第08讲 等腰三角形的轴对称（8个知识点+8种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第08讲 等腰三角形的轴对称（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点4．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点5．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点6．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点7．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点8．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 题型强化 题型一．等腰三角形的性质 1．（2023秋•淮安区校级月考）已知等腰三角形两边的长、满足，则三角形周长为　　 A．10 B．11 C．12 D．10或11 2．（2024•宿迁三模）若一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形周长为 　　． 3．（2024•建湖县二模）如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且．求证：是的中点． 题型二．等腰三角形的判定 4．（2023•东海县三模）在中，，当　　时，是等腰三角形． 5．（2023秋•新沂市期中）如图，已知中，，，在直线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2023秋•云龙区校级月考）如图：在的边的延长线上，点在边上，交于点，，．求证：是等腰三角形．（过作交于 题型三．等腰三角形的判定与性质 7．（2023秋•新北区校级月考）如图，中，平分，平分，，，，则周长为　　 A．12 B．14 C．16 D．18 8．（2023秋•靖江市期末）如图，已知的面积为18，平分，且于点，则的面积是　　． 9．（2023秋•仪征市校级月考）如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点． （1）求证； （2）若，，求的长． 题型四．等边三角形的性质 10．（2023春•睢宁县期末）如图，若为等边的一条中线，延长至点，使，连接，则的长为　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•浦口区校级月考）如图，是等边三角形．，分别是，上的点，若，．则　　． 12．（2023秋•邳州市校级月考）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，求的周长． 题型五．等边三角形的判定 13．（2023秋•新吴区校级期中）在中，，的周长为12，设的长为，下列说法不正确的是　　 A．为等腰三角形时， B．不可能是等边三角形 C．为直角三角形时， D． 14．（2023秋•姑苏区月考）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论： ①；②；③是等边三角形．其中正确的是 　　．（填序号） 15．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒1个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． （1）如图1，若，，求的值； （2）如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 题型六．等边三角形的判定与性质 16．（2023秋•仪征市校级月考）如图，，，若为，，则　　． 17．（2020秋•苏州期中）如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且．点，分别在边，上，且，为边的中点，连接交于点．若，则的长为　　 A． B． C． D． 18．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点为线段上一点，，都是等边三角形，交于点，交于点． （1）求证：； （2）求证：为等边三角形． 题型七．含30度角的直角三角形 19．（2023秋•工业园区校级月考）如图，中，，，是的中点，，垂足为点，是的中点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，若，则的长为　　 A．6 B．9 C． D． 20．（2023秋•淮安区校级月考）如图，在中，，交于点，，则　　． 21．（2021秋•大丰区校级月考）如图，是的边上的垂直平分线，分别交、于点、，平分，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 题型八．直角三角形斜边上的中线 22．（2021秋•滨海县期末）如图，在中，，为的中点，，则的长是 　　． 23．（2023秋•新吴区校级期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．3.5 D．4 24．（2023秋•射阳县期末）已知：如图，在中，垂足为，垂足为，连接，点、分别是、的中点． 求证：． 分层练习 一、单选题 1．如图，在中，，，点D是上一点，连接，则长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图是跷跷板的示意图，支柱与地面垂直，点O是的中点，绕着点O上下转，当A端落地时，，跷跷板上下可转动的最大角度（即）是（　　） A． B． C． D． 3．等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 4．下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．线段在如图所示的8×8的方格纸上（点A，B均在格点上），找格点C，使是等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（  ）    A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在中，于R，于S，则三个结论①；②；③中（　　） A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确 10．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，点分别在上，点沿折叠后与点重合，则是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，则等于 ． 12．已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    13．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 14．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 cm． 15．如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 16．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 17．如图，在中，平分，平分，，与、分别相交于、两点．若，，则的周长是 ． 18．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 三、解答题 19．如图，点在同一直线上，且，，，相交于点，且，求证： (1) (2) 20．如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是 三角形． 21．如图，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 22．在中，，． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，于点，交于点，若，，则的长为_______． 23．如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线m对称； (2)在直线m上找一点D，使得周长最小；（保留作图痕迹） (3)延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么这样的格点F共有 个． 24．如图，四边形中，，E、F分别是的中点． (1)请你猜测与的位置关系，并给予证明； (2)当时，求的长． 25．如图，在中，，是的平分线，是边上的高，垂足为E，设． (1)探究与发现 ①如图1，若，则的度数为 °，的度数为 °； ②试探究与α的数量关系，并说明理由． (2)拓展与思考 如图2，的平分线交于点F．当时，求的度数． 26．已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与B、C重合），连接，    (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想、、之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出、、之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 等腰三角形的轴对称（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点4．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点5．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点6．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点7．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点8．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 题型强化 题型一．等腰三角形的性质 1．（2023秋•淮安区校级月考）已知等腰三角形两边的长、满足，则三角形周长为　　 A．10 B．11 C．12 D．10或11 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可得，，从而可得：，，进而可得，，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时；当当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，分别进行计算即可解答． 【解答】解：， ，， 解得：，， 、是等腰三角形的两边长， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时， 这个三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时， 这个三角形的周长； 综上所述：三角形的周长为10或11， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和偶次方的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 2．（2024•宿迁三模）若一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形周长为 　12　． 【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析． 【解答】解：当腰长为时，，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时，符合三边关系，其周长为， 故该三角形的周长为． 故答案为：12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答是解题的关键． 3．（2024•建湖县二模）如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且．求证：是的中点． 【分析】首先，根据，，且，得到是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一的性质证得结论． 【解答】证明：，，且， 是的角平分线， 在中，， 是的中点． 【点评】本题考查了角平分线的性质和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是证得是的角平分线． 题型二．等腰三角形的判定 4．（2023•东海县三模）在中，，当　、、　时，是等腰三角形． 【分析】此题要分三种情况进行讨论①、为底角；②为顶角，为底角；③为顶角，为底角． 【解答】解：， ①当时，是等腰三角形； ②当时，是等腰三角形； ③当时，是等腰三角形； 故答案为：、、． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边，注意考虑全面，不要漏解． 5．（2023秋•新沂市期中）如图，已知中，，，在直线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据题意，画出图形，即可得到答案． 【解答】解：分三种情况①，②，③ 如图，①以点为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点为圆心，长为半径交直线于点和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点共有4个， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识，正确画出图形． 6．（2023秋•云龙区校级月考）如图：在的边的延长线上，点在边上，交于点，，．求证：是等腰三角形．（过作交于 【分析】过点作交于点，根据平行线的性质可得出、，结合以及可证出，根据全等三角形的性质可得出，结合可得出，进而可得出，由此即可证出是等腰三角形． 【解答】证明：过点作交于点，如图所示． ， ，． 在和中，， ， ． ， ， ， 是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，根据找出是解题的关键． 题型三．等腰三角形的判定与性质 7．（2023秋•新北区校级月考）如图，中，平分，平分，，，，则周长为　　 A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】由平分，平分，过点作，易得与是等腰三角形，即可得的周长等于，又由，，即可求得答案． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长为：． 故选：． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义，整体思想的利用和有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 8．（2023秋•靖江市期末）如图，已知的面积为18，平分，且于点，则的面积是　9　． 【分析】根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可． 【解答】解：如图，延长交于点， 平分 ，且， ， ，， ， 故答案为：9． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 9．（2023秋•仪征市校级月考）如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点． （1）求证； （2）若，，求的长． 【分析】（1）由是的角平分线可得，由，可得，则，可得结论． （2）根据等腰三角形三线合一可得，可证则，即可求的长． 【解答】证明：（1）是的角平分线 （2），是的角平分线 ， 且 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题． 题型四．等边三角形的性质 10．（2023春•睢宁县期末）如图，若为等边的一条中线，延长至点，使，连接，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出，求出，在中，由勾股定理求出即可． 【解答】解：为等边三角形， ，， 为中线， ， ， ， ， ， ， 是中线，， ， 是等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 即， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出和求出的长． 11．（2023秋•浦口区校级月考）如图，是等边三角形．，分别是，上的点，若，．则　40　． 【分析】利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的内角和定理可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 12．（2023秋•邳州市校级月考）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． 【解答】（1）证明：为等边三角形，是中线， ，， ， ， ． ； （2）解：， ，， ， ． 为等边三角形，是中线， ， 的周长． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质，关键是等边三角形性质定理的应用． 题型五．等边三角形的判定 13．（2023秋•新吴区校级期中）在中，，的周长为12，设的长为，下列说法不正确的是　　 A．为等腰三角形时， B．不可能是等边三角形 C．为直角三角形时， D． 【分析】根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边关系分析解答即可． 【解答】解：、当，即时，是等腰三角形，说法正确，故选项不符合题意； 、周长为12的等边三角形，边长为4，而，故不可能是等边三角形，说法正确，故选项不符合题意； 、是直角三角形时，根据勾股定理的逆定理可知，时，或，，都可以，原说法错误，故选项符合题意； 、根据三角形的三边关系可知，说法正确，故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边，解题的关键是熟练掌握各种三角形的判定方法． 14．（2023秋•姑苏区月考）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论： ①；②；③是等边三角形．其中正确的是 　①③　．（填序号） 【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数，再根据等腰三角形的性质可知，可判断①选项；根据，，与不一定相等，即可判断②选项；先求出的度数，再求出的度数，即可求出的度数，再根据，即可判断③选项． 【解答】解：①连接，如图1所示： ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， 故①选项正确； ②由①可知，，， 点是线段上一点， 与不一定相等， 与不一定相等， 故②选项不正确； ③， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 故③选项正确， 故答案为：①③． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定等，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定方法是解题的关键． 15．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒1个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． （1）如图1，若，，求的值； （2）如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 【分析】（1）由平行线的性质得，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【解答】解：（1）如图1，是等边三角形，， ，， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：，则， ， 解得：， 当的值为3时，； （2）如图2，①当点在边上时， 此时不可能为等边三角形； ②当点在边上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ， 即：，解得：， 当时，为等边三角形． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． 题型六．等边三角形的判定与性质 16．（2023秋•仪征市校级月考）如图，，，若为，，则　6　． 【分析】首先证明为等边三角形，然后依据证明全等，从而可得到，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到，从而可求得的长，故此可得到的长． 【解答】解：在和中， ． ． 又， ． ． ，， 为等边三角形． ． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定，求得的长是解题的关键． 17．（2020秋•苏州期中）如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且．点，分别在边，上，且，为边的中点，连接交于点．若，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据等边三角形边长为2，在中求得的长，再根据垂直平分，在中求得，最后根据线段和可得的长． 【解答】解：等边三角形边长为2，， ，， 等边三角形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，连接，则中，， ， 是等边三角形， ， 垂直平分， ，， 中，，， 为的中点， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键． 18．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点为线段上一点，，都是等边三角形，交于点，交于点． （1）求证：； （2）求证：为等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由得到，结论得证； （2）由（1）中的全等可得，进而得出，由得出，即，又，所以为等边三角形． 【解答】证明：（1），是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （2）， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 为等腰三角形， 又， 为等边三角形． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用． 题型七．含30度角的直角三角形 19．（2023秋•工业园区校级月考）如图，中，，，是的中点，，垂足为点，是的中点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，若，则的长为　　 A．6 B．9 C． D． 【分析】连接，根据等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质可求得，再证明可求得及的长，由勾股定理可求的长，进而利用含角的直角三角形的性质及勾股定理可求解的长． 【解答】解：连接， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明是解题的关键． 20．（2023秋•淮安区校级月考）如图，在中，，交于点，，则　8　． 【分析】由已知，求得，再由，得到，即可求得，且根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，可得，再由，得到，即可得出，计算即可得出答案． 【解答】解：， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 21．（2021秋•大丰区校级月考）如图，是的边上的垂直平分线，分别交、于点、，平分，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【分析】（1）是边上的垂直平分线推，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数； （2）利用角平分线的性质求线段长． 【解答】解：（1）是边上的垂直平分线， ． ． 平分， ， ． （2）平分，，， ． 【点评】本题考查垂直平分线，角平分线的性质，掌握这两个性质的熟练应用，由已知条件推相应的结论是解题关键． 题型八．直角三角形斜边上的中线 22．（2021秋•滨海县期末）如图，在中，，为的中点，，则的长是 　3　． 【分析】根据直角三角形斜边中线是斜边一半得解． 【解答】解：，为的中点， ． 故答案为3． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线是斜边一半定理的应用，掌握边的数量关系． 23．（2023秋•新吴区校级期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．3.5 D．4 【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为3． 【解答】解：如图，连接、， 中，，，，， ，点、分别是、的中点， ，， 当、、在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键． 24．（2023秋•射阳县期末）已知：如图，在中，垂足为，垂足为，连接，点、分别是、的中点． 求证：． 【分析】作辅助线（连接、构建和斜边上的中线，然后根据斜边上的中线等于斜边的一半求得，从而判定是等腰三角形；最后根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知． 【解答】证明：连接、． ，点是的中点， 在中，（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．（2分） 同理，．（2分） （等量代换）．（1分） 是的中点， ．（2分） 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质．熟练运用等腰直角三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，在中，，，点D是上一点，连接，则长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，然后根据三角形外角的性质求得，从而得到，最后根据等角对等边可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等角对等边的性质是解题的关键． 2．如图是跷跷板的示意图，支柱与地面垂直，点O是的中点，绕着点O上下转，当A端落地时，，跷跷板上下可转动的最大角度（即）是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当端着地时，如图，即为上下转动的最大角度，利用三角形外角的性质即可解决问题； 【详解】解：当端着地时，如图，即为上下转动的最大角度， 是的中点， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及邻补角的定义，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 3．等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案． 【详解】解：当角为顶角时，则顶角为， 当角为底角时，则两个底角和为，求得顶角为， 故选：D． 4．下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用线段的垂直平分线的判定方法、角的对称性、等腰三角形的定义、全等三角形等知识点逐项判断即可．灵活运用相关定义是解题的关键． 【详解】解：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意； ②角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③有两个内角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意； ④两边分别相等且其夹角也相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 综上，真命题有2个． 故选：B． 5．线段在如图所示的8×8的方格纸上（点A，B均在格点上），找格点C，使是等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（  ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】分三种情况进行讨论，以A为顶点的等腰三角形，以B为顶点的等腰三角形，以C为顶点的等腰三角形，然后得出结果即可． 【详解】解：以A为顶点的等腰三角形，如图所示：    由图可知，此时等腰三角形有2个， 以A为顶点的等腰三角形，如图所示：    由图可知，此时等腰三角形有6个； 如图，线段的垂直平分线不过任何格点，因此图中无法画出以C为顶点的等腰三角形；    综上分析可知，所有符合条件的点C的个数是（个），故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了在网格中画等腰三角形，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． 6．如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得、、是等腰三角形，再利用证得，进而可得是等腰三角形，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， 点、分别是和的中点，， 又，， ，， 、、是等腰三角形，， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， 则图中等腰三角形的个数为4个， 故选B． 7．如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可． 【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线， ∴当P在l上时满足PA=PB， 作BC的中垂线交l于，满足； 作BP=BC与l交于、两点，满足，； 作CP=BC与l交于、两点，满足，； 满足题意的点P共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键． 9．如图，在中，于R，于S，则三个结论①；②；③中（　　） A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角．熟练掌握了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角是解题的关键． 证明，则，可判断①的正误；等边对等角，可得，则，进而可判断②的正误；题干条件无法判断，进而可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，∵，， ∴， ∴，①正确 ，故符合要求； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 由题意无法判断，③错误，故不符合要求； 故选：B． 10．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，点分别在上，点沿折叠后与点重合，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出， ，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得． 【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，即， ∴， ∵，平分， 由三线合一的性质可得：垂直平分， ∴，即， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用． 二、填空题 11．在中，，则等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据，得到，证明是等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：， ， ∴是等边三角形， ， 故答案为：5． 12．已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【答案】等边 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形． 【详解】解：∵中，，，于点， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴为等边三角形． 故答案为：等边 13．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等． 14．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 cm． 【答案】15 【详解】根据题意设等腰三角形的腰长x厘米，有两种情况：当上边部分比下边部分大时，列出方程：（x+） —（10+）=5 ，解得x=15；当上边部分比下边部分小时，列出方程： （10+）—（x+）=5，解得x=5，又因5+5=10，不符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的腰长为15cm． 点睛：本题主要考查了等腰三角形的计算，分两种情况讨论是解题的关键，同时要考虑求出的腰长必须满足三角形的三边关系． 15．如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出． 【详解】解：，是的中点， ，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 16．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 17．如图，在中，平分，平分，，与、分别相交于、两点．若，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得，，进而得到的周长． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：． 18．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞8或a=4 【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个． 【详解】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当MH=4时， ∵∠AOB=30°， ∴OM=2MH=8， ∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时a=4， 故答案为：a＞8或a=4 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题． 三、解答题 19．如图，点在同一直线上，且，，，相交于点，且，求证： (1) (2) 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定，根据得到，结合边角边判定即可得到证明； （2）本题考查三角形全等的性质及等角对等边，根据得到，，即可得到证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． 20．如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是 三角形． 【答案】(1)见解析 (2)等腰 【分析】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定： （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的判定定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 21．如图，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得到根据推出全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而推出，，由，得到，根据平行线的判定得出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 22．在中，，． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，于点，交于点，若，，则的长为_______． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（）由垂直可得，，又由可得，利用即可求证； （）过点作与点，同理（）可证得，得到，再根据等腰三角形三线合一可得； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：过点作与点， 同理（）可证得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 23．如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线m对称； (2)在直线m上找一点D，使得周长最小；（保留作图痕迹） (3)延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么这样的格点F共有 个． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)3 【分析】本题考查了轴对称作图，最短路径问题等腰三角形的性质，解答（3）关键是根据题意构造底边的垂直平分线． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）在（1）的基础上，连交，直线m于点D，点D即为所求； （3）先做出的垂直平分线，再找到垂直平分线进过的格点即可． 【详解】（1）如图，由题意，作，使它与关于直线m对称， （2）由题意，连，交直线m于点D，连，即为所求； 理由：由题意，所求中，边长为定值，只要最小即可，由作图可知，三点共线，，此时，最小，则点D即为所求． （3）如图，取点，画直线，理由：若是以为底边的等腰三角形， 则格点F在底边的垂直平分线上， 如图，取点，则可知，，，且, ∴， ∴，即点C是线段的中点， 同理，， ∴， ∴， ∴直线垂直平分线段， 将分别向上、向左平移1个，3个单位或者向下，向右平移1个，3个单位，分别得到直线上的格点， 则点即为所求． 故答案为：3． 24．如图，四边形中，，E、F分别是的中点． (1)请你猜测与的位置关系，并给予证明； (2)当时，求的长． 【答案】(1)．理由见解析 (2)5 【分析】此题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）连接，利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题． （2）根据题意得出，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：．理由如下： 连接， ∵，E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴； （2）∵，E、F分别是边的中点， ∴， ∵． ∴． 25．如图，在中，，是的平分线，是边上的高，垂足为E，设． (1)探究与发现 ①如图1，若，则的度数为 °，的度数为 °； ②试探究与α的数量关系，并说明理由． (2)拓展与思考 如图2，的平分线交于点F．当时，求的度数． 【答案】(1)①75，；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，进而利用三角形外角的性质可得，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答； ②利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用三角形外角性质进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，，，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算可得，再根据进行计算即可解答． 【详解】（1）解：①， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 的度数为，的度数为， 故答案为：75，； ②与α的数量关系为：， 理由：， ， 是的平分线， ， ， ； 与α的数量关系为：； （2）由（1）可得：，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，直角三角形性质，熟练掌握三角形内角和定理，以及平行线的性质是解题的关键． 26．已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与B、C重合），连接，    (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想、、之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出、、之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，，理由见解析 (3)； 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）如图1中，证明，再证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）如图2，由（1）同理证明，再利用全等三角形的性质可得答案； （3）先补全图形如下：由（1）同理可得，，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，    ∵，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2，由（1）同理可得，    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，结论：．理由如下： 补全图形如下：    由（1）同理可得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$