第四章一次函数基础讲练2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 目录 【知识清单】 2 1．常量和变量 2 2．函数的定义 2 3．自变量取值范围的确定 2 4．函数解析式及函数值 3 5．函数的图象及其画法 3 6．正比例函数 3 7．一次函数 4 8．一次函数的平移 4 9．用待定系数法确定一次函数的解析式 4 【考点一】函数的定义及基本性质 5 【考点二】函数自变量的取值范围 8 【考点三】正比例函数的定义 10 【考点四】求正比例函数的解析式 12 【考点五】正比例函数的图象与性质 15 【考点六】一次函数的定义 21 【考点七】一次函数的图象与性质 23 【考点八】用待定系数法求解析式 36 【考点九】利用平移求解析式 41 【考点十】利用平行与垂直关系求解析式 43 【考点十一】一次函数与一元一次方程 49 【考点十二】一次函数与不等式 54 【考点十三】一次函数面积问题 62 （一） 知解析式求面积 62 （二） 知面积求解析式或点坐标 66 【考点十四】一次函数实际应用 78 （一） 行程问题 78 （二） 销售问题 90 （三） 水电气费等问题 99 （四） 工程问题 105 （五）其他 110 【知识清单】 1．常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． （1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． （3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． （4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 2．函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： （1）有两个变量． （2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． （3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 3．自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题 有意义． 4．函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． （1）函数解析式是等式． （2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． （3）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 5．函数的图象及其画法 （1）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． （2）用描点法画函数图象的一般步骤： ①列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值． ②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点． ③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 6．正比例函数 （1）正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 7．一次函数 （1）一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 8．一次函数的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 9．用待定系数法确定一次函数的解析式 求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 【考点归纳】 【考点一】函数的定义及基本性质 1．下列选项中，不是函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， 是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， 不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， 是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， 是函数，该选项不合题意； 故选：． 2．下列曲线中不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据函数的定义：在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数， 因此不能表示是的函数的是选项中的曲线，故符合题意； 能表示是的函数的是选项、、中的曲线，故、、不符合题意． 故选：． 3．下列各曲线中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以正确． 故选：． 4．下列关系式中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：．当时，对于每一个的值，都有2个值与之相对应，它们互为相反数，不符合函数的定义， 符合题意； ．对于每一个的值，都有唯一一个值与之相对应，符合函数的定义， 不符合题意． 故选：． 5．下列式子：①②③其中是的函数的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：根据函数的定义，①③④中对于的每一个值，均有唯一的值与之对应， ①③④中是的函数； ②中对于的每一个值，有两个值与之对应， ②中不是的函数． 故选：． 6．下列四个等式中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、中，是的函数，故此选项不合题意； 、中，是的函数，故此选项不合题意； 、中，不是的函数，故此选项符合题意； 、中，是的函数，故此选项不合题意； 故选：． 7．下列各曲线中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：只有满足对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，属于函数， 故选：． 8．下列各表达式不是表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值， ，，，对于的每一个取值，有唯一的值对应，所以是的函数，、、不符合题意； ，对于的每一个取值，不是唯一的值对应，如当时，，所以不是的函数，符合题意． 故选：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/3 【考点二】函数自变量的取值范围 1．函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≠﹣1 D．x≤﹣1 【答案】B 【解答】解：， ∴x+1≥0， ∴x≥﹣1， 故选：B． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＞﹣5 C．x≠﹣5 D．x≠5 【答案】D 【解答】解：由题意得：x﹣5≠0， 解得：x≠5， 故选：D． 3．函数中，自变量n的取值范围是（　　） A．n≠2 B．n＞2 C．n≥2 D．n≤2 【答案】C 【解答】解：由题意得，2x﹣4≥0， 解得x≥2． 故选：C． 4．在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x≥﹣2且x≠﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥2 【答案】D 【解答】解：由题意，得：x﹣2≥0且x+3≠0， 解得：x≥2； 故选：D． 5．在函数中，自变量x的取值范围是 　x≥2　． 【答案】x≥2． 【解答】解：由题意得，x﹣2≥0， 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 6．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥2且x≠4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得， 解得x≥2且x≠4， ∴自变量x的取值范围是x≥2且x≠4， 故答案为x≥2且x≠4． 7．函数y＝x﹣1的定义域为 　x≠0　． 【答案】x≠0． 【解答】解：∵， ∴函数y＝x﹣1的定义域为x≠0． 故答案为：x≠0． 8．函数+中，自变量x的取值范围为 　x≥﹣2且x≠1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得：x+2≥0且x﹣1≠0， 解得：x≥﹣2且x≠1， 故答案为：x≥﹣2且x≠1． 9．在函数中，自变量x的取值范围是 　x＞2且x≠3　． 【答案】x＞2且x≠3． 【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，x﹣3≠0，解得x＞2，且x≠3， 故答案为：x＞2且x≠3． 【考点三】正比例函数的定义 1．表示和成正比例关系的式子是　　 A． B． C． 【答案】 【解答】解：表示和成正比例关系；表示与的一次函数关系；表示与成反比例关系． 故选：． 2．如果是正比例函数，则的值是　　 A． B．0 C． D． 【答案】 【解答】解：是正比例函数， ． 解得：． 故选：． 3．已知函数是正比例函数，则、的值为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【解答】解：函数是正比例函数， 且， 解得：，， 故选：． 4．已知一次函数是正比例函数，则　　． 【答案】． 【解答】解：函数是正比例函数， ， 解得． 故答案为：． 5．若关于的函数是正比例函数，则　　． 【答案】． 【解答】解：关于的函数是正比例函数 解得 故答案为： 6．对于正比例函数，则　1　． 【答案】1． 【解答】解：正比例函数为， 且， 解得：， 故答案为：1． 7．若是关于的正比例函数，则的值为 　　． 【解答】解：是关于的正比例函数， 且， 解得：， ． 故答案为：． 8．当　　时，函数是正比例函数． 【解答】解：函数是正比例函数， ，解得． 故答案为：． 【考点四】求正比例函数的解析式 1．一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设该正比例函数的解析式为，根据题意，得 ， ． 则这个正比例函数的表达式是． 故选：． 2．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设函数解析式为， 图象经过， ， 解得， 这个函数的关系式为， 故选：． 3．已知正比例函数的图象经过点，则正比例函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：把点代入得， 所以正比例函数解析式为． 故选：． 4．已知与成正比例，且时，，则与的函数解析式为 　　． 【答案】． 【解答】解：设与的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得，， 与的函数解析式为， 故答案为：． 5．已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是　　． 【解答】解：设函数解析式为，将代入函数解析式，得 ． 解得， 函数解析式为， 故答案为：． 6．已知与成正比例，当时，，则当时，的值是 　6　． 【解答】解：设， 把，代入，得． 解得． 所以当时，． 故答案为：6． 7．已知与成正比例关系，且当时，． （1）求与之间的函数解析式． （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1）；（2）10． 【解答】解：（1）根据题意，设． 当时，， ， 解得， 与之间的函数解析式为． （2）把代入，得， 解得， 的值为10． 8．已知与成正比例，当时，． ①求这个函数解析式． ②求当时的值． 【解答】解：①设．则根据题意，得 ， 解得， 所以该函数的解析式是或； ②由①知，，则当时，，即． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点及点，求直线的函数解析式． 【答案】． 【解答】解：设直线的函数解析式为， 将代入可得， 解得， 直线的函数解析式为：． 10．已知与成正比例关系，当时，，求：当时的值． 【解答】解：，将，代入得：， 解得：， 函数解析式为：， 当时，． 【考点五】正比例函数的图象与性质 1．正比例函数的图象如图所示，则的值可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由图象知，函数值随的增大而增大， ， 的值可能是， 故选：． 2．已知点，都在直线上，则，大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， 随的增大而减小， 又点，都在直线上，且， ． 故选：． 3．已知点，都在正比例函数的图象上，则　　（填“”或“” 【答案】． 【解答】解：， 随的增大而减小， 又点，都在正比例函数的图象上，且， ． 故答案为：． 4．同一坐标系中，正比例函数，，，的图象如图所示，则下列式子成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，的图象都在第一三象限，，在第二四象限， ，，，， 直线越陡，则越大， ， 故选：． 5．正比例函数经过的象限是　　 A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】 【解答】解：， 正比例函数经过的象限是第二、四象限． 故选：． 6．若直线是常数，经过第二、第四象限，写出一个符合条件的值 　　． 【答案】． 【解答】解：直线是常数，经过第二、第四象限， ． ． 故答案为：． 7．如图，一次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 　　（用“”符号连接） 【答案】． 【解答】解：由函数图象可知，，，， 函数的图象倾斜度较大， ， ， 故答案为：． 8．正比例函数图象上有两点，，，，当时，，则的取值范围是 　　． 【解答】解：正比例函数图象上有两点，，，， 当时，， 随的增大而减小， ， 解得：， 则的取值范围是：． 故答案为：． 9．写出一个随的增大而减小的正比例函数的表达式 　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：令一次函数的解析式为， 随的增大而减小， ， 符合条件的一次函数的表达式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 10．已知函数是正比例函数，求的值，并写出其图象经过哪个象限． 【答案】4，其图象经过二、四象限． 【解答】解：函数是正比例函数， ， ， ， 其图象经过二、四象限． 11．已知关于的函数，且该函数是正比例函数． （1）求的值； （2）若点，在该函数的图象上，请直接写出，的大小关系． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）函数是正比例函数， ， 解得：， 的值为3； （2）， ， 随的增大而增大， 又点，在该函数的图象上，且， ． 12．函数是正比例函数，且随增大而减小，求的值． 【解答】解：是正比例函数， ，解得或， 随的增大而减小， ，即， ， ． 13．正比例函数的图象经过　　 A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】 【解答】解：， 正比例函数的图象过第一，三象限， 故选：． 14．如图，这是正比例函数和的图象，则　　．（填“”“ ”或“” 【答案】． 【解答】解：如图： 当时，，，， ， 故答案为：． 15．已知正比例函数． （1）若函数图象经过第二、四象限，则的范围是什么？ （2）点在它的图象上，求它的表达式． 【解答】解：（1）函数图象经过第二、四象限， ； （2）当，时，则， 即：． 16．已知正比例函数．求： （1）为何值时，函数图象经过第一、第三象限； （2）为何值时，随的增大而减小； （3）为何值时，点在该函数图象上． 【解答】解：（1）函数图象经过一、三象， ，解得； （2）随的增大而减小， ，解得； （3）点在该函数图象上， ，解得． 【考点六】一次函数的定义 1．下列函数是一次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、，不含一次项，不是一次函数，故此选项不符合题意； 、是一次函数，故此选项符合题意； 、，分母中含有字母，不是一次函数，故此选项不符合题意； 、含有二次项，不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：． 2．已知是关于的一次函数，则　　． 【答案】． 【解答】解：根据一次函数的定义，得且， 解得． 故答案为：． 3．已知是关于的一次函数，则　　． 【答案】． 【解答】解：根据题意，且， 解得且， 所以， 故答案为：． 4．已知是一次函数，则　2　． 【答案】2． 【解答】解：根据一次函数的定义，得，且， 解得． 故答案为：2． 5．若是关于的一次函数，那么的值是　　 A．1 B． C． D．0 【答案】 【解答】解：由是关于的二次函数，得， 且． 解得． 故选：． 6．下列函数中，是一次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：．是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； ．是一次函数，故本选项符合题意； ．不是一次函数，故本选项不符合题意； ．是反比例函数，不是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：． 7．下列函数中，是一次函数的是　　 ①； ②； ③； ④． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】 【解答】解：①，是一次函数； ②，不是一次函数； ③，是一次函数； ④，不是一次函数． ①③． 故选：． 8．已知函数是一次函数，则　　． 【解答】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：． 9．已知函数是关于的一次函数，则的值是 　　． 【答案】． 【解答】解：函数是关于的一次函数， 且， 解得：， 故答案为：． 10．已知函数是一次函数，则　0　． 【答案】0． 【解答】解：根据一次函数中，自变量次数是1得： ， 即，且， 解得． 故答案为：0． 【考点七】一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：一次函数，，， 该函数图象经过第一、二、四象限， 故选：． 2．一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，， 一次函数的图象过第二，三，四象限， 故选：． 3．已知点为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【解答】解：点为第四象限内的点， ，， 一次函数的图象经过第一、三象限，且与轴交于负半轴，观察选项，选项符合题意． 故选：． 4．若函数是关于的一次函数，则它的图象不经过第 　二　象限． 【答案】二． 【解答】解：函数是一次函数， 且， 解得， 函数的解析式为， ，， 函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 5．若，则直线不经过第 　三　象限． 【答案】三． 【解答】解：， ， ， 直线的解析式为． ， 直线经过第一、二、四象限， 直线不经过第三象限． 故答案为：三． 6．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是 　　． 【答案】． 【解答】解：， 随的增大而增大， 又点，，都在直线上，且， ． 故答案为：． 7．若点在第二象限，则一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：点在第二象限， ，， ， 一次函数图象经过第一、三、四象限， 故选：． 8．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：． 9．已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由图象可得， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，， ， 一次函数的图象第一、二、四象限， 故选：． 10．已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【解答】解：，且， ， 故选：． 11．点，，在一次函数是常数）的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， 随的增大而增大， 又点，，在一次函数是常数）的图象上，且， ． 故选：． 12．已知函数，随的增大而增大，写出一个满足条件的的值 　4（答案不唯一）　． 【答案】4（答案不唯一）． 【解答】解：一次函数中随的增大而增大， ， 解得， 的值可以是4， 故答案为：4（答案不唯一）． 13．若为小于3的常数，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：为小于3的常数， ，， 一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：． 14．直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、直线中，，中，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； 、直线中，，中，，、的取值一致，故本选项符合题意； 、直线中，，中，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； 、直线中，，中，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：． 15．一次函数在直角坐标系中的图象如图所示，化简：　　． 【答案】． 【解答】解：由图象可得， ，， ，， ， 故答案为：． 16．请写出一个随着增大而减小，且过点的一次函数表达式：　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：设该一次函数的解析式为． 随着的增大而减小， ， 取． 点在一次函数图象上，代入并解得：． 故答案为：（答案不唯一）． 17．已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：一次函数的函数值随的增大而增大， ， 一次函数的一次项系数大于0，常数项大于0， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， 故选：． 18．同一平面直角坐标系中，一次函数与，为常数）的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故不合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故不合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，一致，故符合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故不合题意； 故选：． 19．函数的图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， 函数中的，， 图象经过二、三、四象限， 故选：． 20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限 【答案】 【解答】解：，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：． 21．关于一次函数，下列说法不正确的是　　 A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．当时， 【答案】 【解答】解：、，，函数图象经过一、二、四象限，原说法错误，符合题意； 、当时，，图象与轴交于点，正确，不符合题意； 、，函数值随自变量的增大而减小，正确，不符合题意； 、，函数值随自变量的增大而减小，当时，，当时，，正确，不符合题意． 故选：． 22．关于函数，下列结论正确的是　　 A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与直线平行 D．随的增大而增大 【答案】 【解答】解：、当，，则点不在函数图象上，故本选项错误； 、由于，则函数的图象必过第二、四象限，，图象与轴的交点在的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误； 、由于直线与直线的倾斜角相等且与轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确； 、由于，则随增大而减小，故本选项错误； 故选：． 23．对于一次函数，下列结论错误的是　　 A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图象 D．点，、，在函数图象上，若，则 【答案】 【解答】解：当时，， 函数的图象与轴的交点坐标是，故选项正确，不符合题意； ，， 函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故选项正确，不符合题意； 函数的图象向上平移3个单位长度得的图象，故选项正确，不符合题意； ， 随的增大而减小， 点，、，在函数图象上，， ，故选项错误，符合题意； 故选：． 24．关于一次函数，下列结论正确的是　　 A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．将一次函数的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点，和，在一次函数的图象上，若，则 【答案】 【解答】解：．，，一次函数图象经过第一、二、三象限，故本项说法错误； ．图象与轴的交点是，故本项说法错误； ．将一次函数的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故本项说法正确； ．点，和，在一次函数的图象上，若，则，故本项原说法错误； 故选：． 25．关于一次函数，下列结论正确的是　　 A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 D．点，和，都在该函数图象上，若，则 【答案】 【解答】解：．，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 一次函数的图象不经过第三象限，选项不符合题意； ．当时，， 解得：， 一次函数的图象与轴的交点是，选项不符合题意； ．当时，， 一次函数的图象与轴的交点是， 一次函数的图象与坐标轴形成的三角形的面积为，选项不符合题意； ．， 随的增大而减小， 又点，和，都在该函数图象上，且， ，选项符合题意． 故选：． 26．关于一次函数，下列说法正确的是　　 A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象与轴交于点 C．点在函数图象上 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】 【解答】解：．， 函数值随自变量的增大而减小，选项符合题意； ．当时，， 解得：， 一次函数的图象与轴交于点，选项不符合题意； ．当时，，， 点不在一次函数的图象上，选项不符合题意； ．，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项不符合题意． 故选：． 【考点八】用待定系数法求解析式 1．一次函数的图象经过点和，那么这个一次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】根据一次函数解析式的特点，可得出方程组 解得，，将其代入数即可得到：． 故选：． 2．已知一次函数的图象经过点和，则此函数的解析式为　　． 【解答】解：由题意可得方程组， 解得， 则此函数的解析式为：． 3．已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：直线与两坐标轴的交点坐标为，，， 直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4， ，解得， 则直线的解析式为． 故选：． 4．已知一次函数图象过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为　　 A． B． C．或 D．或 【解答】解：一次函数图象过点， ， 令，则， 函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2， ，即， 解得：， 则函数的解析式是或． 故选：． 5．若一条直线经过点和，这条直线的函数表达式为 　　． 【答案】． 【解答】解：设直线的解析式为， 直线经过点和， ，解得 直线的表达式是：． 故答案为：． 6．如图所示，过点的直线交轴于点，点在原点上方，已知． （1）求点的坐标； （2）若过点的直线交轴于点，的面积为3，求直线的函数表达式． 【解答】解：（1）点，已知， ， 点在原点上方， 点的坐标是； （2）的面积为3，， ， 解得． 点或． 当点在点上方时， 设的解析式为，则 ， 解得， 的解析式为． 当点在点下方时， 设的解析式为，则 ， 解得， 的解析式为． 综上所述，直线的解析式为或． 7．一次函数图象的位置如图所示，请根据图中数据，写出一次函数的解析式　　． 【解答】解：设一次函数的解析式为， 由图象可知点，为此函数图象上两点故可得方程组， 解得：， 一次函数的解析式为． 故答案为：． 8．如图， 直线交轴于点，交轴于点，直线交于点，且，则直线的解析式为　　． 【解答】解：直线的解析式为：，其与、轴的交点分别为，， 即，， 设，，， 解得，，，故点坐标为． 设直线的解析式为，把代入得：， 即：． 故直线的解析式为：． 9．一次函数图象经过点和，这个一次函数的解析式是　　． 【解答】解：设一次函数解析式是．则根据题意，得 ，解得 ， 一次函数的解析式为：； 故答案为：． 10．一次函数的图象如图所示，请根据图中的数据，写出这个一次函数的表达式：　　． 【解答】解：根据图象，函数经过点，，， 设函数解析式为， 则，解得 函数解析式为． 11．已知：如图，在直角坐标系中，为原点，，．求： （1）过、两点的直线的解析式． （2）的面积． 【解答】解：（1）设直线解析式为， 将与坐标代入得：， 解得：． 则直线解析式为； （2）对于，令，求出，即， 则． 声 【考点九】利用平移求解析式 1．将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由上加下减”的原则可知，将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为：． 故选：． 2．对于一次函数，下列结论错误的是　　 A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图象 D．点，、，在函数图象上，若，则 【答案】 【解答】解：当时，， 函数的图象与轴的交点坐标是，故选项正确，不符合题意； ，， 函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故选项正确，不符合题意； 函数的图象向上平移3个单位长度得的图象，故选项正确，不符合题意； ， 随的增大而减小， 点，、，在函数图象上，， ，故选项错误，符合题意； 故选：． 3．将直线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的表达式为 　　． 【答案】． 【解答】解：由题意，得 ． 故答案为：． 4．若直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， 直线向上平移个单位长度后经过点， ， 解得． 故答案为：2． 5．将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　　． 【解答】解：将直线向下平移2个单位长度后所得直线的解析式是，即． 故答案为：． 6．若将直线的图象先向左平移4个单位，再向下平移5个单位所得直线解析式是 　　． 【答案】． 【解答】解：当时，， 直线经过点， 将点先向左平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， 设平移后的直线解析式为， 代入点， 得， 解得， 平移后的直线解析式为， 故答案为：． 7．已知将向左平移3个单位长度得到的直线解析式为　　． 【答案】． 【解答】解：将向左平移3个单位长度得到的直线解析式是：，即． 故答案为：． 8．将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的表达式为 　　． 【答案】． 【解答】解：将直线向上平移1个单位，得到的直线的解析式为． 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制 【考点十】利用平行与垂直关系求解析式 1．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式为 　　． 【解答】解：设所求一次函数的解析式为， 函数的图象与直线平行， ， 又过点，有， 解得， 一次函数的解析式为， 故答案为：． 2．直线的解析式为，交轴于点，直线经过点且与互相垂直，则直线的解析式是　　． 【解答】解：中，时，， 点坐标为：， 直线经过点且与互相垂直， 设直线的解析式为：， 将代入解析式得：， 直线的解析式是：． 故答案为：． 3．直线与轴交于点，若与垂直，且垂足是，则的解析式是 　　． 【解答】解：直线与轴交于点， 点坐标为， 设直线的函数解析式为， 又两直线垂直，则， 又因为直线过点，则， 得， 故直线的函数解析式为：． 故答案为：． 4．已知直线与轴、轴的交点分别为、，则线段的垂直平分线的解析式为　　． 【解答】解：直线与轴、轴的交点分别为、， 当时，，当时，， ，， 线段的中点为， 设线段的垂直平分线的解析式为， 代入得，， 解得， 线段的垂直平分线的解析式为， 故答案为． 5．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象与直线平行．请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数关系式：　　． 【解答】解：设直线解析式为， 图象不经过第二象限， ，， 图象与直线平行， ， 当取时，解析式为． 故答案为． 6．如图，光源发出的一束光，遇到平面镜轴）上的点的反射光线交轴于点，再被平面镜轴）上的点反射得光线，则直线的解析式为 　　． 【答案】． 【解答】解：设点的坐标为，过点作轴的垂线，过点作垂足于该直线的垂线相交于点，作，垂足为， 根据反射定律，， ， ，解得， 设直线的解析式为，将点和代入得： ，解得， 直线的解析式为， ， 直线和解析式中的值相等， 设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， 直线的解析式为：． 故答案为：． 7．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象互相平行，且经过点，则一次函数的解析式为　　． 【解答】解：一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ， ， 把点代入得，解得， 所以一次函数的解析式为：， 故答案为：． 8．已知一次函数的图象经过点且和平行，则函数解析式为　　． 【解答】解：由一次函数的图象平行于直线，可知 则一次函数为， 将的坐标代入，得：， 解得： 这个一次函数的解析式是． 故答案为：． 9．经过点且与直线垂直的直线解析式是 　　． 【答案】． 【解答】解：设与直线垂直的直线解析式为， 直线经过点， ，解得， 经过点且与直线垂直的直线解析式是：． 故答案为：． 10．已知一次函数的图象经过点． （1）若函数图象与平行，则一次函数的解析式为 　　． （2）若函数图象是由直线向上平移5个单位长度得到的、则一次函数的解析式为 　　； （3）关于轴对称后经过，则一次函数的解析式为 　　． （4）若函数图象与直线垂直，则一次函数图象与轴的交点坐标为 　　． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）一次函数的图象与直线平行， ， 把点代入可得：， 解得：， 一次函数的表达式为：； 故答案为：； （2）由直线向上平移5个单位长度得到线， 把点代入可得：， 解得：， 一次函数的表达式为：； 故答案为：； （3）点关于轴的对称点为， 把，代入得， 解得， 一次函数的表达式为：； 故答案为：； （4）直线经过点，，，如图， 设一次函数图象与轴的交点坐标为， 函数图象与直线垂直， ， ， ， ， 一次函数的图象经过点， ， 解得， 一次函数图象与轴的交点坐标为， 故答案为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 【考点十一】一次函数与一元一次方程 1．如图，函数的图象过点，则关于的方程的解是 　　． 【答案】． 【解答】解：由图象可得：关于的方程的解是； 故答案为：． 2．已知一次函数 的图象如图所示，关于的方程的解是 　　． 【解答】解：一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：． 3．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 　　． 【答案】． 【解答】解：直线与相交于点， ， ， ， 当时，， 关于的方程的解是， 故答案为：． 4．如图，一次函数经过点，则关于的一元一次方程的解为 　　． 【答案】． 【解答】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过， 方程的解是， 故答案为：． 5．如图，已知一次函数的图象为直线，直线过和，则关于的方程的解为　　． 【答案】． 【解答】解：一次函数的图象为直线，直线过， 关于的方程的解为． 故答案为：． 6．若一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【解答】解：从图象可知：一次函数的图象与轴的交点坐标是， 关于的方程的解为， 故选：． 7．如图，直线过点和点，则方程的解是　　． 【解答】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过， 方程的解是， 故答案为：． 8．一次函数，为常数，且的图象如图所示，根据图象信息可求得关于的方程的解为　　． 【解答】解一次函数过，点， ， 解得：， 一次函数的解析式为：， 一次函数的图象与轴交于点， 关于的方程的解为． 故答案为：． 9．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是　　． 【解答】解：方程的解也就是求直线和直线的交点，观察图象可知，两直线的交点为，因此方程的解是． 故答案为：． 10．如图，已知直线，则关于的方程的解　4　． 【解答】解：根据图形知，当时，， 即时，． 故方程的解． 故答案为：4． 11．如图，已知直线与的交点的横坐标为，则关于的方程的解为　　． 【解答】解：直线与的交点的横坐标为， 当时，， 关于的方程的解为． 故答案为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/ 【考点十二】一次函数与不等式 1．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1 【答案】C 【解答】解：根据图示知：一次函数y＝kx+b的图象x轴、y轴交于点（1，0），（0，﹣1）； 即当x＞1时函数值y的范围是y＞0； 因而当不等式kx+b＞0时，x的取值范围是x＞1． 故选：C． 2．如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【答案】B 【解答】解：由图象可得：当x＜2时，kx+b＞0， 所以关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2， 故选：B． 3．在直角坐标平面内，一次函数y＝2x﹣5的图象如图所示，那么下列说法错误的是（　　） A．当x＞0时，y＞﹣5 B．方程2 x﹣5＝0的解是 C．当y＜0时，x＜﹣5 D．不等式2x﹣5＞0的解集是 【答案】C 【解答】解：一次函数y＝2x﹣5的图象与x轴，y轴的交点为（2.5，0），（0，﹣5）， 当x＞0时，y＞﹣5，故A正确，不符合题意； 方程2 x﹣5＝0的解是，故B正确，不符合题意； 当y＜0时，x＜2.5，故C错误，符合题意； 不等式2x﹣5＞0的解集是，故D正确，不符合题意； 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b的位置如图所示，则不等式kx+b＞1的解集为（　　） A．x＜1 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．x＞﹣2 【答案】C 【解答】解：直线y＝kx+b的图象经过点（0，1），且函数值y随x的增大而增大， ∴不等式kx+b＞1的解集是x＞0． 故选：C． 5．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＜3的解集为 　x＞﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，直线y＝kx+b与直线y＝3交于点P（﹣1，3）， 由图可知kx+b＜3的解集为x＞﹣1； 故答案为：x＞﹣1． 6．直线y＝mx+n在平面直角坐标系中的位置如图所示，则关于x的不等式mx+n≤﹣3的解集为 　x≥0．　． 【答案】x≥0． 【解答】解：由图象可以知道，当x＝﹣6时，y＝0， 当x＝0时，y＝﹣3， ∵m＜0，y随x的增大而增大， 故不等式mx+n≤﹣3的解集为x≥0． 故答案为：x≥0． 7．如图，直线y＝kx+b经过A（﹣4，0）和B（﹣3，2）两点，则不等式0＜kx+b＜2的解集为 　﹣4＜x＜﹣3　． 【答案】﹣4＜x＜﹣3． 【解答】解：直线y＝kx+b经过A（﹣4，0）和B（﹣3，2）两点，不等式0＜kx+b＜2的解集为﹣4＜x＜﹣3． 故答案为：﹣4＜x＜﹣3． 8．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx≤mx+n的解集是 　x≥﹣1　． 【答案】x≥﹣1． 【解答】解：由所给函数图象可知， 当x＞﹣1时，一次函数y＝kx的图象在y＝mx+n图象的下方， 即kx＜mx+n． 当x＝﹣1时，一次函数y＝kx与y＝mx+n的函数值相等， 即kx＝mx+n， 所以不等式kx≤mx+n的解集是x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1． 9．如图所示，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，3），不等式kx+b≤mx+n的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2 【答案】D 【解答】解：如图所示，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，3）， 所以，不等式kx+b≤mx+n的解集是x≤﹣2， 故选：D． 10．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为（　　） A．x≤﹣1 B．x≤﹣2 C．x≥1 D．﹣2≤x＜﹣1 【答案】A 【解答】解：由图象可知：正比例函数y＝2x和一次函数y＝kx+b（k≠0）的图的交点是A（﹣1，﹣2）， ∴不等式2x≤kx+b的解集是x≤﹣1． 故选：A． 11．一次函数y1＝mx﹣n与y2＝﹣x+a的图象如图，则mx﹣n＞﹣x+a的解集为（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4 【答案】C 【解答】解：由图象得：mx﹣n＞﹣x+a的解集为x＞4． 故选：C． 12．观察下列图象，可以得出不等式组的解集是（　　） A．x＜ B．﹣＜x＜0 C．0＜x＜2 D．﹣＜x＜2 【答案】D 【解答】解：根据图象得到，3x+1＞0的解集是：x＞﹣， 第二个不等式的解集是x＜2， ∴不等式组的解集是﹣＜x＜2． 故选：D． 13．一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x的不等式kx≥﹣x+3的解集是 　x≥1　． 【答案】x≥1． 【解答】解：由图象得：关于x的不等式kx≥﹣x+3的解集是：x≥1， 故答案为：x≥1． 14．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（），则不等式2x＞ax+4的解集为 　x＞　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（）， ∴当x＞时，2x＞ax+4， 即不等式2x＞ax+4的解集为x＞． 故答案为x＞． 15．如图，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b相交于点（1，2）．则不等式组ax+b＞kx＞0的解集为（　　） A．x＜0 B．0＜x＜1 C．x＜1 D．x＜0或x＞1 【答案】B 【解答】解：在x轴的上方，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式ax+b＞kx＞0的解集， 观察图象可知：不等式的解集为：0＜x＜1， 故选：B． 16．已知关于x的一次函数y1＝k1x与y2＝k2x+b的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＞k2x+b＞0的解集是　2＜x＜3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：关于x的不等式k1x＞k2x+b＞0的解集是2＜x＜3． 故答案为2＜x＜3． 17．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6 交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＜x+b的解集是 　x＞3　． 【答案】x＞3． 【解答】解：由函数图象知，当x＞3时，kx+6＜x+b， 即不等式kx+6＜x+b的解集为x＞3． 故答案为：x＞3． 18．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣1）和B两点，则不等式x＜kx+b的解集为　x＜﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：不等式x＜kx+b的解集为x＜﹣2． 故答案为x＜﹣2． 19．直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为 　﹣4＜x＜﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2， ∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集为x＜﹣2， ∴y＝nx+4n＝0时，x＝﹣4， ∴不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2． 故答案为：﹣4＜x＜﹣2． 声明：试 【考点十三】一次函数面积问题 （1） 知解析式求面积 1．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点、，和与轴交于点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）； （2）2． 【解答】解：（1）把点、代入解析式得， 解得， 所以这个一次函数的解析式是； （2）令，则， 点坐标为， 所以三角形的面积为． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． （1）求出，两点的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）点，点； （2）4． 【解答】解：（1）当时，， 点坐标为， 联立， 解得， 点坐标为； （2）当时，， 点坐标为， ， 当时，， 点坐标为， ， ． 3．如图，已知一次函数与正比例函数图象相交于点，与轴交于点． （1）求出、的值； （2）求出的面积． 【答案】（1）；；（2）4． 【解答】解：（1）把点代入得： ， 则点坐标为， 把代入得： ， 解得：； （2）， ， 令，则， ， ， 的面积． 4．如图，直线与直线相交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求交点的坐标； （2）求的面积． 【解答】解：（1）联立直线，的解析式成方程组，得：， 解得：， 交点的坐标为． （2）设直线与轴交于点，如图所示． 当时，，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，． 当时，， 解得：， 点的坐标为，． ， ， ． （2） 知面积求解析式或点坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴的正半轴于点，且面积为10． （1）求直线的解析式； （2）如图1，若点为线段上一点，且满足，求点的坐标； 【答案】（1）； （2）； 【解答】解：（1）令，则有：，解得， 令，则有：， ，， ，， ， ， ，， ， ， 设的解析式为：， ，， ， 解得：， 的解析式为：； （2）根据题意设点坐标为：， ，， ， ， ，，，， ， 解得：，， 点的坐标为：； 2．如图，，，，过点的直线交于，交轴于，若，求点的坐标． 【解答】解：， ， ， ， ， 设直线解析式为， 把、分别代入得，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把、分别代入得，解得， 直线的解析式为， 解方程组得， 点的坐标为，． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴，轴交于点、，直线与直线交于点，直线过点，与轴交于点，点的纵坐标是． （1）求直线的解析式； （2）若点在轴上，且，求点坐标； 【答案】（1）； （2）点的坐标为：或，； 【解答】解：（1）在中，令得，令得， ，， 点的纵坐标是， ， 设直线的解析式为，把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）由、的坐标知，， 过点作直线，在点的下方取点，使， 则点， 则直线的表达式为：， 则点； 当点在轴右侧时， 同理可得：点； 综上，点的坐标为：或； 4．如图，直线分别交轴和轴于点和点，直线过点且与轴交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）若点为线段上动点，当时，求点的坐标； 【答案】（1）； （2）点，； 【解答】解：（1）直线分别交轴和轴于点和点，则点、的坐标分别为：、， 则，则点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：； （2）过点作交于点，在点为所求点， 理由：， 故， 则直线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：，则点，； 5．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，过点的另一条直线分别交轴，轴的正半轴于点，． （1）求的值； （2）若． ①求直线的解析式； ②动点在线段和射线上运动时，是否存在点，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②或或． 【解答】解：（1）因为点在正比例函数的图象上， ， ； （2）①设，， ，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，、在直线上， 则有， 解得， 直线的解析式为； ②存在，理由如下： 设，则中边上的高为， 由①可知： ， 当动点在线段上时，，如图， ， 解得：， 在线段上， 由（1）可知． 当动点在射线上运动时，如图， ， 解得：， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线的函数解析式； （2）若点是轴上一点，且，求点的坐标； 【答案】（1）； （2）点的坐标为：或； 【解答】解：（1）直线的函数解析式， ，． 又为线段的中点， ． 设直线的解析式为：， ， 解得：， 故直线的解析式； （2）设点的坐标为：， ， ，． ， ， ， ， ， 解得：或10， 故点的坐标为：或； 7．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过点的直线交轴的正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线的函数解析式． （2）如果在轴上有一点，使得，请求出点的坐标． 【答案】（1）； （2）或； 【解答】解：（1）当，， ， 当，即，解得， ， 点为线段的中点， ． 设直线的函数解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的函数解析式为． （2）设点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点，点是轴上方一个动点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点在线段上，且，求点的坐标； （3）当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒，请直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【解答】解：（1）点在轴上，直线过点， 点坐标为， 将点和点代入直线， 得， 解得， 直线的函数表达式为； （2）设点坐标为， 令，即， 解得：， 点坐标为， 点，点， ，，， ， 点在线段上， ， ， ， 解得， 点坐标为； （3）设点纵坐标为， ，点是轴上方的一个动点， ， 解得， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接， 则的最小值即为的长， 点坐标为， 点坐标为， ， 点的运动速度始终为每秒1个单位长度， ， 的最小值为． 【考点十四】一次函数实际应用 （1） 行程问题 1．图中反映某网约车平台收费（元与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），他从家到机场需要　　 A．10分钟 B．15分钟 C．18分钟 D．20分钟 【答案】 【解答】解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 设当时，与的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得， ， 当时，， 解得， （分钟）． 故选：． 2．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是　　 A．客车比出租车晚4小时到达目的地 B．客车速度为60千米时，出租车速度为100千米时 C．两车出发后3.25小时相遇 D．两车相遇时客车距乙地还有375千米 【答案】 【解答】解：、客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时， 客车比出租车晚4小时到达目的地，故正确，不符合题意； 、客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时， 客车速度为60千米时，出租车速度为100千米时，故正确，不符合题意； 、设出租车行驶时间为，距离目的地距离为，函数解析式为，将点，代入得：， 则， 设客车行驶时间为，距离目的地距离为， 则； 当两车相遇时即时，，故错误，不符合题意； 、小时客车行驶了千米， 距离乙地千米，故正确，不符合题意； 故选：． 3．，两地相距100千米，甲车从地到地，乙车从地到地，乙车先出发，甲、乙两车之间的距离（千米）与行驶的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法： ①乙车比甲车先出发0.5小时；②甲车的速度是每小时80千米；③甲车到地比乙车到地早小时；其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【解答】解：由图象知，乙先出发0.5小时， 故①正确； 乙车0.5小时行驶了（千米）， 乙车的速度为（千米小时）， 甲、乙两车0.5小时行驶70千米， 甲车速度为（千米小时）， 故②正确； 乙车全程行驶时间为：（小时），甲车全程行驶时间为：（小时）， （小时）， 甲到地比乙到地晚小时， 故③错误． 故选：． 4．学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒，甲、乙两人之间的距离为（米，与之间的函数关系如图所示，则图中的值是 　　． 【答案】． 【解答】解：由图象可得， 甲的速度为（米秒）， 乙的速度为：（米秒）， 则， 故答案为：． 5．甲、乙两车从地开往地，全程；所行的路程与时间的函数图象如图所示，下列问题：①乙车比甲车早出发；②甲车用追上乙车，此时乙车行驶；③乙车的速度小于甲车速度；④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用；以上正确的序号是 　①③　． 【答案】①③． 【解答】解：①乙车比甲车早出发；由图可知，当时，乙车横坐标为0，甲车横坐标为2，故①正确； ②甲车追上乙车时行驶了，由图可知，甲车用3小时相遇，甲车追上乙车行驶的路程，故②不正确； ③由图中可知乙车行驶全程所用时间比甲车多，则乙车速度小于甲车；故③正确； ④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用；甲车跑完所用时间小时；乙车跑完所用时间小时； 甲车跑完全程比乙车跑完全程少用，故④错误； 故答案为：①③． 6．甲、乙两车分别从、两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发后出发，到达地后停止行驶，甲车到达地后，立即按原路原速返回地（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距地的路程（单位：与甲车出发时间（单位：之间的函数图象如图所示，下列结论正确的有 　①④⑤　． ①，两地相距； ②乙车的速度约为； ③； ④甲车的速度为； ⑤当乙车出发或，甲、乙两车相遇． 【答案】①④⑤． 【解答】解：①由图象可知：因为乙车在甲车出发后出发，到达地后停止行驶，所以，两地相距，故①正确； ②由题意得：乙车的行驶速度是，故②错误； ③由图象可知：，故③错误； ④由题意得：甲车的行驶速度是，故④正确； ⑤设当乙车出发小时，甲、乙两车相遇，由题意得： 第一次相遇得， 解得， 第二次相遇得， 解得， 综上所述：当乙车出发或小时，甲、乙两车相遇，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 7．已知甲、乙两地相距，，两人沿同一公路从甲地出发到乙地，骑摩托车，骑电动车，图中，分别表示，两人离开甲地的路程与时间的关系图象．则两人相遇时，是在出发后 　1.8　小时． 【答案】1.8． 【解答】解：由图象可得， 的速度为：， 的速度为：， 设两人相遇时，是在出发后小时， 由题意可得：， 解得， 即两人相遇时，是在出发后1.8小时， 故答案为：1.8． 8．在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程（米与时间（分钟）之间的函数关系图象如图所示，下列结论中，正确的是 　①②④　．（请将正确的序号填在横线上） ①这次比赛的全程是500米 ②乙队先到达终点 ③比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快 ④乙与甲相遇时乙的速度是375米分钟 ⑤在1.8分钟时，乙队追上了甲队 【答案】①②④． 【解答】解：①由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是，故①正确； ②由横坐标可以看出，乙队先到达终点，故②正确； ③比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的图象在甲图象的下面， 乙队的速度比甲队的速度慢，故③错误； ④由图象可知，乙队在1.1分钟后开始加速，加速的总路程是（米，加速的时间是（分钟）， 乙与甲相遇时，乙的速度是（米分钟），故④正确． ⑤甲队：（米， 乙队：（米，故⑤错误． 故答案为：①②④． 9．抗美援朝纪念馆位于丹东市鸭绿江畔的英华山上，是全国唯一全面反映中国人民抗美援朝战争和抗美援朝运动历史的专题纪念馆，周末小明和家人一起骑行从家出发去抗美援朝纪念馆，在馆内参观了1个小时，随后骑行去姥姥家，如图，折线表示他们离开家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的关系，根据图中信息解答下列问题： （1）小明家与纪念馆的距离是 　5　千米，小明从家骑行到纪念馆的速度是 　　千米小时； （2）图中点表示的实际意义是 　　； （3）求小明及家人骑行去姥姥家的速度是多少千米小时？ 【答案】（1）5；15； （2）小明和家人离家小时时，参观完离家5千米的抗美援朝纪念馆，准备骑行到能姥家； （3）17千米小时． 【解答】解：（1）由图象知：小明家与纪念馆的距离是5千米， 小明从家骑行到纪念馆的速度是千米小时； （2）小时， 图中点表示的实际意义是小明和家人离家小时时，参观完离家5千米的抗美援朝纪念馆，准备骑行到能姥家； 故答案为：小明和家人离家小时时，参观完离家5千米的抗美援朝纪念馆，准备骑行到能姥家； （3）千米小时， 则小明及家人骑行去姥姥家的速度是17千米小时． 10．一慢车和一快车沿相同路线从地到相距120千米的地，所行地路程与时间的函数图象如图所示．试根据图象，回答下列问题： （1）慢车比快车早出发 　2　小时，快车比慢车少用 　　小时到达地； （2）快车用了多少时间追上慢车；此时距离地多少千米？ （3）慢车行驶多少小时两车相距． 【答案】（1）2，8； （2）快车用了2.5小时追上慢车；此时距离地30千米； （3）慢车行驶小时或小时或小时或小时两车相距． 【解答】解：（1）由函数图象可知，慢车比快车早出发2小时，快车比慢车少用小时到达地， 故答案为：2；8； （2）由题意得，快车的速度为，慢车的速度为， 设快车出发小时后追上慢车， 由题意得，， 解得， 快车用了2.5小时追上了慢车，此时距离地； （3）设慢车行驶小时两车相距， 当快车未出发两车相距时，则，解得； 当快车出发且未追上慢车且两车相距时，则，解得； 当快车出发追上慢车后且未到终点前两车相距时，则，解得； 当快车到达终点后两车相距时，则，解得； 综上所述，慢车行驶小时或小时或小时或小时两车相距． 11．假期，小明一家开车去外婆家．外婆家离小明家456千米，途中在服务区加了油并适当休息了一段时间后，又以同样的速度继续行驶，图1反映了汽车行驶路程（千米）与时间（小时）之间的关系：图2反映了油箱中的剩余油量（升与行驶时间（小时）之间的关系．请根据图象解答下列问题： （1）在服务区加油和休息共用时 　0.5　小时，加油量为 　　升； （2）汽车的行驶速度是 　　千米时，每小时耗油 　　升； （3）请直接写出行驶3小时前与之间的表达式、与之间的表达式； （4）按这样的情况计算，求汽车从开始出发到抵达目的地共用多少小时？汽车抵达外婆家时，油箱里还剩下多少油？ 【答案】（1）0.5，30 （2）76，8 （3）， （4）共用时6.5小时，还剩下18升油 【解答】解：（1）由图象可知，在服务区加油和休息共用时0.5小时，加油量为30升； （2）汽车行驶的速度为千米时，每小时耗油升； （3）设行驶3小时前与之间的表达式， 图象过， ， 解得， ； 设与之间的表达式， 图象过，， ， 解得， ； （4）汽车从开始出发到抵达目的地共用（小时），汽车抵达外婆家时，油箱里还剩下（升． 共用时6.5小时，还剩下18升油． 12．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地行驶，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）在轿车行进过程中，轿车行驶多少时间，两车相距15千米． 【答案】（1）轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；（2）在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米． 【解答】解：（1）由图象可得， 货车的速度为（千米小时）， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是（千米）， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米； （2）设线段对应的函数表达式是， 点，点， ， 解得， 即线段对应的函数表达式是； 当时，两车之间的距离为：， ， 在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在之间， 由图象可得，线段对应的函数解析式为， 则， 解得，， 轿车比货车晚出发1.5小时，（小时），（小时）， 在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米． 13．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米与乙出发的时间（秒之间的函数关系如图所示．求： （1）乙的速度； （2）离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距起点多远； （3）乙到达终点时，甲距离终点还有多远？ 【答案】（1）乙的速度是每秒5米； （2）甲、乙两人第一次相遇时，距起点60米； （3）乙到达终点时，甲距离终点还有68米． 【解答】解：（1）， 所以乙的速度是每秒5米； （2）甲的速度为每秒4米， 设甲、乙两人第一次相遇时，乙用秒， 则， 解得， 所以， 所以甲、乙两人第一次相遇时，距起点60米； （3）（米， 所以乙到达终点时，甲距离终点还有68米． 14．在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； （2）求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 【答案】（1）甲船的速度为，，两港之间的路程为；（2）甲船从港到港的过程中与的函数关系式为；（3）乙船行驶小时或小时或小时时两船相距的路程为15千米． 【解答】解：（1）由题意，之间的距离为，的距离为，且，，在一条直线上， ． 又甲从到共用了1小时， 甲的速度． 答：甲船的速度为，，两港之间的路程为． （2）由题意，甲船到达港的时间为（小时）． 设甲船从港到港的过程中函数关系式为， 将，，代入， ． ． 甲船从港到港的过程中与的函数关系式为． （3）由题意，， 直线为． 又由（2）中为，进而分以下情况讨论． ①在甲船追上乙船前， ． ； ②在甲船超过乙船后，但是未到达， ． ； ③在甲船到达后，乙船未到前， ． ． 乙船行驶小时或小时或小时时两船相距的路程为15千米． （2） 销售问题 1．“千里游学，古已有之”，两名老师带领名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为40元，每位学生的费用为20元．设研学的总费用为元，则与的函数关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：依题意得：， 故选：． 2．甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如下所示，设购买体育用品的原价总额为元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是　　 结论Ⅰ：当时，与之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，的值为100或800 甲店：所有商品按原价八折出售； 乙店：一次性购买商品总额不超过200元时按原价付款；超过200元时，其中200元无优惠，超过200元的部分享受七折优惠 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】 【解答】解：由题意，得， 当时，， 当时，． 故结论Ⅰ正确； 当时，； 当时，分两种情况： ①若， 则， 解得； ②若， 则， 解得． 当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，的值为400或800． 故结论Ⅱ错误． 故选：． 3．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． （1）品牌的函数关系式为 　　； （2）当两种收费相差1.4元时，的值为 　　． 【答案】（1）； （2）8或34． 【解答】解：（1）设品牌的函数关系式为 点在该函数图象上， ，解得， 品牌的函数关系式为． 故答案为：； （2）由图可知，两种收费相差1.4元时，可能在内或以后 ①在内时， ， 解得； ②在以后时， 设品牌的函数关系式为 点，在该函数图象上， ，解得：， 品牌的函数关系式为， ， 解得 因此的值为8或34， 故答案为：8或34． 4．某水果店以每千克8元的价格购进100千克黄桃，销售一半后进行打折销售，销售所得金额（元与销售量，则销售完这100千克黄桃获得的利润是 　600．　元． 【答案】600． 【解答】解：由图象可知，打折后每千克售价为（元千克）； 打折后的销售所得金额为（元， 这100千克黄桃销售所得金额为（元， 销售完这100千克黄桃获得的利润是（元， 故答案为：600． 5．某种商品的售价为每件150元，若按现售价的8折进行促销，设购买件需要元，则与间的函数表达式为 　　． 【答案】． 【解答】解：每件商品的实际售价为：（元， 与间的函数表达式为：． 故答案为：． 6．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段，分别表示该工作室每天的成本（单位：元），收入（单位：元）与销售量（单位；个）之间的函数关系．求该工作室一天制作工艺品超过多少个时开始盈利？ 【答案】30个． 【解答】解：设成本与销售量之间的函数关系为， 将点，代入，得， 解得：， ， 设收入与销售量之间的函数关系为， 将点代入得，， 解得：， ， 当该工作室某一天既不盈利也不亏损时，即， ， 解得：， 若该工作室某一天既不盈利也不亏损，则这天生产工艺品的个数是30． 7．暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金105元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示． 根据以上信息，解决下列问题： （1）请直接写出，关于的表达式 　，　； （2）当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 【答案】（1），；（2）当租车时间为小时时，两个公司所需费用相同；（3）当租车时间小于小时时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算；当租车时间大于小时时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算． 【解答】解：（1）设，， 把，代入得： ，解得， ， 把代入， ， ， 故答案为：，， （2）由函数图象可知，两公司所需费用相同， ， 解得：， 答：当租车时间为小时时，两个公司所需费用相同； （3）由（2）可知，当时，， 当时，， 当租车时间小于小时时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算； 当时，， 当租车时间大于小时时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算． 8．2023年7月28日至2023年8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在成都成功举办，美丽的东安湖体育公园给国内外朋友留下了深刻的印象；在公园建设过程中，准备在一块草地上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植单价（元与种植面积 之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元． （1）直接写出当和时，与的函数关系式； （2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共最终花费为121000元，那么甲、乙两种花卉的种植面积分别为多少？ 【答案】（1）与的函数关系式为； （2）甲、乙两种花卉的种植面积分别为300和． 【解答】解：（1）当时，设与的函数关系式为， 把，代入解析式得：， 解得， ； 当时，， 当时，． 与的函数关系式为； （2）当时， 由题：， 解得，（舍； 当时， ， 解得（舍， 甲、乙两种花卉的种植面积分别为300和． 9．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 【答案】（1）； ； （2）出入园8次时，两者花费一样，费用是160元； （3）选择乙种更合算． 【解答】解：（1）设， 根据题意得，解得， ； 设， 根据题意得：， 解得， ； （2）解方程组 解得：， 出入园8次时，两者花费一样，费用是160元； （3）当时，， ； 当时，， 解得； ， 选择乙种更合算． 10．近年来，西安以沉浸体验历史文化为依托，带火了西安旅游业的同时也掀起了穿汉服游西安的热潮，汉服逐渐成为了西安的一张文化名片．明月汉服馆某种汉服的盈利为40元件时，每天可售出20件，经市场调研发现，这种汉服每件的盈利每减少5元，每天可多售出10件，设这种汉服每件的盈利减少元时，该汉服馆每天可售出这种汉服件． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果这种汉服每件的盈利减少20元，那么该汉服馆每天可售出这种汉服多少件？ 【答案】（1）； （2）60件． 【解答】解：（1）根据题意得：与之间的函数关系式为， 即； （2）当时，， 如果这种汉服每件的盈利减少20元，那么该汉服馆每天可售出这种汉服60件． （3） 水电气费等问题 1．某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费1.6元，当出租车行驶路程为千米时，应收费为元． （1）请写出当时，与之间的关系式； （2）小亮乘出租车行驶5千米，应付多少元？ （3）小亮付车费19.2元，出租车行驶了多少千米？ 【解答】解：由题意得：当时， ， 当时，与之间的关系式为； （2）当时， ， 答：小亮乘出租车行驶5千米，应付11.2元； （3） ． 小亮付车费19.2元，出租车行驶了10千米． 2．项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“哪一款手机资费套餐更合适”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 60元 500分钟 5元 0.1元分钟 180元 1000分钟 3元 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． （1）建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系： ①小明妈妈5月份的通话时长为480分钟，使用流量，若使用套餐，这个月她的手机资费是 　110　元； ②设小明妈妈每月手机资费为（元，每月使用流量为，通过分析数据，完成下面的填空． 套餐：当时，　　；套餐：当时，　　． （2）图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出套餐和套餐每月手机资费（元关于每月使用流量的函数图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． （3）应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议． 【答案】（1）①110；②；；（2）见解析；（3）当每月使用流量不足时，使用套餐，当每月使用流量等于时，使用套餐和套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用套餐．（答案不唯一） 【解答】解：（1）①（元， 故答案为：110． ②当时，， 即， 当时，， 即． 故答案为：；． （2）函数图象，如图所示： （3）令， 解得：， 令， 解得：， 令， 解得：， 建议：当每月使用流量不足时，使用套餐，当每月使用流量等于时，使用套餐和套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用套餐． 3．为了增强居民的节水意识，临汾城区水价执行“阶梯式”计费，每月应交水费（元与用水量（吨之间的函数关系如图所示．若某用户5月份交水费18.05元，则该用户该月用水　9　吨． 【解答】解：当时，设， 将点，代入可得：， 解得：， 故， 由题意得，， 解得：，即该用户该月用水9吨． 故答案为：9． 4．某市为了鼓励居民在枯水期（当年11月至第二年5月）节约用电，规定至为用电高峰期，此期间用电电费（单位：元）与用电量（单位：度）之间满足的关系如图1所示；规定至第二天早上为用电低谷期，此期间用电电费（单位：元）与用电量（单位：元）之间满足如表1所示的一次函数关系． （1）求与的函数关系式；并直接写出当和时，与的函数关系式； （2）若市民王先生一家在12月份共用电350度，支付电费150元，求王先生一家在高峰期和低谷期各用电多少度． 低谷期用电量度 80 100 140 低谷期用电电费元 20 25 35 【解答】解：（1）设与的函数关系式为，根据题意得， 解得， 与的函数关系式为； 当时，与的函数关系式为； 当时，设，根据题意得 ， 解得， 与的函数关系式为； ； （2）设王先生一家在高峰期用电度，低谷期用电度， 当时，， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 解得． 答：王先生一家在高峰期用电230度，低谷期用电120度． 5．洛邑古城是洛阳文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验，某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲乙两个汉服体验店租用单价分别是60元件、80元件，清明节期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分可按得以原价的五折进行优惠； 设该旅行团需要租用件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． （1）请分别求出，关于的函数关系式； （2）若该旅行团租用30件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？ 【答案】（1），； （2）两家汉服体验店总租金一样便宜． 【解答】解：（1）根据题意可得：， 当时，， 当时，； （2）当时， ， ， 两家汉服体验店总租金一样便宜． 6．某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元． （1）求每吨水的市场调节价是多少元； （2）设每月用水量为吨，应交水费为元，写出与之间的关系式； （3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？ 【解答】解：（1）设每吨水的市场调节价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：每吨水的市场调节价为2.5元； （2）当时， ， 与之间的关系式是； （3）， 把代入得： ， 答：他家应交水费52元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复 （4） 工程问题 1．下面能大致反映某洗衣机在洗涤衣服时（在初始状态时，洗衣机内无水），该洗衣机在进水、清洗、排水过程中，洗衣机中的水量（升随时间（分钟）变化的图象是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， 在进水过程中，随的增大而增大，刚开始时， 在清洗过程中，随的增大不发生变化， 在排水过程中，随的增大而减小， 故选：． 2．我市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资（吨与时间（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是　　 A．4小时 B．4.3小时 C．4.4小时 D．5小时 【解答】解：物资一共有6吨，调出速度为：吨小时，需要时间为：（时 这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是：小时． 故选：． 3．甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多 　60　． 【答案】60． 【解答】解：由图象可知，甲每天挖掘的长度为， 乙每天挖掘的长度为， ， 甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多； 故答案为：60． 4．甲、乙两施工队分别从两端修一段长度为315米的公路，在施工过程中，甲队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与乙队共同按期完成任务，如表根据每天工程进度制作而成的．甲队技术改讲后比技术改进前每天多修路 　15　米． 施工时间天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 累计完成施工量米 25 50 75 100 115 155 195 235 275 315 【答案】15． 【解答】解：由题意可知，乙队每天修路：（米， 甲队技术改进前甲乙两人每天共修路：（米， 甲队技术改进前每天修路：（米， 根据表格可知，甲队技术改进后每天修路：（米， 甲队技术改进后比技术改进前每天多修路：（米， 故答案为：15． 5．在四川九寨沟县发生7.0级地震，习近平主席高度重视，立即作出重要指示，要求迅速组织力量救灾，最大限度减少人员伤亡，在本次救灾工作中，甲、乙两支清理队负责清理某路段泥石，两支清理队同时工作3小时后，乙队被调往别处，留下甲队继续工作3小时后完成了剩余的清理任务，已知甲队每小时清理泥石40吨，乙队每小时清理泥石的量保持不变，甲、乙两队在此路段清理泥石的总量（吨与清理时间（小时）之间的关系如图所示． （1）试问乙队每小时清理泥石多少吨？并求出此次任务中甲、乙两队清理泥石的总量的值； （2）求与之间满足的函数关系式． 【解答】解：（1）甲队每小时清理泥石40吨， 乙队每小时清理泥石为：（吨， ， 即乙队每小时清理泥石50吨，此次任务中甲、乙两队清理泥石的总量的值是390； （2）当时，设与的函数关系式是， ，得， 即当时，与的函数关系式是， 当时，设与的函数关系式为， ，得， 即当时，与的函数关系式为， 由上可得，与的函数关系式为． 6．某模具厂引进一种新机器，这种机器同一时间只能生产一种零件，每天只能工作8小时，每月工作25天．若一天用3小时生产型零件、5小时生产型零件共可生产34个；若一天用5小时生产型零件、3小时生产型零件则共可生产30个． （1）每小时可单独加工型零件、型零件各多少个？ （2）按市场统计，一个型零件的利润是150元，一个型零件的利润是100元，设该模具厂每月安排（小时）生产型零件，这两种零件所获得的总利润为（元，试写出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】（1）每小时可单独加工型零件3个，型零件5个；（2）与的函数关系式为． 【解答】解：（1）设每小时可单独加工型零件个，型零件个， 根据题意得：， 解得；， 答：每小时可单独加工型零件3个，型零件5个； （2）这种机器每天只能工作8小时，每月工作25天， 设该模具厂每月安排（小时）生产型零件，则每月安排小时生产零件， 由题意得：， 与的函数关系式为． 7．某物流公司引进、两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，种机器人于某日0时开始搬运，过了，种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量与时间的函数图象如图所示． （1）种机器人每小时搬运量为 　60千克　． （2）求种机器人的搬运量关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果、两种机器人分别连续搬运，那么种机器人比种机器人多搬运了 　　千克？ 【答案】（1）60千克； （2）． （3）种机器人比种机器人多搬运了150千克． 【解答】解：（1）由图象可知，种机器人搬运3小时搬运量为180千克， 每小时搬运量为千克． 故答案为：60千克； （2）设种机器人的搬运量关于的函数解析式为， 将、代入， ， 解得， 种机器人的搬运量关于的函数解析式为． （3）连续工作5小时，种机器人的搬运量为（千克）， 连续工作5小时，种机器人的搬运量为（千克）， 种机器人比种机器人多搬运了（千克）． 答：种机器人比种机器人多搬运了150千克． 故答案为：150． 8．某工厂的，两个车间同时生产产品，为提高生产效率，将车间的机器停产一段时间进行升级，升级后车间机器的生产效率提高为原来的2倍，两个车间分别生产产品的数量（件与时间之间的关系如图所示． （1）求的值及车间机器升级后与之间的函数解析式； （2）若，车间共生产的产品满300件可以打包一箱，则经过多长时间恰好能装满第1箱？（打包时间忽略） 【答案】（1）200，； （2）． 【解答】解：（1）由题图可得，车间机器原来每小时生产产品的数量为（件， 生产效率提高为原来的2倍， 车间机器升级后每小时生产产品100件， ， 解得， 设车间机器升级后与之间的函数解析式为， 将点，代入， 得， 解得， 车间机器升级后与之间的函数解析式为； （2）设车间机器生产产品的数量与时间之间的函数解析式为，将点代入，得， 解得， 车间机器生产产品的数量与时间之间的函数解析式为． 当时，，解得（不符合题意，舍去）； 当时，，解得（不符合题意，舍去）； 当时，，解得， 答：经过恰好能装满第1箱． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期 （五）其他 1．荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是儿童所喜爱．已知小明某次荡秋千，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示．结合图象，下列结论正确的有　　 ①变量是变量的函数； ②秋千静止时，最低点离地面的高度是； ③秋千摆第二个来回需； ④秋千离地面的高度随着抎动时间的增大而减小． A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】 【解答】解：①由图象可知，秋千离地面的高度随摆动时间的变化而变化， 变量是变量的函数， ①正确； ②的最小值是， 秋千静止时，最低点离地面的高度是， ②正确； ，即秋千摆第二个来回需， ③正确； 由图象可知，秋千离地面的高度并非随着摆动时间的增大而一直减小， ④不正确． 综上，①②③正确． 故选：． 2．在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有　　 ①物体的拉力随着重力的增加而增大； ②当物体的重力时，拉力； ③拉力与重力成正比例函数关系； ④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】 【解答】解：由图象可知，拉力随着重力的增加而增大， 故①正确； 拉力是重力的一次函数， 设拉力与重力的函数解析式为， 则， 解得：， 拉力与重力的函数解析式为， 当时，， 故②错误； 由图象知，拉力是重力的一次函数， 故③错误； 时，， 故④正确． 故选：． 3．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量与其运费（元由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设与的函数关系式为， 由题意可知， 解得， 所以函数关系式为， 当时，即，所以． 故选：． 4．某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度（厘米）与观察时间（天的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过10厘米至少需要经过　　 A．16天 B．32天 C．40天 D．60天 【答案】 【解答】解：根据题意设植物的高度（厘米）与观察时间（天的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得， 故解析式为， 将代入解得， ，故随的增大而增大， 故该植物的高度超过10厘米至少需要经过40天． 故选：． 5．《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南绘制如图的函数模型解决了此问题．图中（单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度，（单位：天）表示生长时间．根据小南的模型，点的横坐标和点的实际意义分别是　　 A．，点表示瓜蔓枯萎 B．，点表示瓜蔓垂到地面 C．，点表示瓜蔓垂到地面 D．，点表示瓠蔓垂到地面 【答案】 【解答】解：7寸尺． 瓜蔓在高9尺的墙上，向下伸，每天长7寸， 天时瓜蔓的高度． 地上种着瓠向上长，每天长1尺， 天时高度． 相遇时高度相等， ． 解得 两图象交点的横坐标为， 点表示瓜蔓垂到地面． 故选：． 6．在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，不计绳重和摩擦，他把得到的拉力和所悬挂重物的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论正确的有 　②③④　．（填序号） ①拉力与重力成正比例函数关系； ②拉力随着重物重力的增加而增大； ③当拉力时，物体的重力； ④当滑轮组不挂重物时，所用拉力为． 【答案】②③④． 【解答】解：由图象可知，拉力与重力成一次函数关系，拉力随着重力的增加而增大，故①错误，②正确； 拉力是重力的一次函数， 设拉力与重力的函数解析式为，则， 解得， 拉力与重力的函数解析式为， 当时，拉力，故③正确； 当时，拉力，故④正确； 故答案为：②③④． 7．如图，某物理兴趣小组在研究光的镜面反射时，为了更加直观的显示光的反射规律，于是把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中，一束光线从点出发，经轴上的点反射，沿射线方向反射出去，则反射光线所在的直线的函数表达式是 　　． 【答案】． 【解答】解：设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点的坐标为， 根据镜面知：和关于轴对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， 直线的解析式为． 故答案为：． 8．杆秤是衡器中历史最悠久的一种，作为商品流通的主要度量工具，代代相传，其大致示意图如图所示．当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加，秤砣到秤纽的水平距离就增加，请你写出秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂重物之间的函数关系式：　　． 【答案】． 【解答】解：由题意可得，， 故答案为：． 9．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用来表示表示码数，表示厘米数）．小亮爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是　42　码；小亮买了一双36码的凉鞋，鞋底长　　厘米． 【答案】42，23． 【解答】解：当厘米时， ， 当码时， ． 故答案为：42，23． 10．某地海拔高度与温度的关系可用来表示，则该地区某海拔高度为的山顶上的温度为 　　． 【答案】． 【解答】解：， 把代入，得：， 该地区某海拔高度为的山顶上的温度为， 故答案为：． 11．当弹簧受到重力的作用时会伸长，某学习小组用实验的方式研究了一个弹簧的长度与所挂物体重量之间的关系，并对每组数据进行了记录： 物体的重量x/kg 0 2 4 6 8 10 … 弹簧的长度y/cm 5 9 13 17 21 25 … （1）直接写出y与x的关系式；并指出所挂物体重量每增加l kg，弹簧长度如何变化？ （2）求出所挂物体重量为5.5kg时，弹簧的长度； （3）这根弹簧的弹性限度（即弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性）为29cm，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体？ 【答案】（1）所挂物体重量每增加1kg，弹簧长度就伸长2cm； （2）弹簧的长度为16cm； （3）在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂12kg重的物体． 【解答】解：（1）由表格信息可得：所挂物体重量每增加1kg，弹簧长度就伸长2cm； ∴y与x的关系式为：y＝2x+5； （2）当x＝5.5时，y＝2×5.5+5＝16， 答：弹簧的长度为16cm； （3）令y＝29，则2x+5＝29， ∴x＝12， 答：在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂12kg重的物体． 12．在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度（厘米）与燃烧时间（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲蜡烛燃烧前的高度是 　40　厘米，从点燃到燃尽所用的时间是 　　小时． （2）求甲蜡烛燃烧时与之间的函数解析式（不写范围）； （3）现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧2分钟，直接写出乙蜡烛的高度． 【答案】（1）40；2， （2）， （3）乙蜡烛的高度是30.5厘米， 【解答】解：（1）甲蜡烛燃烧前的高度是40厘米，从点燃到燃尽所用的时间是2小时． 故答案为：40；2； （2）设甲蜡烛燃烧时与之间的函数关系式为， 把，代入得， ， 解得，， 甲蜡烛燃烧时与之间的函数关系式为； （3）乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米， 乙蜡烛每小时燃烧（厘米）， 乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧2分钟， 乙蜡烛燃烧时间为（小时）， 乙蜡烛的高度是（厘米）， 答：乙蜡烛的高度是30.5厘米． 13．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：与充电时间（单位：的函数图象分别为图2中的线段，． 根据以上信息，回答下列问题． （1）求线段对应的函数解析式． （2）先用普通充电器充电 ，电量达到后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充电，电量充满时充电总时长为 ．通过计算求出，所对应的值，并在图2中画出电量与充电时间的函数图象． 【答案】（1）线段对应的函数解析式为； （2）的值为3，的值为4，图象见详解 【解答】解：（1）设线段对应的函数解析式为． 将，代入，得， 解得， 线段对应的函数解析式为； （2）将代入，得， 解得，即的值为3，即普通充电器充电时间为3小时． 由图知快速充电器2小时充电，因此每小时充电， 因此用快速充电器还需小时， ． 函数图象（图中粗实线）如下： 14．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1． 经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：与充电时间（单位：的函数图象分别为图2中的线段、． （1）求线段对应的函数表达式； （2）已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）设线段的函数表达式为， 将，代入， 即， 解得， 线段的函数表达式为； （2）根据题意，得， ． 15．【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解电动汽车电池需要多久能充满，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计如下两组实验． 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量与充电时间（小时）的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表1． 表1：汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 0 80 160 240 电量 100 80 60 40 【建立模型】（1）结合表1的数据求出仪表盘显示电量与行驶里程（千米）之间的函数表达式； 【解决问题】（2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点500千米处的目的地，若电动汽车平均每小时行驶80千米，行驶4小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）； （2）要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电0.5小时． 【解答】解：（1）根据表中数据可以得出仪表盘显示电量与行驶里程（千米）之间的函数关系为一次函数， 设， 将，代入得， 解得， 仪表盘显示电量与行驶里程（千米）之间的函数解析式为； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了， 当时，， 在服务区未充电前电量显示为， 假设充电充了小时，应增加电量：， 出发时电量为，走完剩余路程， ， 解得， 答：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电0.5小时． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一次函数 目录 【知识清单】 2 1．常量和变量 2 2．函数的定义 2 3．自变量取值范围的确定 2 4．函数解析式及函数值 3 5．函数的图象及其画法 3 6．正比例函数 3 7．一次函数 4 8．一次函数的平移 4 9．用待定系数法确定一次函数的解析式 4 【考点一】函数的定义及基本性质 5 【考点二】函数自变量的取值范围 6 【考点三】正比例函数的定义 7 【考点四】求正比例函数的解析式 8 【考点五】正比例函数的图象与性质 9 【考点六】一次函数的定义 12 【考点七】一次函数的图象与性质 13 【考点八】用待定系数法求解析式 18 【考点九】利用平移求解析式 20 【考点十】利用平行与垂直关系求解析式 21 【考点十一】一次函数与一元一次方程 22 【考点十二】一次函数与不等式 24 【考点十三】一次函数面积问题 29 （一） 知解析式求面积 29 （二） 知面积求解析式或点坐标 31 【考点十四】一次函数实际应用 35 （一） 行程问题 35 （二） 销售问题 41 （三） 水电气费等问题 45 （四） 工程问题 49 （五）其他 52 【知识清单】 1．常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． （1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． （3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． （4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 2．函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： （1）有两个变量． （2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． （3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 3．自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题 有意义． 4．函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． （1）函数解析式是等式． （2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． （3）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 5．函数的图象及其画法 （1）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． （2）用描点法画函数图象的一般步骤： ①列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值． ②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点． ③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 6．正比例函数 （1）正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 7．一次函数 （1）一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 8．一次函数的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 9．用待定系数法确定一次函数的解析式 求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 【考点归纳】 【考点一】函数的定义及基本性质 1．下列选项中，不是函数的是　　 A． B． C． D． 2．下列曲线中不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 3．下列各曲线中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 4．下列关系式中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 5．下列式子：①②③其中是的函数的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列四个等式中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 7．下列各曲线中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 8．下列各表达式不是表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【考点二】函数自变量的取值范围 1．函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≠﹣1 D．x≤﹣1 2．在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＞﹣5 C．x≠﹣5 D．x≠5 3．函数中，自变量n的取值范围是（　　） A．n≠2 B．n＞2 C．n≥2 D．n≤2 4．在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x≥﹣2且x≠﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥2 5．在函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 6．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　． 7．函数y＝x﹣1的定义域为 　 　． 8．函数+中，自变量x的取值范围为 　 　． 9．在函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 【考点三】正比例函数的定义 1．表示和成正比例关系的式子是　　 A． B． C． 2．如果是正比例函数，则的值是　　 A． B．0 C． D． 3．已知函数是正比例函数，则、的值为　　 A．， B．， C．， D．， 4．已知一次函数是正比例函数，则　　． 5．若关于的函数是正比例函数，则　　． 6．对于正比例函数，则　　． 7．若是关于的正比例函数，则的值为 　　． 8．当　　时，函数是正比例函数． 【考点四】求正比例函数的解析式 1．一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为　　 A． B． C． D． 2．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为　　 A． B． C． D． 3．已知正比例函数的图象经过点，则正比例函数的解析式为　　 A． B． C． D． 4．已知与成正比例，且时，，则与的函数解析式为 　　． 5．已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是　　． 6．已知与成正比例，当时，，则当时，的值是 　　． 7．已知与成正比例关系，且当时，． （1）求与之间的函数解析式． （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 8．已知与成正比例，当时，． ①求这个函数解析式． ②求当时的值． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点及点，求直线的函数解析式． 10．已知与成正比例关系，当时，，求：当时的值． 【考点五】正比例函数的图象与性质 1．正比例函数的图象如图所示，则的值可能是　　 A． B． C． D． 2．已知点，都在直线上，则，大小关系是　　 A． B． C． D． 3．已知点，都在正比例函数的图象上，则　　（填“”或“” 4．同一坐标系中，正比例函数，，，的图象如图所示，则下列式子成立的是　　 A． B． C． D． 5．正比例函数经过的象限是　　 A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 6．若直线是常数，经过第二、第四象限，写出一个符合条件的值 　　． 7．如图，一次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 　　（用“”符号连接） 8．正比例函数图象上有两点，，，，当时，，则的取值范围是 　　． 9．写出一个随的增大而减小的正比例函数的表达式 　　． 10．已知函数是正比例函数，求的值，并写出其图象经过哪个象限． 11．已知关于的函数，且该函数是正比例函数． （1）求的值； （2）若点，在该函数的图象上，请直接写出，的大小关系． 12．函数是正比例函数，且随增大而减小，求的值． 13．正比例函数的图象经过　　 A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 14．如图，这是正比例函数和的图象，则　　．（填“”“ ”或“” 15．已知正比例函数． （1）若函数图象经过第二、四象限，则的范围是什么？ （2）点在它的图象上，求它的表达式． 16．已知正比例函数．求： （1）为何值时，函数图象经过第一、第三象限； （2）为何值时，随的增大而减小； （3）为何值时，点在该函数图象上． 【考点六】一次函数的定义 1．下列函数是一次函数的是　　 A． B． C． D． 2．已知是关于的一次函数，则　　． 3．已知是关于的一次函数，则　　． 4．已知是一次函数，则　　． 5．若是关于的一次函数，那么的值是　　 A．1 B． C． D．0 6．下列函数中，是一次函数的是　　 A． B． C． D． 7．下列函数中，是一次函数的是　　 ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 8．已知函数是一次函数，则　　． 9．已知函数是关于的一次函数，则的值是 　　． 10．已知函数是一次函数，则　　． 【考点七】一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 2．一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 3．已知点为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 4．若函数是关于的一次函数，则它的图象不经过第 　　象限． 5．若，则直线不经过第 　　象限． 6．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是 　　． 7．若点在第二象限，则一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 8．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为　　 A． B． C． D． 9．已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 10．已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 11．点，，在一次函数是常数）的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 12．已知函数，随的增大而增大，写出一个满足条件的的值 　　． 13．若为小于3的常数，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 14．直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 15．一次函数在直角坐标系中的图象如图所示，化简：　　． 16．请写出一个随着增大而减小，且过点的一次函数表达式：　　． 17．已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 18．同一平面直角坐标系中，一次函数与，为常数）的图象可能是　　 A． B． C． D． 19．函数的图象是　　 A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限 21．关于一次函数，下列说法不正确的是　　 A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．当时， 22．关于函数，下列结论正确的是　　 A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与直线平行 D．随的增大而增大 23．对于一次函数，下列结论错误的是　　 A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图象 D．点，、，在函数图象上，若，则 24．关于一次函数，下列结论正确的是　　 A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．将一次函数的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点，和，在一次函数的图象上，若，则 25．关于一次函数，下列结论正确的是　　 A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 D．点，和，都在该函数图象上，若，则 26．关于一次函数，下列说法正确的是　　 A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象与轴交于点 C．点在函数图象上 D．图象经过第二、三、四象限 【考点八】用待定系数法求解析式 1．一次函数的图象经过点和，那么这个一次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象经过点和，则此函数的解析式为　　． 3．已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为　　 A． B． C． D． 4．已知一次函数图象过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为　　 A． B． C．或 D．或 5．若一条直线经过点和，这条直线的函数表达式为 　　． 6．如图所示，过点的直线交轴于点，点在原点上方，已知． （1）求点的坐标； （2）若过点的直线交轴于点，的面积为3，求直线的函数表达式． 7．一次函数图象的位置如图所示，请根据图中数据，写出一次函数的解析式　 　． 8．如图， 直线交轴于点，交轴于点，直线交于点，且，则直线的解析式为　 　． 9．一次函数图象经过点和，这个一次函数的解析式是　　． 10．一次函数的图象如图所示，请根据图中的数据，写出这个一次函数的表达式：　　． 11．已知：如图，在直角坐标系中，为原点，，．求： （1）过、两点的直线的解析式． （2）的面积． 【考点九】利用平移求解析式 1．将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为　　 A． B． C． D． 2．对于一次函数，下列结论错误的是　　 A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图象 D．点，、，在函数图象上，若，则 3．将直线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的表达式为 　　． 4．若直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为 　　． 5．将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　　． 6．若将直线的图象先向左平移4个单位，再向下平移5个单位所得直线解析式是 　　． 7．已知将向左平移3个单位长度得到的直线解析式为　　． 8．将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的表达式为 　　． 【考点十】利用平行与垂直关系求解析式 1．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式为 　　． 2．直线的解析式为，交轴于点，直线经过点且与互相垂直，则直线的解析式是　 　． 3．直线与轴交于点，若与垂直，且垂足是，则的解析式是 　　． 4．已知直线与轴、轴的交点分别为、，则线段的垂直平分线的解析式为　　． 5．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象与直线平行．请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数关系式：　　． 6．如图，光源发出的一束光，遇到平面镜轴）上的点的反射光线交轴于点，再被平面镜轴）上的点反射得光线，则直线的解析式为 　　． 7．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象互相平行，且经过点，则一次函数的解析式为　 　． 8．已知一次函数的图象经过点且和平行，则函数解析式为　 　． 9．经过点且与直线垂直的直线解析式是 　　． 10．已知一次函数的图象经过点． （1）若函数图象与平行，则一次函数的解析式为 　　． （2）若函数图象是由直线向上平移5个单位长度得到的、则一次函数的解析式为 　　； （3）关于轴对称后经过，则一次函数的解析式为 　　． （4）若函数图象与直线垂直，则一次函数图象与轴的交点坐标为 　　． 【考点十一】一次函数与一元一次方程 1．如图，函数的图象过点，则关于的方程的解是 　　． 2．已知一次函数 的图象如图所示，关于的方程的解是 　　． 3．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 　　． 4．如图，一次函数经过点，则关于的一元一次方程的解为 　　． 5．如图，已知一次函数的图象为直线，直线过和，则关于的方程的解为　　． 6．若一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 7．如图，直线过点和点，则方程的解是　　． 8．一次函数，为常数，且的图象如图所示，根据图象信息可求得关于的方程的解为　 　． 9．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是　　． 10．如图，已知直线，则关于的方程的解　　． 11．如图，已知直线与的交点的横坐标为，则关于的方程的解为　　． 【考点十二】一次函数与不等式 1．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1 2．如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 3．在直角坐标平面内，一次函数y＝2x﹣5的图象如图所示，那么下列说法错误的是（　　） A．当x＞0时，y＞﹣5 B．方程2 x﹣5＝0的解是 C．当y＜0时，x＜﹣5 D．不等式2x﹣5＞0的解集是 4．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b的位置如图所示，则不等式kx+b＞1的解集为（　　） A．x＜1 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．x＞﹣2 5．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＜3的解集为 　 　． 6．直线y＝mx+n在平面直角坐标系中的位置如图所示，则关于x的不等式mx+n≤﹣3的解集为 　 　． 7．如图，直线y＝kx+b经过A（﹣4，0）和B（﹣3，2）两点，则不等式0＜kx+b＜2的解集为 　 　． 8．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx≤mx+n的解集是 　 　． 9．如图所示，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，3），不等式kx+b≤mx+n的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2 10．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为（　　） A．x≤﹣1 B．x≤﹣2 C．x≥1 D．﹣2≤x＜﹣1 11．一次函数y1＝mx﹣n与y2＝﹣x+a的图象如图，则mx﹣n＞﹣x+a的解集为（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4 12．观察下列图象，可以得出不等式组的解集是（　　） A．x＜ B．﹣＜x＜0 C．0＜x＜2 D．﹣＜x＜2 13．一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x的不等式kx≥﹣x+3的解集是 　 　． 14．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（），则不等式2x＞ax+4的解集为 　 　． 15．如图，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b相交于点（1，2）．则不等式组ax+b＞kx＞0的解集为（　　） A．x＜0 B．0＜x＜1 C．x＜1 D．x＜0或x＞1 16．已知关于x的一次函数y1＝k1x与y2＝k2x+b的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＞k2x+b＞0的解集是　 　． 17．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6 交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＜x+b的解集是 　 　． 18．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣1）和B两点，则不等式x＜kx+b的解集为　 　． 19．直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为 　 　． 【考点十三】一次函数面积问题 （1） 知解析式求面积 1．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点、，和与轴交于点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求三角形的面积． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． （1）求出，两点的坐标； （2）求四边形的面积． 3．如图，已知一次函数与正比例函数图象相交于点，与轴交于点． （1）求出、的值； （2）求出的面积． 4．如图，直线与直线相交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求交点的坐标； （2）求的面积． （2） 知面积求解析式或点坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴的正半轴于点，且面积为10． （1）求直线的解析式； （2）如图，若点为线段上一点，且满足，求点的坐标； 2．如图，，，，过点的直线交于，交轴于，若，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴，轴交于点、，直线与直线交于点，直线过点，与轴交于点，点的纵坐标是． （1）求直线的解析式； （2）若点在轴上，且，求点坐标； 4．如图，直线分别交轴和轴于点和点，直线过点且与轴交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）若点为线段上动点，当时，求点的坐标； 5．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，过点的另一条直线分别交轴，轴的正半轴于点，． （1）求的值； （2）若． ①求直线的解析式； ②动点在线段和射线上运动时，是否存在点，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线的函数解析式； （2）若点是轴上一点，且，求点的坐标； 7．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过点的直线交轴的正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线的函数解析式． （2）如果在轴上有一点，使得，请求出点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点，点是轴上方一个动点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点在线段上，且，求点的坐标； （3）当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒，请直接写出的最小值． 【考点十四】一次函数实际应用 （1） 行程问题 1．图中反映某网约车平台收费（元与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），他从家到机场需要　　 A．10分钟 B．15分钟 C．18分钟 D．20分钟 2．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是　　 A．客车比出租车晚4小时到达目的地 B．客车速度为60千米时，出租车速度为100千米时 C．两车出发后3.25小时相遇 D．两车相遇时客车距乙地还有375千米 3．，两地相距100千米，甲车从地到地，乙车从地到地，乙车先出发，甲、乙两车之间的距离（千米）与行驶的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法： ①乙车比甲车先出发0.5小时；②甲车的速度是每小时80千米；③甲车到地比乙车到地早小时；其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒，甲、乙两人之间的距离为（米，与之间的函数关系如图所示，则图中的值是 　　． 5．甲、乙两车从地开往地，全程；所行的路程与时间的函数图象如图所示，下列问题：①乙车比甲车早出发；②甲车用追上乙车，此时乙车行驶；③乙车的速度小于甲车速度；④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用；以上正确的序号是 　　． 6．甲、乙两车分别从、两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发后出发，到达地后停止行驶，甲车到达地后，立即按原路原速返回地（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距地的路程（单位：与甲车出发时间（单位：之间的函数图象如图所示，下列结论正确的有 　　． ①，两地相距； ②乙车的速度约为； ③；④甲车的速度为； ⑤当乙车出发或，甲、乙两车相遇． 7．已知甲、乙两地相距，，两人沿同一公路从甲地出发到乙地，骑摩托车，骑电动车，图中，分别表示，两人离开甲地的路程与时间的关系图象．则两人相遇时，是在出发后 　　小时． 8．在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程（米与时间（分钟）之间的函数关系图象如图所示，下列结论中，正确的是 　　．（请将正确的序号填在横线上） ①这次比赛的全程是500米 ②乙队先到达终点 ③比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快 ④乙与甲相遇时乙的速度是375米分钟 ⑤在1.8分钟时，乙队追上了甲队 9．抗美援朝纪念馆位于丹东市鸭绿江畔的英华山上，是全国唯一全面反映中国人民抗美援朝战争和抗美援朝运动历史的专题纪念馆，周末小明和家人一起骑行从家出发去抗美援朝纪念馆，在馆内参观了1个小时，随后骑行去姥姥家，如图，折线表示他们离开家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的关系，根据图中信息解答下列问题： （1）小明家与纪念馆的距离是 　　千米，小明从家骑行到纪念馆的速度是 　　千米小时； （2）图中点表示的实际意义是 　　； （3）求小明及家人骑行去姥姥家的速度是多少千米小时？ 10．一慢车和一快车沿相同路线从地到相距120千米的地，所行地路程与时间的函数图象如图所示．试根据图象，回答下列问题： （1）慢车比快车早出发 　　小时，快车比慢车少用 　　小时到达地； （2）快车用了多少时间追上慢车；此时距离地多少千米？ （3）慢车行驶多少小时两车相距． 11．假期，小明一家开车去外婆家．外婆家离小明家456千米，途中在服务区加了油并适当休息了一段时间后，又以同样的速度继续行驶，图1反映了汽车行驶路程（千米）与时间（小时）之间的关系：图2反映了油箱中的剩余油量（升与行驶时间（小时）之间的关系．请根据图象解答下列问题： （1）在服务区加油和休息共用时 　　小时，加油量为 　　升； （2）汽车的行驶速度是 　　千米时，每小时耗油 　　升； （3）请直接写出行驶3小时前与之间的表达式、与之间的表达式； （4）按这样的情况计算，求汽车从开始出发到抵达目的地共用多少小时？汽车抵达外婆家时，油箱里还剩下多少油？ 12．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地行驶，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）在轿车行进过程中，轿车行驶多少时间，两车相距15千米． 13．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米与乙出发的时间（秒之间的函数关系如图所示．求： （1）乙的速度； （2）离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距起点多远； （3）乙到达终点时，甲距离终点还有多远？ 14．在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； （2）求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． （2） 销售问题 1．“千里游学，古已有之”，两名老师带领名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为40元，每位学生的费用为20元．设研学的总费用为元，则与的函数关系为　　 A． B． C． D． 2．甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如下所示，设购买体育用品的原价总额为元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是　　 结论Ⅰ：当时，与之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，的值为100或800 甲店：所有商品按原价八折出售； 乙店：一次性购买商品总额不超过200元时按原价付款；超过200元时，其中200元无优惠，超过200元的部分享受七折优惠 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 3．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． （1）品牌的函数关系式为 　　； （2）当两种收费相差1.4元时，的值为 　　． 4．某水果店以每千克8元的价格购进100千克黄桃，销售一半后进行打折销售，销售所得金额（元与销售量，则销售完这100千克黄桃获得的利润是 　　元． 5．某种商品的售价为每件150元，若按现售价的8折进行促销，设购买件需要元，则与间的函数表达式为 　　． 6．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段，分别表示该工作室每天的成本（单位：元），收入（单位：元）与销售量（单位；个）之间的函数关系．求该工作室一天制作工艺品超过多少个时开始盈利？ 7．暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金105元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示． 根据以上信息，解决下列问题： （1）请直接写出，关于的表达式 　　； （2）当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 8．2023年7月28日至2023年8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在成都成功举办，美丽的东安湖体育公园给国内外朋友留下了深刻的印象；在公园建设过程中，准备在一块草地上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植单价（元与种植面积 之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元． （1）直接写出当和时，与的函数关系式； （2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共最终花费为121000元，那么甲、乙两种花卉的种植面积分别为多少？ 9．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 10．近年来，西安以沉浸体验历史文化为依托，带火了西安旅游业的同时也掀起了穿汉服游西安的热潮，汉服逐渐成为了西安的一张文化名片．明月汉服馆某种汉服的盈利为40元件时，每天可售出20件，经市场调研发现，这种汉服每件的盈利每减少5元，每天可多售出10件，设这种汉服每件的盈利减少元时，该汉服馆每天可售出这种汉服件． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果这种汉服每件的盈利减少20元，那么该汉服馆每天可售出这种汉服多少件？ （3） 水电气费等问题 1．某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费1.6元，当出租车行驶路程为千米时，应收费为元． （1）请写出当时，与之间的关系式； （2）小亮乘出租车行驶5千米，应付多少元？ （3）小亮付车费19.2元，出租车行驶了多少千米？ 2．项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“哪一款手机资费套餐更合适”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 60元 500分钟 5元 0.1元分钟 180元 1000分钟 3元 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． （1）建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系： ①小明妈妈5月份的通话时长为480分钟，使用流量，若使用套餐，这个月她的手机资费是 　　元； ②设小明妈妈每月手机资费为（元，每月使用流量为，通过分析数据，完成下面的填空． 套餐：当时，　　；套餐：当时，　　． （2）图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出套餐和套餐每月手机资费（元关于每月使用流量的函数图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． （3）应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议． 3．为了增强居民的节水意识，临汾城区水价执行“阶梯式”计费，每月应交水费（元与用水量（吨之间的函数关系如图所示．若某用户5月份交水费18.05元，则该用户该月用水　 　吨． 4．某市为了鼓励居民在枯水期（当年11月至第二年5月）节约用电，规定至为用电高峰期，此期间用电电费（单位：元）与用电量（单位：度）之间满足的关系如图1所示；规定至第二天早上为用电低谷期，此期间用电电费（单位：元）与用电量（单位：元）之间满足如表1所示的一次函数关系． （1）求与的函数关系式；并直接写出当和时，与的函数关系式； （2）若市民王先生一家在12月份共用电350度，支付电费150元，求王先生一家在高峰期和低谷期各用电多少度． 低谷期用电量度 80 100 140 低谷期用电电费元 20 25 35 5．洛邑古城是洛阳文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验，某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲乙两个汉服体验店租用单价分别是60元件、80元件，清明节期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分可按得以原价的五折进行优惠； 设该旅行团需要租用件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． （1）请分别求出，关于的函数关系式； （2）若该旅行团租用30件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？ 6．某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元． （1）求每吨水的市场调节价是多少元； （2）设每月用水量为吨，应交水费为元，写出与之间的关系式； （3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？ （4） 工程问题 1．下面能大致反映某洗衣机在洗涤衣服时（在初始状态时，洗衣机内无水），该洗衣机在进水、清洗、排水过程中，洗衣机中的水量（升随时间（分钟）变化的图象是　　 A． B． C． D． 2．我市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资（吨与时间（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是　　 A．4小时 B．4.3小时 C．4.4小时 D．5小时 3．甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多 　　． 4．甲、乙两施工队分别从两端修一段长度为315米的公路，在施工过程中，甲队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与乙队共同按期完成任务，如表根据每天工程进度制作而成的．甲队技术改讲后比技术改进前每天多修路 　　米． 施工时间天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 累计完成施工量米 25 50 75 100 115 155 195 235 275 315 5．在四川九寨沟县发生7.0级地震，习近平主席高度重视，立即作出重要指示，要求迅速组织力量救灾，最大限度减少人员伤亡，在本次救灾工作中，甲、乙两支清理队负责清理某路段泥石，两支清理队同时工作3小时后，乙队被调往别处，留下甲队继续工作3小时后完成了剩余的清理任务，已知甲队每小时清理泥石40吨，乙队每小时清理泥石的量保持不变，甲、乙两队在此路段清理泥石的总量（吨与清理时间（小时）之间的关系如图所示． （1）试问乙队每小时清理泥石多少吨？并求出此次任务中甲、乙两队清理泥石的总量的值； （2）求与之间满足的函数关系式． 6．某模具厂引进一种新机器，这种机器同一时间只能生产一种零件，每天只能工作8小时，每月工作25天．若一天用3小时生产型零件、5小时生产型零件共可生产34个；若一天用5小时生产型零件、3小时生产型零件则共可生产30个． （1）每小时可单独加工型零件、型零件各多少个？ （2）按市场统计，一个型零件的利润是150元，一个型零件的利润是100元，设该模具厂每月安排（小时）生产型零件，这两种零件所获得的总利润为（元，试写出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 7．某物流公司引进、两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，种机器人于某日0时开始搬运，过了，种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量与时间的函数图象如图所示． （1）种机器人每小时搬运量为 　　． （2）求种机器人的搬运量关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果、两种机器人分别连续搬运，那么种机器人比种机器人多搬运了 　　千克？ 8．某工厂的，两个车间同时生产产品，为提高生产效率，将车间的机器停产一段时间进行升级，升级后车间机器的生产效率提高为原来的2倍，两个车间分别生产产品的数量（件与时间之间的关系如图所示． （1）求的值及车间机器升级后与之间的函数解析式； （2）若，车间共生产的产品满300件可以打包一箱，则经过多长时间恰好能装满第1箱？（打包时间忽略） （五）其他 1．荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是儿童所喜爱．已知小明某次荡秋千，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示．结合图象，下列结论正确的有　　 ①变量是变量的函数； ②秋千静止时，最低点离地面的高度是； ③秋千摆第二个来回需； ④秋千离地面的高度随着抎动时间的增大而减小． A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 2．在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有　　 ①物体的拉力随着重力的增加而增大； ②当物体的重力时，拉力； ③拉力与重力成正比例函数关系； ④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 3．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量与其运费（元由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为　　 A． B． C． D． 4．某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度（厘米）与观察时间（天的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过10厘米至少需要经过　　 A．16天 B．32天 C．40天 D．60天 5．《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南绘制如图的函数模型解决了此问题．图中（单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度，（单位：天）表示生长时间．根据小南的模型，点的横坐标和点的实际意义分别是　　 A．，点表示瓜蔓枯萎 B．，点表示瓜蔓垂到地面 C．，点表示瓜蔓垂到地面 D．，点表示瓠蔓垂到地面 6．在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，不计绳重和摩擦，他把得到的拉力和所悬挂重物的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论正确的有 　　．（填序号） ①拉力与重力成正比例函数关系； ②拉力随着重物重力的增加而增大； ③当拉力时，物体的重力； ④当滑轮组不挂重物时，所用拉力为． 7．如图，某物理兴趣小组在研究光的镜面反射时，为了更加直观的显示光的反射规律，于是把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中，一束光线从点出发，经轴上的点反射，沿射线方向反射出去，则反射光线所在的直线的函数表达式是 　　． 8．杆秤是衡器中历史最悠久的一种，作为商品流通的主要度量工具，代代相传，其大致示意图如图所示．当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加，秤砣到秤纽的水平距离就增加，请你写出秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂重物之间的函数关系式：　　． 9．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用来表示表示码数，表示厘米数）．小亮爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是　　码；小亮买了一双36码的凉鞋，鞋底长　　厘米． 10．某地海拔高度与温度的关系可用来表示，则该地区某海拔高度为的山顶上的温度为 　　． 11．当弹簧受到重力的作用时会伸长，某学习小组用实验的方式研究了一个弹簧的长度与所挂物体重量之间的关系，并对每组数据进行了记录： 物体的重量x/kg 0 2 4 6 8 10 … 弹簧的长度y/cm 5 9 13 17 21 25 … （1）直接写出y与x的关系式；并指出所挂物体重量每增加l kg，弹簧长度如何变化？ （2）求出所挂物体重量为5.5kg时，弹簧的长度； （3）这根弹簧的弹性限度（即弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性）为29cm，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体？ 12．在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度（厘米）与燃烧时间（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲蜡烛燃烧前的高度是 　　厘米，从点燃到燃尽所用的时间是 　　小时． （2）求甲蜡烛燃烧时与之间的函数解析式（不写范围）； （3）现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧2分钟，直接写出乙蜡烛的高度． 13．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：与充电时间（单位：的函数图象分别为图2中的线段，． 根据以上信息，回答下列问题． （1）求线段对应的函数解析式． （2）先用普通充电器充电 ，电量达到后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充电，电量充满时充电总时长为 ．通过计算求出，所对应的值，并在图2中画出电量与充电时间的函数图象． 14．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1． 经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：与充电时间（单位：的函数图象分别为图2中的线段、． （1）求线段对应的函数表达式； （2）已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值． 15．【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解电动汽车电池需要多久能充满，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计如下两组实验． 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量与充电时间（小时）的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表1． 表1：汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 0 80 160 240 电量 100 80 60 40 【建立模型】（1）结合表1的数据求出仪表盘显示电量与行驶里程（千米）之间的函数表达式； 【解决问题】（2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点500千米处的目的地，若电动汽车平均每小时行驶80千米，行驶4小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 学科网（北京）股份有限公司 $$