第08讲 圆周角（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第08讲 圆周角（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 题型强化 题型一．圆周角定理 1．（2022秋•宿城区校级月考）如图，已知是的直径，是弦，若，则　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•宿城区期中）如图，点、、是单位为1的正方形网格上的三个格点，的半径为，点是优弧的中点，则的面积为 　　． 3．（2023秋•邗江区校级期末）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）如图，已知、是半径为8的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为 　　． 题型二．圆内接四边形的性质 4．（2024春•龙华区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，，则 的度数是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•宜兴市月考）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 　　度． 6．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分． （1）求证：； （2）若，，求半径． 分层练习 一、单选题 1．如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（    ） A．38° B．52° C．76° D．104° 2．下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，C、D是 为直径的半圆上的点，且C是弧的中点，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，为的直径，、为上两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中， 弦、相交于点．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，的顶点A，B在上，点C在内（O，C在同侧），，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，A、B、C三点都在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，矩形的宽为10，长为12，是矩形内的动点，，则最小值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 二、填空题 11．直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在 ． 12．正方形边长为4，则它的外接圆半径为 ． 13．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则 °． 14．如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    15．如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 16．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 17．如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 18．如图，线段，点为平面上一动点，连接，，且，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段，则线段的最大值为 ． 三、解答题 19．如图，圆的两条弦，相交于点，且，．求：的度数． 20．如图，已知的内接，为直径，于点，连接． 求证：． 21．如图1，中，，是外接圆上一点，连接，过点B作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若为直径，，，求的长． 22．如图，在中，，以为直径的与分别相交于点D、E，连接． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 23．如图，已知是的直径，弦于E． (1)若，求的长： (2)若，求的度数． 24．如图，已知是的直径，点是上一点，连结，，点为的中点，连结交于点． (1)求证：； (2)若，，求长． 25．“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. 26．千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 圆周角（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 题型强化 题型一．圆周角定理 1．（2022秋•宿城区校级月考）如图，已知是的直径，是弦，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数． 【解答】解：是的直径， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 2．（2023秋•宿城区期中）如图，点、、是单位为1的正方形网格上的三个格点，的半径为，点是优弧的中点，则的面积为 　　． 【分析】首先过点作于点，由点是优弧的中点，可得，易得是等腰直角三角形，设，则，即可得方程：，继而求得答案． 【解答】解：过点作于点， 点是优弧的中点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， ，， ， 解得：， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 3．（2023秋•邗江区校级期末）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）如图，已知、是半径为8的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为 　45　． 【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可； （2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可； （3）连接，，作于，的延长线交于．关于的方程是“勾系一元二次方程”，则，再结合勾股定理，证明出，得出，从而得出，再利用圆周角定理求解即可． 【解答】解：（1）方程是“勾系一元二次方程”，理由如下： ， 由题意知：， 满足且， 故方程是“勾系一元二次方程”； （2）证明：是“勾系一元二次方程”， ， ， 必有实数根； （3）连接，，作于，的延长线交于． 关于的方程是“勾系一元二次方程”， ， ，， ， ， ，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：45． 【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型二．圆内接四边形的性质 4．（2024春•龙华区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，，则 的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解答． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题利用了圆周角定理，圆内接四边形的性质求解． 5．（2023秋•宜兴市月考）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 　124　度． 【分析】先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的对角互补求出即可． 【解答】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：124． 【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟记相关定理并灵活运用．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分． （1）求证：； （2）若，，求半径． 【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答； （2）过点作于，根据等腰三角形的性质以及垂径定理可得过圆心，利用勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：平分， ， ，， ， ， ， ； （2）解：过点作于，连接， ， ， ，垂直平分， ， 圆心在的垂直平分线上， ， 设的半径为， 在中，， ， ， 的半径为． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（    ） A．38° B．52° C．76° D．104° 【答案】B 【分析】根据圆的基本性质，可得 ，从而得到 ，再由三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵MN为⊙O的弦， ∴ ， ∴ ， ∵∠MON＝76°， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握同圆（或等圆）的半径是解题的关键． 2．下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的都不是圆周角，C中的是圆周角， 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 3．如图，C、D是 为直径的半圆上的点，且C是弧的中点，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，连接，由圆周角定理的推论推出，，即可得到．解题的关键是由圆周角定理推出，． 【详解】解：连接， 是圆的直径， ， 是弧的中点， ， ， ． 故选：A． 4．如图，为的直径，、为上两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，进而得到，再由圆周角定理即可得到的度数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，在中， 弦、相交于点．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，解题的关键是先根据三角形外角的性质得，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵圆周角和所对的弧是， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 6．如图，的顶点A，B在上，点C在内（O，C在同侧），，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理和三角形外角的性质，延长交于点D，连接，根据圆周角定理求得，结合是的一个外角，则，即可求得可能的度数． 【详解】解：延长交于点D，连接，如图， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴的度数可能是， 故选：B． 7．如图，A、B、C三点都在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：根据圆周角定理可得：   故选：B． 8．如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和圆的内接四边形性质，熟练掌握圆的内接四边形性质是解题的关键．利用三角形内角和定理和圆的内接四边形对角互补，根据题意列出关系式化简即可． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ，即 ， ∴ ． 故选：C． 9．如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 10．如图，矩形的宽为10，长为12，是矩形内的动点，，则最小值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，由知点在以为直径的半上，连接交于点，当点位于点位置时，线段取得最小值，利用勾股定理可得答案． 【详解】如图， ， 点在以为直径的半上， 连接交于点， 当点位于点位置时，线段取得最小值， ， ， ， ． ． 故选：B． 二、填空题 11．直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在 ． 【答案】斜边的中点 【分析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半即可． 【详解】解：∵由三角形斜边的中线等于斜边的一半， ∴圆心O斜边上的中点到各顶点的距离相等． 故答案为：斜边的中点． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键． 12．正方形边长为4，则它的外接圆半径为 ． 【答案】． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． ∵正方形边长为4， ∴正方形的对角线长为， ∴外接圆半径为． 13．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理．如图，连接，证明，求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接．    ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，由，得到，求得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 15．如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握圆周角的相关知识是解题关键．首先根据题意可得，，易知，进而可得，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、直径所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值，分析得出“动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动”是解题的关键． 根据勾股定理计算，由直径所对的圆周角是直角，推出，推出动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当，，在同一直线上时，最小，根据勾股定理求出，则，计算得出答案即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 如图，连接， ∵以为直径作， ∴， ∴， ∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当，，在同一直线上时，最小，， ∴，即的最小值， 故答案为：． 17．如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 18．如图，线段，点为平面上一动点，连接，，且，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理，先证明，再根据勾股定理得出的长，最后得出结论． 【详解】解：， 点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接， ， 取的中点，连接，为的中点， 为的中位线， ，， 如图所示，过点作，且，连接， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，圆的两条弦，相交于点，且，．求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质．掌握等弧所对圆周角相等是解题关键． 由等弧所对圆周角相等可得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 20．如图，已知的内接，为直径，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，推出，，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出． 【详解】是圆的直径， ， ∴， ， ， ∴， ， ． 21．如图1，中，，是外接圆上一点，连接，过点B作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若为直径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，圆内接四边形的性质等等： （1）利用平行线的性质，等弧对相等的圆周角，证得即可； （2）连接，，利用平行线的性质证得，再利用圆的内接四边形的性质证得，得到，再利用圆周角定理得到，最后在中即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，，如图所示， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴。 22．如图，在中，，以为直径的与分别相交于点D、E，连接． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质解答； （2）连接，根据圆周角定理得到，计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）连接． ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 23．如图，已知是的直径，弦于E． (1)若，求的长： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理以及圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出答案即可； （2）根据圆周角定理求得，再根据两锐角互余的性质得到答案． 【详解】（1）解：弦，， ， 在中，， ； （2）解：， ， ， ． 24．如图，已知是的直径，点是上一点，连结，，点为的中点，连结交于点． (1)求证：； (2)若，，求长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，由圆心角、弧、弦的关系得到，由等腰三角形的性质推出，由圆周角定理推出，即可证明； （）设圆的半径是，得到，由垂径定理得，由勾股定理得到，求出，因此，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：设圆的半径是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 25．“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. 【答案】(1) (2)不成立，，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形为的内接四边形，推得，根据三角形的外角性质可得，即可求解； （2）延长交于点，连接，根据圆内接四边形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，即可推得，即可证明； （3）根据四边形内角和可推得，得到四边形四点共圆，分别过点A、C作于点M，于点N，根据三角形的面积公式求得四边形的面积，结合圆的性质即可推得当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大，连接、，根据圆周角定理可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图：    ∵四边形为的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，理由： 延长交于点，连接，如图：    ∵四边形为的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 即， 故（1）的结论不成立． （3）解：∵，四边形的内角和为1， ∴， 即四边形四点共圆， 分别过点A、C作于点M，于点N，如图：    则四边形面积 故当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大， 连接、， ∵， ∴， 又∵， 故为等边三角形， ∴， 则， 则四边形面积最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，三角形的外角性质，四边形内角和，三角形的面积公式，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，理解圆内接四边形的的性质是解题的关键． 26．千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意得出，，即可得出结论； （2）连接，过点作于点，根据度的圆周角所对的弦是直径及勾股定理得，继而得到，再根据，得到，即可得出结论； （3）如图，过点作于点，延长交于点，连接，设，，得到，由垂径定理得，根据勾股定理得，即，由一元二次方程根的判别式得，继而得到，则，可得结论． 【详解】解：（1）∵点，，，在半径为的上， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （2）连接，过点作于点， ∵，的半径为， ∴， ∴， ∵， 即当时，的面积取得最大值， ∴，即， ∴， ∴的最大值为； （3）如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，，设，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，当点与点重合时，取“”， ∵， ， ∴， ∵，即， 整理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， ∴的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了弦与直径的关系，度的圆周角所对的弦是直径，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 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