1.3 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 5 题型一：空间向量的坐标表示 5 题型二：空间向量的直角坐标运算 7 题型三：空间向量的共线与共面 10 题型四：空间向量模长坐标表示 12 题型五：空间向量平行坐标表示 15 题型六：空间向量垂直坐标表示 17 题型七：空间向量夹角坐标表示 20 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 【典型例题】 题型一：空间向量的坐标表示 【典例1-1】（2024·高二·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 【典例1-2】（2024·高二·广东揭阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 【方法技巧与总结】 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 【变式1-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于原点中心对称的点为， 则点关于轴对称的点为，. 故选：A 【变式1-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【解析】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，解得：，，． 所以点的坐标为． 故选：D 【变式1-4】（2024·高二·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，所以， 所以. 故选：D 题型二：空间向量的直角坐标运算 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）在三棱锥中，，平面，，分别是的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为 ．    【答案】 【解析】如图可知，，则， 又分别是的中点，则是的中位线， 故，且， 于是. 故答案为： 【典例2-2】（2024·高二·新疆昌吉·期中）已知空间向量，则 . 【答案】 【解析】因为，所以． 故答案为： 【方法技巧与总结】 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 【变式2-1】（2024·高二·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 【答案】/. 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，设， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，， 所以，所以，解得，所以， 故答案为： 【变式2-2】（2024·高二·广东茂名·期中）已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 . 【答案】 【解析】因为点P在线段AB上，且， 所以，所以， 得， 因为，， 所以， 所以， 故答案为： 题型三：空间向量的共线与共面 【典例3-1】（2024·高二·江西南昌·期中）的三个顶点分别是，，，则边上的高长为 ． 【答案】5 【解析】分析：设，则的坐标，利用，求得，即可得到 ，即可求解的长度. 详设，则， 所以，因为， 所以，解得， 所以，所以. 【典例3-2】（2024·高三·上海宝山·期末）已知空间向量.若四点共面，则 . 【答案】 【解析】因为四点共面，所以共面， 所以存在唯一实数对，使得， 即，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得. （2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。 【变式3-1】（2024·高二·福建漳州·阶段练习）已知空间三点，，共线，则 ． 【答案】 【解析】由已知得：. 因为三点共线,所以. 所以，解得：. 所以. 故答案为:. 【变式3-2】（2024·高二·黑龙江·开学考试）已知空间向量，若共面，则 . 【答案】0 【解析】因为共面，所以，即， 则. 故答案为：0. 【变式3-3】（2024·高二·广东深圳·阶段练习）已知向量，，若三向量共面，则实数 . 【答案】4 【解析】由空间向量共面定理不妨设， . 故答案为：4. 【变式3-4】（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）已知空间四点，，，共面，则 【答案】6 【解析】依题意，， 由空间四点，得共面， 则存在，使得， 因此，解得， 所以. 故答案为：6 题型四：空间向量模长坐标表示 【典例4-1】（2024·高二·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得, 则 , , 所以， 所以. 故选:A. 【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 【方法技巧与总结】 若，则 . 【变式4-1】（2024·高二·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【解析】因为，，则， 且，其中点可以看作球心在原点，半径为的球上的点 所以表示球上的点到点距离， 最大值为球心到点的距离再加球的半径， 即. 故选：D 【变式4-2】（2024·高二·贵州·期中）已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，， 则，， ， 即， 所以以、为邻边的平行四边形的面积为． 故选：D. 【变式4-3】（2024·高二·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 【变式4-4】（2024·高二·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图， 由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B 题型五：空间向量平行坐标表示 【典例5-1】（2024·高一·天津红桥·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量，且， 所以，解得， 故选：B. 【典例5-2】（2024·高二·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，由， 设， 即 解得：， 则有， 由此得． 故选：B. 【方法技巧与总结】 若，则 【变式5-1】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【答案】A 【解析】由题设，且，则，可得. 故选：A 【变式5-2】（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知向量，且，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据可得存在实数满足，即， 即可得，解得. 故选：D 【变式5-3】（2024·高二·江苏连云港·期中）已知，，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】由，得， 解得，所以， 故选：A. 【变式5-4】（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且， 所以存在实数m，使得，即，所以，解得. 故选：B 题型六：空间向量垂直坐标表示 【典例6-1】（2024·高二·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】，∴，解得， 故选：A． 【典例6-2】（2024·高二·安徽阜阳·阶段练习）已知，，若，则实数λ的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】由已知可得，. 又， 所以，即， 解得. 故选：D. 【方法技巧与总结】 若，则 【变式6-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 【答案】C 【解析】因为，所以， 解得， 故选：C. 【变式6-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，, 则，，， 所以，， 因为，所以， 所以， 即， 当时，， 所以的取值范围是， 故选：C. 【变式6-3】（2024·高二·吉林长春·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则可设，其中，，其中， 根据图中可知直线和直线为异面直线， 若能取到两异面直线间的距离，则此时距离最小， 根据异面直线公垂线的定义知，， ，，，，则， 则，， 解得，满足范围， 则此时， 则. 故选：C. 题型七：空间向量夹角坐标表示 【典例7-1】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，设，则，则无解，故B错误； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 【典例7-2】（2024·高二·河南开封·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量. 故选：A. 【方法技巧与总结】 若，则 (1). (2). 【变式7-1】（2024·高二·山东德州·阶段练习）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量，则， 由，得，解得，， 因此，，， 所以与的夹角的余弦值. 故选：B 【变式7-2】（2024·高二·山东济宁·阶段练习）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，， 所以. 故选：C 【变式7-3】（多选题）（2024·高二·江苏常州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，， ， 又，， 又为单位向量，， 联立，得或， ，， . 故选：AC. 【变式7-4】（多选题）（2024·高三·河北衡水·阶段练习）在棱长为1的正方体中，是线段上一点，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，．，，， 在线段上，则，，即， ， ， 易知时，为最小值， 又时，，时，，所以， 从而，即，而， 所以， 故选：BD． 【变式7-5】（2024·高二·上海·随堂练习）若，，与的夹角为，则λ的值为 ． 【答案】/ 【解析】因为，，与的夹角为， 所以， 解得， 故答案为：. 【变式7-6】（2024·高二·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1.3 空间向量及其运算的坐标表示 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识梳理 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标． 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为． 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是． 知识梳理 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① ②， 或． （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为． （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①；②； ③； 知识梳理 知识点三、 空间向量的坐标运算 （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和． （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）． （2） 知识梳理 知识点三、 空间向量的坐标运算 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直． 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高二·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为． 故选：B． 题型一：空间向量的坐标表示 典型例题 【典例1-2】（2024·高二·广东揭阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 设，故， 故，解得， 故．故选：B 题型一：空间向量的坐标表示 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于原点中心对称的点为， 则点关于轴对称的点为，． 故选：A 题型一：空间向量的坐标表示 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若， ，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，解得：，，． 所以点的坐标为． 故选：D 题型一：空间向量的坐标表示 典型例题 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）在三棱锥中，，平面，，分别是的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为 ．    【答案】 【解析】如图可知，，则， 又分别是的中点，则是的中位线， 故，且， 于是． 故答案为： 题型二：空间向量的直角坐标运算 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·新疆昌吉·期中）已知空间向量， 则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以． 故答案为： 【方法技巧与总结】 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和． 题型二：空间向量的直角坐标运算 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足， 若，则 ． 【答案】 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，设， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，， 所以，所以，解得，所以 题型二：空间向量的直角坐标运算 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·广东茂名·期中）已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为点P在线段AB上，且， 所以，所以， 得， 因为，， 所以， 所以 题型二：空间向量的直角坐标运算 典型例题 【典例3-1】（2024·高二·江西南昌·期中）的三个顶点分别是，，，则边上的高长为 ． 【答案】5 【解析】设， 则， 所以，因为， 所以，解得， 所以，所以． 题型三：空间向量的共线与共面 典型例题 【典例3-2】（2024·高三·上海宝山·期末）已知空间向量 ．若四点共面，则 ． 【答案】 【解析】因为四点共面，所以共面， 所以存在唯一实数对，使得， 即，所以， 所以， 所以． 题型三：空间向量的共线与共面 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·福建漳州·阶段练习）已知空间三点，，共线，则 ． 【答案】 【解析】由已知得：． 因为三点共线，所以． 所以，解得：． 所以． 故答案为：． 题型三：空间向量的共线与共面 典型例题 【变式3-2】（2024·高二·黑龙江·开学考试）已知空间向量，若共面，则 ． 【答案】0 【解析】因为共面，所以， 即， 则． 故答案为：0． 题型三：空间向量的共线与共面 典型例题 【典例4-1】（2024·高二·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得， 则 ， ， 所以， 所以．故选：A． 题型四：空间向量模长坐标表示 典型例题 【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立． 故选：B 题型四：空间向量模长坐标表示 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【解析】因为，，则， 且，其中点可以看作球心在原点，半径为的球上的点 所以表示球上的点到点距离， 最大值为球心到点的距离再加球的半径， 即．故选：D 题型四：空间向量模长坐标表示 典型例题 【变式4-2】（2024·高二·贵州·期中）已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，，则，， ， 即， 所以以、为邻边的平行四边形的面积为 ．故选：D． 题型四：空间向量模长坐标表示 典型例题 【典例5-1】（2024·高一·天津红桥·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量，且， 所以，解得， 故选：B． 题型五：空间向量平行坐标表示 典型例题 【典例5-2】（2024·高二·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，由，设， 即 解得：，则有， 由此得．故选：B． 题型五：空间向量平行坐标表示 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【答案】A 【解析】由题设，且，则，可得． 故选：A 题型五：空间向量平行坐标表示 典型例题 【变式5-2】（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知向量，且，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据可得存在实数满足， 即， 即可得，解得． 故选：D 题型五：空间向量平行坐标表示 典型例题 【典例6-1】（2024·高二·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】， ∴，解得， 故选：A． 题型六：空间向量垂直坐标表示 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·安徽阜阳·阶段练习）已知，，若，则实数λ的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】由已知可得，． 又， 所以，即， 解得． 故选：D． 题型六：空间向量垂直坐标表示 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 【答案】C 【解析】因为， 所以， 解得， 故选：C． 题型六：空间向量垂直坐标表示 典型例题 【变式6-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，，则，，， 所以，， 因为，所以，所以， 即， 当时，， 所以的取值范围是，故选：C． 题型六：空间向量垂直坐标表示 典型例题 【典例7-1】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，设，则，则无解，故B错误； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误．故选：C． 题型七：空间向量夹角坐标表示 典型例题 【典例7-2】（2024·高二·河南开封·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量． 故选：A． 题型七：空间向量夹角坐标表示 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·山东德州·阶段练习）已知空间向量 ，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量，则， 由，得，解得，， 因此，， ， 所以与的夹角的余弦值．故选：B 题型七：空间向量夹角坐标表示 典型例题 【变式7-2】（2024·高二·山东济宁·阶段练习）已知， ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，， 所以． 故选：C 题型七：空间向量夹角坐标表示 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2017年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷））如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 3．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏卷））已知向量 ，且，则 ．   C (-4,3,2) 3 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 5 题型一：空间向量的坐标表示 5 题型二：空间向量的直角坐标运算 6 题型三：空间向量的共线与共面 7 题型四：空间向量模长坐标表示 8 题型五：空间向量平行坐标表示 9 题型六：空间向量垂直坐标表示 10 题型七：空间向量夹角坐标表示 11 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 【典型例题】 题型一：空间向量的坐标表示 【典例1-1】（2024·高二·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·广东揭阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 【变式1-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高二·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二：空间向量的直角坐标运算 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）在三棱锥中，，平面，，分别是的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为 ．    【典例2-2】（2024·高二·新疆昌吉·期中）已知空间向量，则 . 【方法技巧与总结】 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 【变式2-1】（2024·高二·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 【变式2-2】（2024·高二·广东茂名·期中）已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 . 题型三：空间向量的共线与共面 【典例3-1】（2024·高二·江西南昌·期中）的三个顶点分别是，，，则边上的高长为 ． 【典例3-2】（2024·高三·上海宝山·期末）已知空间向量.若四点共面，则 . 【方法技巧与总结】 （1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得. （2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。 【变式3-1】（2024·高二·福建漳州·阶段练习）已知空间三点，，共线，则 ． 【变式3-2】（2024·高二·黑龙江·开学考试）已知空间向量，若共面，则 . 【变式3-3】（2024·高二·广东深圳·阶段练习）已知向量，，若三向量共面，则实数 . 【变式3-4】（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）已知空间四点，，，共面，则 题型四：空间向量模长坐标表示 【典例4-1】（2024·高二·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若，则 . 【变式4-1】（2024·高二·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 【变式4-2】（2024·高二·贵州·期中）已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高二·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·高二·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型五：空间向量平行坐标表示 【典例5-1】（2024·高一·天津红桥·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高二·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若，则 【变式5-1】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【变式5-2】（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知向量，且，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式5-3】（2024·高二·江苏连云港·期中）已知，，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-4】（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型六：空间向量垂直坐标表示 【典例6-1】（2024·高二·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【典例6-2】（2024·高二·安徽阜阳·阶段练习）已知，，若，则实数λ的值为（    ） A． B． C． D．2 【方法技巧与总结】 若，则 【变式6-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 【变式6-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·高二·吉林长春·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 题型七：空间向量夹角坐标表示 【典例7-1】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高二·河南开封·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若，则 (1). (2). 【变式7-1】（2024·高二·山东德州·阶段练习）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高二·山东济宁·阶段练习）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（多选题）（2024·高二·江苏常州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A． B． C． D． 【变式7-4】（多选题）（2024·高三·河北衡水·阶段练习）在棱长为1的正方体中，是线段上一点，则可以为（    ） A． B． C． D． 【变式7-5】（2024·高二·上海·随堂练习）若，，与的夹角为，则λ的值为 ． 【变式7-6】（2024·高二·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$