特训03 等腰三角形的对称性 解答题（含基础+重点+压轴）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训03 等腰三角形的对称性 解答题（含基础+重点+压轴） 一、解答题 1．如图，在中，，求的度数．    2．如图，在中，点在上，且，，求的度数． 3．如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 4．如图，在中，为的中点，， (1)求的长． (2)请直接写出线段与线段之间的数量关系． 5．如图，在中，，，P是上一点，且，．求的长．    6．如图．在中，，于D，，E是斜边的中点，是多少度？为什么？ 7．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数． 8．如图，是等边三角形，点分别是上的点，与交于点．求的度数． 9．如图，四边形中，，（与都是钝角）．求证：． 10．如图，，，交于F，交于点E，求证：． 11．如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 12．在中，是边上的高线，是边上的中线，是的中点．且求证：． 13．如图，已知中，，，且平分．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长． 15．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接．    (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 16．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 17．如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 18．如图，是等边三角形，点、、分别在、、上；若，，求证： (1)； (2)是等边三角形． 19．如图，已知是等边三角形，D是延长线上一点，平分，且．    求证： (1)； (2)为等边三角形． 20．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：． 21．如图，在等边中，点D为边上的一点．在等边的外角平分线上取一点E，使．连接．    (1)证明：； (2)求的度数． 22．如图,为等边三角形,,相交于点,于,,． (1)求证:; (2)求的度数; (3)求的长． 23．如图，在等边三角形中，于点，，以为一边向右作等边三角形． (1)求的周长； (2)判断，的位置关系，并给出证明； (3)连接，求证：. 24．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点． (1)过点作交于点，求证：． (2)若，求的度数． 25．在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求证：平分． 26．如图，中，于点D，在上有一点E，连接并延长至点F，，连接，，． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 27．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 28．如图，等边的边长为6，于D，D为上一点，以为一边且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求点C到直线的距离． 29．已知：，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形． 30．如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， °， °． (2)若，试说明． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 31．点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，设运动时间为． (1)连接、交于点，则在、运动过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (2)连接，当运动时间为多少时，是等边三角形，并说明理由； (3)连接，当为直角三角形时，则________s．（直接写出结果） 32．如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，F是的中点连接． (1)求证：； (2)连接，若，． ①判断的形状，并说明理由； ②_________． 33．如图，中，，，点O在边上运动（O不与B、C重合），点D在线段上，连结，．点O运动时，始终满足． (1)当时，判断的形状并说明理由； (2)当的最小值为2时，此时 ； (3)在点O的运动过程中，的形状是等腰三角形时，求此时的度数． 34．如图①、图②中，点C为线段上一点，与都是等边三角形． (1)求证； (2)如图②，与交于点E，与交于点F，探究的形状，并证明你的结论． 35．已知中，；中，；， (1)如图1，当时，①求证：；②求出的度数； (2)如图2，当时，求∶ ①的度数； ②若，，求的长． 36．在中，，是的角平分线，于点E． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______． (3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 等腰三角形的对称性 解答题（含基础 重点 压轴） 一、解答题 1．如图，在中，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出，再根据三角形的内角和定理即可求得． 【解析】解：， ， ， ， ， 答：的度数为． 2．如图，在中，点在上，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及外角定理即可求解． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 3．如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 【答案】， 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一解答．根据等腰三角形的性质求出，进而解答即可． 【解析】，， ， ，是中线， ，即． ． ，是的平分线， ． 是的外角， ． 4．如图，在中，为的中点，， (1)求的长． (2)请直接写出线段与线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线． （1）根据含30度的直角三角形的性质，得到，斜边上的中线，得到，即可得出结果； （2）根据30度的角所对的直角边为斜边的一半，即可． 掌握30度的角所对的直角边为斜边的一半，斜边上的中线为斜边的一半，是解题的关键． 【解析】（1）解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． 5．如图，在中，，，P是上一点，且，．求的长．    【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质及等角对等边求得，再利用含30度直角三角形的性质求得的长即可． 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】考查了含30度直角三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得，再根据含30度直角三角形的性质求得的长． 6．如图．在中，，于D，，E是斜边的中点，是多少度？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，根据，求出，的度数，进而求出的度数，斜边上的中线，推出，再用进行求解即可． 【解析】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 7．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据条件证明，得出，再根据外角的性质得到，进一步可得结论． 【解析】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、外角的性质，解题的关键是熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 8．如图，是等边三角形，点分别是上的点，与交于点．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，根据题意证即可求解． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴， ， ， ． 9．如图，四边形中，，（与都是钝角）．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．连接，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合可得，即可证明结论． 【解析】证明：如下图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，，，交于F，交于点E，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明三角形全等，是解题的关键． 先证明，由全等三角形的性质可得出，由等角对等边可得出，等量代换可得出进而即可得到结论． 【解析】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解． 【解析】（1）∵是等边三角形， 是中线， ， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键． 12．在中，是边上的高线，是边上的中线，是的中点．且求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半及等腰三角形的性质，解题的关键作辅助线．连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边一半得到，再根据等腰三角形的三线合一即可得到证明． 【解析】证明：连接， 是边上的高线， ， 是边上的中线， ， 又， ， 又是的中点， ． 13．如图，已知中，，，且平分．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)70度 【分析】（1）要求证：可以先根据角角边定理证明，再根据全等三角形性质得出结论； （2）根据，得，再由三角形内角和求出． 【解析】（1）（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴，    ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，掌握相关定理，灵活运用是解题关键． 14．如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，再由线段之间的关系求出即可得到答案． 【解析】解：都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接．    (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理， （）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可解答； （）由（）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数； 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴, ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴． 16．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)证明过程见解答 (2)证明过程见解答 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定． （1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求得，即可证明结论． 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 17．如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，根据得，可得，则，即可得是等腰三角形； （2）根据角平分线的性质得，根据得，可得，即可得，根据的周长为，，可得，即可得，根据可得，即可得； 掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：平分， ， ∵， ， ， ， ∵的周长为18，， ， ， ∵， ， ， ∴的周长为． 18．如图，是等边三角形，点、、分别在、、上；若，，求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，由此根据证明； （2）根据得到，，推出，即可证得结论． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴ 在和中 ∴； （2）∵， ∴，， ∵ ∴ ∴是等边三角形． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记各判定和性质定理是解题的关键． 19．如图，已知是等边三角形，D是延长线上一点，平分，且．    求证： (1)； (2)为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，再根据角平分线的定义得到，最后根据即可进行证明； （2）根据全等三角形对应边相等，对应角相等即可进行证明． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形三条边相等，三个角都是；全等三角形对应边相等，对应角相等． 20．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得，再由得，由此可得的度数； （2）根等腰三角形的性质得，再根据得，由此得，然后根据等腰三角形的判定进而得出结论． 【解析】（1）解：，于点D， ， ， ， ； （2）证明：，于点D， ， ， ， ， ． 21．如图，在等边中，点D为边上的一点．在等边的外角平分线上取一点E，使．连接．    (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是全等三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质； （1）由已知利用即可证明全等； （2）由全等的性质得，进而可得． 【解析】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 22．如图,为等边三角形,,相交于点,于,,． (1)求证:; (2)求的度数; (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形判定及性质,等边三角形性质,含30°角的直角三角形三边关系． （1）根据证明即可, （2）根据全等三角形性质得出,继而得到本题答案, （3）根据含角的直角三角形三边关系即可得到本题答案． 【解析】（1）解:证明:∵为等边三角形, ∴,, 在和中, , ∴, （2）解:由（1）知, ∴,, ∴, 故答案为:． （3）解:∵,, ∴, ∴, ∴． 23．如图，在等边三角形中，于点，，以为一边向右作等边三角形． (1)求的周长； (2)判断，的位置关系，并给出证明； (3)连接，求证：. 【答案】(1)的周长为6 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三线合一、同旁内角互补，两直线平行： （1）由“在等边三角形中，于点”，得，即可作答． （2）由三线合一，得，结合等边三角形的性质，得，根据两个锐角互余的三角形是直角三角形，即可作答． （3）先得是的垂直平分线，然后证明，结合角的等量代换，得，即可作答． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解： ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴； （3）解：如图： ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点． (1)过点作交于点，求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平分得，由得，则，所以； （2）由，是边上的中点，得，，则，所以． 【解析】（1）证明：平分， ，即， ， ， ， ． （2）解：，是边上的中点， ，， ， ， 的度数是． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题的关键是熟练掌握并能灵活运用以上知识点． 25．在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答． （1）根据证明与全等，进而解答即可； （2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：设交于点G，如图， 由（1）得， ∴，． 由（1）得， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴平分． 26．如图，中，于点D，在上有一点E，连接并延长至点F，，连接，，． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质． （1）根据三角形内角和定理求得，结合已知利用即可证明； （2）根据，，求出，由，得到，根据等腰三角形三线合一即可求解． 【解析】（1）证明：在中，， 在中，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 27．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和，等腰三角形的性质，熟悉全等三角形的判定定理与性质，并能灵活选择很重要． （1）先证明，再证明，得出结论即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，再根据三角形内角和和对顶角性质得出． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 即：， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 28．如图，等边的边长为6，于D，D为上一点，以为一边且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求点C到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由条件结合等边三角形的性质通过“边角边”可证明，可得； （2）由（1）的结论可知C到的距离和C到的距离相等，可求得C到的距离． 【解析】（1）证明：∵和为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， 设C到的距离为h，则， ∴， ∵于D且， ∴， ∴， 即点C到BE的距离为3． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即和． 29．已知：，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边等等： （1）只需要证明，即可证明； （2）由平角的定义得到，则可证明都是等腰直角三角形，由全等三角形的性质得到，则，进而可得，则可证明都是等腰三角形． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴都是等腰三角形． 综上所述，，，，都是等腰三角形． 30．如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， °， °． (2)若，试说明． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25；65 (2)详见解析 (3)可以，当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解析】（1）解： ， ， ，， ， ， 故答案为：25；65； （2）解：，， ，， ． ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ； （3）解： 的形状可以是等腰三角形． ①当时，， ， ②当时，， ． ， 此时，点与点重合，不符合题意． ③当时，， ． 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 31．点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，设运动时间为． (1)连接、交于点，则在、运动过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (2)连接，当运动时间为多少时，是等边三角形，并说明理由； (3)连接，当为直角三角形时，则________s．（直接写出结果） 【答案】(1)不变，； (2)s； (3)或 【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明，则可求得，再利用三角形外角的性质可证得； （2）由为等边三角形，可得，再建立方程求解即可； （3）当为直角三角形时，分两种情况讨论，当，而，则；当时，则，再利用含的直角三角形的性质列方程求解即可． 【解析】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴在P、Q运动的过程中，不变，； （2）解：为等边三角形， 由题意得：， ， ， 解得：， 所以当为等边三角形时，则s； （3）解：当为直角三角形时， 当，而，则， ， ， 解得：， 当时，则， ， ， 解得：， 综上：当s或s时，为直角三角形． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握“利用图形的性质得到边与边之间的关系，再建立方程求解”是解题的关键． 32．如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，F是的中点连接． (1)求证：； (2)连接，若，． ①判断的形状，并说明理由； ②_________． 【答案】(1)见解析； (2)①等边三角形，见解析；②． 【分析】（1）在和中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证； （2）①由（1）、求出长度都为，由等边三角形的定义即可证明； ②利用等边对等角、三角形内角和定理可求，在用“直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半”可求出比值． 【解析】（1）证明：，， ，， 在中，，F是中点， ； 在中，，F是中点， ； ． （2） 解：①等边三角形， 理由如下：由（1）知，， ， ， 是等边三角形． ②解：由（1）得 ， 同理可证：， 是等边三角形， ， ， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、直角三角形中相关基本性质的综合运用及等边三角形判断问题，掌握并熟练应用是解决问题的关键． 33．如图，中，，，点O在边上运动（O不与B、C重合），点D在线段上，连结，．点O运动时，始终满足． (1)当时，判断的形状并说明理由； (2)当的最小值为2时，此时 ； (3)在点O的运动过程中，的形状是等腰三角形时，求此时的度数． 【答案】(1)直角三角形 (2)3 (3)的度数是60°或105° 【分析】（1）证明即可解答； （2）根据垂线段最短可知时，的值最小，求出，的值即可解答； （3）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出的度数即可． 【解析】（1）解：为直角三角形，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：当时，的值最小，如图， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． （3）解：的形状可以是等腰三角形，理由如下， 分三种情况： ①时，， ∴； ②时，， ∴； ③时，， ∴，点O与C重合，不合题意， 综上所述，的度数是60°或105°． 【点睛】本题考查三角形综合题，涉及等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 34．如图①、图②中，点C为线段上一点，与都是等边三角形． (1)求证； (2)如图②，与交于点E，与交于点F，探究的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）等边三角形的性质得到，进而可证明，则可证明； （2）先由全等三角形的性质得到，再由平角的定义得到，据此证明，得到，即可证明是等边三角形． 【解析】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 35．已知中，；中，；， (1)如图1，当时，①求证：；②求出的度数； (2)如图2，当时，求∶ ①的度数； ②若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；② 【分析】（1）①根据题意证明，利用全等三角形性质即可解题． ②根据，以及等边三角形性质计算即可． （2）①根据题意得到为等腰直角三角形，结合（1）①同理可证，利用全等三角形性质和等腰直角三角形性质即可解题． ②根据，结合角平分线的性质和等腰三角形性质计算即可． 【解析】（1）①证明：， ， ， ，， ， ； ②，， 为等边三角形， ， ， ， ； （2）解：①，， 为等腰直角三角形， ， 由（1）同理可证， ， ； ②， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 36．在中，，是的角平分线，于点E． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______． (3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析； (3)；理由见解析 【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得是等边三角形； （2）延长使得，连接，即可得出是等边三角形，利用即可得出，再利用，即可得出答案； （3）利用等边三角形的性质得出，进而得出，再求出即可得出答案． 【解析】（1）证明：如图1所示：    在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：． 如图2所示：延长使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）结论：． 证明：延长至H，使得． 由（2）得，， ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，对顶角相等，等腰三角形的判定，根据已知作出正确的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$