11.2与三角形有关的角　课件　2024—2025学年人教版数学八年级上册

11.2与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 证明：三角形的内角和为180° 我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？ 2 证明：三角形的内角和为180° 已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180° 3 证明：三角形的内角和为180° 我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？ 4 证明：三角形的内角和为180° 已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180° 过点A作BC的平行线MN ∴∠C=∠NAC , ∠B=∠MAB （两直线平行，内错角相等） ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180° ∴∠B+∠BAC+∠C=180° 5 证明：三角形的内角和为180° 已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180° 过点A作BC的平行线MN ∴∠C+∠MAC=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∠B=∠MAB （两直线平行，内错角相等） ∴∠C+∠B+∠BAC=180° 6 证明：三角形的内角和为180° 我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？ 7 证明：三角形的内角和为180° 已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180° 延长BC到点E，过点C作AB的平行线CF ∴∠A=∠ACF（两直线平行，内错角相等） ∠B=∠FCE（两直线平行，同位角相等） ∵∠ACB+∠ACF+∠FCE=180° ∴∠ACB+∠A+∠B=180° 8 【例题】 在△ABC中，∠B=35°，∠C=65°，则∠A=_______. 答案：80° 【例题】 已知，在△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，你能判断△ABC的形状吗？ 分析：∠C为最大的角 设∠C为3x，∠B为2x，∠A为x 所以3x+2x+x=180° 解得x=30° 所以∠C=90° 所以△ABC为等直角三角形 延伸：直角三角形中两个锐角的关系 在直角△ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=________° 直角三角形的两个锐角互余. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 11 【例题】 若直角三角形的两锐角之差为12°，则较大锐角的度数是多少？ 设较大锐角的度数为x，则有： x+（x-12°）=90° 解得x=51° 即较大锐角的度数为51° 【例题】 如图，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE的度数. ∠BAC=180°-∠B-∠C=60° 由AE平分∠BAC，可得∠EAC=∠BAC/2=30° 在△ADC中，因为AD是BC边上的高，所以∠ADC=90° 所以∠DAC=90°-∠C=45° 所以∠DAE=∠DAC-∠EAC=15° 【例题】 判断： 1.一个三角形中可以有2个直角或2个钝角 （ ） 2.一个三角形中最大的角小于60° （ ） 3.一个三角形中三个角都大于60° （ ） 总结： 1.一个三角形中最多只有一个钝角或直角，最少有两个锐角 2.三角形中的最大角大于等于60° 3.一个三角形中最少有一个角不大于60° 【例题】 1.一个三角形的三个内角的度数比是1:3:4，则这个三角形是____三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 2.一个三角形的三个内角的度数比是2:3:4，则这个三角形是____三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 总结： 如果给出的条件是各角之间的比例，那么当两个较小角的比例和=最大的角的比例时，为直角三角形；当两个较小角的比例和>最大的角的比例时，为锐角三角形；当两个较小角的比例和<最大的角的比例时，为钝角三角形 3.一个三角形的三个内角的度数比是2:2:5，则这个三角形是____三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【例题】 如图，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，求证∠D=90°+ A ∠D=180°-（∠1+∠2） ∠A=180°-(∠ABC+∠ACB) ∵BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB ∴∠1=∠ABC/2，∠2=∠ACB/2 ∴∠1+∠2=∠ABC/2+∠ACB/2=(∠ABC+∠ACB)/2 ∴∠D=180°-(∠ABC+∠ACB)/2=90°+1/2∠A 11.2与三角形有关的角 11.2.2 三角形的外角 定义：三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 根据定义，画△ABC的外角，可以画出多少个？ 18 定义：三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 △ABC共有6个外角。 这6个外角是三对对顶角，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6 19 探讨：三角形的外角性质 ∠ACB与∠ACD互为邻补角 ∠ACB+∠ACD=180° 结论：三角形的一个外角跟与它相邻的内角互为邻补角 20 探讨：三角形的外角性质 ∠ACB+∠ACD=180° ∠ACB+∠A+∠B=180° ∠ACB=180°-∠ACD ∠ACB=180°-(∠A+∠B) ∠ACD=∠A+∠B 结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 21 探讨：三角形的外角性质 因为∠ACD=∠A+∠B 所以∠ACD>∠A且∠ACD>∠B 结论：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 22 探讨：三角形的外角性质 因为∠1，∠2，∠3是△ABC的外角 所以∠1=∠ACB+∠ABC，∠2=∠BAC+∠ACB ∠3=∠BAC+∠ABC 所以∠1+∠2+∠3 =∠ACB+∠ABC+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC =2（∠ACB+∠ABC+∠BAC） 因为∠ACB+∠ABC+∠BAC=180° 所以∠1+∠2+∠3==2×180°=360° 三角形的外角和等于360° 23 总结：三角形的外角性质 1.三角形的一个外角跟与它相邻的内角互为邻补角 2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 3.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 4.三角形的外角和等于360° 24 【例题】 1.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD=_______. 答案：70° 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 【例题】 2.把图中∠1，∠2，∠3按由大到小的顺序排列起来. 答案：∠3>∠2>∠1 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 【例题】 3.三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数分别（ ） A.45°,45°,90° B.30°,60°,90° C.36°,72°,72° D.25°,25°,130° 答案：C 三角形的一个外角跟与它相邻的内角互为邻补角 【例题】 4.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A=_______. 答案：80° 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 【例题】 5.如图，∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°,则∠ADC=_______. 答案：100° 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 感谢聆听 $$