精品解析：甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高三上学期诊断考试数学试卷

兰州一中高三年级诊断考试试卷 高三数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集运算得出集合，再由元素与集合的关系判断． 【详解】因为全集，所以， 根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确． 故选：C． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断两圆的位置关系，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以两圆相内切， 又表示圆及圆内的点， 表示圆及圆内的点， 即由推不出，故充分性不成立， 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算，然后由，即可求出的值. 【详解】因为，，所以， 由，得，即，解得. 故选：D 4. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方和乘法、除法运算法则计算得，由共轭复数的定义得，再利用复数的几何意义判断其在第几象限即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 5. 已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类讨论思想，根据函数值的符号，及变化，分别对四个选项判断即可求解. 【详解】对于，当时，，所以，故选项错误； 对于，当时，，所以，故选项错误； 对于，当时，，所以，且时，，；当时，，所以，且时，，，故选项正确； 对于，当时，，则，所以，故选项错误， 故选：. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数的单调性即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以，又因为， 所以，又，所以． 故选：A. 7. 已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式求解即得. 【详解】由数列为递增数列，得，，而， 则，，而恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案. 【详解】设为坐标原点，则，从而. 设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得，解得. 由，得，解得， 所以. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 在下列函数中，最小值是2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式、单调性和二次函数的性质即可求解. 【详解】对于选项A，的定义域为，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值为， 但当时，，当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值为，故A错误； 对于选项B，的定义域为，由， 得，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故B正确； 对于选项C，由在上单调递增，得在上单调递减， 当时，取得最小值为，故C正确； 对于选项D，，由二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面，面面位置的判定方法逐一判断即可得. 【详解】对A：若，，则或，故A错误； 对B：若，，则，又，故，故B正确； 对C：若，，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误； 对D：若，，则，又，则，故D正确. 故选：BD. 11. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；然后利用对称方法即可求解. 【详解】第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下： ，由反射的性质，得关于对称，关于对称， 即为的三等分点，因此， C正确； 第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下： ，由反射的性质，得关于对称，关于对称， 即为的三等分点，因此，B正确. 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若命题“，”为假命题，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件知命题“，”为真命题，再分类讨论，即可求解. 【详解】由题意可知，命题“，”为真命题. 当时，可得. 若，则有，符合题意； 若，则有，解得，不符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 13. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，故两圆圆心距离为半径之差，计算即可得. 【详解】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切， 由可得， 即该圆以为圆心，为半径， 圆，圆心为， 故有且， 解得. 故答案为：. 14. 一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，由古典概率公式求出，再由条件概率求解即可. 【详解】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件， 则，， 所以， 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求； （2）若D在边BC上且，，求AD的长. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式求解； （2）利用同角三角函数的基本关系，结合向量数量积的运算律求解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 所以，得即. 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 因为，且为三角形的内角，所以，， 又因为，所以. 因为，∴. 所以， 所以， 所以. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在上有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性以及时的表达式，即可求出函数的解析式； （2）利用（1）中的解析式可画出函数图象，由函数与方程的思想利用数形结合即可求得的取值范围是． 【小问1详解】 令，则，又是定义在上的奇函数， 所以可得． 又， 故函数的解析式为 【小问2详解】 根据题意作出的图象如下图所示： ，， 若函数在上有三个零点，即方程有三个不等的实数根， 所以函数与有三个不同的交点， 由图可知当，即时，函数与有三个不同的交点，即函数有三个零点． 故的取值范围是． 17. 已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，若，点M为的中点，点N为的四等分点（靠近点P）． （1）求证：平面平面； （2）求点P到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，进而可证平面，进而可得，进而可得平面，可得结论； （2）利用余弦定理可证，进而可得，利用等体积法可求得点P到平面的距离. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面平面， 则，又， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，点M为中点，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面，则， 因为，点M为的中点， 所以， 因为点N为的四等分点（靠近点P）． 所以， 因为，所以 所以由余弦定理得 ， 所以，所以，因为平面，所以， 设点P到平面的距离为h， 所以三棱锥的体积． 所以． 18. 甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同． （1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； （2）求甲获得冠军的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）乙在第1场、第4场均负，利用独立事件的乘法公式进行求解； （2）分析出甲获胜的情况，得到各个情况下的概率，相加后得到答案. 【小问1详解】 乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负， 乙连负两场的概率为； 【小问2详解】 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜， 甲获得冠军的概率为：． 19. 已知抛物线E：，过点的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为和，与的交点为P． （1）若点A的坐标为，求的面积（O为坐标原点）； （2）证明：点P在定直线上． 【答案】（1） （2） 由，得 的方程为：，整理得： 同理可得的方程为： 设，联立方程，解得 因为点T（1，2）在抛物线内部，可知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为，与抛物线方程联立得： 故，， 所以，，可得 所以点P在定直线上 【解析】 【分析】（1）求出直线方程，联立抛物线可得交点坐标，即可得出三角形面积； （2）求出切线方程联立求出交点坐标，再得出直线方程，交点满足直线方程即可得证. 【小问1详解】 直线AB的斜率 直线AB的方程为，即 联立方程，整理得： 设，则， 设直线AB与y轴的交点为D，则 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中高三年级诊断考试试卷 高三数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 4. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 在下列函数中，最小值是2的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若命题“，”为假命题，则的取值范围为______. 13. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则_________. 14. 一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求； （2）若D在边BC上且，，求AD的长. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在上有三个零点，求的取值范围． 17. 已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，若，点M为的中点，点N为的四等分点（靠近点P）． （1）求证：平面平面； （2）求点P到平面的距离． 18. 甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同． （1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； （2）求甲获得冠军的概率． 19. 已知抛物线E：，过点的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为和，与的交点为P． （1）若点A的坐标为，求的面积（O为坐标原点）； （2）证明：点P在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $