专题15 解直角三角形的实际应用（5考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（陕西专用）

专题15 解直角三角形的实际应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1利用锐角三角函数值测高 （5年1考） 2024·陕西：辅助线构造直角三角形、利用锐角三角函数值测海拔高度 近五年中考解直角三角形的实际应用主要以解答的方式，考查了锐角三角函数值、相似三角形、勾股定理等知识；多为投影问题、坡度问题、仰角俯角等测高、测长问题。在备考中，同学们需重视相似三角形、直角三角形、锐角三角函数值的知识的灵活运用，提高数学阅读理解和审题能力，会根据实际问题中的条件，联系相关知识构造相似或直角三角形进行解题，形成数学模型观念。 考点2 构造直角三角形测高 （5年1考） 2020·陕西：构造直角三角形和矩形、利用全等测楼高 考点3在仰角俯角问题中应用相似测高 （5年1考） 2023·陕西：解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影 考点4在平行投影问题中应用相似测高 （5年1考） 2022·陕西：利用相似测旗杆高度 考点5应用方程思想和三角函数值求长 （5年1考） 2021·陕西：等腰直角三角形的性质、三角函数、一元一次方程 考点1利用锐角三角函数值测高 1．（2024·陕西·中考真题）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    考点2构造直角三角形测高 2．（2020·陕西·中考真题）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN． 考点3在仰角俯角问题中应用相似测高 3．（2023·陕西·中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    考点4在平行投影问题中应用相似测高 4．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 考点5应用方程思想和锐角三角函数值求长 5．（2021·陕西·中考真题）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度，他们测得为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知点B、C、D共线，．求钢索的长度．（结果保留根号） 1．（2024·陕西西安·模拟预测）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯，如图1，其示意图如图2，已知，，三点共线，与的张角记为，为保证采桑人的安全，可调整的范围是，为固定张角大小的锁链．若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端到地面的距离（结果精确到，参考数据：，，）． 2．（2024·陕西榆林·三模）智能测量是一款非常有创意且使用性很高的手机测距软件，张老师用自己的手机测量一座雕像（如图1）的高度，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其测量原理如图2所示，张老师站在D处，用手机在C处测量，已知与均垂直于地面，点B在上，若手机显示雕像的高度，测得手机到雕像底部的距离，且，求手机到雕像顶部的距离．（参考数据：，，） 3．（2024·陕西西安·三模）某市政府为方便乘客在公交站牌等车时不被雨淋和日晒，给公交站牌安装了遮阳挡雨棚，其侧面如图所示，和为固定遮阳挡雨棚的两条长度相等的斜拉钢索，已知立柱与地面垂直，点C在上，，钢索，且与的夹角，求点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 4．（2024·陕西西安·模拟预测）大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是古都西安的标志性建筑．慕梓睿想利用所学的知识测量大雁塔的高度，由于无法直接测量到塔的底部，于是他设计了如下测量方案：如图，先用纸折出一个等腰直角，，保持与水平面平行，调整他与大雁塔的距离，当他站在点E处时，观察到C、D、B三点共线，表示慕梓睿眼睛到地面的距离，然后他沿的方向前进75步到点F处，将镜面做有标记的平面镜水平放置在距F点2步远的点G处（G在线段上），镜面上的标记与点G重合，他站在点F处，恰好在平面镜内看到大雁塔顶端点B与镜面上的标记重合．已知，，，，慕梓睿每步步长约为，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计，结果保留整数） 5．（2024·陕西西安·模拟预测）在一次数学课后，小娟和小丽进行了一次数学实践活动，如图，在同一水平面从左往右依次是商业大厦、旗杆、小娟家所在的居民楼，她们的实践内容为测量商业大厦的高度．家住顶楼的小娟在窗户A处测得旗杆底部D的俯角的度数，小丽在商业大厦顶部的窗户E处测得旗杆顶部C的俯角的度数，竟然发现与互余．她们又在居民楼底部的B处测得旗杆顶部C的仰角为，已知F、D、B在同一条直线上，，且米，测倾器的高度忽略不计，请根据以上信息求出商业大厦的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 6．（2024·陕西榆林·三模）小亮在给自建房的楼上安装栏杆时，利用定滑轮设计了如图①的方案帮家人将所需材料运送至该楼层．运送中，小亮突发奇想，想利用这个装置测量一下自己所在楼层距离地面的高度．如图②，将定滑轮固定在该楼层上方支架点处（点在同一直线上），并利用定滑轮的工作原理拉动水平地面上的箱子，在起始位置点时，测量出绳子和水平面的夹角为，拉动一段距离后箱子到达点，测量出绳子和水平面的夹角为．已知定滑轮距离该楼层地面的高度，箱子的高度，移动过程中绳子收回的长度为，均垂直于地面，求的高度．（参考数据：，，） 7．（2024·陕西渭南·二模）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西方向，距离甲地，丙地位于乙地北偏东方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图2所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长（参考数据：，，，） 8．（2024·陕西西安·三模）如图1 是位于西安市的具有“西北第一高”称号的摩天轮，它的“成像效果”全球第一．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A 处测得摩天轮顶端M的仰角为 ，接着沿水平方向向左行走 140 米到达点 B，再沿着坡度的斜坡走了20 米到达点 C，最后再沿水平方向向左行走40米到达摩天轮最低点N处(A，B，C，M，N均在同一平面内)，求摩天轮的高度．(结果精确到1 米)（参考数据：） 9．（2024·陕西西安·一模）2023年我省继续推进实施教育数字化战略行动，随着信息化教学的普及，越来越多的教学场景都引入了投影仪，用以辅助教学．如图，是某教室投影仪安装的截面图．D为天花板上投影仪吊臂的安装点，点A为投影仪（投影仪大小忽略不计），投影仪的光线夹角，吊臂，投影屏幕的高，．求屏幕下边沿C点离教室顶部的高度．（结果保留一位小数，参考数据    10．（2024·陕西汉中·二模）西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：） 11．（2024·陕西商洛·二模）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为，测得．求点O，M之间的距离． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，，，在一条直线上，，其相关数据为，，求的长（结果精确到，参考数据：，，，）．    13．（2024·陕西西安·模拟预测）中国技术领先世界，建设日新月异，小明和家人周末去公园踏青，公园内有一个信号柱，他想利用所学知识测量柱高，已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线）恰好落在水平面和斜坡上，在处测得信号柱顶端的仰角，在点处信号柱顶端的仰角为，斜坡与地面成角，且测得米，求信号柱的高度．（不考虑信号柱的粗细，结果精确到1米）（参考数据：，，，） 14．（2024·陕西榆林·二模）中国大地原点，是中国经纬度的基准点，也是国家大地坐标系统的起算点，位于陕西省境内．某数学学习小组把测量大地原点的主体建筑观测塔楼（如图1）的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量．如图2，甲同学在地面上竖立一根标杆，发现某一时刻塔楼和标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点E处，乙同学在点F处放置一个测角仪支架，调节支架高度，当测角仪位于点G处时，测得塔楼的顶端A的仰角为，经测量，米，米，米，米，B、D、E、F四点在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同平面内．请你帮助该小组计算塔楼的高度． 【参考数据：，，】 15．（2024·陕西汉中·一模）便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，活动报告如下： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水）       说明：C为的中点 请结合以上信息，解答下面的问题： 在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：） 16．（2024·陕西安康·二模）无人机在生活中被广泛应用，小哲同学喜欢用无人机进行探索研究，寒假期间，他和小组成员共六人，一起利用无人机测量了家附近某大楼BC的高度，他设计的测量方案如下： 课题 测量大楼的高度 测量工具 无人机 测量图例    测量方法 小哲和组员共六人，利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点P处． （1）首先测量点P与地面上点A的距离； （2）然后，在点P处测量点A的俯角，楼顶点C的俯角； （3）测量点A与大楼的距离． 测量数据 （1）点P与地面上点A的距离为； （2）在点P处测量点A的俯角为，楼顶点C的俯角为； （3）测量点A与大楼的距离为． 说明 点A，B，C，P在同一水平面内． 请你根据上述信息，求大楼的高度．（结果保留根号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 解直角三角形的实际应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1利用锐角三角函数值测高 （5年1考） 2024·陕西：辅助线构造直角三角形、利用锐角三角函数值测海拔高度 近五年中考解直角三角形的实际应用主要以解答的方式，考查了锐角三角函数值、相似三角形、勾股定理等知识；多为投影问题、坡度问题、仰角俯角等测高、测长问题。在备考中，同学们需重视相似三角形、直角三角形、锐角三角函数值的知识的灵活运用，提高数学阅读理解和审题能力，会根据实际问题中的条件，联系相关知识构造相似或直角三角形进行解题，形成数学模型观念。 考点2 构造直角三角形测高 （5年1考） 2020·陕西：构造直角三角形和矩形、利用全等测楼高 考点3在仰角俯角问题中应用相似测高 （5年1考） 2023·陕西：解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影 考点4在平行投影问题中应用相似测高 （5年1考） 2022·陕西：利用相似测旗杆高度 考点5应用方程思想和三角函数值求长 （5年1考） 2021·陕西：等腰直角三角形的性质、三角函数、一元一次方程 考点1利用锐角三角函数值测高 1．（2024·陕西·中考真题）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    【答案】山顶C点处的海拔高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，    在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴山顶C点处的海拔高度为． 考点2构造直角三角形测高 2．（2020·陕西·中考真题）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN． 【答案】80m． 【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F， ∴∠CEF＝∠BFE＝90°， ∵CA⊥AM，NM⊥AM， ∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形， ∴CE＝BF，ME＝AC，∠1＝∠2， ∴△BFN≌△CEM（ASA）， ∴NF＝EM＝31+18＝49， 由矩形性质可知：EF＝CB＝18， ∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）． 答：商业大厦的高MN为80m． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是构造直角三角形和矩形，得出NF=EM=AC． 考点3在仰角俯角问题中应用相似测高 3．（2023·陕西·中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，      由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 考点4在平行投影问题中应用相似测高 4．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 【答案】旗杆的高AB为3米． 【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵AD∥EG， ∴∠ADO=∠EGF． 又∵∠AOD=∠EFG=90°， ∴△AOD∽△EFG． ∴． ∴． 同理，△BOC∽△AOD． ∴． ∴． ∴AB=OA−OB=3（米）． ∴旗杆的高AB为3米． 考点5应用方程思想和锐角三角函数值求长 5．（2021·陕西·中考真题）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度，他们测得为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知点B、C、D共线，．求钢索的长度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先设，再通过x表示出BD，最后利用三角函数关系建立方程即可完成求解． 【详解】解：在中，设． ∵，， ∴． 在中，，， ∴， 即． 解之，得 ∴ ∴钢索的长度约为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角函数、一元一次方程等知识，解决本题的关键是能建立题干信息与图形的关联，能正确设出未知数建立方程等，本题涉及到二次根式的运算等内容，对学生的计算能力有一定的考查． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯，如图1，其示意图如图2，已知，，三点共线，与的张角记为，为保证采桑人的安全，可调整的范围是，为固定张角大小的锁链．若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端到地面的距离（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】桑梯顶端到地面的距离为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作，先利用三角形内角和等边对等角求出，解直角三角形，求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于E， ∵米，，米， ∴，米， 在中，米； 答：桑梯顶端到地面的距离为米． 2．（2024·陕西榆林·三模）智能测量是一款非常有创意且使用性很高的手机测距软件，张老师用自己的手机测量一座雕像（如图1）的高度，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其测量原理如图2所示，张老师站在D处，用手机在C处测量，已知与均垂直于地面，点B在上，若手机显示雕像的高度，测得手机到雕像底部的距离，且，求手机到雕像顶部的距离．（参考数据：，，） 【答案】手机到雕像顶部的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理．熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．如图，过点B作于点F，则．则，，可求，，由勾股定理得，然后根据，求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于点F，则． 在中，，，，， ∴，， ∴，． 由勾股定理得（m）， ∴（m）， 手机到雕像顶部的距离为． 3．（2024·陕西西安·三模）某市政府为方便乘客在公交站牌等车时不被雨淋和日晒，给公交站牌安装了遮阳挡雨棚，其侧面如图所示，和为固定遮阳挡雨棚的两条长度相等的斜拉钢索，已知立柱与地面垂直，点C在上，，钢索，且与的夹角，求点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】点到地面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中，，， ， ，， ， ， ， 点到地面的距离约为． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是古都西安的标志性建筑．慕梓睿想利用所学的知识测量大雁塔的高度，由于无法直接测量到塔的底部，于是他设计了如下测量方案：如图，先用纸折出一个等腰直角，，保持与水平面平行，调整他与大雁塔的距离，当他站在点E处时，观察到C、D、B三点共线，表示慕梓睿眼睛到地面的距离，然后他沿的方向前进75步到点F处，将镜面做有标记的平面镜水平放置在距F点2步远的点G处（G在线段上），镜面上的标记与点G重合，他站在点F处，恰好在平面镜内看到大雁塔顶端点B与镜面上的标记重合．已知，，，，慕梓睿每步步长约为，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计，结果保留整数） 【答案】大雁塔高度约为65米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，延长交于M，则四边形是矩形，可得；，证明，得到，设，则，则可得，进而得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于M，则四边形是矩形， ∴；， ∵，， ∴， 由光的反射定律可知，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴大雁塔的高度约为65米． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）在一次数学课后，小娟和小丽进行了一次数学实践活动，如图，在同一水平面从左往右依次是商业大厦、旗杆、小娟家所在的居民楼，她们的实践内容为测量商业大厦的高度．家住顶楼的小娟在窗户A处测得旗杆底部D的俯角的度数，小丽在商业大厦顶部的窗户E处测得旗杆顶部C的俯角的度数，竟然发现与互余．她们又在居民楼底部的B处测得旗杆顶部C的仰角为，已知F、D、B在同一条直线上，，且米，测倾器的高度忽略不计，请根据以上信息求出商业大厦的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】商业大厦的高度约为88米． 【分析】延长交于点H，根据题意可得：，，，从而可得，再根据同角的余角相等可得，然后利用等量代换可得，从而利用可证，进而可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点H， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴商业大厦的高度约为88米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 6．（2024·陕西榆林·三模）小亮在给自建房的楼上安装栏杆时，利用定滑轮设计了如图①的方案帮家人将所需材料运送至该楼层．运送中，小亮突发奇想，想利用这个装置测量一下自己所在楼层距离地面的高度．如图②，将定滑轮固定在该楼层上方支架点处（点在同一直线上），并利用定滑轮的工作原理拉动水平地面上的箱子，在起始位置点时，测量出绳子和水平面的夹角为，拉动一段距离后箱子到达点，测量出绳子和水平面的夹角为．已知定滑轮距离该楼层地面的高度，箱子的高度，移动过程中绳子收回的长度为，均垂直于地面，求的高度．（参考数据：，，） 【答案】的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，理解题意，求出AC、BC是解题的关键．连接并延长交于点，设，则，在中，，在中，，根据建立方程求解即可． 【详解】如图，连接并延长交于点， 由题意可得：， 设，则， 在中，， 在中，， 移动过程中绳子收回的长度为， 解得：， ， ， 的高度为． 7．（2024·陕西渭南·二模）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西方向，距离甲地，丙地位于乙地北偏东方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图2所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长（参考数据：，，，） 【答案】公路的长为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．过点B作于点D，利用锐角三角函数的定义求出及的长，进而可得出结论． 【详解】解：过点C作于点D， 在中，， ∴， ∴； 丙地位于乙地北偏东方向， 在中，， ∴，即， ∴； 答：公路的长为 8．（2024·陕西西安·三模）如图1 是位于西安市的具有“西北第一高”称号的摩天轮，它的“成像效果”全球第一．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A 处测得摩天轮顶端M的仰角为 ，接着沿水平方向向左行走 140 米到达点 B，再沿着坡度的斜坡走了20 米到达点 C，最后再沿水平方向向左行走40米到达摩天轮最低点N处(A，B，C，M，N均在同一平面内)，求摩天轮的高度．(结果精确到1 米)（参考数据：） 【答案】摩天轮的高度约为131 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角，坡度的问题，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形． 延长至E，作于D，解求出，再解即可． 【详解】解：延长至E，作于D， 由题意得：，，，，， ∵，， ∴， 设，则由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴米． 答：摩天轮MN的高度约为131 米． 9．（2024·陕西西安·一模）2023年我省继续推进实施教育数字化战略行动，随着信息化教学的普及，越来越多的教学场景都引入了投影仪，用以辅助教学．如图，是某教室投影仪安装的截面图．D为天花板上投影仪吊臂的安装点，点A为投影仪（投影仪大小忽略不计），投影仪的光线夹角，吊臂，投影屏幕的高，．求屏幕下边沿C点离教室顶部的高度．（结果保留一位小数，参考数据    【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解决本题的关键是能作出正确的辅助线． 过作于，过作于，则利用三角函数知识在中，算出与，在中，算出，从而可得的长，最后在中，算出，由此可得． 【详解】解：过作于，过作于．则四边形为矩形，    ∴， ∵，， 设， 在中，，． 在中，， ． 在中，． ． 答：屏幕下边沿离教室顶部的高度约为米． 10．（2024·陕西汉中·二模）西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：） 【答案】12米 【分析】过点C作于点M，四边形是矩形，，得到，利用正切函数计算即可，本题考查了矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，熟练掌握相似的判定和性质，正切函数是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点M， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米，米，米， ∴，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴米， ∴米， 答：城墙高12米． 11．（2024·陕西商洛·二模）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为，测得．求点O，M之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线分线段成比例定理，过点O作交于H，根据平行线分线段成比例得出点H是的中点，得出，再由正切函数求解即可； 【详解】（1）解：如图，过点O作交于H， 由题意可知，点O是的中点，， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， 解得， ∴点O、M之间的距离等于； 12．（2024·陕西西安·模拟预测）家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，，，在一条直线上，，其相关数据为，，求的长（结果精确到，参考数据：，，，）．    【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，过点作于，交于，判定四边形是矩形，可得，，解得到，，进而得到，，再解求出的长，最后根据得出答案即可，熟练掌握解直角三角形、正确计算是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，交于，    ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，，， ∴，， ∴，， 在中，，观察图形得：， ∴， ∴， ∴的长约为． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）中国技术领先世界，建设日新月异，小明和家人周末去公园踏青，公园内有一个信号柱，他想利用所学知识测量柱高，已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线）恰好落在水平面和斜坡上，在处测得信号柱顶端的仰角，在点处信号柱顶端的仰角为，斜坡与地面成角，且测得米，求信号柱的高度．（不考虑信号柱的粗细，结果精确到1米）（参考数据：，，，） 【答案】信号柱的高度约为47米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，则四边形是矩形，可得，解得到米，米，设米，则米，解得到米，则米，解中，得到，解方程即可得到答案. 【详解】解：如图所示，过点D分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，则四边形是矩形， ∴， 在中，米，， ∴米，米， 设米，则米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得， ∴米， ∴信号柱的高度约为47米 14．（2024·陕西榆林·二模）中国大地原点，是中国经纬度的基准点，也是国家大地坐标系统的起算点，位于陕西省境内．某数学学习小组把测量大地原点的主体建筑观测塔楼（如图1）的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量．如图2，甲同学在地面上竖立一根标杆，发现某一时刻塔楼和标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点E处，乙同学在点F处放置一个测角仪支架，调节支架高度，当测角仪位于点G处时，测得塔楼的顶端A的仰角为，经测量，米，米，米，米，B、D、E、F四点在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同平面内．请你帮助该小组计算塔楼的高度． 【参考数据：，，】 【答案】26米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．延长交于点K，在中，根据三角函数的定义可得，即，再根据相似三角形的判定与性质，可得，列出方程并计算，求得米，从而可得答案． 【详解】如图，延长交于点K， ，， ， 四边形为矩形， 米，， ，， ， 即， ， ， ，， ， ， 即， ， 解得米， 米， 即塔楼的高度为26米． 15．（2024·陕西汉中·一模）便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，活动报告如下： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水）       说明：C为的中点 请结合以上信息，解答下面的问题： 在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：） 【答案】此时水桶下降的高度约为 【分析】根据题意可得：，然后分别在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 此时水桶下降的高度约为 16．（2024·陕西安康·二模）无人机在生活中被广泛应用，小哲同学喜欢用无人机进行探索研究，寒假期间，他和小组成员共六人，一起利用无人机测量了家附近某大楼BC的高度，他设计的测量方案如下： 课题 测量大楼的高度 测量工具 无人机 测量图例    测量方法 小哲和组员共六人，利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点P处． （1）首先测量点P与地面上点A的距离； （2）然后，在点P处测量点A的俯角，楼顶点C的俯角； （3）测量点A与大楼的距离． 测量数据 （1）点P与地面上点A的距离为； （2）在点P处测量点A的俯角为，楼顶点C的俯角为； （3）测量点A与大楼的距离为． 说明 点A，B，C，P在同一水平面内． 请你根据上述信息，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】大楼的高度为 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，先解，求出，，得到的长度，再解，得到的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，． 由题意，可得，，，， ，， ， ， ， 大楼的高度为．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$