第08讲 垂径定理（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第08讲 垂径定理（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型强化 题型一．垂径定理 1．（2022秋•宁波期末）在圆中，，，，四点在圆上，，，，则的值为 　　． 2．（2022秋•椒江区期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定的是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•余杭区校级月考）如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，连接． （1）求的度数． （2）若，求的半径． 题型二．垂径定理的应用 4．（2023秋•宁海县校级月考）如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是　　 A． B． C． D． 5．（2024•玉环市二模）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，则这根圆柱形木材的半径是 　　． 6．（2023秋•上城区校级期中）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得． （1）求的长； （2）如果水位以0.4米小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 分层练习 一、单选题 1．下列命题中，正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直弦的直线必过圆心 D．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 2．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 3．如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ） A． B．4 C．6 D． 4．如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点（点不与点重合），则的大小可能是（    ） A． B． C． D． 6．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（    ） A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸 7．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 8．如图，已知的半径为5，弦，则上到弦所在直线的距离为2的点有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 10．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 二、填空题 11．已知⊙O的直径长为10，弦AB长为8，弦长CD为6，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为 . 12．如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 14．某公路隧道的形状如图所示，由和围成，隧道的最高点E离路面的距离，已知应急照明灯A设置在上且在C的正上方，，现打算在路面的最右侧修建宽的人行道，因此需将应急照明灯移动到F的正上方G处，则应急照明灯需上升的高度为 m． 15．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 16．图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为 cm． 三、解答题 17．请你利用直尺和圆规把弧四等分． 18．如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP=5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条． 19．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF． （1）求证：△AFO≌△CEB； （2）若BE＝4，CD＝8，求： ①⊙O的半径； ②求图中阴影部分的面积． 20．如图，已知，经过圆心，且分别垂直弦，于点，点． (1)求证：； (2)若，求圆的半径长． 21．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 22．如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 23．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)圆心P的坐标为______； (2)判断点与的位置关系． 24．根据素材解决问题． 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，查阅资料知道桥拱半径为，测得水面宽                  素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式                 素材2 问题解决 任务1 确定拱顶离水面的距离（C，D分别是弧和弦的中点） 求的长 任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 垂径定理（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型强化 题型一．垂径定理 1．（2022秋•宁波期末）在圆中，，，，四点在圆上，，，，则的值为 　　． 【分析】连接，如图所示，由直径所对的圆周角为直角可知，根据垂径定理及勾股定理求出、，代入求值即可得到答案． 【解答】解：连接，如图所示： ，，，设圆半径为， ， 在中，，则， ，解得， 在中，，， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查的是垂径定理，涉及圆周角定理的推论、勾股定理及解方程等知识，熟练掌握圆的性质及勾股定理是解决问题的关键． 2．（2022秋•椒江区期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：是的直径，弦垂直于点， ，弧弧，弧弧， ，， 而不一定成立， 故选：． 【点评】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 3．（2022秋•余杭区校级月考）如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，连接． （1）求的度数． （2）若，求的半径． 【分析】（1）根据垂径定理得出，，根据线段垂直平分线性质得出，，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可； （2）根据等边三角形的性质得出，根据等边三角形的性质得出，求出，再根据勾股定理求出即可． 【解答】解：（1），过圆心， ， ， 同理，， ， 是等边三角形， ； （2）是等边三角形， ， ，， ， ， ，， 即， 解得：（负数舍去）， ， 即的半径为2． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键． 题型二．垂径定理的应用 4．（2023秋•宁海县校级月考）如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是　　 A． B． C． D． 【分析】连接、，先由垂径定理可得长，再由勾股定理得长，从而求出长． 【解答】解：如图，连接、， 则， ， 在中，， ． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 5．（2024•玉环市二模）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，则这根圆柱形木材的半径是 　10　． 【分析】连接、，由垂径定理得，设圆的半径为 ，再在中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径． 【解答】解：连接、，如图： 由题意得：为的中点， 则、、三点共线，， ， 设圆的半径为 ，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 这根圆柱形木材的半径为． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 6．（2023秋•上城区校级期中）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得． （1）求的长； （2）如果水位以0.4米小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 【分析】（1）设米，则米，由勾股定理求得的长，即可得出结论； （2）延长交圆于点，求得的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）直径米， （米， ， ， ， ， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负值已舍去）， 米， （米； （2）由（1）得：米， 如图，延长交圆于点， （米， （小时）， 答：经过5小时桥洞会刚刚被灌满． 【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列命题中，正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直弦的直线必过圆心 D．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 【答案】D 【分析】根据不共线的三点确定一个圆，垂径定理及其推论，圆的对称性解答即可． 本题考查了确定圆的方法，垂径定理及其推论，圆的对称性，熟练掌握圆的基本性质和垂径定理是解题的关键． 【详解】解：A． 不共线的三点确定一个圆，不符合题意； B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，不符合题意； C．垂直且平分弦的直线必过圆心，不符合题意； D． 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意， 故选D． 2．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【答案】C 【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况. 【详解】①当△ABC时锐角三角形时， 连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D， ∴  ， ∵OB=2 ∴ ∴∠BOD=60° ∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°， ∵=， ∴； ②当△ABC时钝角三角形时，如图， 由①可知∠E=60°， ∵四边形ABEC是圆内接四边形， ∴∠E+∠A=180°， ∴∠A=180°-60°=120°. 故∠A的度数为60°或120°. 故答案为：C 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键. 3．如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】作的半径于，连接、，如图，利用折叠的性质得垂直平分，则，于是可判断为等边三角形，所以，利用含30度的直角三角形三边的关系求出，然后利用垂径定理得到，从而得到的长．本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质． 【详解】解：作的半径于，连接、，如图， 圆折叠后，圆弧恰好经过圆心， 垂直平分， ， 而， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了拱高的定义，垂径定理，勾股定理；圆心为，连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；理解拱高的定义，能结合垂径定理熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：圆心为，连接， 设， ， ， ， 在中， ， ， 解得：； ； 故选：B． 5．如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点（点不与点重合），则的大小可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键．连接，先求出，，设，则，，然后运用等腰三角形的性质分别求得和的值，然后即可解答． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为弦的中点， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即可能是． 故选：C． 6．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（    ） A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸 【答案】A 【分析】过点O作，交于点D，交于点E，设的半径为r．在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：过点O作，交于点D，交于点E， 设的半径为r． 在中，， 由勾股定理得出方程， 解得：， ∴的直径为26寸， 故答案为：26． 7．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于D，      由题意得：米，， 米，， 在中 米， 米， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 8．如图，已知的半径为5，弦，则上到弦所在直线的距离为2的点有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，根据勾股定理求出OE的长，求得C、E到弦AB所在的直线距离，与2比较大小，即可判断． 【详解】解：作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA， ∵AB=8， ∴AD=4． ∵OA=5， ∴OD==3， ∴CD=OC-3=5-3=2，即C到弦AB所在的直线距离为2， ∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C点； ∵DE=5+3=8＞2， ∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，转化为C、E到弦AB所在的直线距离，与2比较大小是关键． 9．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 10．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，根据垂径定理求得OC，利用圆的半径求得CD即可. 【详解】如图，连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D， ∵AB=24， ∴AC=12， ∵OA=13， 在直角三角形OAC中， OC==5， ∴CD=OD-OC=13-5=8， 故选C. 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键. 二、填空题 11．已知⊙O的直径长为10，弦AB长为8，弦长CD为6，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为 . 【答案】1或7 【分析】连接OA，OC，作直线EF⊥AB于E，交CD于F，由AB∥CD，根据垂径定理得到AE= AB=3，CF=CD=4，再根据勾股定理可计算出OF=4，OE=3，然后分类讨论：当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF-OE；②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF=OE+OF． 【详解】解：如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F， ∵AB∥CD， ∴EF⊥CD． ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE=AB=3，CF=CD=4， ①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF-OE=1； ②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF=OE+OF=7． 则AB与CD间的距离为1或7． 故答案为1或7. 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 12．如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用．设圆心为，连接，依题得，为的中点，则三点共线，，设圆的半径为，由，则，再用勾股定理列出等量关系求解即可． 【详解】解：如图，设圆心为，连接， 依题得，为的中点 则三点共线， 设圆的半径为，由，则 在中，由勾股定理得 解得． 故答案为：10． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，据此即可求解； 【详解】解：由图可知：， 分别作出弦的垂直平分线，如图所示： 根据弦的垂直平分线必过圆心可得：该圆弧所在圆的圆心坐标为， 故答案为： 14．某公路隧道的形状如图所示，由和围成，隧道的最高点E离路面的距离，已知应急照明灯A设置在上且在C的正上方，，现打算在路面的最右侧修建宽的人行道，因此需将应急照明灯移动到F的正上方G处，则应急照明灯需上升的高度为 m． 【答案】1 【分析】作线段的垂直平分线交于点O，即为圆心，交于点N，连接，过点A作于点M，过点G作于点H，连接，根据矩形的判定得出四边形为矩形，再由垂径定理得出所在圆的半径为，即，利用矩形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线交于点O，即为圆心，交于点N，连接，过点A作于点M，过点G作于点H，连接，如图所示； 根据题意得， ∴四边形为矩形， 同理：四边形为矩形， ∵垂直平分，， ∴， ∴所在圆的半径为，即， ∴， ∵最右侧修建宽的人行道， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴应急照明灯需上升的高度为， 故答案为：1． 15．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 16．图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为 cm． 【答案】14 【分析】本题考查三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，垂径定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线找出圆心所在的直线是解题的关键． 【详解】过点B作于点M，取的中点Q，连接并延长交AC于点P， ∵Q是BM的中点，点E是的中点， ∴，， ∴点P、Q、E、F共线， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴四边形，也是矩形， ∴，，， ∴， ∴是的垂直平分线，即直线是直径所在的直线， 在上取圆心为O，连接， 设，则， 在Rt△APO中， ∴， 解得：， 故答案为：14． 三、解答题 17．请你利用直尺和圆规把弧四等分． 【答案】答案见详解． 【分析】利用弦、弧与直径的关系，平分弦平分弦所对的两条弧先作AB的垂径交圆弧与C，连结AC、BC再作AC、BC的垂径，交圆弧于E、D，则E、C、D满足条件． 【详解】以A、B两点为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧交于G、H两点，过G、H作直线GH交圆弧与C， 连结AC、BC， 以A、C两点为圆心，以大于AC为半径画弧，两弧交于M、N两点，过M、N作直线MN交圆弧与E， 以B、C两点为圆心，以大于BC为半径画弧，两弧交于P、Q两点，过P、Q作直线PQ交圆弧与D， 则E、C、D三点把圆弧四等分． 【点睛】本题考查尺规作图问题，掌握尺规作图的方法，会利用圆弧，弦与直径的关系作圆弧等分问题是解题关键． 18．如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP=5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条． 【答案】（1）见解析；（2）①过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②4 【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB=24，即可得出答案； ②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP， 则弦AB即为所求； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为直径26，与OP垂直的弦最短， 连接OA，如图2所示： ∵OP⊥AB， ∴AP=BP===12， ∴AB=2AP=24， ∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26； ②∵过P点最长的弦为直径26， 最短的弦24， 长度为25的弦有两条， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 19．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF． （1）求证：△AFO≌△CEB； （2）若BE＝4，CD＝8，求： ①⊙O的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①8；② 【分析】（1）根据垂径定理知BC＝BD，再利用圆周角定理知∠A＝∠DCB，而∠AFO＝∠CEB，故可证明△AFO≌△CEB；（2）①利用垂径定理得出CE=4，设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，根据勾股定理可得r2＝（r﹣4）2+（4）2，即可求出r；②根据阴影部分等于扇形OABD的面积减去△CDO的面积即可求出. 【详解】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴BC＝BD， ∴∠A＝∠DCB， ∴OF⊥AC， ∴∠AFO＝∠CEB， ∵BE＝OF， ∴△AFO≌△CEB（AAS）． （2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴CE＝CD＝4 设 OC＝r，则 OE＝r﹣4， ∴r2＝（r﹣4）2+（4）2 ∴r＝8． ②连结 OD． ∵OE＝4＝OC， ∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°， ∴∠COD＝120°， ∵△AFO≌△CEB， ∴S△AFO＝S△BCE， ∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD ＝﹣ ＝﹣16. 【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理、扇形面积求法及圆内的勾股定理的使用. 20．如图，已知，经过圆心，且分别垂直弦，于点，点． (1)求证：； (2)若，求圆的半径长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）与交于，连接，由等腰三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，同理可证，即可得证； （2）可判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，，由余弦函数得，即可求解； 掌握相关的判定方法及性质，判定出是等边三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：与交于，连接， ， ， 是的垂直平分线， ， 同理可证：， ； （2）解：由（1）得 ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； 圆的半径为． 21．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【答案】证明见解析. 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 22．如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，详见解析 (3)或8 【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案； （2）证明，得出，证出四边形是平行四边形，由（1）得，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）得， 四边形是菱形； （3）解：，， ①如图1，当点在点左侧时， ， ， ， 在中，， ． ②如图2，当点在点右侧时， ， ， ， 在中，， ． 23．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)圆心P的坐标为______； (2)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)点Q在上 【分析】本题主要考查确定圆的条件、坐标与图形性质、点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断 【详解】（1）解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心P 的坐标为， 故答案为：； （2）∵圆的半径，线段， ∴ ∴点Q在上． 24．根据素材解决问题． 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，查阅资料知道桥拱半径为，测得水面宽                  素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式                 素材2 问题解决 任务1 确定拱顶离水面的距离（C，D分别是弧和弦的中点） 求的长 任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】任务1：圆形拱桥的长为；任务2：根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过 【分析】本题考查二次函数的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 任务1，设圆心为点O，则点O在延长线上，延长，则经过点O，连结，由勾股定理，垂径定理，列出关于线段的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【详解】解：任务1，设设圆心为点O，则点O在延长线上，延长，则经过点O，连结，如图， ∵桥拱半径为，测得水面宽 则 ∵， ∴ ∵， ∴， 整理得 ∴，（舍去） ∴圆形拱桥的长为． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过．理由： 当是的弦时，与的交点为M，连接如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， ∴船在水面部分可以下降的高度 ∵ ∴， ∴，或（舍去）， ∴至少要增加吨的货物才能通过. 学科网（北京）股份有限公司 $$