专题4.2 等差数列的概念【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.2 等差数列的概念【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 等差数列的基本量的求解】 2 【题型2 等差中项】 3 【题型3 等差数列的通项公式】 4 【题型4 利用等差数列的性质计算】 6 【题型5 等差数列的单调性】 7 【题型6 求等差数列中的最大（小）项】 9 【题型7 等差数列的判定与证明】 11 【题型8 等差数列的应用】 13 【知识点1 等差数列的概念与通项公式】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【题型1 等差数列的基本量的求解】 【例1】（23-24高二下·河南开封·期末）已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【解题思路】由等差数列基本量的计算即可求解. 【解答过程】设公差为，因为，， 所以，所以. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，公差为，若2023是该数列的一项，则公差d不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】利用等差数列的概念计算基本量即可. 【解答过程】由2023是该数列的一项，得，所以， 因为，所以d是2020的约数，故d不可能是3． 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（    ） A． B．0 C．1 D．3 【解题思路】根据等差数列基本量运算求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，且， 所以，所以． 故选：C． 【变式1-3】（23-24高二下·河南南阳·期末）若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由表示出，然后由且可求出公差的取值范围. 【解答过程】由，得，得， 因为是正项无穷的等差数列， 所以，所以，得， 即的公差的取值范围是. 故选：D. 【题型2 等差中项】 【例2】（23-24高二下·山东日照·期中）已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 【解题思路】根据等差中项的概念求值. 【解答过程】由题意：. 故选：D. 【变式2-1】（23-24高二下·山东日照·期中）已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】先求解可得，然后根据等差中项的性质，即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，. 设a，b的等差中项为， 根据等差中项的定义，有. 故选：B. 【变式2-2】（23-24高二下·四川达州·阶段练习）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等差中项即可求解. 【解答过程】由可得，所以， 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【解题思路】运用等差中项概念及性质可解. 【解答过程】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 【题型3 等差数列的通项公式】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等差数列的定义知为首项为5，公差为的等差数列，进而求出通项公式. 【解答过程】依题意，，所以，即， 所以数列是首项为5，公差为的等差数列，所以. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知数列满足，数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件求解判断为等差数列，求出通项，得解. 【解答过程】由， ， 则，又， ，又， 所以数列为等差数列，则， . 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列满足. (1)由递推关系写出数列的前五项； (2)求数列的通项公式. 【解题思路】（1）根据递推式和首项依次求解即可， （2）给，再利用等差数列定义即可求出通项公式. 【解答过程】（1），， ，，，. （2）由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 【变式3-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式解得答案； （2）根据（1）的通项公式，设是数列的第k（k为正整数）项，计算得k为正整数，同理设是数列的第m（m为正整数）项，计算的，m不是正整数，从而得证； 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. （2）证明：由（1）知：，， 设是数列的第k（k为正整数）项， 则，解得，k为正整数， 则是数列的第项， ∴，，…，均是数列中的项； 设是数列的第m（m为正整数）项， 则，解得，所以m不是正整数，则不是数列中的项， ∴，，…，均不是数列中的项. 【知识点2 等差数列的性质】 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，当d=0时，=为常数列，当d≠0时，= +(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{}的图象是直线y=dx+(-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+. (2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列. (3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+ (,为常数)是公差为 d+d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0. 【题型4 利用等差数列的性质计算】 【例4】（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【解题思路】直接由等差数列的性质即可求解. 【解答过程】由题意. 故选：C. 【变式4-1】（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 【解题思路】根据下标和性质计算可得. 【解答过程】因为，且，所以， 又，所以， 又，所以，解得. 故选：B. 【变式4-2】（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【解题思路】利用等差数列的性质可得，可求结论. 【解答过程】设等差数列的公差为，则， 由等差数列的公差为1，， 所以， 所以. 故选：B. 【变式4-3】（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（    ） A．4 B． C． D． 【解题思路】利用下标和性质计算可得. 【解答过程】因为，则，又，则， 解得， 所以. 故选：C. 【题型5 等差数列的单调性】 【例5】（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【解答过程】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 【变式5-1】（23-24高二·全国·课后作业）已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 【解题思路】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断. 【解答过程】等差数列的图象所在直线的斜率， 则直线呈下降趋势，故数列单调递减. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【解答过程】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 【变式5-3】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【解答过程】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C. 【题型6 求等差数列中的最大（小）项】 【例6】（23-24高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【解题思路】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果. 【解答过程】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 【变式6-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【解题思路】由，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断的正负，再利用通项与前n项和关系求解. 【解答过程】设数列的公差为d， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 当时，，当时，， 所以， 又因为， 所以，故中最大 ， 故选：D. 【变式6-2】（2024·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 196 ． 【解题思路】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可. 【解答过程】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列， 则， 令，解得， 则数列的最大项为， 所以该数列最大项和最小项之和为． 故答案为：196. 【变式6-3】（23-24高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 ①②④ . 【解题思路】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果． 【解答过程】等差数列中，，，所以，则． 所以，则． 所以①正确． ②整理得正确． ③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误． ④是中最大的值，正确； ⑤为递增数列．错误，应改为递减数列． 故答案为：①②④． 【题型7 等差数列的判定与证明】 【例7】（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； （2）由（1）得，再利用数列是递增数列，得到对恒成立，即可求出结果. 【解答过程】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以. 【变式7-1】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 【解题思路】（1）根据题意可得，结合等差数列的定义分析证明； （2）由（1）可知公差为，且，结合等差数列的通项公式运算求解. 【解答过程】（1）因为 ， 可得，即， 所以是以公差为的等差数列． （2）由（1）知的公差为， 又因为，即，可得， 所以． 【变式7-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列有，（常数），对任意的正整数n，，并有满足． (1)求a的值； (2)试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由． 【解题思路】（1）令结合已知条件可求出a的值； （2）由，得，两式相减化简结合等差数列的定义分析判断即可. 【解答过程】（1）由已知，得， 所以. （2）由得，则， 所以， 即， 于是有，并且有， 所以， 即， 而是正整数，则对任意正整数都有， 所以数列是等差数列， 因为，，所以公差 所以通项公式是. 【变式7-3】（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，，且当时，， (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列满足，求的值. 【解题思路】（1）由题意可得，两边同时除以（），得，从而得证； （2）利用（1）中结论求得，再分类讨论与两种情况，求得与，从而得解. 【解答过程】（1）因为，所以，则， 因为，易知，所以， 又，所以数列是首项与公差都为2的等差数列； （2）由（1）得，则， 当时，； 当时，， 所以， 所以. 【题型8 等差数列的应用】 【例8】（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【解题思路】将天干和地支分别看作等差数列，结合，，分别求出100年后天干为壬，地支为午，得到答案. 【解答过程】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为壬， 由于，余数为4，故100年后地支为午， 综上：100年后的2122年为壬午年. 故选：A. 【变式8-1】（23-24高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【解题思路】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【解答过程】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为. 故选：D. 【变式8-2】（23-24高二上·江苏扬州·期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【解题思路】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【解答过程】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列， 且，故公差， 故， 故选：B. 【变式8-3】（23-24高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【解题思路】由，，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数. 【解答过程】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 等差数列的概念【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 等差数列的基本量的求解】 2 【题型2 等差中项】 2 【题型3 等差数列的通项公式】 3 【题型4 利用等差数列的性质计算】 4 【题型5 等差数列的单调性】 4 【题型6 求等差数列中的最大（小）项】 5 【题型7 等差数列的判定与证明】 5 【题型8 等差数列的应用】 7 【知识点1 等差数列的概念与通项公式】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【题型1 等差数列的基本量的求解】 【例1】（23-24高二下·河南开封·期末）已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，公差为，若2023是该数列的一项，则公差d不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（    ） A． B．0 C．1 D．3 【变式1-3】（23-24高二下·河南南阳·期末）若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 等差中项】 【例2】（23-24高二下·山东日照·期中）已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 【变式2-1】（23-24高二下·山东日照·期中）已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-2】（23-24高二下·四川达州·阶段练习）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【题型3 等差数列的通项公式】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知数列满足，数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列满足. (1)由递推关系写出数列的前五项； (2)求数列的通项公式. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【知识点2 等差数列的性质】 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，当d=0时，=为常数列，当d≠0时，= +(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{}的图象是直线y=dx+(-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+. (2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列. (3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+ (,为常数)是公差为 d+d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0. 【题型4 利用等差数列的性质计算】 【例4】（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【变式4-1】（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 【变式4-2】（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式4-3】（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（    ） A．4 B． C． D． 【题型5 等差数列的单调性】 【例5】（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（23-24高二·全国·课后作业）已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 【变式5-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 求等差数列中的最大（小）项】 【例6】（23-24高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【变式6-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式6-2】（2024·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 【变式6-3】（23-24高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【题型7 等差数列的判定与证明】 【例7】（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【变式7-1】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 【变式7-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列有，（常数），对任意的正整数n，，并有满足． (1)求a的值； (2)试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由． 【变式7-3】（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，，且当时，， (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列满足，求的值. 【题型8 等差数列的应用】 【例8】（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【变式8-1】（23-24高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【变式8-2】（23-24高二上·江苏扬州·期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式8-3】（23-24高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$