精品解析：福建省福州市仓山区时代华威中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

福建省福州市仓山区时代华威中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下面的点中，在函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的函数值．熟练掌握一次函数的函数值的求解是解题的关键． 分别将各选项的点坐标代入，然后判断作答即可． 【详解】解：当时，，则不在函数的图像上，故A不符合要求； 当时，，则不在函数的图像上，故B不符合要求； 当时，，则不在函数的图像上，故C不符合要求； 当时，，则在函数的图像上，故D符合要求； 故选：D． 2. 如图，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，平行线的判定等知识，由题中四个选项，结合平行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、， 四边形是平行四边形，该选项不符合题意； B、由平行四边形的判定定理，，无法确定四边形是平行四边形，选项符合题意； C、由平行四边形的判定定理，，确定四边形是平行四边形，选项不符合题意； D、， ， 四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：B． 3. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键．根据众数、中位数的定义进行解答即可． 【详解】这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23， 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，由此中位数是24． 故选C． 4. 如图，在中，，．若以点C为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点D，则的半径为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得解． 【详解】解：连接， ∵，，为的中点， ∴， ∴的半径为：5； 故选D． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 5. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到， ，， ． 故选：C． 6. 如图，顶点A、B、C均在上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：由圆周角定理可知：， ， ， 解得， 故选A． 7. 抛物线的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，正确确定抛物线的顶点是解此题的关键.先确定抛物线的顶点，再确定点的位置． 【详解】解：抛物线的顶点是， 故顶点在第三象限， 故选：C． 8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人， 根据题意，得， 故选：C． 9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧， 故选：D． 10. 已知函数在上有最大值9，则常数a的值是（　　） A. 1 B. C. 或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】由解析式可确定抛物线对称轴，对参数取值分类讨论，开口向上或开口向下，分别在自变量取值范围内确定极值列方程求解. 【详解】解：∵二次函数解析式， ∴二次函数对称轴为． ①当时，二次函数开口向下，时，函数有最大值9． ∴，解得． ②当时，二次函数开口向上，在上有最大值9， ∴当时，函数最大值为9，即，解得． 综上分析，a的值为或1． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数性质，注意根据二次函数性质对待定参数分类讨论是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”． 根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线的解析式为， 即， 故答案为：． 12. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先把代入方程中，得出关于的方程求出的值，然后再根据根与系数的关系得出另一个根的值． 【详解】解：把代入方程中， 得：， 解得， 方程化为， ， ， 解得：， 故答案为：． 13. 若点与点关于原点对称，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征， 根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出，m，n的值，然后在代入代数式求值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：5． 14. 设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值： x … ﹣2 0 2 4 … y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 … 则方程的解是 _____． 【答案】， 【解析】 【分析】利用中对应值可判断点 与点 为二次函数图象上的对称点，从而得到抛物线的对称轴为直线 ，然后利用抛物线的对称性得到 ，所以方程 的解为 ． 【详解】解：由表中对应值得二次函数图象经过点和， ∴点与点为二次函数图象上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点 与 关于直线对称， 即 时， ， ∴ ， ∴方程的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a,b,c是常数， ）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 15. 如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用．设圆心为，连接，依题得，为的中点，则三点共线，，设圆的半径为，由，则，再用勾股定理列出等量关系求解即可． 【详解】解：如图，设圆心为，连接， 依题得，为的中点 则三点共线， 设圆的半径为，由，则 在中，由勾股定理得 解得． 故答案为：10． 16. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键． （1）用公式法求解； （2）因式分解法求解． 【小问1详解】 解：由题意可知: ， ∴， ∴原方程的解为：，； 【小问2详解】 解： ， ∴或， 解得或， ∴原方程的解为：． 18. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求一次函数的表达式． （2）求一次函数的图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与x轴的交点坐标： （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：把和代入中得 解得 ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得 ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 19. 已知：如图，、是圆的两条弦，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了弦与弧的关系，根据题意可得，则，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴, 即， ∴ 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向上平移5个单位后得到，请画出 （2）将绕原点逆时针旋转后得到，请画出； （3）判断以，，为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，再连接即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． （3）分别计算出的长度，运用勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 如图，即为所求作； 【小问2详解】 如图，即为所作： 【小问3详解】 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形， 理由：∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查作图-中心对称变换，平移变换，等腰直角三角的判断，解题的关键是熟练掌握基本知识． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 【答案】（1）见详解；（2）5 【解析】 【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4， ∴BC＝5， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 22. 已知：关于x的方程． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根、满足，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握，是方程的两根时，，． （1）由方程求出判别式即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵方程总有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，整理得，， ∴解得（舍）或． 23. 经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元，销售量为y（件），销售该品牌玩具获得利润为w元 ． （1）销售量为y与x关系式为 ； （2）若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元； （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）50元或80元 （3）8640元 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具，进而表示出销量即可； （2）结合（1）以及获得了10000元销售利润可得方程，解方程即可； （3）易得，结合二次函数的性质分析，即可解答． 【小问1详解】 解：根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具， 可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具， 则销量为， 故答案为：； 【小问2详解】 依题意得：， 化简得：， ∴， ∴ ∵， ∴销售价应定为50元或80元 【小问3详解】 ∵该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件销售任务 ∴， ∴解得： 而， ∵， ∴开口向下，有最大值， ∴， ∴当时，w随x的增大而增大 ∴时，w最大 ∴元 答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． 24. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， （2）是等腰直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：点，是，的中点， ，， 点，是，中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大， 最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）P点的坐标是 （3），，， 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作直线，过点P作轴，交于点K，求出直线解析式，设P的坐标为，则点K的坐标是，，表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质即可求解； （3）分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 ∵对称轴为直线，点A的坐标是，则B的坐标是， 则， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 如图，作直线，过点P作轴，交于点K， ∵对称轴为直线， ∴点D的坐标是， 当时，， ∴点，直线解析式为， 则， ∴， ∴， 设P的坐标为，则点K的坐标是， ∴， ∴， 则， 则， ∴当时，有最大值10，此时P点的坐标是； 【小问3详解】 设点， 由点O、P、M的坐标得，，，， 当时，即， 解得：； 即点或； 当时，则， 解得：或， 则点或． 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，面积的计算等知识，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省福州市仓山区时代华威中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下面的点中，在函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形是（ ） A. B. C D. 3. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 4. 如图，在中，，．若以点C为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点D，则的半径为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 5 5. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，顶点A、B、C均在上，，则为（ ） A B. C. D. 7. 抛物线的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在上有最大值9，则常数a的值是（　　） A. 1 B. C. 或 D. 1或 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 _________________． 12. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为________． 13. 若点与点关于原点对称，则________． 14. 设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值： x … ﹣2 0 2 4 … y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 … 则方程的解是 _____． 15. 如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是_____cm． 16. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为_____________． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17 解一元二次方程： （1） （2） 18. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求一次函数的表达式． （2）求一次函数的图象与x轴的交点坐标． 19. 已知：如图，、是圆的两条弦，且．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向上平移5个单位后得到，请画出 （2）将绕原点逆时针旋转后得到，请画出； （3）判断以，，为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 22. 已知：关于x的方程． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根、满足，求m的值． 23. 经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元，销售量为y（件），销售该品牌玩具获得利润为w元 ． （1）销售量为y与x关系式为 ； （2）若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元； （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 24. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1所示，P是第一象限抛物线上一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$