第一章《有理数》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

第一章《有理数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D．3 2．六（3）班4名男同学的身高（单位：）分别是：小涛161；小冬148；小烨156；小辉163．以他们平均身高的厘米数为标准，记作，高于此标准的部分为正，低于此标准的部分为负，则小烨的身高记作（    ）． A． B． C． D． 3．在，0，，这四个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．0 4．数轴上的点到原点的距离是10，则点表示的数为（    ） A．10或 B．0 C． D．10 5．下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 6．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 7．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值不可以是（ ） A． B． C．0 D．1 8．若A，B是数轴上两点，则点A，B表示的数互为相反数的是（   ） A． B． C． D． 9．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，如果超过标准的个数用正数表示，某位男同学的成绩记作，表示他每分钟做了 个仰卧起坐，其余5位男同学的成绩分别记录为：，这5位同学的达标率为 %． 12．在-1，0，，，，这6个数中，属于负数的有 个． 13．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 14．把下列各数的序号填入相应的大括号内（少答、多答、错答均不得分）： ①﹣13；②0.1；③﹣2.23；④+27；⑤0；⑥，⑦﹣15%；⑧，⑨． 整数集{ …}；非负数集{ …}；分数集{ …}． 15．如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 、18小题各7分，共24分） 16．把下列各数分别填入相应的集合：0，，5.6，，，，15，． 整数集合（________…）； 分数集合（________…） 非负数集合（________…）； 负数集合（________…）． 17．例如：对1，2，3，4可运算，也可以写成，但视作相同的方法．现有郑、付两同学的手中分别握着四张扑克牌（见下图）：若红桃♥、方块◆上的点数记为负数，黑桃♠、梅花♣上的点数记为正数．请你对郑、付两同学的扑克牌的按要求进行记数，并按前面“二十四点”运算方式对郑、付两同学的记数分别进行列式计算，使其运算结果均为24． (1)郑同学四张牌依次记为：________、________、________、________． (2)付同学四张牌依次记为：________、________、________、________． (3)帮助郑同学列式计算：________________． (4)帮助付同学列式计算：________________． 18．解答下列问题： (1)在数轴上表示下列各数：，3，5，，，； (2)利用数轴比较上面各数的大小，并用“”连接． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m    (1)求m的值； (2)求的值． 20．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 21．中秋节时，小明陪妈妈去购买了一盒月饼（共计枚）．回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把枚月饼的质量（单位：克）称重后统计并列表如表． 第枚 质量 小明为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）． 第枚 质量 ______ ______ ______ (1)请把表格补充完整； (2)小明看到包装说明上标记的总质量为克，小明妈妈所买月饼的总质量合格吗？______．（填“合格”或“不合格”） 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：    (1)应用一：已知图①，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出有最小值为______，此时满足条件______． (2)应用二：在图①中，将数轴沿着点折叠，若数轴上点在点的左侧，两点之间距离为两点之间距离为4，且两点沿着点折叠后重合，则点表示的数是______；点表示的数是______；点表示的数是______． (3)应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上．如果正半轴的线缠绕了圈，负半轴的线缠绕了圈，求绕在点上的所有数之和（用表示）． 23．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《有理数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简多重符合，相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 故选：C． 2．六（3）班4名男同学的身高（单位：）分别是：小涛161；小冬148；小烨156；小辉163．以他们平均身高的厘米数为标准，记作，高于此标准的部分为正，低于此标准的部分为负，则小烨的身高记作（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件求得他们的平均身高是解题的关键．先求得他们的平均身高，然后根据正数和负数的实际意义即可求得答案． 【详解】解：它们的平均身高为， 则小辉的身高记作， 故选：A． 3．在，0，，这四个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查比较有理数的大小．熟练掌握比较有理数的大小，是解题的关键． 利用负数中绝对值越大的值越小，再根据负数小于0，小于正数，即可得到最大的数． 【详解】解：∵， ∴最大的数为． 故选：B． 4．数轴上的点到原点的距离是10，则点表示的数为（    ） A．10或 B．0 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，分两种情况：当点在原点的左边时；当点在原点右边时；分别计算即可得出答案． 【详解】解：当点在原点的左边时，；当点在原点右边时，， 故选：A． 5．下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有理数的意义逐项判断即可．掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．注意π是无理数． 【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个. 故选C. 6．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【答案】B 【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 7．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值不可以是（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查数轴的定义、绝对值的意义，根据数轴上点的位置确定a的取值范围是解题的关键．根据数轴上点的位置确定a的取值范围，再由，求得的取值范围，再根据，求出b的取值范围，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．若A，B是数轴上两点，则点A，B表示的数互为相反数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴、相反数等知识点，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键． 利用相反数的定义并结合数轴表示即可解答． 【详解】解：由点A，B表示的数互为相反数，得到两点离原点的距离相等，且符合相反， 画图为： 故选：C． 9．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的非负性计算即可． 【详解】∵， ∴ ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，理解几个非负数的和为0则每一个数都是0是解题的关键． 10．已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】由，，可得、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得、、的符号有三种情况（，，或，，或，，），再根据绝对值的性质分三种情况求得的值即可解答 【详解】∵，， ∴、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴，，或，，或，，， 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ 综上，当，时， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到、、的符号有三种情况（，，或，，或，，）是解决问题的关键 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，如果超过标准的个数用正数表示，某位男同学的成绩记作，表示他每分钟做了 个仰卧起坐，其余5位男同学的成绩分别记录为：，这5位同学的达标率为 %． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，求达标率就是用合格人数除以总人数再乘以， 【详解】解： （个） 答：他每分钟做了25个仰卧起坐，达标率是． 故答案为： 25， 60． 12．在-1，0，，，，这6个数中，属于负数的有 个． 【答案】3 【分析】根据负数的定义进行判断即可． 【详解】解：是负数， 0既不是正数也不是负数， ，是正数， 故答案为：3． 【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握负数的定义是解本题的关键． 13．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【答案】26或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离．可分为“当点P运动到点A右侧时”和“当点P运动到点A左侧时”两种情况讨论，根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点P运动过程中，点P到点A的距离与点P到点B的距离比是， ∴， 当点P运动到点A右侧时，， ∴此时点P表示的数是； 当点P运动到点A左侧时，， ∴此时点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或． 故答案为：26或 14．把下列各数的序号填入相应的大括号内（少答、多答、错答均不得分）： ①﹣13；②0.1；③﹣2.23；④+27；⑤0；⑥，⑦﹣15%；⑧，⑨． 整数集{ …}；非负数集{ …}；分数集{ …}． 【答案】 ①﹣13，④+27，⑤0 ②0.1，④+27，⑤0，⑨ ②0.1，③﹣2.23，⑥﹣，⑦﹣15%，⑧﹣，⑨ 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【详解】解：整数集{①﹣13，④+27，⑤0…}； 非负数集{②0.1，④+27，⑤0，⑨…}； 分数集{②0.1，③﹣2.23，⑥﹣，⑦﹣15%，⑧﹣，⑨…}． 故答案为：①﹣13，④+27，⑤0；②0.1，④+27，⑤0，⑨；②0.1，③﹣2.23，⑥﹣，⑦﹣15%，⑧﹣，⑨． 【点睛】本题考查了有理数的分类，正确掌握有理数的分类标准是解题的关键，有理数可以分为整数和分数，有理数也可以分为正有理数、0和负有理数． 15．如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是线段的倍分关系，化简绝对值，整式的加减运算，由可得，结合可得，，，再进一步解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴ ， ，，， ，，， ， ． 故答案为： 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 、18小题各7分，共24分） 16．把下列各数分别填入相应的集合：0，，5.6，，，，15，． 整数集合（________…）； 分数集合（________…） 非负数集合（________…）； 负数集合（________…）． 【答案】0，，15；5.6，，，，；0，5.6，，15，；，， 【分析】本题考查了有理数的分类，由题意直接根据有理数的分类，把相应的数填写到相应的集合中即可，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 【详解】解：整数集合（0，，15）； 分数集合（5.6，，，，） 非负数集合（0，5.6，，15，）； 负数集合（，，）． 17．例如：对1，2，3，4可运算，也可以写成，但视作相同的方法．现有郑、付两同学的手中分别握着四张扑克牌（见下图）：若红桃♥、方块◆上的点数记为负数，黑桃♠、梅花♣上的点数记为正数．请你对郑、付两同学的扑克牌的按要求进行记数，并按前面“二十四点”运算方式对郑、付两同学的记数分别进行列式计算，使其运算结果均为24． (1)郑同学四张牌依次记为：________、________、________、________． (2)付同学四张牌依次记为：________、________、________、________． (3)帮助郑同学列式计算：________________． (4)帮助付同学列式计算：________________． 【答案】(1)、7、、2 (2)7、、、3 (3) (4) 【分析】此题考查有理数的混合运算，正数和负数，解题关键在于掌握运算法则． （1）（2）根据扑克写出答案即可； （3）（4）利用有理数的运算法则写出算式即可． 【详解】（1）解：依次记为：、7、、2； （2）依次记为：7、、、3； （3）． （4）． 18．解答下列问题： (1)在数轴上表示下列各数：，3，5，，，； (2)利用数轴比较上面各数的大小，并用“”连接． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了有理数在数轴上表示，利用数轴比较有理数大小，解题的关键是画出数轴并根据数轴的性质排序即可． （1）画出数轴，在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴，数轴从左往右越来越大，排序即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由数轴可知： ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m    (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． （1）根据题意得出表示的数，确定出的值即可； （2）根据的范围确定出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， 则的值为； （2）当时，原式． 20．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)； (2)符合条件的整数为或或或； (3)有最小值，最小值为，理由见解析． 【分析】（）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值即可； （）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为段进行计算，最后确定的值； （）根据绝对值的意义，同（）理即可解答； 本题考查了绝对值的意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 故答案为：； （2）令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，， ∴符合条件的整数为或或或； （3）有最小值，最小值为，理由如下： 令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，的值最小，最小值为． 21．中秋节时，小明陪妈妈去购买了一盒月饼（共计枚）．回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把枚月饼的质量（单位：克）称重后统计并列表如表． 第枚 质量 小明为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）． 第枚 质量 ______ ______ ______ (1)请把表格补充完整； (2)小明看到包装说明上标记的总质量为克，小明妈妈所买月饼的总质量合格吗？______．（填“合格”或“不合格”） 【答案】(1)；； (2)合格 【分析】（1）根据题意可知，标准质量为克，据此可得结果； （2）求出记录的数的和，判断其是否在至之间即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：标准质量为克， ∴，，， 故答案为：；；； （2）∵， 又∵， ∴这盒月饼的总质量上是合格的， 故答案为：合格． 【点睛】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：    (1)应用一：已知图①，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出有最小值为______，此时满足条件______． (2)应用二：在图①中，将数轴沿着点折叠，若数轴上点在点的左侧，两点之间距离为两点之间距离为4，且两点沿着点折叠后重合，则点表示的数是______；点表示的数是______；点表示的数是______． (3)应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上．如果正半轴的线缠绕了圈，负半轴的线缠绕了圈，求绕在点上的所有数之和（用表示）． 【答案】(1) (2)，4，或 (3) 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的表示来列式即可； （2）先判断出点和点到表示数的点的距离为6，即可得出结论； （3）分别找出正半轴和负半轴在点上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和． 【详解】（1）已知图①，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为， 则两点的距离可以表示为， 应用这个知识，有最小值为， 此时满足条件． 故答案为：； （2）两点沿着点折叠后重合， 点和点关于表示数的点对称， 两点之间距离为12， 点和点到表示数的点的距离都为， 点表示的数为，点表示的数为， 两点之间距离为4， ①当点在点左侧时，点表示的数为， ②当点在点右边时，点表示的数为， 点表示的数为或． 故答案为：，4，或； （3）①如果正半轴的线缠绕了圈，绕在点的数分别为：， 点的数为：； 负半轴的线缠绕了圈，绕在点的数分别为：， 点的数为：； 则绕在点上的所有数字之和为：． 【点睛】此题考查了列代数式，绝对值的应用，数轴上两点间的距离的计算方法以及整式加减的应用，综合性比较强，难度比较大． 23．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8；16； 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义求解可得； （3）根据绝对值的性质得一元一次方程进行解答便可； （4）当时化简绝对值方程便可求得的最小值．当时便可求得的最小值． 【详解】（1）数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点， 则的值为或5； 故答案为：或5； （3）表示的点在与5之间移动时， ， 故答案为：7； （4）当时，的值最小， 的最小值为8； 当时，有最小值为：； 故答案为：8；16；． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$