专题2.6 有理数简便运算八种方法与技巧（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.6 有理数简便运算八种方法与技巧（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致，更重要的是增强计算的准确性，现特梳理8种简便方法举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。 【方法1】归类：将同类数（如正数或负数）归类计算。 【方法2】凑整：将和为整数的数结合计算。 【方法3】对消：将相加得零的数结合计算。 【方法4】组合：将分母相同或易于通分的数结合。 【方法5】分解：将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 【方法6】转化：将小数与分数或乘法与除法相互转化。 【方法7】变序：运用运算律改变运算顺序。 【方法8】逆用：正难则反，逆用运算律改变次序。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】归类：将同类数（如正数与负数）归类计算。 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【题型2】凑整：将和为整数的数结合计算。 【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【变式2】（21-22七年级上·广东汕头·期中）计算： (1)； (2)． 【题型3】对消：将相加得零的数结合计算。 【例3】（24-25七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算： 【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型4】组合：将分母相同或易于通分的数结合。 【例4】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ； 【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）计算： 【变式2】（23-24七年级上·北京·期末） 【题型5】分解：将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 【例5】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面文字： 对于可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 依照上面的方法，请你计算：． 【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型6】转化：将小数与分数或乘法与除法相互转化。 【例6】（24-25七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算： 【变式1】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习） 【变式2】（23-24六年级下·上海崇明·期中）计算： 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（20-21七年级上·全国·课后作业）计算： （1）；      （2）． 【变式2】阅读下面的解题过程： 计算： 解：原式=第一步 第二步 第三步 解答下列问题： (1)上面的解题过程中有两处错误：第一处错误是第______步，第二处错误是______步． (2)写出正确求解原式的计算过程． 【题型7】变序：运用运算律改变运算顺序。 【例8】（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： (1) (2)． 【变式1】（22-23七年级上·云南昆明·开学考试）计算． (1) (2) 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： ． 【题型8】逆用：正难则反，逆用运算律改变次序。 【例9】（22-23七年级上·广西贺州·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【变式2】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 有理数简便运算八种方法与技巧（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致，更重要的是增强计算的准确性，现特梳理8种简便方法举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。 【方法1】归类：将同类数（如正数或负数）归类计算。 【方法2】凑整：将和为整数的数结合计算。 【方法3】对消：将相加得零的数结合计算。 【方法4】组合：将分母相同或易于通分的数结合。 【方法5】分解：将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 【方法6】转化：将小数与分数或乘法与除法相互转化。 【方法7】变序：运用运算律改变运算顺序。 【方法8】逆用：正难则反，逆用运算律改变次序。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】归类：将同类数（如正数与负数）归类计算。 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： 【答案】 【分析】原式可变为，然后利用加法的结合律将两个加数相加． 解：， ， ， ． 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法运算，利用加法交换律与结合律进行计算即可． 解： ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查有理数加法，加法运算律，关键是熟记有理数加法运算法则与运算律． （1）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可．（2）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． 解：（1） ＝ ； （2） ． 【题型2】凑整：将和为整数的数结合计算。 【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则． （1）先算同分母分数，再相加即可求解；（2）先算同分母分数，再相加即可求解； 解：（1） ； （2） ； 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)20 (2)5 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握化简符号，加法结合律，是解决问题的关键． 解：（1） ． （2） ． 【变式2】（21-22七年级上·广东汕头·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法的运算律，解题的关键是∶ （1）先去括号，然后利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可； （2）利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可． 解：（1）原式 （2）原式 ． 【题型3】对消：将相加得零的数结合计算。 【例3】（24-25七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 解：原式 【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）利用加法交换律与加法结合律，把互为相反数的两数相加，另两数相加； （2）利用加法交换律与加法结合律，把小数部分相同的两数相加，互为相反数的两数相加． 解：（1） ； （2）解： ． 【题型4】组合：将分母相同或易于通分的数结合。 【例4】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．通常将分母相同的两个数分别结合为一组求解． 解： ； 【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】先去括号，然后再用加法交换律和结合律进行简便运算即可解答． 解： ． 【点拨】本题主要考查了有理数的加减的简便运算，正确掌握有理数计算法则和运算律是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·北京·期末） 【答案】6 【分析】本题主要考查有理数加减法，根据加法交换律和结合律进行计算即可 解： =3 =6． 【题型5】分解：将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 【例5】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面文字： 对于可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 依照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 解： ． 【点拨】本题主要考查了有理数的加减混合运算，在计算中巧妙运用加法运算律往往使计算更简便． 【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据“拆项法”计算即可； （2）依据“拆项法”计算即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，掌握“拆项法”是解答本题的关键． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （2）先变形，再把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 解：（1） ； （2） 【点拨】本题考查有理数的加减混合运算．掌握“裂项相消”法是解题关键． 【题型6】转化：将小数与分数或乘法与除法相互转化。 【例6】（24-25七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 解：原式 【变式1】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．分母相同的两个数分别结合为一组求解． 解： ． 【变式2】（23-24六年级下·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 把小数变成分数，再根据分数的加减法运算即可． 解：原式 ． 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可； （2）首先计算括号里面的除法，再计算括号外面的除法即可； （3）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ． 【变式1】（20-21七年级上·全国·课后作业）计算： （1）；      （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据有理数乘除混合运算从左到右依次计算可以解答本题； （2）现将带分数化为假分数后再根据有理数乘除混合运算从左到右依次计算可以解答本题． 解：（1）． （2）． 【点拨】本题考查的是有理数的运算能力,属于基本题型,熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题关键． 【变式2】阅读下面的解题过程： 计算： 解：原式=第一步 第二步 第三步 解答下列问题： (1)上面的解题过程中有两处错误：第一处错误是第______步，第二处错误是______步． (2)写出正确求解原式的计算过程． 【答案】(1)二；三 (2)见解析 【分析】（1）根据有理数的乘除运算法则，从左往右，进行计算； （2）先通分，计算小括号的，然后从左往右依次计算，即可． 解：（1）∵乘除运算属于同级运算，同级运算中，从左往右，进行计算 ∴第二步应该先计算，化除法为乘法： ∴第二步计算错误； ∵同号为正，负负为正 ∴去括号银行应该为正数 ∴第三步错误． （2） 原式 ． 【点拨】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数乘除混合运算，运算顺序和符号是易错点． 【题型7】变序：运用运算律改变运算顺序。 【例8】（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）直接逆用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（22-23七年级上·云南昆明·开学考试）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律： （1）先利用乘法分配律去括号，然后计算减法即可；（2）利用乘法分配律的逆运算法则求解即可． 解：（1） ； （2） ． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： ． 【答案】99900 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据乘法分配律可以解答本题． 解： ． 【题型8】逆用：正难则反，逆用运算律改变次序。 【例9】（22-23七年级上·广西贺州·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一； (2)． 【分析】（1）根据题意，第一种解法是错误，除法运算没有这样的运算律，不能自己杜撰乱用致错． （2）选择适当且正确的方法解答即可． 本题考查了除法的运算，乘法分配律，熟练掌握运算律是解题的关键． 解：（1）根据题意，得第一种解法是错误的， 故答案为：一． （2）原式的倒数为 ， 故原式． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．求出原式的倒数，即可求解． 解：原式的倒数为 故原式 【变式2】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 解：（1）根据倒数的定义，若若，则． 故答案为：； （2） ； （3）因为， 所以． 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$