四川省泸县第五中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

高2023级高二上期开学考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知，，则　　 A． B． C． D． 2．已知命题，，则命题的否定是 A．， B．， C．， D．， 3．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 A． B． C． D． 4．“”是“函数在，上单调递减”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则的值等于 A． B． C． D． 6．设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为　 A． B． C． D． 7．已知向量，，则 A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量共线的单位向量是 8．三棱锥中，是边长为4的正三角形，，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下面是关于复数为虚数单位）的命题，其中真命题为 A． B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 10．如图，的三个内角，，对应的三条边长分别是，，，为钝角，，，，，则下列结论正确的有 A． B． C． D．的面积为 11．定义在上的奇函数满足，当，时，，则下列结论正确的是 A． B．，时， C． D．函数有对称轴 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知函数是幂函数且图象与轴无交点，则的值为　　． 13．计算：　　． 14．函数的部分图象如图所示，若，，，且，则　　． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16．（本小题满分15分） 在中，，，分别为内角，，的对边，且． （1）求的大小； （2）求的最大值． 17．（本小题满分15分） 如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点．设，． （1）用，表示，； （2）求的余弦值． 18．（本小题满分17分） 三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（本小题满分17分） 已知且，函数． （1）求的定义域及其零点； （2）讨论并证明函数在定义域上的单调性； （3）设，当时，若对任意，，存在，，使得，求实数的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2023级高二上期开学考试 数学试题参考答案 一．单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A B B A D 二．多选题 9 10 11 AD AC ACD 三．填空题 12．2． 13． 14. 四．解答题（共5小题） 15．解：（1）已知， ， ． （2） ， 求得（舍去），或， 综上，． 16．解：（1）设 则，， 方程两边同乘以 整理得 由余弦定理得 故， 由，可得； （2）由（Ⅰ）得： 故当时，取得最大值1． 17．解：（1），，，，． ，， 为的中点，． （2）根据题意，，，， ， ， ， ． 18．(1)证明：连接，交于，连接，则是的中点， ， 又平面，平面， 平面． 平面，平面， ， △是等边三角形，是的中点， ，又， 平面，又平面， 平面平面． 过作交延长线于，连接， 平面平面，平面平面，，平面， 平面， 为直线与平面所成角， 设三棱柱的棱长为，则， 即，故而． ． 19．解：（1）由题意知，解得， 函数的定义域为，令可得，解得， 故函数的零点为：； （2）设，是内的任意两个不相等的实数，且， 则， ，，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 若对任意，，存在，，使得成立，只需， 由（2）知当时，在，上单调递增，则， 当时，，成立； 当时，在，上单调递增，（4）， 由，可解得，； 当时，在，上单调递减，（3）， 由，可解得，；综上，满足条件的的范围是 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$