精品解析：广东省深圳市宝安中学2024-2025学年九年级上学期开学考试模拟数学试题

广东省深圳市宝安中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键． 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，在中，．将沿向右平移，得到（点E在线段上），若要使成立，则平移的距离是（　　） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，掌握“平移前后对应线段相等”是正确解答的关键． 根据平移的性质可得，，由，得到即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，， ∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得， ∴， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 6. 以下说法错误的是（ ） A. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 B. 六边形内角和为 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，多边形内角和，垂直平分线的性质，反证法的运用；熟练掌握以上知识是解题的关键；根据上述知识对选项进行判断即可； 【详解】A、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合，选项正确，不符合题意； B、多边形内角和公式为： ，当时，六边形内角和为，故选项错误，符合题意； C、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，选项正确，不符合题意； D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于，选项正确，不符合题意； 故选：B 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图： ①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G； ③作射线，交边于点H； 则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键. 由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以于是得到问题的答案. 【详解】∵， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形，在轴上 ∴轴， 由作图得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 故选： A. 8. 如图①，在中，，点P 从点B 出发沿线段向点C 运动，线段的垂直平分线分别交于点M 、N，设，y与x 之间的函数图象如图②所示，则图②中a 的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，先由线段垂直平分线的性质得到，再由勾股定理得到，由图②可知，当，则，进而得到，则当，即点M为的中点时，． 【详解】解：如图所示，连接， ∵线段的垂直平分线分别交于点M 、N， ∴， ∵， ∴， 由图②可知，当， ∴， ∴， ∴当，即点M为的中点时，， 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值等于____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据“关于x的一元二次方程有两个相等的实数根”，结合根的判别式得出，整理后即可得到的答案． 【详解】解：根据题意得： ， 整理得：， 即， 解得： 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键． 10. 如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或等于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线不在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 先利用确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线不在直线的上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：函数的图象过点， ， 解得， 由图象得：不等式的解集是：， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，点B在y轴上，，则点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．连接交于点D，根据菱形的性质可得，，可证明是等边三角形，可得，再由勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点D， ∵菱形的边长为2， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 12. 如图，中，是的中点，平分，于点，若，，则等于 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、中位线定理，解题关键是通过辅助线构建含中位线的三角形． 延长交于点，根据平分和证明，根据全等三角形的性质得到，，再利用中位线定理得到后即可由求解． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又是的中点， ， 即， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作于点G，利用平行四边形的性质得到，进而利用勾股定理求出，，然后再利用勾股定理得到，即可得到，然后延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点，则，得到，，再根据等角对等边得到，进而计算，继而得到，然后根据勾股定求折痕的长度即可． 【详解】解：过点作于点G， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵点E为的中点， ∴， ∴，， 设，则， ∵，即， 解得，即， ∴， 延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点， ∵， ，，， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）先把分式方程去分母化成整式方程求解，然后检验即可； （2）先把分式方程去分母化成整式方程求解，然后检验即可． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 两边同时乘以去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，把代入得，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验． 15. 先化简，再求值：，其中m＝2020． 【答案】，． 【解析】 【分析】先利用分式的基本性质和因式分解对所给的分式通分、约分化简，然后将m＝2020代入计算即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． ∵m＝2020， ∴原式＝． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的基本性质及因式分解的方法是解题的关键． 16. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“成都大运会”）即将在成都开幕、某大运会纪念品专卖店积极做好宣传与备货工作．已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元，用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同．专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元．每个乙种纪念品售价定为8元． （1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？ （2）根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金再次购进甲，乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案． 【答案】（1）每个甲种纪念品的进价为10元，每个乙种纪念品的进价为6元； （2）该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进甲纪念品150个，乙纪念品250个． 【解析】 【分析】（1）设每个甲种纪念品的进价为元，则每个乙种纪念品的进价为元，由 （2）设购进甲种纪念品个，则购进乙种纪念品个，利润为元，由题意知，，解得，，利润，然后根据一次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个甲种纪念品的进价为元，则每个乙种纪念品的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：每个甲种纪念品的进价为10元，每个乙种纪念品的进价为6元； 【小问2详解】 解：设购进甲种纪念品个，则购进乙种纪念品个，利润为元， 由题意知，， 解得，， ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，值为， ∴（个）， 答：该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进甲纪念品150个，乙纪念品250个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式． 17. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图所示菱形即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 18. 如图，在中，过点A、C作，，分别交、的延长线于点F和E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点O，点G是线段的中点，若，，求矩形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，得到，结合，，推出，证明四边形是平行四边形，再根据即可得到四边形是矩形； （2）根据平行四边形的性质和点G是线段的中点可得是的中位线，，根据勾股定理可得的长，从而得到的周长． 【小问1详解】 证明：在中，，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：在中，， 点G是线段的中点，， 是的中位线，， 又，， 在中，， ， 矩形的周长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 19. 【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】温水水流速度是， 水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 （1）接到温水的体积是　　　，接到开水的体积是 ；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； （4）记水杯接满水后水杯中温度为，则关于的关系式是　　　；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2）秒 （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）先根据等量关系“速度乘时间等于体积”列式即可． （2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，列不等式求解即可． （3）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式，代入数值，即可求出的值． （4）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式，代入数值，即可列出关于的函数关系式，再根据不等式，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵温水水流速度是， ∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是， ∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为， 故答案为，． 【小问2详解】 解：由上可得温水的体积是，开水的体积为， 当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时， 可得 解得 ∴则至少应接温水秒． 【小问3详解】 解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为， ∴ 解得： 【小问4详解】 解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为， ∴ 解得： 若要使杯中温度达到最佳水温时， 则有 代入，可得， 故答案为， 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出关系式是解题的关键． 20. 综合与实践： 【问题情境】 活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角． 【特例分析】 （1）如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度． 【类比分析】 （2）如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由． 【延伸应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长． 【答案】（1）30；70；（2），见解析；（3）或2 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识， （1）设与交于点F，将等边绕点A逆时针旋转得到，得到，，即可得到，得出线段与线段所在直线的夹角度数为30度；将等边绕点A逆时针旋转得到，得到，，利用四边形内角和定理得到，求出，得线段与线段所在直线的夹角度数为70度； （2）设和所在直线交于点H，则，得到，根据勾股定理得到； （3）分两种情况：当在直线上方时，过点D作于点G；当在直线下方时，过点D作于点H，根据等边三角形的性质及勾股定理求出的长． 【详解】解：（1）设与交于点F， ∵将等边绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴线段与线段所在直线的夹角度数为30度， 故答案为30； ∵将等边绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段与线段所在直线的夹角度数为70度， 故答案为70； （2）设和所在直线交于点H，则， ∴， ∴； （3）当在直线上方时， 过点D作于点G， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 当在直线下方时， 过点D作于点H ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 综上的长度为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市宝安中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，．将沿向右平移，得到（点E在线段上），若要使成立，则平移的距离是（　　） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 4. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 5. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 6. 以下说法错误的是（ ） A. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 B. 六边形内角和为 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图： ①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G； ③作射线，交边于点H； 则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，在中，，点P 从点B 出发沿线段向点C 运动，线段的垂直平分线分别交于点M 、N，设，y与x 之间的函数图象如图②所示，则图②中a 的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值等于____________． 10. 如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是___________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，点B在y轴上，，则点B的坐标为__________． 12. 如图，中，是的中点，平分，于点，若，，则等于 _____． 13. 如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为______． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14. 解分式方程： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中m＝2020． 16. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“成都大运会”）即将在成都开幕、某大运会纪念品专卖店积极做好宣传与备货工作．已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元，用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同．专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元．每个乙种纪念品售价定为8元． （1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？ （2）根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金再次购进甲，乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案． 17. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 18. 如图，在中，过点A、C作，，分别交、的延长线于点F和E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点O，点G是线段的中点，若，，求矩形的周长． 19. 【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】温水水流速度是， 水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 （1）接到温水的体积是　　　，接到开水的体积是 ；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； （4）记水杯接满水后水杯中温度为，则关于的关系式是　　　；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是 ． 20. 综合与实践： 【问题情境】 活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角． 【特例分析】 （1）如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度． 【类比分析】 （2）如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由． 【延伸应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $