专题16 圆的性质与证明（7考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（浙江专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（浙江专用） 专题15 圆的性质与判定 考点1圆周角定理 1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理解答即可. 【详解】解：∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键. 2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．130° 【答案】B 【分析】利用圆周角直接可得答案． 【详解】解： ∠BOC＝130°，点A在上， 故选B 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，   半径互相垂直， ， 所对的圆心角为， 所对的圆周角， 又， ， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 4．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC=50°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，进而可以得到答案． 【详解】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠ADO=90°，∠AEO=90°， ∵∠DOE=130°， ∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°， ∴∠BOC=2∠BAC=100°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 考点2 垂径定理 5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】3 【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 6．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 ． 【答案】30°/30度 【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°． 【详解】∵OC⊥AB，OD为直径， ∴， ∴∠AOB=∠BOD， ∵∠AOB=120°， ∴∠AOD=60°， ∴∠APD=∠AOD=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键． 考点3 切线的性质 7．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    【答案】/40度 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 8．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，    ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得是解题的关键． 9．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 ． 【答案】或 【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可． 【详解】解：连接OA， ①当D点与O点重合时，∠CAD为90°， 设圆的半径=r， ∴OA=r，OC=4-r， ∵AC=2， 在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2， 解得：r=， 即AD=AO=； ②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AO•AC=OC•AD， ∴AD=， ∵AO=，AC=2，OC=4-r=， ∴AD=， 综上所述，AD的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键． 10．（2022·浙江金华·中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为 ． 【答案】/ 【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可． 【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示： ∵CB与相切于点B， ∴， ∴， ∴四边形ACBD为矩形， ∴，， 设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：， 即r2＝（r−6）2＋82， 解得：， 即的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键． 11．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．    【答案】10 【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】由题意得：，， 如图，连接，过点作，交于点，交于点，   则， 餐盘与边相切， 点为切点， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ，，， 设餐盘的半径为， 则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 餐盘的半径为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵以为直径的半圆O与相切于点D， ∴，， ∴ 设，则， 在中：，即：， 解得：， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵为等腰三角形， 当时，， 当时， ∵， ∴点与点重合， ∴，    不存在的情况； 综上：的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键． 13．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．    (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的外角的性质，即可求解． （2）根据是的切线，可得，在中，勾股定理求得，根据，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵于点， ∴， ∴．    （2）∵是的切线，是的半径， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．    (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连结，根据切线的性质得，再根据“”证明，可得答案；                 （2）先求出，可得，根据特殊角三角函数求出，进而求出答案. 【详解】（1）如图，连结，    ∵半圆O与相切于点D， ∴．                     ∵， ∴. ∵，， ∴．                 ∴． （2）如图，∵，， ∴. ∵， ∴.    ∵， 在中，， ∴. 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等，构造全等三角形是解题的关键． 15．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作，垂足为F． (1)求证：； (2)若，，求AD的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）连接OE，根据已知条件和切线的性质证明四边形OFCE是矩形，再根据矩形的性质证明即可； （2）根据题意，结合（1）可知，再由直角三角形中“30°角所对的直角边是斜边的一般”的性质，可推导，最后由计算AD的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接OE， ∵AC切半圆O于点E， ∴OE⊥AC， ∵OF⊥BC，， ∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°． ∴四边形OFCE是矩形， ∴OF＝EC； （2）∵， ∴， ∵，OE⊥AC， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及含30°角的直角三角形性质等知识，正确作出辅助线并灵活运用相关性质是解题关键． 考点4 已知圆心角和弦作圆 16．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（  ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出． 【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图， 因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ， ∴∠OMQ=∠ONQ=45°， ∴∠MON=90°， 所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°， 所以点P在圆O上，PM为圆O的弦， 通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O， 所以此时最大，等于圆O的直径， ∵BM＝4，BN＝2， ∴， ∴MQ=OQ=， ∴OM=， ∴， 故选 C． 【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键． 考点5 圆内接多边形 17．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是 ．    【答案】/80度 【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 18．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    【答案】2 【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴是的内接正三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴， 由圆和正六边形的性质可得，， 由圆和正三角形的性质可得，， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 19．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)是正三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论； （2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论； （3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正五边形． ∴， ∴， ∵， ∴(优弧所对圆心角)， ∴； （2）解：是正三角形，理由如下： 连接， 由作图知：, ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴是正三角形； （3）∵是正三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． 考点6 求弧长、扇形面积、圆锥侧面积 20．（2022·浙江宁波·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：； 【详解】 ， 故选B． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可． 21．（2022·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 【答案】π 【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长． 【详解】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为， ∴它的弧长为： 故答案为： 【点睛】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式 22．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式即可求解． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为， ∴它的弧长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 23．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键． 24．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．    【答案】/ 【分析】连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，，      ∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴弧的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键． 考点7 圆综合 25．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（    ）    A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°， 【答案】C 【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点O作于点E，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键． 26．（2023·浙江·中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，，，再判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，根据圆周角定理可得，，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 点四点共圆，在以为直径的圆上， 如图，连接，    由圆周角定理得：，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点四点共圆，在以为直径的圆上是解题关键． 27．（2022·浙江杭州·中考真题）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B= 度；的值等于 ． 【答案】 36 【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE=a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：∵AD=DE， ∴∠DAE=∠DEA， ∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∵将该圆形纸片沿直线CO对折， ∴∠ECO=∠BCO， 又∵OB=OC， ∴∠OCB=∠B， 设∠ECO=∠OCB=∠B=x， ∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x， ∴∠CEB=2x， ∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°， ∴x+2x+2x=180°， ∴x=36°， ∴∠B=36°； ∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB， ∴△CEO∽△BEC， ∴， ∴CE2=EO•BE， 设EO=x，EC=OC=OB=a， ∴a2=x（x+a）， 解得，x=a（负值舍去）， ∴OE=a， ∴AE=OA-OE=a-a=a， ∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE， ∴△BCE∽△DAE， ∴， ∴． 故答案为：36，． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 28．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为 ；折痕的长为 ． 【答案】 60°/60度 【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可． 【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN 连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N ∵将沿弦折叠 ∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上 ∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F． ∴ME⊥OA，MF⊥OB ∴ ∵ ∴四边形MEOF中 即的度数为60°； ∵， ∴（HL） ∴ ∴ ∴ ∵MO⊥DC ∴ ∴ 故答案为：60°； 【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键． 29．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①2；② 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论； （2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解； ②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，点D为切点， ∴， ∵，，， ∴， ∴；    （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为2； ②在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 30．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．    (1)求证：四边形为矩形． (2)已知的半径为4，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可． （2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵与轴相切于点， ∴轴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）如图，连接．   四边形是矩形， ． 在中，， ． 点为圆心，， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键． 31．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结． (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论； （2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论． 【详解】（1）证明：∵=， ∴∠ACD＝∠DBA，      又∠CAB＝∠DBA， ∴∠CAB＝∠ACD，   ∴； （2）解：如图，连结OC，OD． ∵∠ACD＝30°， ∴∠ACD＝∠CAB＝30°， ∴∠AOD＝∠COB＝60°, ∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°． ∵， ∴S△DOC=S△DBC，                              ∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD， ∵AB＝4， ∴OA＝2， ∴S扇形COD=．                       ∴S阴影=． 【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键． 32．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接． (1)求证：； (2)若⊙与相切，求的度数； (3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)作图见详解 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明； （2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解； （3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线，的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵与相切， ∴， 又∵， ∴． （3）如下图，点就是所要作的的中点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 33．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．    (1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）． (2)求证：AD平分∠BDO． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，由，得，由弧长公式即得的长为； （2）根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分． 【详解】（1）解：连接OA，    ∵∠ACB＝20°， ∴∠AOD＝40°， ∴， ． （2）证明：， ， 切于点， ， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质． 考点7 圆综合 34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（浙江专用） 专题15 圆的性质与判定 考点1圆周角定理 1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．130° 3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点2 垂径定理 5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 6．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 ． 考点3 切线的性质 7．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    8．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是 ．    9．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 ． 10．（2022·浙江金华·中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为 ． 11．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．    12．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    13．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．    (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 14．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．    (1)求证：． (2)已知，，求的长． 15．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作，垂足为F． (1)求证：； (2)若，，求AD的长． 考点4 已知圆心角和弦作圆 16．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（  ） A． B．6 C． D． 考点5 圆内接多边形 17．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是 ．    18．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    19．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 考点6 求弧长、扇形面积、圆锥侧面积 20．（2022·浙江宁波·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 21．（2022·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 22．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 23．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）    24．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．    考点7 圆综合 25．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（    ）    A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°， 26．（2023·浙江·中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（    ）    A． B． C．2 D．1 27．（2022·浙江杭州·中考真题）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B= 度；的值等于 ． 28．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为 ；折痕的长为 ． 29．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 30．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．    (1)求证：四边形为矩形． (2)已知的半径为4，，求弦的长． 31．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结． (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 32．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接． (1)求证：； (2)若⊙与相切，求的度数； (3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 33．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．    (1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）． (2)求证：AD平分∠BDO． 考点7 圆综合 34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$