精品解析：广东省深圳市光明区公明中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

广东省深圳市光明区公明中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题 说明：全卷共4页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 单项式与的公因式是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 1，，2 D. ，，5 3. 把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 不改变 4. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 5. 下列四个图案中，可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是（ ） A B. C. D. 6. 为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 如图，△ABC 中，AC＝DC＝3，BD 垂直∠BAC 角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ） A. 6 B. 4.5 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是_____． 10. 若分式的值为零，则x的值为 _____． 11. 如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有________种． 12. 如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点A，则不等式的解集为________． 13. 如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为 _____． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图所示，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． （1）在图中画出，并写出点、、的坐标； （2）在y轴上是否存在一点P，使得与面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 16. 如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，线段BE垂直于∠BAC平分线于点D，点M为边BC的中点，连接DM． (1)求证: DM＝CE； (2)若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长． 17. 2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少10ml，无人机用药300ml喷洒的农田面积与常规喷药壶用药450ml喷洒的农田面积相同． （1）求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量 ． （2）该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，若采购资金不超过360000元，则最少需采购A型号喷药无人机多少台？ 18. 如图，已知，在一条直线上，. 求证：（1）； （2）四边形是平行四边形. 19. 【阅读学习】 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． 【学以致用】 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． 【拓展应用】 已知：，．求：的值． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，△ABO直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB上一动点． （1）点A的坐标为 ； （2）连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标； （3）如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省深圳市光明区公明中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题 说明：全卷共4页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 单项式与的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可． 【详解】解：单项式与的公因式是． 故选：C． 2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 1，，2 D. ，，5 【答案】C 【解析】 【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵42+52=16+25=41＞36=62∴不能组成直角三角形，故A选项不正确； B、∵52+122=25+144=169＜225=152，∴不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵12+（）2=22，∴能组成直角三角形，故C选项正确； D、∵（）2+（）2=2+3=5＜25=52，∴不能组成直角三角形，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 3. 把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 不改变 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：，分式的值不改变， 故选：D． 【点睛】本题考查分式基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 4. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：B． 5. 下列四个图案中，可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平移的定义，掌握平移和旋转的特征是解题的关键．在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．根据平移的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、B、D三个选项中的图形不是平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形通过平移得到的， 故选：C． 6. 为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程． 设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则设走乙路线的平均速度为千米/时，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则走乙路线的平均速度为千米/时， 依题意，可列方程为， 故选：A． 7. 关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．此题可先根据一元一次不等式组解出的取值，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数的取值范围． 【详解】解：由不等式，可得， 由不等式，可得， 由以上可得不等式组的解集为：， 因为不等式组恰好只有四个整数解， 可得：， 解得， 故选：C 8. 如图，△ABC 中，AC＝DC＝3，BD 垂直∠BAC 的角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ） A. 6 B. 4.5 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大． 【详解】解：延长BD交AC的延长线于点H．设AD交BE于点O． ∵AD⊥BH， ∴∠ADB＝∠ADH＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴∠ABD＝∠H， ∴AB＝AH， ∵AD⊥BH， ∴BD＝DH， ∵DC＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°， ∴∠CDH＝∠H， ∴CD＝CH＝AC， ∵AE＝EC， ∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH， ∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD， ∵AC＝CD＝3， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是_____． 【答案】9##九 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和．熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键． 由题意知，正多边形的边数为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，正多边形的边数为， 故答案为：9或九． 10. 若分式的值为零，则x的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解． 【详解】解：因为分式的值为零， 所以， 解得：． 故答案为：1． 11. 如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有________种． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，去掉一个小正方形后能组成中心对称图形的情况如下， ∴去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有2种， 故答案为：2． 12. 如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点A，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象交点的横坐标及图象的位置关系即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数图象经过点，一次函数的图象过点A， ∴当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】此题考查了利用一次函数图象解不等式，数形结合是解题关键． 13. 如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，首先证明a2+b2＝32，再证明a＝b时，a+b的值最大即可． 【详解】解：如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE， ∵∠DCB＝30°， ∴∠3＝90°﹣30°＝60°， ∵BC＝EC， ∴△BCE是等边三角形， ∴BC＝BE＝EC，∠2＝60°， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝60°，BD＝AB， ∴∠ABD+∠1＝∠2+∠1， 即∠DBE＝∠ABC， 在△ABC和△DBE中， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴AC＝ED， 在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2， ∴CD2+BC2＝AC2， ∵CD＝a，BC＝b，AC＝4， ∴a2+b2＝32， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝32+2ab， ∵以a，b，4为边的三角形是直角三角形，a，b是直角边， ∴S△CDE＝ab， 当a＝b时，三角形的面积最大，此时a＝b＝4， ∴ab＝16， ∴（a+b）2的最大值为64， ∴a+b的最大值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段的最值问题等，难度较大，通过作辅助线证明△ABC≌△DBE是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分，再将分子和分母分解因式，根据分式减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：， ， ， ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，属于基础题，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 15. 如图所示，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． （1）在图中画出，并写出点、、的坐标； （2）在y轴上是否存在一点P，使得与面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析，，， （2）存在，或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移： （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点、、的坐标，再描出、、，最后顺次连接、、即可； （2）先求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∴，，； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 16. 如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，线段BE垂直于∠BAC的平分线于点D，点M为边BC的中点，连接DM． (1)求证: DM＝CE； (2)若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长． 【答案】（1）见解析 （2）AC=14 【解析】 【分析】（1）证△BAD≌△EAD，推出AB=AE，BD=DE，根据三角形的中位线性质得出DM=CE即可； （2）根据勾股定理求出AB，求出AE，根据三角形的中位线求出CE，即可得出答案． 【详解】∵AD⊥BE， ∴∠ADB=∠ADE=90°， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠EAD， 在△BAD和△EAD中， ， ∴△BAD≌△EAD（SAS）， ∴AB=AE，BD=DE， ∵M为BC的中点， ∴DM=CE （2）∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6，BD=8， ∴由勾股定理得：AE=AB=， ∵DM=2，DM=CE， ∴CE=4， ∴AC=10+4=14． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，勾股定理的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△EAD，题目比较好，难度适中． 17. 2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少10ml，无人机用药300ml喷洒的农田面积与常规喷药壶用药450ml喷洒的农田面积相同． （1）求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量 ． （2）该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，若采购资金不超过360000元，则最少需采购A型号喷药无人机多少台？ 【答案】（1）无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为20ml； （2）最少需采购A型号喷药无人机8台． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为xml, 则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为ml,根据无人机用药300ml 喷洒的农田面积与 常规喷药壶用药450ml 喷洒的农田面积相同，可列出关于x 的分式方程，解之经检验后， 即可得出结论； （2）设采购m 台 A 型号喷药无人机，利用总价 =单价×数量，结合总价不超过360000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论. 【小问1详解】 解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为； 【小问2详解】 解：设采购台型号喷药无人机，则采购台型号喷药无人机， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为8． 答：最少需采购型号喷药无人机8台． 18. 如图，已知，在一条直线上，. 求证：（1）； （2）四边形是平行四边形. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 分析】（1）由题意由“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△EDF （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形BCDF是平行四边形． 【详解】证明：（1）∵AF=EC ∴AC=EF 又∵BC=DF， ∴Rt△ABC≌Rt△EDF （2）∵Rt△ABC≌Rt△EDF ∴BC=DF，∠ACB=∠DFE ∴∠BCF=∠DFC ∴BC∥DF，BC=DF ∴四边形BCDF是平行四边形 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是灵活运用性质和判定解决问题． 19. 【阅读学习】 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． 【学以致用】 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． 【拓展应用】 已知：，．求：的值． 【答案】（1）；（2）； 【拓展应用】． 【解析】 【分析】此题根据因式分解的常用方法，观察各式，参照例子把分为再提取公因式分解即可，把化为再利用完全平方和平方差分解； 把化为再因式分解代入即可． 【详解】（1） （2） 【拓展应用】 ∵，， 代入得：原式=． 【点睛】此题考查了因式分解所涉及的相关知识：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法因式分解和分组结合等，也考查了学生对题文的理解能力． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB上一动点． （1）点A的坐标为 ； （2）连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标； （3）如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）点C的坐标为或 （3）点的坐标或或 或 【解析】 【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性质以及平面直角坐标系即可求解； （2）分两种情况讨论，S△OCD=2S△AOC时，2S△OCD=S△AOC时，由三角形的面积关系可求点D坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，即可求解； （3）分两种情况，当∠APO=90°时，当∠AOP=90°时，根据含30度角的直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=3， ∴AO=2AB， ∵AO2=AB2+OB2， ∴BA=， ∴A． 【小问2详解】 根据题意分两种情况讨论：①S△OCD=2S△AOC时， ∴×OC×OD=2××OC×AB， ∴OD=2AB=2， ∴点D（0，-2）， 设直线AD的解析式为y=kx-2， ∴=3k-2， ∴k=， ∴直线AD的解析式为y=x-2， ∴当y=0时，x=2， ∴点C（2，0）； ②2S△OCD=S△AOC时， ∴2××OC×OD=×OC×AB， ∴OD=AB=， ∴点D（0，-）， 设直线AD的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AD的解析式为y=x-， ∴当y=0时，x=1， ∴点C（1，0）； 综上所述：点C的坐标为（2，0）或（1，0）． 【小问3详解】 如图，当∠APO=90°时，连接BB'，过点B'作B'H⊥OB于H， ∵将△OAB绕点O顺时针旋转， ∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°， ∵∠OAC=30°，∠APO=90°， ∴∠AOP=60°， ∴∠B'OB=60°， ∵B'H⊥OB， ∴∠OB'H=30°， ∴ 当∠AOP=90°时，如图， ∵将△OAB绕点O顺时针旋转， ∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3， ∴点B'在y轴上， ∴点B'（0，-3）， 如图，由中心对称的性质可得：点的坐标 或 ， 综上所述：点的坐标或或 或 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，一次函数的性质等知识，中心对称的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$