专题13 三角形与相似（6考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（浙江专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（浙江专用） 专题13 三角形与相似 考点1 相似三角形的判定与性质 1．（2022·浙江绍兴·中考真题）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（    ） A． B． C．10 D． 2．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若DE＝2，则BC的长是 ． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 考点2 利用相似求坐标 4．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 6．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则= ． 考点3 相似的实际应用 7．（2022·浙江衢州·中考真题）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 8．（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m． 考点4 辅助线构造相似 9．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 10．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 11．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在和中，，点A在边的中点上，若，，连结，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 考点5 相似与三角形综合 12．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    14．（2022·浙江丽水·中考真题）一副三角板按图1放置，O是边的中点，．如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是 ． 考点6 相似与四边形综合 15．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 16．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 17．（2022·浙江杭州·中考真题）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH． (1)如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积， (2)如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． ①求证：； ②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（浙江专用） 专题13 三角形与相似 考点1 相似三角形的判定与性质 1．（2022·浙江绍兴·中考真题）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：当△DFE∽△ECB时，如图， ∴， 设DF=x，CE=y， ∴，解得：， ∴，故B选项不符合题意； ∴，故选项D不符合题意； 如图，当△DCF∽△FEB时， ∴， 设FC=m，FD=n， ∴，解得：， ∴FD=10，故选项C不符合题意； ，故选项A符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 2．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若DE＝2，则BC的长是 ． 【答案】6 【分析】根据相似三角形的性质可得，再根据DE=2，进而得到BC长． 【详解】解：根据题意， ∵， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE＝2， ∴， ∴； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质进行计算． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例求解； （2）证明，利用相似三角形的对应边成比例证明； （3）设，则，，在中，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：由题知，， 若，则． 四边形是正方形， ， 又， ， ， 即， ． （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （3）解：设， 则，． 在中，， 即， 解得． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 考点2 利用相似求坐标 4．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 6．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则= ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设点的坐标为，则，先根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，又根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，，再根据反比例函数的解析式可得，从而可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设点的坐标为，则， ，， ，， 轴，轴， ， ， ，即， ， 又轴，轴， ， ， ，即， 解得，， 将代入反比例函数得：， ， ， 由得：， ， ， ， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 考点3 相似的实际应用 7．（2022·浙江衢州·中考真题）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 整理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 8．（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m． 【答案】9.88 【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m． ∴AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， ∵AB⊥BC，DE⊥EF， ∴∠ABC=∠DEF=90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF， ∴，即， 解得AB=9.88， ∴旗杆的高度为9.88m． 故答案为：9.88． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键． 考点4 辅助线构造相似 9．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接，    点P是的重心，点D是边的中点，P在上， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为m，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 10．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】 如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴，，，． ∴，． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换． 11．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在和中，，点A在边的中点上，若，，连结，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点E作EF⊥BC，交CB延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，根据等腰直角三角形的性质可得，∠BED=45°，进而得到，，，再证得△BEF∽△ABG，可得，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作EF⊥BC，交CB延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G， 在中，∠BDE=90°，， ∴，∠BED=45°， ∵点A在边的中点上， ∴AD=AE=1， ∴， ∴， ∵∠BED=45°， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵∠ABC=∠F=90°， ∴EF∥AB， ∴∠BEF=∠ABG， ∴△BEF∽△ABG， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 考点5 相似与三角形综合 12．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项B；先假设可得，再根据角的和差可得，从而可得，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据等量代换即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ，则选项A正确； ， ， ，， ，， ，， ， ，则选项B正确； 假设， ， 又， ， ，与矛盾， 则假设不成立，选项C错误； ，， ， 在和中，， ， ，即， ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键． 13．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值． 【详解】解： 点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明． 14．（2022·浙江丽水·中考真题）一副三角板按图1放置，O是边的中点，．如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是 ． 【答案】 【分析】BC交EF于点N，由题意得，，，，，BC=DF=12，根据锐角三角函数即可得DE，FE，根据旋转的性质得是直角三角形，根据直角三角形的性质得，即，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即cm，根据，得，即，解得，即可得． 【详解】解：如图所示，BC交EF于点N， 由题意得，，，，，BC=DF=12， 在中，， ， ∵△ABC绕点O顺时针旋转60°， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴（cm）， ∴（cm）， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴cm， ∵，， ∴， 即， ， ， ∴（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 考点6 相似与四边形综合 15．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，∵， ∴，， ∴， 解得， ∴．    【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． 【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形BFED是平行四边形， ∴，，DE=BF， ∴， ∴ ∴， ∵，DE=BF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 17．（2022·浙江杭州·中考真题）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH． (1)如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积， (2)如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． ①求证：； ②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：． 【答案】(1)5 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由中点定义可得，从而可求，然后根据勾股定理和正方形的面积公式可求正方形EFGH的面积； （2）①根据余角的性质可证，进而可证，然后利用相似三角形的性质和等量代换可证结论成立； ②先证明，再证明，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义整理可得结论． 【详解】（1）解：∵，点M是边AB的中点， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得 ， ∴正方形EFGH的面积为5． （2）解：①由题意知， ∴， ∵四边形EFGH是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ②由①得， 又∵，， ∴， 设的面积为． ∵∠K=∠K， ∠KHI=∠A=90°， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$