24.1.2+垂直于弦的直径 课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 第二十四章 圆 24.1.2 垂直于弦的直径 低阶目标 1．能认识圆是轴对称图形． 2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 高阶目标 3. 通过探究知识、自主学习和合作交流，激发学习数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识. 学习目标 1.1 学生能进一步认识圆是轴对称图形． 2.1 学生能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 2.2 认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题． 3. 通过探究知识、自主学习和合作交流，激发学习数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识. 达成评价 连接圆上任意两点的线段叫做弦. (2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 1.圆的定义 (1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 2.弦的定义 3.弧的定义 圆上任意两点间的部分叫做弧. 先行组织 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？ 先行组织 5 剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 任务一：圆的对称性 活动1：折一折 O 注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段. 任务一：圆的对称性 7 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 思路引导：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上. 求证 活动2：证一证 证明：如图，CD是⊙O的任意一条直径，AA ′是弦，使AA′⊥CD，垂足为M, M · O A A' C D 连接OA，OA′,则OA=OA′. ∵AA′⊥CD， ∴CD是AA′的垂直平分线. ∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，即⊙O关于直线CD对称. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 活动2：证一证 嵌入评价（自评） 优秀：通过动手折纸，能观察-猜想-验证，得出圆是轴对称图形，+2分 合格：能猜想得出结论，但不能完整证明，+1分 不合格：无法准确猜想得出圆的轴对称性 问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 任务二：垂径定理 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 归纳总结 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 12 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 在圆上任意作一条弦AB，你能否找到平分弦AB的直径吗? 思考：此时AB与CD的位置关系？ · O A B C D E F M N 任务三：垂径定理的推论 活动1：猜一猜 如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？ 想一想： · O A B C D · O A B C D 已知 结论 CD过圆心 AB不是直径 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. · O A B C D CD⊥AB ( ( AD=BD ( ( AC=BC AE=BE E 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 嵌入评价（组长评） 优秀：能观察-猜想-验证得出垂径定理及推论，并且能够准确理解及应用垂径定理，+2分 合格：能观察-猜想-验证得出垂径定理及推论，+1分 不合格：无法准确猜想得出垂径定理及推论 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心 1 垂直于弦 2 平分弦（非直径） 3 平分弦所对的优弧 4 平分弦所对的劣弧 5 上述五个条件中的任意 个条件，都可以推出其他 个结论. (知二推三). 两 三 归纳总结 问题解决：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位). 迁移应用 所以R2=18.52+（R-7.23）2. 由题意，可知AB=37m，CD=7.23m， 解：如图，设赵州桥主桥拱的半径为R m. 则AD=18.5m， 解得R≈27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m. A C B D O 37 18.5 R R-7.23 7.23 迁移应用 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm. · O A B E 解析：连接OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 16 垂径定理及其推论的计算 ∴ cm. 例题1 学以致用 20 如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝ BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长. 解：∵圆O的直径CD=10cm， ∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= OC=3cm， 连接OA，∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM= AB， 在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm， 根据勾股定理得：AM= 则AB=2AM=8cm． 例题2 21 已知：⊙O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD. ⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 例题3 22 22 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 归纳总结 23 23 练一练：如图a、b,一弓形弦长为24cm，弓形所在的圆的半径为13cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. C D C B O A D O A B 图a 图b 8cm或18cm 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · a 成果集成 25 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 成果集成 26 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 . 5cm 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 10 3 cm 3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 . 14cm或2cm 当堂练习 当堂练习 4 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是 弦AC 的中点，则∠DOC的度数是________度． 48 5.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 当堂练习 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. ∵OE⊥CD， 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. 当堂练习 30 拓展提升： 如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 . 3cm≤OP≤5cm B A O P 当堂练习 · O A B C D $$