专题05 函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）（分层训练）-【课后优辅导】2024年高一数学上学期秋季精品讲义（人教A版2019）

专题05 函数基本性质的灵活运用 一、单选题 1．（22-23高一上·湖南邵阳·期中）下列各函数在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·甘肃平凉·阶段练习）已知函数则等于（     ） A．4 B． C． D．2 3．（2021高二·吉林·学业考试）偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（    ） A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值 C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值 4．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·江苏盐城·期末）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-2 6．（21-22高一下·湖北·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）下列说法不正确的是（   ） A．函数在定义域内是减函数 B．若是奇函数，则一定有 C．若为奇函数，则为偶函数 D．若的定义域为，则的定义域为 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（20-21高一上·天津南开·阶段练习）函数的定义域为 . 12．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）函数在的值域是 . 13．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 四、解答题 14．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 15．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，并根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 16．（11-12高三上·安徽蚌埠·期中）已知函数是定义在上的函数． (1)用定义法证明函数在上是增函数； (2)解不等式． 17．（19-20高一上·江西南昌·期中）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有. （1）判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； （2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 18．（23-24高三下·内蒙古通辽·阶段练习）定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则（    ） A．0 B．50 C．2499 D．2509 19．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数为奇函数，则等于（    ） A． B．1 C．0 D．2 21．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·山东威海·期末）（多选题）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 23．（22-23高一上·山西晋中·期中）（多选题）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 24．（2025高三·全国·专题练习）若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为 ；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 25．（24-25高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则= . 26．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的函数对任意实数，恒有，且当时，. (1)求证为奇函数； (2)试判断在上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 27．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数的图象过点，且函数图象又关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 28．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为； ③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根； 其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（20-21高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2024·广东佛山·模拟预测）（多选题）函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知，．下列四个判断中，正确的有（    ） A．当时，的值只有0或 B．当时，函数既有对称轴又有对称中心 C．对于给定的正整数，存在，使得成立 D．当时，对于给定的正整数，不存在且，使得成立 31．（23-24高一上·江苏·期中）（多选题）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（    ） A． B．0 C． D．1 32．（23-24高一上·黑龙江绥化·期中）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则不等式的解集为 . 33．（2023·安徽黄山·二模）黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：，定义在实数集上的函数满足，且函数的图象关于直线对称，，当时，，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数基本性质的灵活运用 一、单选题 1．（22-23高一上·湖南邵阳·期中）下列各函数在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】解：对于A，函数在定义域内不单调，故A错误; 对于B，函数是奇函数，在定义域内单调递减，故B正确； 对于C，因为，函数为奇函数，函数在R上单调递增，故C错误； 对于D，函数是奇函数，在定义域内单调递增，故D错误. 故选：B 2．（21-22高三上·甘肃平凉·阶段练习）已知函数则等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可. 【详解】因为函数 所以， 所以， 故选：D 3．（2021高二·吉林·学业考试）偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（    ） A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值 C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】根据偶函数的性质分析即得解. 【详解】解：偶函数在区间上单调递减， 则由偶函数的图象关于y轴对称，则有在上单调递增， 即有最小值为，最大值 对照选项，A正确． 故选：A 4．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据函数的奇偶性以及在上的单调性确定函数值的正负情况，结合可得相应不等式组，即可求得答案. 【详解】因为定义在R上的奇函数在上单调递增，且， 所以在上也是单调递增，且， 所以当时， ， 当时，， 所以由可得或, 即 或， 解得 或 ，即的解集为， 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及单调性的综合应用，考查抽象不等式的解法，解答时要明确函数的对称性质，进而判断函数值的正负情况，解答的关键时根据不等式结合函数值情况得到相应不等式组，求得结果. 5．（22-23高一上·江苏盐城·期末）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数 【分析】由奇函数的性质可求出的值，即可求出. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得：， 所以，则， 则. 故选：B. 6．（21-22高一下·湖北·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的奇偶性和正负性进行判断即可. 【详解】设， 易知定义域为R,关于原点对称，因为， 所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项B、C. 当时，， 当时，，因此排除选项D， 故选：A 7．（23-24高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】确定函数单调递减，计算，题目变换为，即，解得答案. 【详解】取，则，即， 故在上单调递减， ， 解得， 从而，即，则， 解得 所以原不等式的解集是． 故选：D. 二、多选题 8．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）下列说法不正确的是（   ） A．函数在定义域内是减函数 B．若是奇函数，则一定有 C．若为奇函数，则为偶函数 D．若的定义域为，则的定义域为 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】求出单调区间判断A；由奇函数定义判断BC；求出函数的定义域判断D. 【详解】对于A，函数在上都单调递减，在定义域上不单调，A错误； 对于B，当奇函数的定义域内没有0时，无意义，B错误； 对于C，由为奇函数，得，则，即为偶函数，C正确； 对于D，由，得，即的定义域为，D正确. 故选：AB 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 10．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、由幂函数的单调性比较大小 【分析】由题意由是定义在R上的奇函数得函数的周期为4，即可得出结果. 【详解】因为 为奇函数且满足 ， 故，故可知 的周期为4 ， 所以 ， ， 因为当 时， ，所以 ，即, 故选：ABD 三、填空题 11．（20-21高一上·天津南开·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据式子有意义得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为，所以解得且 即函数的定义域为 故答案为： 【点睛】本题考查具体函数的定义域的计算，属于基础题. 12．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）函数在的值域是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先分离变形，然后结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增，故，且， 所以函数的值域为； 故答案为： 13．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 14．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数， 令， 则， 所以. （2）由（1）知， 即不等式转化为， 则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 15．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，并根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据奇函数定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. （3）当时，， 则， 其对称轴为， 当时，即，则， 当时，即，则， 故. 16．（11-12高三上·安徽蚌埠·期中）已知函数是定义在上的函数． (1)用定义法证明函数在上是增函数； (2)解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）对于任意的，且， 则：， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数； （2）因为， 所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 17．（19-20高一上·江西南昌·期中）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有. （1）判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； （2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）是增函数，证明见解析；（2）． 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在[﹣1，1]上是的增函数； （2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式≤m2﹣5mt-5进行转化，结合二次函数性质即可求实数m的取值范围． 【详解】（1）函数在[－1，1]上是增函数. 设 ∵是定义在[－1，1]上的奇函数，∴. 又，∴， 由题设有，即， 所以函数在[－1，1]上是增函数. （2）由（1）知，∴对任意恒成立， 只需对]恒成立，即对恒成立， 设，则， 解得或， ∴的取值范围是． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大． 18．（23-24高三下·内蒙古通辽·阶段练习）定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则（    ） A．0 B．50 C．2499 D．2509 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据函数的对称性可得，即可利用周期性求解. 【详解】因为的图象关于点对称，所以， 则，即， 则的图象关于点对称．又的图象关于直线对称， 所以， 故， 故， 所以是以4为周期的函数． 因为，，，， 所以． 故选：C 19．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】由题意，函数为偶函数，且在上单调递减，所以在单调递增， 又恒成立，所以恒成立. 由恒成立. 由即恒成立，得； 由即恒成立，得. 综上可得，即. 故选：B 20．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数为奇函数，则等于（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、由奇偶性求参数 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出值即可. 【详解】依题意，当时，，则， 而当时，，因此，则，， 当时，，则， 又，于是，， 所以，所以. 故选：C 21．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，得到，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以越靠近对称轴函数值越小， 由得， 由于，所以，故， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，，此时， 在时单调递减，，此时， 则实数的取值范围为. 故选：A 22．（23-24高二下·山东威海·期末）（多选题）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得，， 又，故， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，，， 又，故， 又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 23．（22-23高一上·山西晋中·期中）（多选题）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的应用 【分析】A.由两个单调区间不能合并判断；B.由是定义在R上的偶函数和二次函数的性质判断；C.由时，结合是偶函数判断；D.利用函数图象判断. 【详解】A.两个单调区间中间要用和分开，故A错误； B. 因为是定义在R上的偶函数，所以， 又在上单调递减，则，故B错误； C.当时，，最大值为4， 又因为是偶函数，所以的最大值为4，故C正确； D. 如图所示：的解集为，故D错误． 故选：ABD． 24．（2025高三·全国·专题练习）若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为 ；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对勾函数求最值、函数不等式恒成立问题 【分析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围． 【详解】①因为不等式，所以在区间上恒成立， 因为，当时取等号， 故. ②不等式对一切恒成立，， 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增， 且当时，，所以， 故实数的取值范围是． 故答案为：①；②. 25．（24-25高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则= . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的性质和可得，，可求出，计算，求解即可. 【详解】因为的定义域为R，且为偶函数， 所以，即，即.    所以. 又因为，即，所以. 因为， 所= 故答案为：. 26．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的函数对任意实数，恒有，且当时，. (1)求证为奇函数； (2)试判断在上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增，证明见解析 (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）令结合奇函数的定义证明； （2）利用单调性的定义证明； （3）利用函数的单调性解抽象不等式. 【详解】（1）证明：取，得；再取，得 ， 即，∴为上的奇函数； （2）为上的增函数.证明如下： 证明：任意取，且， 则， ∴， ∵，∴， 由已知时，得，∴，即， ∴为上的增函数. （3），∵为上的增函数， ∴，即. 当时，解集为空集； 当时，； 当时，， 综上所述：当时，解集为空集； 当时，解集为：； 当时，， 27．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数的图象过点，且函数图象又关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据图象关于原点对称得图象过点和，再用待定系数即可求解； （2）将化为，再用分离参数法求解即可. 【详解】（1）依题意，函数的图象过点和. 所以，故， （2）不等式可化为. 即对一切的恒成立. 因为， 由对勾函数的性质可得函数在上单调递增， 所以，. 所以实数的取值范围为. 28．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为； ③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根； 其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】对于①，令代入已知等式可求出，再结合其为偶函数可得，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，由当，且时，都有，可得在上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由，的周期为6，及函数的单调性分析判断. 【详解】①：对于任意，都有成立， 令，则，解得， 又因为是R上的偶函数，所以， 所以，所以函数的周期为6， 所以， 又由，故；故①正确； ②：由（1）知的周期为6， 又因为是R上的偶函数，所以， 而的周期为6，所以，， 所以：， 所以直线是函数的图象的一条对称轴．故②正确； ③：当，且时，都有． 所以函数在上为严格增函数， 因为是R上的偶函数，所以函数在上为严格减函数， 而的周期为6，所以函数在上为严格减函数．故③正确； ④：，的周期为6，所以， 又在先严格递减后严格递增，所以在上除端点外不存在其他零点， 所以在和上各有一个零点， 所以函数在上有四个零点．故④正确； 故选：D． 【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出，从而可得，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题. 29．（20-21高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】根据函数的单调性解不等式、基本不等式求和的最小值、函数奇偶性的应用 【分析】先判断函数在R上的单调性，再将函数值的大小转化为自变量的大小，分参转化为恒成立问题，进而得到答案. 【详解】因为在单调递增（增＋增），且函数是R上的奇函数，容易判断函数在R上是增函数. 对任意的, 问题 ， 记，则问题 因为，当且仅当时取“=”， 所以. 故选：D. 【点睛】本题较为综合，到这一步都是比较正常的思路，接下来注意齐次式的处理方式，，目的是为了消元（看成一个量），下一步的换元一定要注意要把分母整体换元，这样后面的运算会简单，最后结合基本不等式或者导数解决即可. 30．（2024·广东佛山·模拟预测）（多选题）函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知，．下列四个判断中，正确的有（    ） A．当时，的值只有0或 B．当时，函数既有对称轴又有对称中心 C．对于给定的正整数，存在，使得成立 D．当时，对于给定的正整数，不存在且，使得成立 【答案】BC 【难度】0.15 【知识点】函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用、利用函数单调性求最值或值域 【分析】A选项，，当时，，，求出的值域为，进而得到，A错误；B选项，由于为平移得到，故的最小正周期也为，故只需研究即可，当时，，，推出关于轴对称，结合为奇函数，得到关于对称，同理可得也满足要求，B正确；C选项，推出的图象关于点对称，的图象关于直线对称，故，分为偶数和为奇数两种情况，得到C正确；D选项，先得到函数的图象关于轴对称，在C选项基础上，得到时，，此时，D错误. 【详解】选项A，当时，，， 当时，， 当时，， 故时，的值域为， 又为奇函数，故当时，的值域为， 故， 为平移得到，故的最小正周期也为， 故函数的最小正周期为， 故函数值域为，故A错误； B选项，由于为平移得到，故的最小正周期也为，故只需研究即可， 当时，，， 当时，，此时， 当时，，此时， 故，由于为连续函数， 故，故的图象在上关于直线对称， 又为奇函数，最小正周期为，结合图象可知，在图象在R上关于直线对称， 所以， 令，则， 将用替换，有，故， 所以关于轴对称， 又为奇函数，故， 所以，又， 故， 故， 故关于对称，所以既有对称轴，又有对称中心， 当时，同理可得既有对称轴，又有对称中心，B正确； C选项，取，则， 由于为奇函数，故， 又的最小正周期为，故， 即，即， 故的图象关于点对称， 由B选项知，的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称， 所以，， 所以， 当为偶数时，，所以， 当为奇数时，，所以，C正确； D选项，由于，所以成立， ，故， 即， 故在上， 又的图象关于直线对称，且最小正周期为， 故函数的图象关于轴对称， 所以，而成立， 所以，故存在成立，D错误. 故选：BC 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 31．（23-24高一上·江苏·期中）（多选题）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【难度】0.15 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性求参数值 【分析】由奇偶性联立方程得出，进而由得出，构造函数，讨论可能值即可. 【详解】由题意得：为奇函数，；为偶函数，； 将代入到得：， 与原式联立可得：， 又因为，等价于 整理得，令，则在为单调递减， 当时，，所以函数为减函数加减函数，则在为单调递减，则A正确； 当时，，则在为单调递减，则B正确； 当时，为对勾函数，根据对勾函数的性质可知，，即，所以在为单调递减，C正确. 当时，为对勾函数，根据对勾函数的性质可知，，即，在为单调递增，D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：利用单调性解决函数中的参数问题，关键在于运用奇偶性解出对应的函数解析式，在把不等式转换为函数单调性对应的式子进行单调性分析. 32．（23-24高一上·黑龙江绥化·期中）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用赋值法、构造函数法证得是奇函数，根据函数单调性的定义证得在上单调递减，由此化简不等式并求得其解集. 【详解】依题意，，有， 令，得， 令，得， 令，得， 构造函数，则为奇函数，则， 任取，则 ， 由于，所以，所以， 所以，所以在上单调递减，则在上单调递减. 由得， ， ， 由得 ， 则， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减. 33．（2023·安徽黄山·二模）黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：，定义在实数集上的函数满足，且函数的图象关于直线对称，，当时，，则 . 【答案】/ 【难度】0.15 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】由推出为偶函数与周期的函数，据此求的值即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， 由得，所以， 所以为偶函数， 由得，代入得， 所以，所以， 所以，所以是以4为周期的函数， 由得，所以，即， 由得，所以，即，所以，所以， ， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题难点在于对条件的灵活应用，一是对进行赋值，赋值一定要合适，根据需要进行合理的赋值才能达到想要的结果；二是对与关系的转化，要找的性质进行赋值后消去得到只有的关系式从而得到的性质. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$