC = 180°-2α。 因为∠MOB+∠NOB = 150°,所以 180°- 2α+β= 150°,即 2α-β= 30°。 13. 解:(1)因为∠AOB 是一个直角,∠BOC = 70°,所以 ∠AOC = 20°。 因 为 OD、 OE 分 别 平 分 ∠AOC 和 ∠BOC,所 以 ∠COE = 1 2 ∠COB = 35°, ∠COD = 1 2 ∠AOC= 10°,所以∠DOE= 10°+35° = 45°; (2)不变。 因为∠DOE =∠EOC+∠COD = 1 2 ∠COB+ 1 2 ∠AOC= 1 2 (∠COB+∠AOC)= 1 2 ∠AOB= 45°; (3)∠DOE 的大小发生变化,∠DOE = 45°或 135°。 如图 ①, ∠DOE = ∠DOC - ∠COE = 1 2 ∠AOC - 1 2 ∠BOC= 1 2 (∠AOC-∠BOC)= 1 2 ∠AOB = 45°;如图 ②,∠DOE =∠EOC+∠COD = 1 2 ∠COB+ 1 2 ∠AOC = 1 2 (∠COB+∠AOC)= 1 2 (360°-∠AOB)= 135°。 —31—