专题21 四边形与三角形综合压轴（4考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（浙江专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（浙江专用） 专题21 四边形与三角形综合压轴 考点1四边形与三角形综合——选填压轴 1．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 【答案】/ 【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，首先根据菱形的性质得到，，连接，，直线l交于点F，交于点G，得到点，D，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴设， ∴， 如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G， ∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， ∴，， ∴ ∴点，D，O三点共线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 3．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点M，于点J，于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得AF=AB=m，证明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL=FM，设AL=FM=x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2=（m）2，可解得x=m，有AL=FM=m，FL=2m，从而可得AP=，FP=m，BP=，即知P为AB中点，CP=AP=BP=，由△CPN∽△FPA，得CN=m，PN=m，即得AN=m，而tan∠BAC=，又△AEC∽△BCH，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图： 设正方形JKLM边长为m， ∴正方形JKLM面积为m2， ∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5， ∴正方形ABGF的面积为5m2， ∴AF=AB=m， 由已知可得：∠AFL=90°-∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF， ∴△AFL≌△FGM（AAS）， ∴AL=FM， 设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m， 在Rt△AFL中，AL2+FL2=AF2， ∴x2+（x+m）2=（m）2， 解得x=m或x=-2m（舍去）， ∴AL=FM=m，FL=2m， AP=， ∴AP=BP，即P为AB中点， ∵∠ACB=90°， ∴CP=AP=BP= ∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP， ∴△CPN∽△FPA， 即 ∴CN=m，PN=m， ∴AN=AP+PN= tan∠BAC=， ∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形， ∴△AEC∽△BCH， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．    【答案】 【分析】如图1，过点G作于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出，，然后由可求出的长，进而可得线段的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可． 【详解】解：如图1，过点G作于H，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∵是等腰直角三角形， ∴点在直线上， 连接，是旋转到的过程中任意位置， 则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积， ∵， ∴， ∴， 作于N，则， ∴， 过点B作交的延长线于M，则， ∵，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积， ， ， ， 故答案为：，．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点在直线上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键． 考点2 难点突破——辅助线 5．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出； （3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图1，作于点N，如图所示：    ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 如图2，作于点N，    ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 6．（2022·浙江宁波·中考真题） (1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问； （2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵， ∴由（1）得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴．在中，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答； （2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答； （3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答； ②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 四边形与关于所在直线成轴对称， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 设设，则， ， ， 四边形为矩形， ， 点为矩形的对称中心， ， ， 在中，， 可得方程， 解得（此时，故舍去0）， ；    （3）解：①证明：过点作于，连接， 点为矩形的对称中心， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ；    ②如图，连接， 由题意可得, 点为矩形的对称中心， ， 同理可得， 由（1）知， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由①可得， 解得， ， ， ．    【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 考点3 难点突破——动点问题与分类讨论思想 8．（2022·浙江金华·中考真题）如图，在菱形中，，点E从点B出发沿折线向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形． (1)如图1，点G在上．求证：． (2)若，当过中点时，求的长． (3)已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？ 【答案】(1)见解析 (2)或5 (3)或或或 【分析】（1）证明△AFG是等腰三角形即可得到答案； （2）记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况进行求解即可； （3）过点A作于点M，作于点N．分点E在线段上时，点E在线段上时，点E在线段上，点E在线段上，共四钟情况分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵FGBC， ∴， ∴， ∴△AFG是等腰三角形， ∴． （2）解：记中点为点O． ①当点E在上时，如图2，过点A作于点M， ∵在中，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点E在上时，如图3， 过点A作于点N． 同理，， ， ∴． ∴或5． （3）解：过点A作于点M，作于点N． ①当点E在线段上时，．设，则， ⅰ）若点H在点C的左侧，，即，如图4， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∴． ⅱ）若点H在点C的右侧，，即，如图5， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 此方程无解． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∴． ②当点E在线段上时，，如图6，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 此方程无解． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∵， ∴不合题意，舍去； ③当点E在线段上时，，如图7，过点C作于点J， 在中，． ， ∴， ∴， ∵， ∴，符合题意， 此时，． ④当点E在线段上时，， ∵， ∴与不相似． 综上所述，s满足的条件为：或或或． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键． 9．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．    (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)8 (2)①；②或 【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案； （2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可； ②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案． 【详解】（1）在中，， 在中，． （2）①如图1，作于点，由（1）得，，则， 作交延长线于点，则，    ∴． ∵ ∴． 由旋转知， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②由旋转得，， 又因为，所以． 情况一：当以为直角顶点时，如图2．    ∵， ∴落在线段延长线上． ∵， ∴， 由（1）知，， ∴． 情况二：当以为直角顶点时，如图3．    设与射线的交点为， 作于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得， ∴． 情况三：当以为直角顶点时， 点落在的延长线上，不符合题意． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键． 考点4动角问题 10．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点G． (1)求证：. (2)若． ①求菱形的面积. ②求的值. (3)若，当的大小发生变化时（），在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①24，② (3)＝，理由见解析 【分析】（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，由平分交于点G，得到∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，进一步即可得到答案； （2）①连接AC交BD于点O,Rt△DOC中，OC＝，求得AC＝8，由菱形的面积公式可得答案；②由BGAC，得到，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝DH＝HG，则，再证明△CDH∽△AEH，CH＝AC＝，OH＝OC－CH＝4－＝，利用正切的定义得到答案； （3）过点G作GTBC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得，GT＝，为定值，即可得到ET的值． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，ABCD， ∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC， ∵平分交于点G， ∴∠CBG＝∠EBG＝∠CBE， ∴∠CBD＋∠CBG＝（∠ABC＋∠CBE）＝×180°＝90°， ∴∠DBG＝90°； （2）解：①如图1，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形，BD＝6， ∴OD＝BD＝3，AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， 在Rt△DOC中，OC＝， ∴AC＝2OC＝8， ∴， 即菱形的面积是24． ②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵∠DBG＝90° ∴BG⊥BD， ∴BGAC， ∴， ∴DH＝HG，DG＝2DH， ∵DG＝2GE， ∴EG＝DH＝HG， ∴， ∵ABCD， ∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH， ∴△CDH∽△AEH， ∴， ∴CH＝AC＝， ∴OH＝OC－CH＝4－＝， ∴tan∠BDE＝； （3）如图3，过点G作GTBC交AE于点T，此时ET＝． 理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BGAC， ∴△BGE∽△AHE， ∴， ∵AB＝BE＝5， ∴EG＝GH， 同理可得，△DOH∽△DBG， ∴， ∵BO＝DO， ∴DH＝GH＝EG， ∵GTBC， ∴GTAD， ∴△EGT∽△EDA， ∴， ∵AD＝AB＝5， ∴GT＝，为定值， 此时ET＝AE＝（AB＋BE）＝． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（浙江专用） 专题21 四边形与三角形综合压轴 考点1四边形与三角形综合——选填压轴 1．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 3．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点M，于点J，于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．    考点2 难点突破——辅助线 5．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．    6．（2022·浙江宁波·中考真题） (1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 考点3 难点突破——动点问题与分类讨论思想 8．（2022·浙江金华·中考真题）如图，在菱形中，，点E从点B出发沿折线向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形． (1)如图1，点G在上．求证：． (2)若，当过中点时，求的长． (3)已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？ 9．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．    (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 考点4动角问题 10．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点G． (1)求证：. (2)若． ①求菱形的面积. ②求的值. (3)若，当的大小发生变化时（），在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$