专题05 函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）（十三大重难点题型）-【课后优辅导】2024年高一数学上学期秋季精品讲义（人教A版2019）

专题05 函数基本性质的灵活运用 考点1、函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 考点2、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意的，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 考点3、函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 考点4、函数的奇偶性 （1）．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． （2）．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数． （7）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 考点5、函数的周期性与对称性 （1）．函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． （2）．函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. （3）．函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. （4）．对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 重难点突破（一） 判断或证明函数的单调性 例1、（2022秋·天津北辰·高一校考阶段练习）下列函数中，在区间上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 例2、（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 1、函数的单调递增区间是（    ） A． B． 和 C．和 D． 和 2、（2024高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 例3、（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 例4．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 1、（23-24高一下·浙江杭州·期末）设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)若，求函数的值域． 2、（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）已知函数． (1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减； (2)若对，，都有恒成立，求实数的取值范围． 重难点突破（二） 单调性的应用 例5、（2023春·青海西宁·高二校考期末）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6、（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7、（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1、（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 2、（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点突破（三）复合函数单调性的判断 例8、函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 例9、（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1、（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 重难点突破（四）利用函数单调性求参数的范围 例10、（四川省广安市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例11、（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 1、（21-22高三上·重庆黔江·阶段练习）函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 2、（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4重难点突破（五）基本初等函数的单调性（综合应用） 例12、（多选题）（甘肃省庆阳市宁县第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（　　） A． B． C． D． 例13、（2024·四川宜宾·三模）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例14、（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为 ． 1、（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选题）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）（多选题）若函数在上单调递增，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 重难点突破（六）判断或证明函数的奇偶性 例15、（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ） A． B． C． D．且 例16、（多选题）（黑龙江省哈尔滨市第五中学校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试题）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 1、（2024·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（    ） A． B． C． D． 2、（22-23高三上·新疆伊犁·阶段练习）（多选题）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 重难点突破（七）已知函数的奇偶性求参数 例17、（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 例18、（湖南省部分学校2023届高三下学期5月联数学试题）已知函数，若是偶函数，则______． 例19、（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数为奇函数，则 ． 例20、（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 1、（2024高三·全国·专题练习）若函数为奇函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 2、（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．2 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 4．（19-20高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 重难点突破（八）已知函数的奇偶性求表达式、求值 例21．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 例22、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________． 例23、（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 1、（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 . 2、（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．19 B． C．1 D． 3．（22-23高一上·河南·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 重难点突破（九）奇偶性与单调性的综合应用 例24、（2023秋·云南大理·高二统考期末）若偶函数在上为增函数，若，则实数的取值范围是 . 例25．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1、（23-24高一上·四川广安·期末）已知偶函数的图象经过点且当时， 不等式 恒成立，则使得 成立的x取值范围为(    ) A． B． C．(1，3) D．[1，3] 2、（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）（多选题）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．的最小值为 B．在上单调递减 C．的解集为 D．存在实数满足 重难点突破（十）函数的对称性与周期性 例26．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例27、（2024·贵州黔西·一模）已知，为奇函数，且，则（    ） A．4047 B．2 C． D．3 例28、（2024·辽宁丹东·二模）（多选题）已知函数的定义域为，满足，当，，则（    ） A． B．在上单调递减 C．在上有极小值 D． 1、（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 2、（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，是奇函数，是偶函数，且，，则（    ）． A．为奇函数 B．4为的一个周期 C． D． 3．（2021·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数的图像关于y轴对称，且，将函数的图像向右平移一个单位长度后关于原点对称，则 ，其中； 重难点突破（十一）类周期函数 例29．（2023·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例30．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 1、（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 重难点突破（十二） 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 例31．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 例32．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 1、（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的函数满足，且不恒为0. (1)求和的值； (2)若在上单调递减，求不等式的解集. 2、（22-23高一下·黑龙江大庆·阶段练习）设函数是增函数，对于任意x，都有． (1)写一个满足条件的并证明； (2)证明是奇函数； (3)解不等式． 重难点突破（十三）函数性质的综合 例33、（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 例34．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数为上的奇函数，且. (1)求实数a，b的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数（其中）的值域. 1、（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 2、（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式. 1．（23-24高一上·山东·期中）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·云南大理·期中）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·云南玉溪·阶段练习）已知为偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京·期中）（多选题）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期末）（多选题）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·海南海口·模拟预测）（多选题）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（    ） A．的对称中心为 B．的对称轴为直线 C． D．不等式的解集为 8．（23-24高二下·山西大同·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 9．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 10．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是 11．（22-23高一上·河南信阳·阶段练习）定义在上的函数满足：对任意的x，，都有：． (1)求证：函数是奇函数； (2)若当时，有，求证：在上是减函数； (3)若，对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 12．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数基本性质的灵活运用 考点1、函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 考点2、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意的，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 考点3、函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 考点4、函数的奇偶性 （1）．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． （2）．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数． （7）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 考点5、函数的周期性与对称性 （1）．函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． （2）．函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. （3）．函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. （4）．对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 重难点突破（一） 判断或证明函数的单调性 例1、（2022秋·天津北辰·高一校考阶段练习）下列函数中，在区间上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数解析式直接得到函数的单调性，得到正确答案. 【详解】A选项，在R上单调递减，A错误； B选项，在R上单调递增，满足要求，B正确； C选项，在上单调递减，C错误； D选项，在上单调递减，D错误. 故选：B 例2、（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据特殊值法判断A,B,C选项，应用一次函数的单调性性质判断D选项. 【详解】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 1、函数的单调递增区间是（    ） A． B． 和 C．和 D． 和 【答案】B 【解析】 如图所示： 函数的单调递增区间是和． 故选：B. 2、（2024高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【详解】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 例3、（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可. （2）利用（1）的结论，利用单调性求出函数值域. 【详解】（1）函数，， 则， 当时，，则，即， 所以函数在区间上单调递减. （2）由（1）知，函数在上单调递减，则， 而，所以函数的值域为. 例4．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 【答案】(1)在上单调递减；证明见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果； （2）利用单调性求最值，即可得到值域. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递减. （2）在上单调递减，所以 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 故值域为. 1、（23-24高一下·浙江杭州·期末）设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】 （1）    通过定义法作差判断正负求解； （2）    由，由复合函数的单调性知函数在上单调递增，在上单调递减，即可求解． 【详解】（1）函数在上单调递增； 证明：任取，且， 则 因为， 所以， 所以， 得， 所以函数在上单调递增； （2）解：因为， 则，， 所以， 由（1）的证明过程知，函数在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又， 显然，故， 所以函数的值域为： 2、（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）已知函数． (1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减； (2)若对，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据单调性的定义可证明在区间上单调递减； （2）根据（1）中函数的单调性可求函数的最值，从而可求实数的取值范围． 【详解】（1）设，则， 因为，故即， 故，故，故在区间上单调递减. （2）下证：在区间上单调递增. 设，则， 因为，故即， 故，故，故在区间上单调递增. 由（1）可得在区间上单调递减. 故在区间上，，因， 故，故. 故实数的取值范围为. 重难点突破（二） 单调性的应用 例5、（2023春·青海西宁·高二校考期末）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知有，即可求取值范围. 【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足， 所以，解得. 故选：D 例6、（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】时，代入可知满足题意；时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案． 【详解】当时，,上单调递减，满足题意； 当时，f(x)的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得．综上，a的取值范围为． 故选：A 例7、（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 1、（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用给定条件结合函数单调性的定义求解即可. 【详解】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 2、（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调增函数，则. 故选：B 3．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 重难点突破（三）复合函数单调性的判断 例8、函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 例9、（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、复合函数的单调性 【分析】由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 则有，解得． 所以a的取值范围是. 故选：C 1、（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、与二次函数相关的复合函数问题、复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再确定在上单调递增，结合复合函数单调性，即可求得答案. 【详解】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 2、（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 重难点突破（四）利用函数单调性求参数的范围 例10、（四川省广安市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， 在中，函数单调递增， ∴，解得：， 故选：C. 例11、（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】表示出二次函数的对称轴，然后列出不等式即可求解. 【详解】开口向下的二次函数的对称轴是， 因为函数在区间上为严格增函数， 所以，解得. 故答案为：. 1、（21-22高三上·重庆黔江·阶段练习）函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据为减函数需要满足求解即可. 【详解】因为函数是上的减函数，所以，即， 所以实数的取值范围， 故答案为：. 2、（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】函数在上单调递减，一次函数斜率小于零，二次函数对称轴大于，且保证分段函数有意义，当上面函数值大于等于下面，求出交集即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 则 即， 得， 故选：C. 【点睛】由函数单调性和表达式确定一次函数的系数和二次函数的对称轴关系，再注意满足分段函数有意义. 重难点突破（五）基本初等函数的单调性（综合应用） 例12、（多选题）（甘肃省庆阳市宁县第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】函数在区间上是单调函数，又，且， 故此函数在区间上是减函数． 由已知条件及偶函数性质，知函数在区间上是增函数． 对于A，，故，故A错误； 对于B，，故，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选:BD. 例13、（2024·四川宜宾·三模）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可. 【详解】因为,所以的对称轴为, 在单调递减，则在单调递增， 又因为，由对称性可得, 所以, 故选：D. 例14、（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】由题意可得函数在上单调递减，作出的图象，结合图象，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：因为对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立， 所以函数在上单调递减， 又因为当时，， 作出的图象，如图所示： 由此可得函数在和上单调递减， 又因为当时，，且函数在上单调递减， 所以，解得． 故答案为：． 1、（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 2、（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选题）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据函数的单调性求参数值 【分析】 求出命题为真时的范围，再根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】由命题函数在上单调递减，可得或，即， 由必要不充分条件的定义知只有C,D选项符合. 故选：CD. 3．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）（多选题）若函数在上单调递增，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】先判断出在上的单调性，然后根据条件列出关于的不等式组，由此求解出的取值范围，则正确选项可知. 【详解】因为当时，函数为单调递增函数， 又函数在上是单调函数，则需满足，解得， 所以实数的范围为，所以满足范围的选项是BC， 故选：BC. 重难点突破（六）判断或证明函数的奇偶性 例15、（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可. 【详解】对于A选项，，为偶函数，故错误； 对于B选项，，为奇函数， 且函数、均为减函数，故为减函数，故正确； 对于C选项，为偶函数，故错误； 对于D选项，且为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误. 故选：B 例16、（多选题）（黑龙江省哈尔滨市第五中学校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试题）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】CD 【解析】因为函数的定义域都为R， 所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 对于A，因为， 所以函数是奇函数，故A错误； 对于B，因为， 所以函数是偶函数，故B错误； 对于C，因为， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，因为， 所以函数是偶函数，故D正确. 故选：CD. 1、（2024·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，为偶函数，故A错误； 对于B，设，所以 故在定义域上不是单调递增，故B错误； 对于C，，故函数的单调增区间为和， 所以在定义域上不是单调递增，故C错误； 对于D，，由幂函数的性质可知，函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确. 故选：D 2、（22-23高三上·新疆伊犁·阶段练习）（多选题）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据奇函数的定义验证为奇函数，根据增函数加增函数为增函数可判断为增函数. 【详解】的定义域为．．即函数为奇函数． 当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数． 故选：B 重难点突破（七）已知函数的奇偶性求参数 例17、（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数定义，列式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 例18、（湖南省部分学校2023届高三下学期5月联数学试题）已知函数，若是偶函数，则______． 【答案】 【解析】因为是偶函数， 所以， ， 即， 解得. 故答案为：. 例19、（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数为奇函数，则 ． 【答案】－1 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用函特殊函数值求出，再验证即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，即 ，解得， 可得， 因为函数定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，故. 故答案为：. 例20、（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】法一：先利用求得，然后代入验证；法二：利用偶函数的定义建立方程求解即可. 【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 故答案为： 1、（2024高三·全国·专题练习）若函数为奇函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义即可求解. 【详解】因为 是奇函数，所以，即. 显然，整理得，即. 该式对任意 恒成立，故，解得. 故选：. 2、（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以定义域关于原点对称， 可得，所以， 由，可得，解得，所以． 故选：A 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由进行求解． 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即， 即， 两边平方，化简可得． 要使上式恒成立，则，即． 故答案为： 4．（19-20高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义可得出关于实数的等式组，解之即可. 【详解】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：. 重难点突破（八）已知函数的奇偶性求表达式、求值 例21．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据题意，当时，，由函数的解析式求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，当时，， 则， 又由函数为上的偶函数，则． 则时，． 故答案为：． 例22、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________． 【答案】 【解析】由于函数是上的奇函数，则. 当时，， 设，则，则， 所以. 综上所述，. 故答案为： 例23、（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，所以. 故选：C 1、（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数对称性的应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】利用偶函数的性质可得到，再由对称性，即可计算出结果. 【详解】由是偶函数可得：，即， 所以当时，则， 即， 故答案为：. 2、（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．19 B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以. 故选：D. 3．（22-23高一上·河南·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】 利用两函数的奇偶性，根据已知等式，构造另一个等式，联立求出函数解析式，代入自变量的值计算即得. 【详解】因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有：， 由①，将其中的取为，则可化简得：②， 由①②联立可求得：，于是. 故选：D. 重难点突破（九）奇偶性与单调性的综合应用 例24、（2023秋·云南大理·高二统考期末）若偶函数在上为增函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数奇偶性得到在上为减函数，从而由单调性得到不等式，求出答案. 【详解】∵偶函数在上为增函数， ∴在上为减函数， 则不等式，即， 两边平方化简得，，解得或. 故实数的取值范围为. 故答案为： 例25．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 1、（23-24高一上·四川广安·期末）已知偶函数的图象经过点且当时， 不等式 恒成立，则使得 成立的x取值范围为(    ) A． B． C．(1，3) D．[1，3] 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据偶函数的图象经过点，可得，由函数的单调性的定义判断函数在上单调递减，列出不等式，解之即可. 【详解】由题意知，偶函数的图象经过点， 所以点也在图象上，即， 当时，不等式恒成立， 则，所以函数在上单调递减， 所以等价于， 所以，解得或， 所以x的取值范围为. 故选：B. 2、（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）（多选题）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．的最小值为 B．在上单调递减 C．的解集为 D．存在实数满足 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据图像判断函数单调性、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数是定义在R上的奇函数，可以写出函数的解析式，进而判断函数单调性即可判断AB；画出函数的图形即可判断C，特殊值代入即可得D. 【详解】由题意可知当时， 即 所以，函数的图像如下： 显然，函数没有最小值，故A错误； 根据函数图像可得在上单调递减，故B正确； 令得，故C正确； 由图可知，令得，故D正确. 故选：BCD. 重难点突破（十）函数的对称性与周期性 例26．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 例27、（2024·贵州黔西·一模）已知，为奇函数，且，则（    ） A．4047 B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据题意，推得，得到是周期为的周期函数，再由，，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得关于点对称，且， 所以，即， 又因为，可得， 即，则，所以， 所以函数是周期为的周期函数， 因为，，可得，， 所以. 故选：C. 例28、（2024·辽宁丹东·二模）（多选题）已知函数的定义域为，满足，当，，则（    ） A． B．在上单调递减 C．在上有极小值 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、函数对称性的应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】对于A，代值即可；对于B，求出的函数即可判断单调性；对于C，求出的函数，并通过导数判断极值即可；对于D，列出，并根据对称性计算每个函数值即可. 【详解】A选项：因为， 当时，， 所以， 所以，故A正确． B选项：令， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 当时，在上单调递减，且， 当时，在上单调递减，且， 所以在上单调递减，故B正确． C选项：令， 所以， 所以， 即， 由B可得， ， 所以， 则在上递增，在上递减， 所以在上有极大值，故C不正确． D选项： 根据对称性， 由， 所以，， 所以 由时， 得， 即，故D正确． 故选：ABD. 1、（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数的周期性的定义与求解 【分析】由函数的奇偶对称性推得是周期为4的函数，并求得，最后利用周期性求目标函数值. 【详解】由是偶函数，，则，又， ， 所以是周期函数，周期为4， 对于，令，得，则， 所以. 故选：B 2、（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，是奇函数，是偶函数，且，，则（    ）． A．为奇函数 B．4为的一个周期 C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、奇偶函数对称性的应用、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的对称性和奇偶函数的定义可得、，由题意，利用赋值法即可判断函数为偶函数且周期为4，即可判断AB；利用赋值法和函数的周期性计算即可判断CD. 【详解】对于A：∵是偶函数，则函数关于直线对称， ∴，由，令， 得，∴，则为偶函数，故A错误； 对于B：由是奇函数可知，， ∴，令，得， 则，又，∴， 令，得，∴， 故4为的一个周期，故B正确； 对于C：由，令，得， ∴， ∴，故C错误； 对于D：由与，令，得， ∴，由得，， ∴ ，故D正确． 故选：BD. 3．（2021·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数的图像关于y轴对称，且，将函数的图像向右平移一个单位长度后关于原点对称，则 ，其中； 【答案】 0 2 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】根据奇偶性得到周期性，再计算出的值，从而可求解. 【详解】依题意，知，为奇函数，则， 又，故，， ，则最小正周期．因为， 所以，，故， ． 故答案为:； 【归纳点睛】函数周期性的常用结论． 对的定义域内任一自变量x： （1）若（），则最小正周期； （2）若（），则最小正周期； （3）若（），则最小正周期． 重难点突破（十一）类周期函数 例29．（2023·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则 ∵，∴ 即 ∵时，恒成立，∴只需. 当时，最小值为（当时）； 当时，最小值为（当时）， ∴ 所以只需，解得：或 ∴实数的取值范围是 故选：D 例30．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为时，， 所以, 因为函数满足， 所以， 所以，， 又因为，恒成立， 故， 解不等式可得或. 1、（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数的最值求参数 【分析】根据给定的函数式，结合函数变换画出图象，求出在上的解析式，借助数形结合求得结果. 【详解】当时，，由，得， 即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图，      当时，， 令，整理得：，解得， 观察图象知，当时，对任意时，成立， 所以m的取值范围是. 故选：B 【点睛】易错点睛：图象解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解. 2、（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】令，可求出，再由题意可得出，结合函数的定义域和单调性可得，解不等式即可得出答案. 【详解】令，则，则， 由可得：， 因为是定义在区间上的增函数， 所以，解得：. 则的取值范围为:. 故答案为：. 重难点突破（十二） 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 例31．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 例32．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数； (2)在上的单调递减，证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可． 【详解】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解题关键是利用进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性问题,最后一问主要是借助单调性，并进行分参，将恒成立问题转化为最值问题. 1、（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的函数满足，且不恒为0. (1)求和的值； (2)若在上单调递减，求不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用赋值法计算即可； （2）令，证明函数奇偶性，结合函数单调性解不等式. 【详解】（1）令， 所以，故， 令，所以 所以. （2）令，因为，所以，故， 所以是偶函数， 由，， 则， 又是偶函数， 所以上式可转化为， 又在上单调递减， 所以上式可转化为，解得或. 故不等式的解集为. 2、（22-23高一下·黑龙江大庆·阶段练习）设函数是增函数，对于任意x，都有． (1)写一个满足条件的并证明； (2)证明是奇函数； (3)解不等式． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式、抽象函数的奇偶性、解不含参数的一元二次不等式、抽象不等式 【分析】（1）开放性试题，可写一个满足条件的正比例函数即可； （2）利用赋值法，令，并结合奇函数的定义即可证明； （3）先把不等式转化成，然后根据的单调性脱去“”，从而通过解不等式可得结果. 【详解】（1）解：因为函数是增函数，对于任意x，都有，这样的函数很多，其中一种为：． 证明如下：函数满足是增函数， 因为， 所以满足题意． （2）证明：令，则由，得，即； 令，则由，得， 即，故是奇函数． （3）因为，所以， 则，即， 因为，所以， 所以， 又因为函数是增函数，所以，所以或． 所以不等式的解集为. 重难点突破（十三）函数性质的综合 例33、（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）去绝对值，写出分段函数，将不等式转化，即可求解； （2）分和对函数分段，然后由函数在上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数的取值范围； （3）写出分段函数，不等式对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式即可. 【详解】（1）当时，故有， 则，即为或，解得：或， ∴ 不等式的解集为 （2）， 若在上单调递增，则有 ， 解得， ∴ 若在上单调递增，则实数的取值范围为 （3）设 则 不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立． ， 当时，单调递减，其值域为， 由于，所以成立． 当时，由，知， 在处取最小值， 令，得，又，所以 综上，． 例34．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数为上的奇函数，且. (1)求实数a，b的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数（其中）的值域. 【答案】(1) (2)递减区间为，递增区间为，. (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求函数的单调区间、求二次函数的值域或最值、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）由（1）知，结合函数单调性的判定方法和函数的奇偶性的性质，即可求解； （3）由（2）中函数的单调性，求得，令，转化为函数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由函数为上的奇函数，则有，解得， 又由，可得，解得. （2）由（1）知，函数， 因为函数为上的奇函数，先求函数在区间的单调区间， 令， 有 ， ①当时，， 所以，即，所以函数在上单调递减； ②当时，， 所以，即，所以函数在上单调递增， 因为函数为上的奇函数， 所以函数的递减区间为，递增区间为，. （3）由，，，， 及函数的减区间为，递增区间为，. 可知，当时，， 令，有， ①当时，即时，， 此时函数的值域为； ②当时，即时，，，此时函数的值域为； ③当时，即时，，，此时函数的值域为； ④当时，即时，， 此时函数的值域为. 1、（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得. （2）利用函数单调性的定义推理证明即可. （3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，关于数0对称，而， 所以是奇函数. （2）任取， ， 由，得，，则，即， 所以在区间上单调递增. （3）当时，，当且仅当，即时取等号， 因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数， 因此当时，，函数的值域为，即， 由对任意的都有，得， 所以的最小值是. 2、（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见详解 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明； （2）根据函数单调性的定义分析证明； （3）根据函数单调性结合函数定义域分析求解. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. （2）任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上是增函数. （3）因为，且函数在区间上是增函数， 则，解得， 所以不等式的解集为. 1．（23-24高一上·山东·期中）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据单调性的定义知函数在在上为减函数，然后逐项分析即可. 【详解】根据题意，“对任意的，使得”， 则函数在上为减函数. 对于选项A，为二次函数，其开口向下且对称轴为， 所以在上递减，符合题意； 对于选项B，，因为在上递增，在上递增， 所以由单调性的性质知，在上递增，不符合题意； 对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意； 对于选项D，在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复合函数的单调性、复合函数的定义域 【分析】根据复合函数的单调性求解即可． 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域满足，即． 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以函数的单调递增区间为． 故选：D． 3．（23-24高三上·云南大理·期中）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】分析可知，函数在上为减函数，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数满足对任意的实数，都有成立， 不妨设，则，则，即， 则函数在上为减函数，则，解得， 因此，实数的取值范围是， 故选：D． 4．（22-23高一下·云南玉溪·阶段练习）已知为偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据已知，利用函数的奇偶性求解. 【详解】当时，，则， 又因为是偶函数，所以. 故选：B. 5．（23-24高一上·北京·期中）（多选题）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 6．（23-24高一上·重庆·期末）（多选题）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用函数式直接判断奇偶性排除BD，再判断单调性即可得解. 【详解】函数是非奇非偶函数，是上的奇函数，BD不是； 显然函数、都是R上的偶函数，在区间上都单调递增，AC是. 故选：AC 7．（2023·海南海口·模拟预测）（多选题）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（    ） A．的对称中心为 B．的对称轴为直线 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D． 【详解】因为为偶函数，所以， 所以图象关于直线对称，故A错误，B正确； 又在上单调递增，所以在上单调递减， 所以，故C正确； 由不等式结合的对称性及单调性，得， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为，故D正确， 故选：BCD． 8．（23-24高二下·山西大同·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】需对和两种情况进行讨论在上的单调性，从而可确定的取值范围. 【详解】若，则，这是一个一次函数，斜率为， 在上不是单调递增的，故， 若，函数是一个二次函数，其对称轴为， 因为在上的单调递增，所以该函数开口向上，则， 同时必须在区间的左侧或者和重合， 所以，解之可得 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 9．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】结合的奇偶性与增减性，可得函数的对称性与单调性，结合对称性与单调性的性质计算即可得解. 【详解】由函数为偶函数，故，即， 则的图象关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 10．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先由函数是偶函数求出；再根据偶函数的特点及函数的单调性列出不等式组即可求解. 【详解】由函数为定义在上的偶函数，可得，解得：. 所以函数为定义在上的偶函数，在上单调递增. 因为，即， 所以，解得. 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数奇偶性和单调性的综合运用.解题关键在于：先根据偶函数定义域关于原点对称列出方程求得；再根据偶函数的特点及函数单调性列出不等式组即可求解. 11．（22-23高一上·河南信阳·阶段练习）定义在上的函数满足：对任意的x，，都有：． (1)求证：函数是奇函数； (2)若当时，有，求证：在上是减函数； (3)若，对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或或 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、抽象函数的奇偶性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）通过赋值法，首先求，再赋值，代入后即可证明函数是奇函数； （2）首先设，证明，再结合单调性的定义，即可证明函数的单调性； （3）首先将不等式转化为对恒成立，再构造一次函数，列不等式求解的范围. 【详解】（1）证明：令x＝y＝0得： 设任意，则，∴，即， ∴函数是奇函数； （2）设，则，∴， 由知：，且，，所以，即， ∴，又， 即，从而， 即，， 所以在上是减函数； （3）由（2）函数在上是减函数， 则当时，函数的最大值为， 若对所有恒成立，，恒成立， 则等价为对恒成立，即， 设，则对恒成立， ∴，即，即， 解得：或 或． 12．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可; （3）利用单调性及定义域列出不等式即可 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得， 所以函数， 检验：，故函数为奇函数， 所以； （2）在上单调递增． 证明如下：对于任意，且， 则， 由，得， 又， 所以，即， 故函数在上单调递增； （3）不等式， 是增函数，且，所以，解得， 所以t的取值范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$