24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计 2024—2025学年人教版数学九年级上册

教学评一体化课时教学设计表 课题  24.1.2 垂直于弦的直径 学习目标 低阶目标 1．能认识圆是轴对称图形． 2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 高阶目标 3. 通过探究知识、自主学习和合作交流，激发学习数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识. 达成评价 1.1 学生能进一步认识圆是轴对称图形． 2.1 学生能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 2.2 认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题． 3. 通过探究知识、自主学习和合作交流，激发学习数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识. 先行组织： 你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代开皇大业年间(605～618)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶． 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？ 问题与活动（做什么、怎么做） 嵌入评价（做到什么程度） 一、新知建构 任务一：探究圆的对称性 活动1：剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 活动2：证一证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 思路引导：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上. 任务二：探究垂径定理 活动1：如图， ⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E.仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 线段: AE=BE 弧： eq \o(\s\up11(⌒),\s\do4(AC)) ＝ eq \o(\s\up11(⌒),\s\do4(BC)) 　， eq \o(\s\up11(⌒),\s\do4(AD)) ＝ eq \o(\s\up11(⌒),\s\do4(BD)) 理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合． 归纳：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 符号语言：∵ CD是直径,CD⊥AB, ∴AE=BE, eq \o(\s\up11(⌒),\s\do4(AC)) = eq \o(\s\up11(⌒),\s\do4(BC)) eq \o(\s\up11(⌒),\s\do4(AD)) = eq \o(\s\up11(⌒),\s\do4(BD)) 活动2：练一练 1、下列图形是否具备垂径定理的条件？ 归纳：垂径定理的几个基本图形： 思考探索： 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任意 两 个条件，都可以推出其他 三 个结论. 任务三：思考：平分弦的直径一定都垂直于这条弦吗？说明原因 当弦是直径时，不一定。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 二、迁移运用 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位) 解：如图，设赵州桥主桥拱的半径为R m. 由题意，可知AB=37m，CD=7.23m， 则AD=18.5m 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 R2=18.52+（R-7.23）2. ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 不达标 达标 优秀 基础知识掌握不全 通过动手操作，感受圆的对称性，通过证明过程加深理解，进而通过对称性，引出垂径定理及推论内容。 能学会添加辅助线的方法，理解并掌握垂径定理的解题思路，加深理解。 准确总结并说出基础知识，能够灵活准确运用。 成果集成：1.本章学习了哪些知识？怎么解决实际问题？ 2.涉及垂径定理时辅助线的添加方法 在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常 通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 3.弓形中重要数量关系 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 作业设计： 1．如图, 是⊙ 的直径,弦 ⊥ 于点 , ,则 (       ) EMBED Equation.DSMT4 B． C． D． 如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2 ，CD=1，则BE的长是 　　 A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（   ） B．2 C．6 D．8 4．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C． D． 5．（2020·山东滨州）在 中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（       ） A．6 B．9 C．12 D．15 6．往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，则水的最大深度为（   ） B． C． D． 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦 所在直线的距离是（   ） A．1米 B． 米 C．2米 D． 米 8．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（　　） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 9．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用（       ）次，就可以找到圆形工件的圆心． A．1 B．2 C．3 D．4 如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____． 11．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 探究类练习 13．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　） A．2 cm B．4 cm C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm 如图， 是圆 的弦， ，垂足为点 ，将劣弧 沿弦 折叠交于 的中点 ，若 ， 则圆 的半径为_____． 15．如图， 、 是半径为5的 的两条弦， ， ， 是直 径， 于点 ， 于点 ， 为 上的任意一点，则 的最小值为____. 综合类练习 16.如图a、b,一弓形弦长为24cm，弓形所在的圆的半径为13cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. �=� d+h=r $$