1.3 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 【题型归纳】 2 题型一：空间向量的坐标表示 2 题型二：空间向量的直角坐标运算 2 题型三：空间向量的共线与共面 2 题型四：空间向量模长坐标表示 3 题型五：空间向量平行坐标表示 3 题型六：空间向量垂直坐标表示 4 题型七：空间向量夹角坐标表示 4 【重难点集训】 5 【高考真题】 10 【题型归纳】 题型一：空间向量的坐标表示 1．（2024·高二·北京房山·期中）已知，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·河北沧州·阶段练习）向量，，，中，共面的三个向量是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·北京·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则 （    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·天津西青·阶段练习）设点，，，若，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 题型二：空间向量的直角坐标运算 5．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则 ． 6．（2024·高二·辽宁沈阳·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若四边形为平行四边形，则的值分别为 ． 题型三：空间向量的共线与共面 7．（2024·高二·浙江丽水·期末）向量，，若与共线，则 , ． 8．（2024·高二·山东济宁·期末）若空间三点共线,则= ;= 9．（2024·高二·北京丰台·期末）已知向量，，若与共线，则 . 10．（2024·高二·广东·期末）已知向量与共线，则 . 11．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知点A､B､C､D的坐标分别为，且A，B，C，D四点共面，则 . 题型四：空间向量模长坐标表示 12．（2024·高二·广东佛山·期末）在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·高二·全国·课后作业）已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 14．（2024·高二·福建泉州·期末）若，，，，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 15．（2024·高二·全国·课后作业）若，且与的夹角的余弦值为，则(　　) A． B． C． D． 题型五：空间向量平行坐标表示 16．（2024·高二·全国·课后作业）已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．以上答案都不正确 17．（2024·高二·甘肃庆阳·期中）已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（    ） A．-3 B．-4 C．3 D．4 18．（2024·高二·河南平顶山·阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六：空间向量垂直坐标表示 20．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 21．（2024·高二·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·高二·陕西铜川·阶段练习）已知，，空间向量与垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）向量，若，且，则的值为（　　） A．或1 B．1 C．3或 D．3或1 24．（2024·高二·陕西渭南·期末）若点，，，，且，则（    ） A． B． C． D．6 题型七：空间向量夹角坐标表示 25．（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知，，则最大值为 . 26．（2024·高二·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 27．（2024·高二·吉林·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： . 28．（2024·高二·安徽宿州·期中）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面点法式方程为，经过点且一个方向向量为的空间直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线的方程是，直线是两个平面与的交线，则直线夹角为 ． 29．（2024·高二·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 . 30．（2024·高二·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    【重难点集训】 1．（2024·高二·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·湖南常德·阶段练习）已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·福建三明·阶段练习）如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·高二·河北张家口·开学考试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·全国·随堂练习）已知分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．不确定 6．（2024·全国·模拟预测）设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·全国·课后作业）已知正方体不在同一表面上的两个顶点，，则正方体的体积为（    ） A．32 B．64 C．48 D． 8．（2024·高二·全国·课后作业）点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高一·吉林通化·期末）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 11．（多选题）（2024·高二·福建龙岩·期中）如图，正方体的棱长等于2，K为正方形的中心，M，N分别为棱，的中点.下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 12．（2024·高一·陕西宝鸡·期末）已知，，点在轴上，且，则点的坐标为 . 13．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）如图，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且，，则的长为 .    14．（2024·高三·北京海淀·开学考试）在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论： ①线段长度的最大值为； ②存在点，使得； ③存在点，使得； ④是等腰三角形.    其中，所有正确结论的序号是 ． 15．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面是边长为的正方形，与的交于点，，是边上靠近的三等分点．    (1)设，，，用，，表示向量； (2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 16．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求的面积； (2)若向量，且，求向量的坐标． 17．（2024·高二·全国·课堂例题）已知点，，如图，以的方向为正向，在直线上建立一条数轴，，为轴上的两点，且分别满足条件：（1）；（2）．求点和点的坐标．    18．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 19．（2024·高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.    (1)若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标； (2)在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标. 【高考真题】 1．（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2017年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷））如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 3．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）数学（理科））若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝ ． 4．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏卷））已知向量，且，则 ． 5．（2000年普通高等学校招生考试数学（文）试题（新课程卷））如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 6．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷））记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 【题型归纳】 2 题型一：空间向量的坐标表示 2 题型二：空间向量的直角坐标运算 3 题型三：空间向量的共线与共面 3 题型四：空间向量模长坐标表示 4 题型五：空间向量平行坐标表示 7 题型六：空间向量垂直坐标表示 8 题型七：空间向量夹角坐标表示 11 【重难点集训】 14 【高考真题】 26 【题型归纳】 题型一：空间向量的坐标表示 1．（2024·高二·北京房山·期中）已知，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 故选：B 2．（2024·高二·河北沧州·阶段练习）向量，，，中，共面的三个向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：若共面，则，即， 即，显然不存在满足题意，故不共面； 同理，B，C中的三个向量也不共面； D：若共面，则，即， 即，故存在满足题意，则共面. 故选：D. 3．（2024·高二·北京·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以 故选：A 4．（2024·高二·天津西青·阶段练习）设点，，，若，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点B的坐标为，则， ∵，∴，解得， 故选：C． 题型二：空间向量的直角坐标运算 5．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 6．（2024·高二·辽宁沈阳·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若四边形为平行四边形，则的值分别为 ． 【答案】 【解析】，因为四边形为平行四边形，所以，所以，所以． 故答案为: . 题型三：空间向量的共线与共面 7．（2024·高二·浙江丽水·期末）向量，，若与共线，则 , ． 【答案】 . 3. 【解析】分析：利用向量共线定理即可得出． 与共线， ∴存在实数使得： ， ， 故答案为 ，. 8．（2024·高二·山东济宁·期末）若空间三点共线,则= ;= 【答案】 3 2 【解析】由题意得; , 依题意可得，则，解得, 故答案为：3；2 9．（2024·高二·北京丰台·期末）已知向量，，若与共线，则 . 【答案】 【解析】向量，，若与共线， 则有，解得. 故答案为： 10．（2024·高二·广东·期末）已知向量与共线，则 . 【答案】15 【解析】由，得，解得. 故答案为：15 11．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知点A､B､C､D的坐标分别为，且A，B，C，D四点共面，则 . 【答案】3 【解析】由题意，A，B，C，D四点共面 故，使得 又 故 解得 故答案为：3 题型四：空间向量模长坐标表示 12．（2024·高二·广东佛山·期末）在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 由题意可知，， 所以，. 故选：C. 13．（2024·高二·全国·课后作业）已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】设， 则， ， 因为， 所以，即， 解得， 所以， 所以， 故选：C 14．（2024·高二·福建泉州·期末）若，，，，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【解析】根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到，推出，配方整理，即可求出最小值.因为，，，，， 所以，则，即， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值，则的最小值为. 故选：C. 15．（2024·高二·全国·课后作业）若，且与的夹角的余弦值为，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 因为与的夹角的余弦值为， 所以==，解得， ∴=， 故选：C． 题型五：空间向量平行坐标表示 16．（2024·高二·全国·课后作业）已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．以上答案都不正确 【答案】C 【解析】由题意知. 因为，， 所以的充要条件是， 所以， 显然符合题意， 当时，由，得， 代入，得. 综上，的值为1或3. 故选：C 17．（2024·高二·甘肃庆阳·期中）已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（    ） A．-3 B．-4 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由，可得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 18．（2024·高二·河南平顶山·阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确． 故选：B． 19．（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，得，又，且， 则，所以. 故选：B 题型六：空间向量垂直坐标表示 20．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A 21．（2024·高二·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 22．（2024·高二·陕西铜川·阶段练习）已知，，空间向量与垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，， 而，，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故选：D. 23．（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）向量，若，且，则的值为（　　） A．或1 B．1 C．3或 D．3或1 【答案】A 【解析】由，则，可得， 又，则，可得， 当，则；当，则； 所以的值为或1. 故选：A 24．（2024·高二·陕西渭南·期末）若点，，，，且，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】， 因为，所以，解得， 所以， 所以， 故选：C 题型七：空间向量夹角坐标表示 25．（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知，，则最大值为 . 【答案】 【解析】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 26．（2024·高二·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设， 则， 所以， 既然求最大值，必有，令， 则 ， 当，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 27．（2024·高二·吉林·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： . 【答案】（答案不唯一） 【解析】设，由，得 则向量的一个坐标为：.（答案不唯一，坐标满足即可） 故答案为：.（答案不唯一） 28．（2024·高二·安徽宿州·期中）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面点法式方程为，经过点且一个方向向量为的空间直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线的方程是，直线是两个平面与的交线，则直线夹角为 ． 【答案】/ 【解析】由题意空间直线：的方向向量为， 直线是两个平面与的交线， 所以直线上的点满足，不妨设，则， 所以， 所以直线的方程为， 从而直线：的方向向量为， 设直线夹角为，所以， 所以. 故答案为：. 29．（2024·高二·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 . 【答案】 /0.5 【解析】因为，，， 所以，， 所以， 在的投影向量为. 故答案为：；. 30．（2024·高二·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    【答案】 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1， 则； ，， 因为，所以，， 设，则， 即，解得，所以， 则，， ， 与是异面直线，显然不是平角， 则为钝角，有，解得． 所以的取值范围为． 故答案为：. 【重难点集训】 1．（2024·高二·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 2．（2024·高二·湖南常德·阶段练习）已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 3．（2024·高二·福建三明·阶段练习）如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，长方体中，，，， 可得， 因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为. 故选：A. 4．（2024·高二·河北张家口·开学考试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 5．（2024·高二·全国·随堂练习）已知分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】因为且是坐标原点， 所以由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点的坐标是. 故选：A. 6．（2024·全国·模拟预测）设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线． 设，，， 和分别是点，在平面上的投影． 可得，，， 则 ， 因为， 当且仅当点C为的中点时，等号成立， 可得， 所以，当，，且时等号成立． 故选：B 7．（2024·高二·全国·课后作业）已知正方体不在同一表面上的两个顶点，，则正方体的体积为（    ） A．32 B．64 C．48 D． 【答案】B 【解析】， 又因为，两点不在同一表面上， 所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长. 设正方体的边长为a，则，即，所以正方体的体积为64. 故选：B 8．（2024·高二·全国·课后作业）点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可设点， 当与平面内的直线垂直时，最小，， 因为点在平面内的直线上，所以位该直线的一个方向向量， 当最小时，， 即， 此时 所以当时，取最小值，此时点. 故选：C． 9．（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，，故，故A错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，故，故C错误； 对于D，，故，故D正确. 故选：BD 10．（多选题）（2024·高一·吉林通化·期末）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【解析】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 11．（多选题）（2024·高二·福建龙岩·期中）如图，正方体的棱长等于2，K为正方形的中心，M，N分别为棱，的中点.下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【解析】以点E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，，. A：，，， ，A正确. B：，B错误. C：，C正确. D：因为，则，所以， ，， 所以的面积，D正确. 故选：ACD. 12．（2024·高一·陕西宝鸡·期末）已知，，点在轴上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】设点P的坐标为， 依题意得，解得， 所以点P的坐标为. 故答案为： 13．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）如图，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且，，则的长为 .    【答案】 【解析】过点作,垂足于点，如图所示： 因为，，所以. 又，. 因为，， 所以， 则的长为. 故答案为：. 14．（2024·高三·北京海淀·开学考试）在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论： ①线段长度的最大值为； ②存在点，使得； ③存在点，使得； ④是等腰三角形.    其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】如图，建立空间直角坐标系， 则， 对①，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为， 此时，， 所以，即满足，故①正确； 对②，取正方形的中心M，连接，易知， 所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，， 此时，，，即不满足， 综上不存在点，使得，故②错误； 对③，设，则，，若存在， 由，可得方程组， 化简可得，解得 ， 显然当时满足题意， 即存在点，使得，故③正确； 对④，设，若， 则，化简可得， 由③知时可得，所以不妨取， 此时在正方体表面上，满足题意，故④正确. 故答案为：①③④ 15．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面是边长为的正方形，与的交于点，，是边上靠近的三等分点．    (1)设，，，用，，表示向量； (2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【解析】（1）依题意，，，，，， ． （2）依题意，点， ，，， ． 16．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求的面积； (2)若向量，且，求向量的坐标． 【解析】（1）设向量的夹角为， 由空间三点，，，可得，， ，， 可得， 因为，所以， 所以三角形的面积为． （2）因为，所以，其中， 因为，可得，即， 所以， 即或． 17．（2024·高二·全国·课堂例题）已知点，，如图，以的方向为正向，在直线上建立一条数轴，，为轴上的两点，且分别满足条件：（1）；（2）．求点和点的坐标．    【解析】（1）由已知，得， 即，． 设点坐标为，则上式用坐标表示， 得， 即，，． 因此，点的坐标是． （2）因为， 所以， 即，． 设点的坐标为，则上式用坐标表示， 得， 即，，． 因此，点的坐标是． 18．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 【解析】假设存在实数，使四点共面． 由正三棱柱的性质可知为正三角形，取的中点，连接，则． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 故以为坐标原点，所在直线分别为轴， 在平面内，以过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，． 因为， 所以． 若四点共面，则存在满足， 又，所以，解得， 故存在实数，使四点共面． 19．（2024·高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.    (1)若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标； (2)在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标. 【解析】（1）因为，所以，又，设， 则，解得，所以点P的坐标为， 故点P关于y轴的对称点的坐标为. （2）由得， 故设线段上一点M的坐标为，， 则有， 当时，最小，所以点M的坐标为. 【高考真题】 1．（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 2．（2017年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷））如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 【答案】 【解析】 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为的坐标为，所以, 所以. 3．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）数学（理科））若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝ ． 【答案】 【解析】 ，解得 故答案为： 4．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏卷））已知向量，且，则 ． 【答案】3 【解析】因为， 所以， 可得， 因为，解得，故答案为3. 5．（2000年普通高等学校招生考试数学（文）试题（新课程卷））如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以， 则； （2）由（1）知， 所以， 则， 所以； （3）由（1）知， 所以， 则， 所以． 6．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷））记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围． 【解析】建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为：､､､，则. 由，得， 而； 又. 由， 化简得，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$