专题06 指数与指数函数（分层训练）-【课后优辅导】2024年高一数学上学期秋季精品讲义（人教A版2019）

专题06 指数与指数函数 一、单选题 1．（20-21高一上·广西崇左·阶段练习）函数且的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2019·云南昆明·一模）已知，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·陕西西安·期中）函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   4．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（     ） A．2 B．1 C． D． 6．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·四川宜宾·期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 二、多选题 9．（22-23高一上·吉林通化·期中）下列式子不正确的是 （    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．，且，有 D．，“”是“”的充分不必要条件 11．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，则下列说法正确的是（    ） A． B．也是的函数 C． D．不是周期函数 三、填空题 12．（12-13高一上·山东聊城·阶段练习）函数（且）的图象恒过点 13．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是 . 14．（23-24高一上·福建南平·期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为 ；若，则的取值范围为 ． 四、解答题 15．（20-21高一上·云南昆明·期中）计算：（1）. （2）. 16．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 17．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数为定义域上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若，试用表示． 18．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知是自然对数的底数，. (1)判断函数在上的单调性并证明； (2)解不等式. 19．（2010·吉林·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）定义在上的函数满足不等式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2024高三·北京·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，设，则下列结论错误的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 22．（24-25高三上·吉林·开学考试）已知有唯一的零点，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 23．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·山东滨州·期末）（多选题）设函数则下列结论正确的是（    ） A．在区间上为增函数 B．为偶函数 C．的值域为 D．不等式 的解集为 25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，，且，则的最小值为 ． 26．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的值的范围是 ． 27．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)若，求实数的取值范围． 28．（23-24高二下·福建南平·期末）已知函数，为偶函数． (1)求实数a的值； (2)写出的单调区间（不需要说明理由）； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 29．（2024·全国·模拟预测）已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·广东茂名·期末）（多选题）已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．当时， C．在上单调递增 D． 32．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 33．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是 . 6．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 指数与指数函数 一、单选题 1．（20-21高一上·广西崇左·阶段练习）函数且的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【解析】令，求出的值，即为图象所过定点的坐标. 【详解】令，得 即 所以的图象所过定点 故选：B. 2．（2019·云南昆明·一模）已知，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【解析】由函数的单调性可得.再由的单调性可得.从而可得选项. 【详解】因为在R上递减，且，所以 .又因为 在R上递增，且，所以 .所以. 故选：D. 【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用之比较指数式的大小，属于中档题. 3．（21-22高一上·陕西西安·期中）函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】分类讨论得到分段函数，分析函数的单调性与特值即可. 【详解】因为函数 ， 且当 时， ，排除D选项； 当 时， 在 上单调递减，又 ，排除BC选项； 对于A选项，当 时， 在 上单调递减，当 从0 的右侧趋近于0 时， 趋近于1，符合题意. 故选：A. 4．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、分式不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】通过解分式不等式和指数不等式，分别解出两个集合，再由交集和并集的运算，即可解答. 【详解】由题意， 集合， 集合， 所以，. 故选：A. 5．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据条件，利用奇函数的定义和性质即可求出结果. 【详解】因为奇函数，所以， 即， 得到，所以， 当时，的定义域为关于数0对称，符合意义， 所以. 故选：B. 6．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、具体函数的定义域 【分析】由图象得函数的定义域与奇偶性后判断即可. 【详解】由图象知，的定义域为，关于轴对称，为偶函数， 对于A，的定义域为，故A错误； 对于B，当，定义域为， ，故是奇函数，故B错误； 对于C，当，定义域为， ，故是奇函数，故C错误； 对于D，，定义域为， ，故是偶函数，故D正确， 故选：D. 7．（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 8．（23-24高一上·四川宜宾·期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先利用必过定点确定的坐标，后利用基本不等式‘1’的代换处理即可. 【详解】在中，当时，，故， 将代入直线方程中，化简得， 故， 当且仅当‘’时取等，即的最小值为. 故选：C 二、多选题 9．（22-23高一上·吉林通化·期中）下列式子不正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】根据构造幂函数以及指数函数，根据幂指函数的单调性即可逐一比较. 【详解】由于函数为单调递增函数，所以，故A错误， 由于而，所以,故B错误， 由于幂函数在单调递增，所以，故C正确， 由于，故D正确， 故选：AB 10．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．，且，有 D．，“”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、判断命题的充分不必要条件、由奇偶性求参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】对A：根据奇函数定义运算求解；对B：可求解；对C：根据函数单调性的定义与性质分析运算；对D：根据函数单调性整理可得恒成立，再结合充分必要条件从而可求解. 【详解】对A：由为奇函数且定义域为，所以， 即，得，故A正确； 对B：由，因为，所以，故B错误； 对C：由，对于，且， 则， 因为，所以，即，又因为， 所以，所以函数在其定义域上为增函数， 所以且，有，故C正确； 对D：充分性：当，因为，由为增函数，所以，故充分性满足； 必要性：由为增函数，当恒成立，因为， 所以，解得或，故必要性不满足； 综上可知“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，则下列说法正确的是（    ） A． B．也是的函数 C． D．不是周期函数 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数的周期性的定义与求解、求函数值、判断两个集合的包含关系、函数关系的判断 【分析】根据给定信息求出函数的定义域，值域为，再逐项判断即可. 【详解】由题可得，，则不是的子集，所以C不正确， 无理数小数点后第4位上的数为2，故，A正确， 当时，对应的不是唯一确定的，根据函数的定义可知不是的函数，故B不正确， 由于为无理数，所以不是周期函数，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12．（12-13高一上·山东聊城·阶段练习）函数（且）的图象恒过点 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】分析：根据指数函数过可得结果. 详解：由指数函数的性质可得过， 所以过，故答案为. 点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题. 13．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】由（且）可求得定点的坐标. 【详解】对于函数（且），令，可得， 且，故点. 故答案为：. 14．（23-24高一上·福建南平·期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为 ；若，则的取值范围为 ． 【答案】 1 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先确定函数的单调性，再求的最大值；不等式等价于，利用的单调性和奇偶性，求出的范围，进而可得的范围. 【详解】因为函数，用表示中的较小者，记为， 所以， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为， 不等式，即， 又明显为偶函数，在上单调递减， 所以，解得， 因为，恒成立， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题 15．（20-21高一上·云南昆明·期中）计算：（1）. （2）. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【解析】（1）利用公式化简，求值；（2）根据分数指数幂的运算公式化简. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 16．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数的性质求解，要注意验证； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）通过函数性质把问题转化为对任意，有恒成立，换元，利用二次函数性质求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以， 又，即，所以，当，时，， 此时，所以为奇函数，故，； （2）函数在上单调递增，证明如下： 因为，设， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以在上单调递增； （3）因为为奇函数，所以不等式可变形为， 又在上单调递增，所以， 即对任意，有恒成立， 令，则，所以，， 故，所以，故实数的取值范围为. 17．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数为定义域上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若，试用表示． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据，求得参数值，检验即可； （2）根据（1）中所求求得，再结合对数运算即可表示. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，； 经检验，满足题意，故. （2）由（1）可知， 根据，可得 则，故， 又，. 18．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知是自然对数的底数，. (1)判断函数在上的单调性并证明； (2)解不等式. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2)或 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明； （2）首先证明函数是偶函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性解不等式； 【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，，且，所以，所以，，， 故，即， 所以在上单调递增. （2）函数的定义域为，且， 所以是偶函数， 又由（1）知在上单调递增， 所以， 两边平方可得，解得或， 故不等式的解集为或. 19．（2010·吉林·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数单调性即可分类求解. 【详解】①函数单调性递增， 则满足，即 ， 解得. ②若函数单调性递减， 则满足即，此时无解. 综上实数取值范围为：. 故选：D. 20．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）定义在上的函数满足不等式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、判断指数型复合函数的单调性、函数对称性的应用 【分析】首先利用换元，得到函数是奇函数，且，思路一，将不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解；思路二，证明图象关于点对称，不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解；思路三，利用平移规律说明函数图象关于点对称，后面思路同思路二. 【详解】令，则， 设，， 所以是奇函数，， 思路一：， ， 等价于， 即，即， 又在R上单调递增， 所以，解得，即，解得：. 思路二：，， 所以，所以图象关于点对称，则， 所以可得， 即，，解得. 思路三：， 令，是单调递增的奇函数，图象关于原点对称， 将向右平移一个单位可得：（图象关于对称）， 再向上平移一个单位可得：（图象关于对称）， 即图象关于对称， 则，所以，可得， 即，，解得. 故选：C 21．（2024高三·北京·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，设，则下列结论错误的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、判断指数函数的单调性、求指数型复合函数的值域、求指数函数在区间内的值域 【分析】利用奇偶性定义及特殊值法判断A、B；根据指数函数、复合函数的单调性判断C，由函数新定义及分式型函数、指数函数性质求的值域判断D． 【详解】由且，则是奇函数，A对； 由，根据指数函数、复合函数单调性易知：在上是增函数，C对； 由，，显然，B错； 当时，，则，此时； 当时，，则，此时； 所以的值域是，D对． 故选：B 22．（24-25高三上·吉林·开学考试）已知有唯一的零点，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】利用换元法结合函数性质法得到新函数部分区间的单调性，结合奇偶性得到全部定义域上的单调性，进而求出最值，结合给定条件建立方程，求解参数即可. 【详解】令，所以原函数可化为， 而， 所以是偶函数，而当时，，当时，， 当时，单调递增，所以单调递增， 由偶函数性质得当时，单调递减， 且作为最小值， 还原回原函数，则作为最小值， 因为有唯一的零点，所以， 解得，故B正确. 故选：B 23．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】作出函数的图象，由数形结合判断四个选项的正误. 【详解】的图象如下图所示,由图可知在单调递减，在上单调递增 因为， 若，因为在单调递减，此时不满足 所以，同理可得， 因为，所以 所以，即，对. 即，错. 若，因为 所以 此时，错，，对. 若,因为 所以 即 综上所述，对. 故选： 24．（23-24高二下·山东滨州·期末）（多选题）设函数则下列结论正确的是（    ） A．在区间上为增函数 B．为偶函数 C．的值域为 D．不等式 的解集为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由定义判断B；由单调性以及偶函数的性质逐一判断ACD. 【详解】函数的定义域为，，所以为偶函数，故B正确； 当时，易知，函数在上单调递减， 由对称轴可知，函数在上单调递增，，且， 则的值域为，故A错误，C正确； 不等式 等价为，则，解得， 即不等式 的解集为，故D正确； 故选：BCD 25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，，且，则的最小值为 ． 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、判断指数型复合函数的单调性、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据函数的解析式判断得出函数的奇偶性以及单调性．进而根据奇函数的性质，列出方程推得．然后根据“1”的代换，结合基本不等式，求解即可得出答案． 【详解】函数定义域为R，且， 所以 为奇函数． 又函数为R上的增函数，且，根据复合函数的单调性可知为R上的减函数． 所以，即， 即，所以． 则， 当且仅当， 即 时等号成立． 所以 的最小值为8． 故答案为：8． 26．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的值的范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数单调性法则知在上单调递增，利用绝对值函数单调性列不等式即可求解. 【详解】记， 设，则， 因为函数在上单调递增，且在定义域上单调递增， 根据复合函数单调性法则知，在上单调递增， 又， 所以，所以， 则实数的取值范围为， 故答案为：. 27．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2)函数是定义在上的增函数，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）奇函数的定义域关于原点对称，得出的值，利用，解出，验证是奇函数，可求得； （2）由（1）求出定义域以后，用定义判断函数的单调性即可； （3）利用单调性求解即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数， 可得，解得，的定义域为， 由，即，解得， 则， ， 所以为上的奇函数，故，； 即. （2）函数是定义在上的增函数． 证明：设，，且， ， 因为，所以，即， 则，即， 又因为，所以函数是定义在上的增函数． （3）即为， 因为在上单调递增，可得， 解得且， 所以原不等式的解集为 28．（23-24高二下·福建南平·期末）已知函数，为偶函数． (1)求实数a的值； (2)写出的单调区间（不需要说明理由）； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)递减区间是，递增区间是； (3). 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用偶函数的定义求出值. （2）利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得. （3）利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，即，又不恒为0， 所以. （2）函数，令，函数在上单调递增， 当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增， 又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减， 所以函数的递减区间是，递增区间是. （3）由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增， 不等式， 则，而， 于是， 依题意，对于任意恒成立， 当时，，当且仅当或时取等号， ，当且仅当时取等号，因此， 所以实数k的取值范围是. 29．（2024·全国·模拟预测）已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、判断指数型复合函数的单调性、指数函数图像应用 【分析】令，由得函数为奇函数，且在单调递增，不妨设，设点，则的直线方程为，故，两式相加得，再由函数的奇偶性得即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，且在单调递增，如图所示， 因为， 所以不妨设， 设点， 则的直线方程为， 如图，因为， 所以两式相加得， 又因为， 所以， 所以， 即. 故选：C. 30．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、基本不等式求和的最小值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】考虑时，由指数函数的单调性得到取值范围，此时不成立，舍去，再考虑，结合基本不等式求出函数值域，A错误；考虑，求出与时的函数值取值范围，进而得到不等式，求出答案. 【详解】①若，当时，在上单调递增， 此时，则，又不成立， 所以此时不成立，排除选项D； ②若 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则函数的值域，满足；排除选项A； ③若，当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域满足， 则解得. 综上所述：. 故选：C. 31．（23-24高一下·广东茂名·期末）（多选题）已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．当时， C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、判断指数函数的单调性、由函数的周期性求函数值 【分析】对A：由为偶函数，结合时的解析式计算即可得；对B：由为奇函数，结合A中所得即可得；对C：由题意可得函数周期性，结合指数函数的单调性即可得解；对D：由函数周期性计算即可得. 【详解】对A：由为偶函数，则， 当时，，则， 即当时，，故A正确； 对B：由为奇函数，则有， 即，即， 故当时，，则， 即，故B错误； 对C：由， ， 则，， 即，故为周期为的周期函数， 由当时，，可得在上单调递增， 故在上单调递增，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 32．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、分段函数的值域或最值 【分析】根据分段函数解析式，求出在对应区间上的值域，分类讨论解不等式即可求出的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增，所以时，； 当时，， 当时，在上单调递减，所以时， 即时，， 因为函数的值域为， 所以时，且. 由不等式，解得 不等式等价于时，， 设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 由不等式，解得， 所以时，的解集为， 综上，的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据指数函数和二次函数单调性求得该分段函数值域，再利用值域间的包含关系解不等式可得结果. 33．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】设，得到，然后分类讨论的范围，解出即可. 【详解】设，又因为，所以， 则，当时，， 则，显然存在任意正整数使得成立； 当时，，， 要使得正整数的最大值为8，则，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数值域的求法，解题的关键是分类讨论求出函数的值域，然后根据题意列不等式求解. 6．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由函数解析式可令，且是上的增函数并关于点成中心对称，将不等式变形即可求得，解得. 【详解】易知函数在上为单调性递增， 即可得是上的增函数， 令，则是上的增函数， 易知，可得, 即的图象关于点成中心对称， 由可得， 即，由可得； 所以，利用是上的增函数可得， 解得. 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解函数不等式的方法步骤： （1）根据解析式特征得出函数奇偶性、对称性、周期性等性质； （2）再判断得出函数单调性，利用单调性并结合定义域得出不等式（组）； （3）解不等式可得结论； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$