第07讲 直线的方程（八大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第07讲 直线的方程 学习目标： 1．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,并会用它们求直线的方程. 2．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 3．会选择适当的方程形式求直线方程. 重点难点： 重点：直线方程的点斜式的推导过程，直线的两点式方程与截距式方程，直线的一般式方程与其他几种特殊形式的互化 难点：掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式，直线的一般式方程的应用 知识点一、直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点二、直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 知识点三、直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点四、直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 知识点五、直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 考点01 点斜式直程 1．过点，倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线的方程是，则（    ） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（    ） A．，6 B．， C．，6 D．， 5．已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 6．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴． 考点02 斜截式方程 7．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 8．已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 9．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 10．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 11．已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 考点03 两点式方程 12．过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 13．经过两点的直线交轴于点，则点的坐标是 ． 14．过点和点的直线的两点式方程是 ． 15．已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 考点04 截距式方程 16．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 17．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 18．直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D．或 19．求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 20．已知直线l过点且与x轴、y轴分别交于，，O为坐标原点，那么的最小值为 ． 21．若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 考点05一般式方程 22．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 23．若直线的斜率为1，则实数的值为（    ） A．1或2 B．-1或-2 C．-1或2 D．1或-2 24．在直线上，当时，恰好，则此直线的一般式方程为 ． 25．已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 26．已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 27．已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 考点06 直线方程的综合应用 28．任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 29．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 30．对任意的实数，直线所过的定点为 ． 31．已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 考点07 直线的定点问题 32．集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 33．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（多选）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 35．直线，的斜率的取值范围为 . 36．已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 考点08 直线与坐标轴形成三角形问题 37．过点作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 38．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 39．平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 40．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 基础试炼 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线的倾斜角大于，且在轴上的截距小于0，则不可能经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 5．（多选）下列四个选项中，说法错误的是（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线与直线互相平行，则 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 6．（多选）直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．， B．， C． D． 7．若直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的一半，则直线l的方程为 ． 8．已知直线，若直线的倾斜角，求实数的取值范围 9．若直线过点且在两坐标轴上的截距之差为，则直线的一般式方程为 . 10．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 11．求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为的直线的斜截式方程． 12．已知直线和点． (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 高阶突破 1．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 3．（多选）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 4．（多选）已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．-2 5．直线过点，直线：过点，且把分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线的方程为 ． 6．已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 7．过点作直线分别交，的正半轴于，两点．    (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程； (3)当取最小值时，求直线的方程． 8．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第07讲 直线的方程 学习目标： 1．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,并会用它们求直线的方程. 2．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 3．会选择适当的方程形式求直线方程. 重点难点： 重点：直线方程的点斜式的推导过程，直线的两点式方程与截距式方程，直线的一般式方程与其他几种特殊形式的互化 难点：掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式，直线的一般式方程的应用 知识点一、直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点二、直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 知识点三、直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点四、直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 知识点五、直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 考点01 点斜式直程 1．过点，倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得直线的斜率为， 所以直线方程为：， 化简可得：； 故选：B 2．已知直线的方程是，则（    ） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 【答案】D 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，斜率为． 故选：D 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线可得，直线斜率为， 设直线倾斜角为，所以，解得. .故选：B 4．直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（    ） A．，6 B．， C．，6 D．， 【答案】B 【详解】由直线可得其斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，即倾斜角为， 当时，，得， 所以直线在y轴上的截距为， 故选：B 5．已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 所以直线的方程为：， 即， 当时，， 所以点在直线上. 故选：A. 6．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴． 【答案】(1) (2) (3)不能用点斜式， 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. 考点02 斜截式方程 7．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 8．已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【答案】 【详解】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 9．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 10．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【详解】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 11．已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【详解】设直线方程为，则令得；令得， 由题意得，即，所以， 所以直线l的方程为或 考点03 两点式方程 12．过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 13．经过两点的直线交轴于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】由直线的两点式方程，得所在直线的方程为，即 令，得，故点坐标为. 故答案为： 14．过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【详解】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 15．已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 【答案】 【详解】解：因为，，，M为AB的中点，N为AC的中点， 所以，， 所以中位线MN所在直线的两点式方程为． 考点04 截距式方程 16．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 17．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 18．直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】C 【详解】由题意设直线的方程为，则①， 又，∴②， 由①②解得，或，， 又由知，则，， 则直线的斜率为． 故选：C． 19．求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则有，解得， 故直线方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或． 故答案为：或． 20．已知直线l过点且与x轴、y轴分别交于，，O为坐标原点，那么的最小值为 ． 【答案】 【详解】直线l与x轴、y轴分别交于，, 可设直线的截距式：， 直线l过点，，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 21．若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 【答案】 【详解】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0， 设直线方程为， 又线段AB的中点为，则，即 则直线方程为，即. 故答案为： 考点05一般式方程 22．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知化为，，，. 故选：C. 23．若直线的斜率为1，则实数的值为（    ） A．1或2 B．-1或-2 C．-1或2 D．1或-2 【答案】C 【详解】该直线方程可以变形为, 由直线的斜率为1可得，解得或， 故选：. 24．在直线上，当时，恰好，则此直线的一般式方程为 ． 【答案】或 【详解】方程化为， 当时，为增函数， 则，解得， 此时方程为，即； 当时，为减函数， 则，解得， 此时方程为，即； 综上：此直线的一般式方程为或. 故答案为：或. 25．已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为垂直于直线，所以所求直线斜率为， 所求直线方程为，即. （2）因为平行于直线所以斜率.所求直线方程为，即. 26．已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【答案】(1)且 (2) 【详解】（1）当时，的斜率不存在，此时与相交，符合题意； 当时，的斜率为，需满足， 解得且； 所以当且时，与相交； （2）若与重合，需满足，且， 解得， 即时，与重合. 27．已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设过点P与直线l平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）过点P与直线l垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线的方程为. 考点06 直线方程的综合应用 28．任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 29．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 30．对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【答案】 【详解】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为. 故答案为：. 31．已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）由整理得，， 令，解得，即直线经过定点. 不妨设直线的方程为，则有（*） 由（*）和基本不等式可得，，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，的最小值为12； （2）因，由（1）得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故当时，取得最小值. 考点07 直线的定点问题 32．集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从A，B中各任意取一个数相加，有种情况， 当直线，则，则， 当时，从中取一个数相加为的有，2种情况， 当时，从中取一个数相加为的有，2种情况， 所以满足条件的有4种情况， 所以满足条件的概率. 故选：B 33．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点，    则， 又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为. 故选：A. 34．（多选）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【答案】BD 【详解】对于A，直线：， 则的斜率为，故A错误； 对于B，令，解得， 故在轴上的截距为，故B正确； 对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误； 对于D，当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，故D正确． 故选：BD． 35．直线，的斜率的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，直线的斜率为. 因为，所以当时，或， 由，得， 当即时，直线的斜率为. 因为，所以或， 即或. 所以直线的斜率的取值范围为. 综上所述，直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 36．已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 考点08 直线与坐标轴形成三角形问题 37．过点作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】由题意设直线的方程为，直线过，则， 直线与坐标轴的交点为, 又，， ，， 时，，由， 得或， 时，，由， 得或， 所以直线共有4条． 故选：D． 38．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 39．平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】 依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为：. 40．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 【答案】或. 【详解】解　∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为， 则直线方程为，即. ，即，， ∴直线方程为. 若在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在轴上的截距为， 则在轴上的截距为， 故直线方程为，即. ∵，即， ，直线方程为. 综上所述，直线的方程为或. 基础试炼 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线即的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，因为，所以，即直线的倾斜角为. 故选：C 2．已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，所以，且. 故选：B. 3．已知直线的倾斜角大于，且在轴上的截距小于0，则不可能经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】直线的倾斜角大于，则直线必经过第二和第四象限， 在轴上的截距小于0，故直线经过第二和三象限， 因此直线经过二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A. 4．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意， 若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得， 此时直线方程为，符合题意； 即经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条 故选：C. 5．（多选）下列四个选项中，说法错误的是（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线与直线互相平行，则 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 【答案】AD 【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角， 但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B：因为直线与直线互相平行， 则，解得或， 当时直线与直线重合，故舍去， 当时直线与直线平行，符合题意， 综上可得，故B正确； 对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确； 对于D：当截距都为时直线方程为， 当截距都不为时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误. 故选：AD 6．（多选）直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．， B．， C． D． 【答案】BD 【详解】依题意，直线的横截距，直线的横截距，A错误，B正确； 直线的斜率，直线的斜率，则，于是，C错误，D正确. 故选：BD 7．若直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的一半，则直线l的方程为 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，则，显然， 由，得，而，解得， 所以直线l的斜率为3，方程为，即. 故答案为：. 8．已知直线，若直线的倾斜角，求实数的取值范围 【答案】 【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为， 所以有， 因为， 所以， 因此实数的取值范围为， 故答案为： 9．若直线过点且在两坐标轴上的截距之差为，则直线的一般式方程为 . 【答案】或 【详解】直线过点，即直线在轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为， 则直线在轴上的截距为或， 则或， 所以直线方程为或， 故答案为：或 10．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1)， ； (2)16 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 11．求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为的直线的斜截式方程． 【答案】或. 【详解】设直线方程为：， 令，得，令，得， 因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积是12， 所以， 解得， 所以直线的斜截式方程是或. 12．已知直线和点． (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设与直线平行的直线方程为（其中）， 又由所求直线过点，可得，解得， 所以所求直线方程为. （2）解：设与直线垂直的直线方程为， 将点代入方程，可得，解得， 所以所求直线的方程为. 高阶突破 1．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后得到直线的倾斜角为， 此时直线的斜率为，直线方程为， 所以将函数向上平移1个单位长度所得的直线函数表达式为. 故选：D 2．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D 3．（多选）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 直线斜率为2，有，则. 依题意有或， 当时，，即， 解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合； 当时，，即， 解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合. 故选：BC 4．（多选）已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．-2 【答案】AC 【详解】因为点在直线上，设点， 又， 则的中点坐标为， 其必在直线上， 则， 化简为，① 又垂直直线， 故，化简为，② 联立①②，解得 ，或， 又当时，根据垂直直线， 必有，此时直线方程为， 的中点坐标为，不在直线上，不满足题意， 故， 故选：AC. 5．直线过点，直线：过点，且把分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】直线的方程为，即， 直线过点，即，所以， 设过点，依题意可知， 且，此时两点重合. 所以直线的方程为. 故选：    6．已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 【答案】或． 【详解】由于直线的斜率为，故它的倾斜角为， 由于直线和直线的夹角为，故直线的倾斜角为或， 故直线的斜率不存在或斜率为． 再根据直线经过点，得直线的方程为或， 即或． 7．过点作直线分别交，的正半轴于，两点．    (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程； (3)当取最小值时，求直线的方程． 【答案】(1)，此时直线的方程为． (2) (3) 【详解】（1）依题意设，，， 设直线的方程为，代入得， 所以，则，当且仅当，即、时取等号， 从而，当且仅当，即、时取等号， 此时直线的方程为，即， 所以，此时直线的方程为． （2）由（1）可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 此时直线的方程为，即． （3）依题意直线的斜率存在且，设直线， 令，解得，令，解得，所以，， 则， 当且仅当，即，即时，取最小值， 此时直线的方程为． 8．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）作，则.    由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$