第08讲 直线的交点坐标与距离公式（九大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第08讲 直线的交点坐标与距离公式 学习目标： 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 3．掌握平面上两点间的距离公式和点到直线的距离公式. 4．会求两条平行直线间的距离. 重点难点： 重点：点到直线距离公式推导 难点：对点到直线距离公式推导过程的优化 知识点一、两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 知识点二、两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 知识点三、点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 知识点四、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 考点01 判断两直线的位置关系 1．分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 2．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 3．分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 考点02 交点问题 4．若一次函数与的图象的交点纵坐标为4，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 5．直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 6．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 7．已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 8．若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 9．已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 考点03 过两条直线交点的直线系方程 10．经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 12．过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 13．过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 14．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ． 考点04 两点间的距离 15．（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 16．已知点，，，则△中边上的中线长 . 17．已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 . 18．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 19．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 20．设，若函数图象上任意一点满足，则 . 考点05 点到直线的距离 21．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 22．已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 23．点到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（多选）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 25．已知的顶点，，.求的面积. 26．直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 考点06 两平行直线间的距离 27．（多选）下列直线与直线l：平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 28．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 29．，与直线平行，则直线与的距离为 . 30．若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 考点07 对称问题 31．已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 32．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 33．（多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 34．已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 35．已知直线的倾斜角为，且经过点． (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 36．设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 考点08 距离问题的运用 37．直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 38．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 39．1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点，动点满足，则面积的最大值为 ． 40．过定点的直线与过定点的直线交于，则 41．若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为 ． 考点09 求线段和与差的最值 42．唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 43．已知点，点P是直线上动点，则的最小值是 ． 44．已知，求的最小值． 45．已知点、，试在轴上求一点，使最小． 46．已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标． 47．已知平面上两点和，在直线上求一点M． (1)使最大值； (2)使最小． 基础试炼 1．已知，，，则ABC垂心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为（　　） A．y＝6x＋ B．y＝6x＋6 C．y＝6x±6 D．y＝6x－6 4．点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 5．（多选）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 6．（多选）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 7．在原点处发射一束激光，经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为 . 8．点到直线的距离的最大值为 . 9．已知直线过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 10．在中，已知是BC边上一点，边AB、AC所在直线的方程分别为，．若，求直线BC的方程． 11．已知直线l经过点，且平行于向量. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 12．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 高阶突破 1．已知点P是直线l：与x轴的交点，直线l绕点P逆时针方向旋转45°得到直线，则直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ）    A． B． C． D． 3．（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 4．已知，，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为 . 5．已知直线方程为，直线的一个单位法向量为，若点P是直线上任意一点，则 ，若点到直线的距离为1，则的值为 ． 6．已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 7．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 8．如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第08讲 直线的交点坐标与距离公式 学习目标： 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 3．掌握平面上两点间的距离公式和点到直线的距离公式. 4．会求两条平行直线间的距离. 重点难点： 重点：点到直线距离公式推导 难点：对点到直线距离公式推导过程的优化 知识点一、两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 知识点二、两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 知识点三、点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 知识点四、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 考点01 判断两直线的位置关系 1．分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 2．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)相交， (2)重合 【详解】（1）解方程组，得， 所以这两条直线相交，交点坐标是. （2）由化为方程可知， 所以有无数多个解， 故与重合， 3．分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)与相交，交点坐标为 (2)与平行 【详解】（1）因为，， 联立，解得， 所以与相交，交点坐标为. （2）因为，可化为， 联立，两式相减得，显然不成立，故方程组无解， 所以与平行. 考点02 交点问题 4．若一次函数与的图象的交点纵坐标为4，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为一次函数与的图像的交点纵坐标为4， 所以，当时，代入一次函数中，得. 所以，交点坐标. 将交点坐标代入中，得. 故选：A. 5．直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 6．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 7．已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】联立可得， 所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限， 则，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，联立方程组可得交点的坐标为； 又因为点在第一象限，所以，解得. 即直线的斜率取值范围为，设其倾斜角为， 即，所以倾斜角的取值范围是. 故答案为：. 9．已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【详解】设，且， 则，得，解得：, 代入直线，，得. 故选：D 考点03 过两条直线交点的直线系方程 10．经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 11．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 12．过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 13．过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 14．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ． 【答案】 【详解】过直线与的交点， 故，解得，故交点坐标为； 故过点且与直线垂直的直线方程为，整理得． 故答案为：． 考点04 两点间的距离 15．（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为且，所以， 解得 故选：CD 16．已知点，，，则△中边上的中线长 . 【答案】 【详解】设的中点的坐标为，由中点公式可得， 即的坐标为，则. 故答案为：. 17．已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 . 【答案】 25 【详解】设B点的坐标为， ∵点A的坐标，线段中点的坐标为， ∴，解得， 即点的坐标为，所以 故答案为：；25. 18．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 19．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 20．设，若函数图象上任意一点满足，则 . 【答案】2 【详解】因为点在函数图象上，则，即， 又因为， 则， 整理得， 由于对恒成立，则，解得. 故答案为：2 考点05 点到直线的距离 21．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 22．已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【详解】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 23．点到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，所以， 即，又，所以，解得， 显然，所以， 当时，所以， 当时，所以， 综上可得. 故选：B 24．（多选）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 【答案】AB 【详解】依题意，即,解得或. 故选：AB. 25．已知的顶点，，.求的面积. 【答案】5 【详解】直线的斜率， 由直线方程的点斜式可得， 化简可得. 所以点到直线的距离， 且， 则. 26．直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【答案】或 【详解】当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，即 ∵点到的距离为1， ∴，解之得， 得的方程为． 当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1， ∴直线的方程为或． 考点06 两平行直线间的距离 27．（多选）下列直线与直线l：平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设与直线l：平行的直线方程为， 由题意可得，解得或， 故所求直线的方程为或. 故选：AB 28．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】解：动点分别在直线与上移动， 又线段的中点为，， 在直线上运动， 到直线的距离． 到坐标原点的距离大于等于． 故选：CD． 29．，与直线平行，则直线与的距离为 . 【答案】 【详解】因为//，所以，解得， ， ， 由两平行直线的距离公式可得：， 故答案为： 30．若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 【答案】/ 【详解】由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 考点07 对称问题 31．已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 32．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 33．（多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：时，故A正确； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：ABC. 34．已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【详解】由直线化为， 令，解得，于是此直线恒过点． 设点P关于直线的对称点为， 则，解得，∴． 故答案为： 35．已知直线的倾斜角为，且经过点． (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的倾斜角为， 所以， 所以直线的方程为，即 （2）设点的坐标为， 则，解得， 所以点的坐标为． 36．设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 考点08 距离问题的运用 37．直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】由题意，因为直线经过点, 所以，则直线. 令，则， 令，则. 则， 化简得， 即， 即, 解得或或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 38．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设曲线：上的点的坐标为，， 则点到直线的距离， 当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为. 故选：B. 39．1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点，动点满足，则面积的最大值为 ． 【答案】3 【详解】已知定点为，， 因为动点满足， 所以点的轨迹方程为， 两边同时平方可得， 整理得， 所以， 此时，当且仅当，时，取得最大值， 故答案为：3 40．过定点的直线与过定点的直线交于，则 【答案】10 【详解】由题意可得：，则， 由，则， 当时，两直线垂直， 当时，两直线斜率之积等于， ∴直线和直线垂直， 则. 故答案为：10 41．若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题设，中点在直线上，且， 所以，且， 即，且， 所以，且， 故，且， 所以，且， 综上，，可得，显然满足. 故答案为：（答案不唯一） 考点09 求线段和与差的最值 42．唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【详解】设军营所在位置为， 若将军从处出发，河岸线所在直线方程为， 故点关于对称点的坐标， 所以，解得；即． 设直线上任一点N，，即当且仅当Q，N，三点共线时取最小值， 即． 即“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 43．已知点，点P是直线上动点，则的最小值是 ． 【答案】13 【详解】解：作A点关于直线的对称点，如图所示， 易知， 故，此时与直线的交点为P点， 故的最小值是13． 故答案为：13 44．已知，求的最小值． 【答案】 【详解】设点的坐标为， 则表示点到点和的距离之和， 点为直线上一个动点，作图如下：    不妨设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， ， 当且仅当三点共线时取得等号； 故的最小值为. 45．已知点、，试在轴上求一点，使最小． 【答案】 【详解】作B关于x轴对称点,且坐标为，连接，则直线与x轴的交点即为所求点M.，      设直线的方程为：， 将、代入直线方程， 即，解得， 所以直线方程为， 当时，， 所以为 46．已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标． 【答案】 【详解】点关于x轴的对称点为,如图所示，若点不在直线上则, 连接并延长交x轴于点P，即为最大值． 直线的方程是， 即. 令，得． 则点P的坐标是. 47．已知平面上两点和，在直线上求一点M． (1)使最大值； (2)使最小． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）若为关于直线的对称点，则中点在直线上， 所以，得，则， 由，则， 要使最大，只需共线，. （2）如上图，要使最小，只需共线， 所以. 基础试炼 1．已知，，，则ABC垂心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，，， 所以，， 所以AB边上的高所在直线的方程为x＝1， BC边上的高所在直线的斜率为1，方程为y＝x， 联立，得， 所以垂心的坐标为． 故选：D． 2．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得，则直线的交点， 又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得. 故选：C. 3．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为（　　） A．y＝6x＋ B．y＝6x＋6 C．y＝6x±6 D．y＝6x－6 【答案】C 【详解】 解析：设所求直线l的方程为y＝6x＋b.令x＝0，∴ y＝b，与y轴的交点为（0，b）；令y＝0，∴ x＝－，与x轴的交点为（－，0）.∵ 被两坐标轴所截得的线段长为，∴ （－）2＋b2＝37，解得b＝±6，因此所求直线方程为y＝6x±6. 4．点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【详解】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：C. 5．（多选）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 【答案】BD 【详解】由题意，可得， 可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离， 故选：BD 6．（多选）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 7．在原点处发射一束激光，经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为 . 【答案】 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得， 所以，则直线的方程为， 联立直线与，可得，即. 故答案为： 8．点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【详解】易知直线，即其恒过定点， 所以点到该直线的距离的最大值为. 故答案为：. 9．已知直线过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式可知，解得或， 当时直线的方程为，当时直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，两点到直线的距离不相等，所以此种情况不存在， 故答案为；或. 10．在中，已知是BC边上一点，边AB、AC所在直线的方程分别为，．若，求直线BC的方程． 【答案】 【详解】因为边、所在直线的方程分别为，， 两条直线的交点为． 若，则， 所以直线的方程为，即． 11．已知直线l经过点，且平行于向量. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为，即. （2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为， 由点到直线的距离公式得，即， 解得或. 所以所求直线m的方程为或. 12．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为、， 所以边所在直线的方程为，整理得； （2）点到直线的距离， 又，因为， 所以有，即， 又点的坐标满足， 因此有或， 解得或， 所以点的坐标为或． 高阶突破 1．已知点P是直线l：与x轴的交点，直线l绕点P逆时针方向旋转45°得到直线，则直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线，令，解得，即直线与轴的交点为， 设直线的倾斜角为，可得， 则， 即把绕点按逆时针方向旋转得到直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 直线的斜率为，则直线与直线平行. 则直线与直线之间的距离为. 故选：D 2．如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意易得AB所在的直线方程为：， 化简可得：. 设点关于直线的对称点， 则，解得，， 点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为． 直线MN即直线，则直线MN的方程为，即． 故选：D 3．（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 【答案】AB 【详解】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线， 可知表示直线上所有的点， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 联立方程，解得，所以，B正确； 对于选项C：当时，则有： 若，则； 若，可知直线与直线平行，且， 可得，解得； 综上所述：或，故C错误； 对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误． 故选：AB． 4．已知，，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为 . 【答案】 【详解】   因为，， 所以直线的方程为： 点关于轴的对称点， 设点关于直线的对称点， 则，，解得，． ， 所以根据反射原理的对称性， 光线所经过的路程为 ， 故答案为：． 5．已知直线方程为，直线的一个单位法向量为，若点P是直线上任意一点，则 ，若点到直线的距离为1，则的值为 ． 【答案】 【详解】设点P的坐标为， ，； 点到直线的距离为， 所以， 故答案为：； 6．已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 7．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2). 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 8．如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【答案】 【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$