第08讲 等腰三角形的性质定理（1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第08讲 等腰三角形的性质定理（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 题型强化 题型一．等腰三角形的性质 1．（2023秋•新昌县期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的底角度数为 　　． 2．（2022秋•沙洋县期末）已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是　　 A．17或22 B．22 C．17 D．13 3．（2023秋•嵊州市期末）一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 题型二、等腰三角形的性质和判定 4．（八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（八年级上·浙江宁波·期中）如图，AB=AC=4，∠A=45°，P为BC边上的一个动点，PD⊥AB于点    D,PE⊥AC于点E，则PE+PD= ． 6．（浙江杭州·中考真题）如图，在中，. ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数. 分层练习 一、单选题 1．如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点，若BC=6，则BD的长为(        ) A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，AB＝AC，∠B＝30°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAC＝（      ） A．30° B．40° C．60° D．120° 3．下列命题是假命题的是（    ） A．直角都相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．相等的角是对项角 D．全等三角形的对应边相等 4．如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 6．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，点是边上一点，，过点作交于，若是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，点D在边上，将沿翻折，得到，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在中，已知，，是的中点，点、分别在、边上运动（点不与点、重合），且保持，连接、、．在此运动变化的过程中，有下列结论，其中正确的结论是（    ） ①四边形有可能成为正方形；②是等腰直角三角形； ③四边形的面积是定值；④点到线段的最大距离为． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．已知等边三角形的周长为18，则边长为 ． 12．如图，等边中，是边上的中线，且，E，P分别是，上的动点，则的最小值等于 ． 13．如图，等边的边长为，D、E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ．    14．如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则 ． 15．中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，连接，若以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点坐标为 ． 三、解答题 17．如图，已知​均是等边三角形​​​． (1)找出图中一对全等三角形，并证明； (2)猜想线段三者有何数量关系，说明理由． 18．如图，在等腰中，，CE是的平分线，，垂足为D． 请直接写出图中所有的等腰三角形不包括 请判断AD与CE是否垂直，并说明理由． 如果，求的值． 19．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°．点D在线段BC上运动（点D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E． (1)当∠BAD=20°时，∠EDC=______°； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？并说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 20．学完“等边三角形”一节后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分别在正的边，上，且，，所在直线相交于点Q．求证：． (1)请完成这道思考题的证明； (2)做完（1）后，爱动脑筋的同学提出了如下问题：若将题中的点M，N分别移动到，的延长线上，是否仍能得到?请作出判断，并说明理由． 21．如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 22．如图，在中，，，D在BC边上，P，Q是射线AD上两点，且，． 求证：≌． 若，． 求：的长；的面积． 23．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．    (1)如图①，若是等边三角形，且，点在线段上． ①求证：； ②当四边形的周长取最小值时，求的长． (2)若，当点在线段的延长线上移动时，如图②，则和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 24．已知在中，，点 在的外部，且． （1）如图 1，若，设，求； （2）如图 2，取 中点，证明：三边的垂直平分线交于点； （3）如图 3，点 在线段上，线段的垂直平分线交的延长线于点 ． 当线段与线段互相平分（两条线段交于一点，两条线段都被交点平分）时，证明：为直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 等腰三角形的性质定理（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 题型强化 题型一．等腰三角形的性质 1．（2023秋•新昌县期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的底角度数为 　　． 【分析】根据外角的度数求出与它相邻的内角的度数，再根据这个角为顶角和底角2种情况进行讨论求解． 【解答】解：等腰三角形的一个外角是， 与它相邻的内角的度数为， ①当110度为顶角时，底角的度数为， ②当110度为底角时，此时顶角的度数为，不满足题意； 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，注意分类讨论． 2．（2022秋•沙洋县期末）已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是　　 A．17或22 B．22 C．17 D．13 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：分两种情况： 当腰为4时，，所以不能构成三角形； 当腰为9时，，，所以能构成三角形，周长是：． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 3．（2023秋•嵊州市期末）一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【分析】（1）设等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可． 【解答】解：（1）设等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ， 由题意得：， 解得： ，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是，，； （2）当腰为时，底边长为：， 其余两边分别为，，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， 其余两边分别为，，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 题型二、等腰三角形的性质和判定 4．（八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【详解】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个． 故选D. 点睛：此题考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形的内角和定理，由已知的条件利用相关的性质，求得各个角的度数是正确解题的关键. 5．（八年级上·浙江宁波·期中）如图，AB=AC=4，∠A=45°，P为BC边上的一个动点，PD⊥AB于点    D,PE⊥AC于点E，则PE+PD= ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【详解】连接AP,过点C作CF⊥AB于点F ∵∠A=45°， ∴CF=AC=2， ∴S△ABC=AB⋅CF=4 S△ACP+S△ABP=AC⋅PF+AB⋅PD=2 (PF+PD) ∵S△ABC=S△ACP+S△ABP ∴4=2 (PF+PD) ∴PF+PD=2 点睛：本题考查三角形的综合问题，解题的关键是根据含30°角的直角三角形的性质求出CF的高，然后利用三角形的面积关系求出PD+PF的值，本题属于基础题型． 6．（浙江杭州·中考真题）如图，在中，. ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°. 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案. 【详解】（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上， 所以PA=PB， 所以∠PAB=∠B， 所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）根据题意，得BQ=BA， 所以∠BAQ=∠BQA， 设∠B=x， 所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x， 所以∠BAQ=∠BQA=2x， 在△ABQ中，x+2x+2x=180°， 解得x=36°，即∠B=36°. 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质. 分层练习 一、单选题 1．如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点，若BC=6，则BD的长为(        ) A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵BA=BC，∠ABC=120°， ∴∠C=∠A=30°， ∵D为AC边的中点， ∴BD⊥AC， ∵BC=6， ∴BD=BC=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键． 2．如图，AB＝AC，∠B＝30°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAC＝（      ） A．30° B．40° C．60° D．120° 【答案】A 【分析】根据等腰三角形性质求出∠C，根据线段垂直平分线性质得CD=AD，推出∠DAC＝∠C，即可求出答案． 【详解】∵AB=AC ∴∠C＝∠B＝30° ∵MN垂直平分AC ∴CD=AD ∴∠DAC＝∠C＝30° 故选A 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 3．下列命题是假命题的是（    ） A．直角都相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．相等的角是对项角 D．全等三角形的对应边相等 【答案】C 【分析】此题考查了真假命题，根据相关知识进行判断即可. 【详解】A. 直角都相等，是真命题，故选项不合题意；     B. 等边三角形是锐角三角形，是真命题，故选项不合题意； C. 相等的角是对项角，是假命题，故选项符合题意；     D. 全等三角形的对应边相等，是真命题，故选项不合题意； 故选：C 4．如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形．熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键． 根据等边三角形性质可得，，，根据等腰直角三角形性质可得，，，得到，根据等腰三角形性质可得，． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．由“”可证，根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可求． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故①②正确，符合题意； 故选：C 6．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 7．如图，在中，点是边上一点，，过点作交于，若是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到根据垂直的性质得到 根据等量代换得到又即可得到 根据同角的余角相等即可得到. 【详解】, , 从而 是等腰三角形， ， 故选B. 【点睛】考查等腰三角形的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理，掌握同角的余角相等是解题的关键. 8．如图，在等边中，点D在边上，将沿翻折，得到，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质得到,，,由翻折可得，则，可得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，, ∴,，, ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键． 9．如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】延长BG与CD的延长线相交于E点，证明△ABG≌△DEG，得AB=DE，由AB+CD=BC，得CE=BC，点G为BE的中点，得∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°∠CBE=∠CEB，故③①④正确；由GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，CG=CG，∠BCG=∠ECG，证△GMC≌△GNC，故②正确． 【详解】解：如下图：延长BG与CD的延长线相交于E点， ∵AB∥CD， ∴∠ABE=∠BEC， ∵点G为AD的中点， ∴AG=GD， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG， ∴AB=DE，BG=GE， ∵AB+CD=BC， ∴DE+CD=BC， ∴CE=BC， ∴∠CBE=∠CEB， 又∵∠ABE=∠BEC， ∴∠CBE=∠ABE， ∴BG平分∠ABC， ∴③正确； ∵CE=BC，点G为BE的中点， ∴∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°， ∴CG平分∠BCD， ∴①④正确； ∵GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N， ∴∠GMC=∠GNC=90°， ∵CG=CG，∠BCG=∠ECG， ∴△GMC≌△GNC， ∴GM=GN， ∴②正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，做题的关键是证明△ABG≌△DEG． 10．如图，在中，已知，，是的中点，点、分别在、边上运动（点不与点、重合），且保持，连接、、．在此运动变化的过程中，有下列结论，其中正确的结论是（    ） ①四边形有可能成为正方形；②是等腰直角三角形； ③四边形的面积是定值；④点到线段的最大距离为． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】①当DE⊥AC,DF⊥BC时,此时四边形CEDF是矩形,由AC=BC,∠ACB=90°,则∠A=∠B=45°,由CD⊥AB,则∠ACD=∠BCD=45°，则AD=CD=BD,同理CE=AE=DE,则此时四边形CEDF是正方形，正确； ②连接CD，在△ADE和△CDF中，AE=CF, ∠A=∠DCF=45°,AD=CD, ∴△ADE≌△CDF， ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA， 又∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=90°=∠EDF， ∴△DFE为等腰直角三角形，正确； ③∵△ADE≌△CDF， ∴S△ADE=S△CDF， ∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD， ∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED=S△ADC， ∵S△ADC=S△ABC=4， ∴四边形CEDF面积是定值为4，正确； ④设C到EF的距离为d，CF=x， ∵△DEF是等腰直角三角形，故D到EF的距离为EF， 又四边形CEDF的面积是定值4， 故S四边形CEDF=S△CEF+S△FED= (+d)=4, 则d=−，当EF越小，则d越大， 由EF=DE，则DE最小时,EF最小,此时d最大. 而当DE⊥AC时,DE=2最小, 此时EF=2,d=−=. 故正确． 综上，①②③④都正确. 故选D． 二、填空题 11．已知等边三角形的周长为18，则边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边三角形的三边相等，除以3即可． 【详解】∵等边三角形的三边相等， ∴边长为， 故答案为：6． 12．如图，等边中，是边上的中线，且，E，P分别是，上的动点，则的最小值等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，作于E，交于P，根据等边三角形的性质得到，求得点B，C关于为对称，得到，根据垂线段最短得出，即可得到结论． 【详解】解：于E，交于P， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点B，C关于为对称， ∴， 根据垂线段最短得出：，即此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为17， 故答案为：17． 13．如图，等边的边长为，D、E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ．    【答案】3 【分析】由将沿直线折叠，点A落在点处，根据折叠的性质，即可得，又由等边的边长为，易得阴影部分图形的周长为：，则可求得答案． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 14．如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据CD平分∠ACB，BD⊥CD，CD=CD，先证△BCD≌△FCD，得到△BCF为等腰三角形，BF=2BD，再证△BAF≌△CAE，即可得答案． 【详解】解：如下图：延长BD与CA的延长线交于F点， ∵CD平分∠ACB，BD⊥CD， ∴∠BCD=∠FCD，∠BDC=∠CDF=90°， 又∵CD=CD， ∴△BCD≌△FCD， ∴BC=CF， ∴△BCF为等腰三角形， ∴BF=2BD， ∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠DEB=∠AEC， ∴∠FBA=∠ECF， 在△BAF和△CAE中， ∴△BAF≌△CAE， ∵BF=CE， ∵BF=2BD， ∴CE=2BD， ∵BD=， ∴CE=2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是延长BD与CA的延长线交于F点，构造△BAF≌△CAE． 15．中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键． 根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】解：如图2所示：， ， 如图3所示：， ， ， 如图4所示，， ， 故答案为：或或． 16．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，连接，若以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点坐标为 ． 【答案】，，，，， 【详解】∵A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，2） ∴OA=4，OB=2. （1）如图，当∠APB=90°时，作PE⊥OA于点E， 易证△APE≌△BPD，则PD=PE=OE=OD，AE=BD， 设PD=， 则，解得：， ∴此时点P的坐标为（-3，3）； 同理可得：点P1的坐标为（-1，-1）. （2）如图2，当∠ABP=90°时，作PD⊥OB于点D， 易证△ABO≌△BPD，则PD=OB=2，BD=AO=4， ∴OD=OB+BD=6， ∴点P的坐标为（-2，6）. 同理可得P2的坐标为（2，-2）. （3）如图3，过点P作PD⊥OA于点D， 易证△PDA≌△AOB，则AD=BO=2，PD=AO=4， ∴OD=AD+OA=6， ∴点P的坐标为（-6，4）. 同理可得点P3的坐标为（-2，-4）. 综上所述，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为：（-3，3）、（-1，-1）、（-2，6）、（2，-2）、（-6，4）和（-2，-4）. 三、解答题 17．如图，已知​均是等边三角形​​​． (1)找出图中一对全等三角形，并证明； (2)猜想线段三者有何数量关系，说明理由． 【答案】(1)．证明见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）利用等边三角形的性质和的判定方法，证明，即可； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质，即可得出结论． 解题的关键是证明． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵均为等边三角形， ∴，， ∴， 再和中 ， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 18．如图，在等腰中，，CE是的平分线，，垂足为D． 请直接写出图中所有的等腰三角形不包括 请判断AD与CE是否垂直，并说明理由． 如果，求的值． 【答案】（1），是等腰三角形；（2）；（3） 【分析】证明≌，根据全等三角形的性质得到，，得到所有的等腰三角形； 根据线段垂直平分线的判定定理证明； 根据勾股定理求出AE，计算即可． 【详解】解：中，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，，是等腰三角形，； ， 理由如下：，， 是AD的垂直平分线， ； 设，则， 在中，， ， 由题意得，， 解得，， ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 19．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°．点D在线段BC上运动（点D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E． (1)当∠BAD=20°时，∠EDC=______°； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？并说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 【答案】（1）20；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE；（3）∠BAD=30°或60°. 【分析】（1）利用三角形外角的性质，可求出结果 （2）当DC=2时,△ABD≌△DCE，利用已知易证AB=DC，再证明∠BDA=∠CED，然后利用AAS，可证得结论 （3）分情况讨论：①若AD=AE时；②若DA=DE时；③若EA=ED时，分别求出符合题意的∠BAD的度数 【详解】（1）∵∠ADC=∠BAD+∠B ∠BAD=20°，∠B=40° ∴∠ADC=60° ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC ∠ADE=40° ∴∠EDC=20° （2）解：当DC=2时，△ABD≌△DCE 理由如下： ∵AB=AC=2, DC=2, ∴AB=DC,∠B=∠C=40° ∵∠ADE=∠C=40°, ∴∠BDA+∠CDE=140°, ∠CED+∠CDE=140°, ∴∠BDA=∠CED, 在△ABD和△DCE中 ∴△ABD≌△DCE(AAS) （3）解：①若AD=AE时,则∠ADE=∠AED=40°, ∵∠AED>∠C, ∴△ADE不可能是等腰三角形; ②若DA=DE时,即∠DAE=∠DEA=(180°-40°)=70° ∵∠BAC=180°-40°-40°=100°, ∴∠BAD=100°-70°=30°; ③若EA=ED时,∠ADE=∠DAE=40°, ∴∠BAD=100°-40°=60°, ∴当∠BAD=30°或60时,△ADE是等腰三角形 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定、三角形的外角性质以及全等三角形的判定. 20．学完“等边三角形”一节后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分别在正的边，上，且，，所在直线相交于点Q．求证：． (1)请完成这道思考题的证明； (2)做完（1）后，爱动脑筋的同学提出了如下问题：若将题中的点M，N分别移动到，的延长线上，是否仍能得到?请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)仍能得到 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识． （1）由等边三角形的性质得，，而，即可证明，得，则； （2）可证明，得，则，可见仍能得到． 【详解】（1）证明：如图1， ∵是等边三角形， 在和中， （2）证明： 如图2，是等边三角形， 在和中， 21．如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再根据定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）已证：， ， ． 22．如图，在中，，，D在BC边上，P，Q是射线AD上两点，且，． 求证：≌． 若，． 求：的长；的面积． 【答案】(1)见解析;(2)①2；②. 【分析】(1)根据，，，，即可得到≌． (2)①依据勾股定理可得，即，再根据全等三角形的对应边相等，即可得到．． ②过B作，垂足为H，依据勾股定理即可得到，，进而得出等腰Rt△ABC的面积． 【详解】解：， ， ，， ≌． ，， ， 由得：， ， ， ， ， ，即， ． 如图，过B作，垂足为H， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定以及勾股定理的综合运用，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 23．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．    (1)如图①，若是等边三角形，且，点在线段上． ①求证：； ②当四边形的周长取最小值时，求的长． (2)若，当点在线段的延长线上移动时，如图②，则和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①证明见详解；②1； (2)，理由见详解 【分析】（1）①先判断出，得出，即可得出结论； ②先判断出，进而得出四边形的周长，判断出时，周长最小，即可得出结论； （2）先判断出，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ． ; ②解：， ， 四边形的周长， 当最短时，四边形的周长最小， 即时，周长最小， ， ， （2）解：，理由如下： 如图2，记，的交点为，    ， ． 又，， ． ， ， ． ，， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂线段最短，角的和差等知识，判断出是解本题的关键． 24．已知在中，，点 在的外部，且． （1）如图 1，若，设，求； （2）如图 2，取 中点，证明：三边的垂直平分线交于点； （3）如图 3，点 在线段上，线段的垂直平分线交的延长线于点 ． 当线段与线段互相平分（两条线段交于一点，两条线段都被交点平分）时，证明：为直角三角形． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）由题意可知：，则，进而求得，由等腰三角形的性质可得，最后求得； （2）过点作，，由题意可知和都为等腰直角三角形，又因为，,可得到点和点分别是和的中点，进而得出结论； （3）过点作，，由中心对称可知，，可证≌，可得,，由证得≌，得到，由证得≌，可得，即可求得结论． 【详解】解：（1），， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：的大小为． （2）如图所示，连接，过点作，， ，且为的中点， ，且和都为等腰直角三角形， 又，， 点和点分别是和的中点， 和分别是和的中垂线， 故三边的垂直平分线交于点． （3）如图所示，过点作，， 线段的垂直平分线交的延长线于点， ， 点正好和点关于线段的中点对称， ，，且， ≌， ，， ，， ，且， ，且，， ≌， ，且， ≌， ， ，，， ， ， ， 即， 为直角三角形． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$