3.2 平面直角坐标系（课件）2024—2025学年北师大版数学八年级上册

3.2 平面直角坐标系 知1－讲 知识点 平面直角坐标系（重点理解） 1 内容 图示 定义 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系 . 通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向 . 三要素：两条数轴； 有公共原点；互相垂直 . 续表 知1－讲 坐标轴 水平的数轴叫做 x 轴或横轴，铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴， x 轴和 y 轴统称为坐标轴，它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点 . 三要素：两条数轴； 有公共原点；互相垂直 . 知1－讲 特别解读 x轴、y轴都是数轴，都有原点、正方向和单位长度 .数学中的平面直角坐标系的两条坐标轴的单位长度一般视为相同，但实际问题中，受两轴上数量意义的影响，两坐标轴上的单位长度可以有所不同 . 知1－练 如图3-2-1，平面直角坐标系的画法正确的是( ) 例1 知1－练 解题秘方：根据平面直角坐标系的定义识别. 答案：B 解：A 中两条坐标轴不是互相垂直的； C 中横轴上的－1 应在负半轴上，应取向右为正方向；D 中横轴的单位长度不一致. 知1－练 1-1. 关于平面直角坐标系的说法正确的是( ) A. 平面直角坐标系是由两条共原点的数轴构成的 B. 平面直角坐标系是由两条垂直的数轴构成的 C. 平面直角坐标系的正方向没有规定 D. 平面直角坐标系中两坐标轴的单位长度可以不相同 D 知2－讲 知识点 点的坐标 2 内容 图示 点的坐标 对于平面内任意一点 P，过点P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数 a， b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对( a， b)叫做点 P 的坐标 . y 轴上的点的横 坐标为零 x 轴上的点的纵坐标 为零 知2－讲 点与有序实数对的关系 在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上的唯一的一个点与它对应.因此，平面上的点与有序实数对一一对应 . y 轴上的点的横 坐标为零 x 轴上的点的纵坐标 为零 续表 知2－讲 特别解读 平面直角坐标系中点 P(a，b)到 x 轴的距离为|b|，到 y 轴的距离为|a|，到原点的距离为 . 知2－练 [母题 教材P59例1 ]如图3-2-2，写出点A，B，C，D，E，F，G，O的 坐标. 例2 解题秘方：紧扣点的坐标的定义，利用过点向两坐标轴作垂线，用垂足表示的数求点的坐标. 知2－练 解：A(3，4)，B(－6，4)，C(－5，－2)，D(－5，2)，E(0，3)，F(2，0)，G(－4，0)，O(0，0). 方法点拨：确定点的坐标的方法： 先从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上表示的数为该点的横坐标；再从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上表示的数为该点的纵坐标；最后用有序实数对将它表示出来. 知2－练 知2－练 2-1.如图，△ ABC 在直角坐标系中 . (1)请写出△ ABC 各点的坐标； (2)求出△ ABC 的面积 . 解：A(－1，－1)，B(4，2)，C(1，3)． 知2－练 请你在如图3-2-3的平面直角坐标系中，描出以下各 点：A(3，2)，B(0，3)，C(－1，－2)，D(2，－1). 例3 解题秘方：紧扣点的坐标的意义描点即可. 知2－练 解：描出的点A，B，C，D 如图3-2-3 所示. 知2－练 3-1.在平面直角坐标系中，已知点 A(－4，1)， B(1，1)， C(－3，3)． (1)画出△ ABC； (2)判断△ ABC 的形状是___三角形 . 解：△ABC如图所示． 直角 知3－讲 知识点 象限及点的坐标特征 3 1. 象限的划分 如图3-2-4，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分， 每个部分称为象限，分别叫第一象限、 第二象限、第三象限和第四象限，坐 标轴上的点不属于任何象限. 知3－讲 2. 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M(正，正) 点M在第二象限 M(负，正) 点M在第三象限 M(负，负) 点M在第四象限 M(正，负) 知3－讲 续表 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 坐标轴 上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上：M(正，0) 在x轴负半轴上：M(负，0) 点M在y轴上 在y轴正半轴上：M(0，正) 在y轴负半轴上：M(0，负) 知3－讲 续表 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 象限角平分线上的点 点 M 在第一、三象限的角平分线上 M( x， y)中， x=y，即横坐标与纵坐标相等 点 M 在第二、四象限的角平分线上 M(x， y)中， x=－y，即横坐标与纵坐标互为相反数 知3－讲 续表 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 两点连线与坐标轴平行 MN ∥ x 轴( MN ⊥ y 轴) M， N 两点的纵坐标相等 MN ∥ y 轴(MN ⊥ x 轴) M， N 两点的横坐标相等 知3－讲 特别解读 1. 象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.各象限的名称是一种规定，不能随意更改. 2. 坐标原点既在x轴上，又在y轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点. 知3－练 已知点P的坐标为(a＋3，b－1). (1)若点P在x轴上，则b＝_______； (2)若点P在y轴上，则a＝_______； (3)若点P在第三象限，则a的取值范围为_______，b的取值范围为_______. 1 例4 －3 a<－3 b<1 解题秘方：紧扣x轴、y轴上及象限内点的坐标特征解答. 知3－练 已知点P的坐标为(a＋3，b－1). (1)若点P在x轴上，则b＝_______； 1 解：因为点P 在x轴上，所以b－1＝0，解得b＝1. (2)若点P在y轴上，则a＝_______； －3 解：因为点P 在y轴上，所以a＋3＝0，解得a＝－3. 知3－练 (3)若点P在第三象限，则a的取值范围为_______，b的取值范围为_______. a<－3 解：因为点P在第三象限， 所以a＋3<0，b－1<0，所以a<－3，b<1. b<1 知3－练 4-1.已知点 P(2a－6，－3b+2)在第二象限，且点 P 到 x 轴的距离为5，到 y 轴的距离为 8，求 a， b 的值． 解：由点P(2a－6，－3b＋2)在第二象限， 且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为8，得 －3b＋2＝5，－(2a－6)＝8. 解得b＝－1，a＝－1. 知4－讲 知识点 建立平面直角坐标系 4 1. 建立平面直角坐标系的基本思路： 知4－讲 2. 建立平面直角坐标系的基本原则： (1)以特殊线段所在的直线为坐标轴；(2)图形上的点尽可能地在坐标轴上；(3)所得的坐标简单，运算简便 . 知4－讲 3. 建立平面直角坐标系的基本方法： 内容 图示 (1) 使图形中尽量多的点在坐标轴上   (2) 以某些特殊线段所在的直线为 x 轴或 y 轴，如三角形的高、中线等 (3) 以对称图形的对称轴为 x 轴或 y 轴 (4) 以某已知点为原点，使它的坐标为(0，0) 知4－讲 特别解读 1.根据条件建立适当的直角坐标系是确定点的坐标的必经过程，只有在建立适当的直角坐标系的基础上，点的位置才能被确定，这是数形结合思想的体现 . 2.“适当”意味着要充分利用图形的特点，如垂直关系、对称关系、平行关系、中点等 . 3.建立平面直角坐标系的方法是不唯一的，选择不同的位置作为原点 ,其他位置的坐标是不同的 . 知4－练 [母题 教材P60随堂练习]根据下面的条件画一幅示意图，并在图中标出各个景点的位置和坐标. 菊花园：从中心广场向北走150 m，再向东走150 m. 湖心亭：从中心广场向西走150 m，再向北走100 m. 松风亭：从中心广场向西走100 m，再向南走50 m. 育德泉：从中心广场向北走200 m. 例5 知4－练 解题秘方：选择一个适当的参照点为坐标原点，按平面直角坐标系表示地理位置的方法，建立平面直角坐标系. 知4－练 解：如图3-2-5，选中心广场所在位置为原点，分别以正 东、正北方向为x轴、 y轴的正方向建立平 面直角坐标系，规 定一个单位长度代 表50 m. (答案不唯一) 知4－练 5-1.如图，每个小正方形 网 格 的 边 长 表 示50 m， A 同学上学时从家中出发，先向东走250 m，再向北走 50 m 就到达学校． 知4－练 (1)请你以学校为坐标原点，向东为 x 轴的正方向，向北为 y 轴的正方向，在图中建立平面直角坐标系； 解：如图所示． 知4－练 (2)利用(1)中建立的平面直角坐标系，写出 B同学家的坐标，若 C 同学家的坐标为(－150，100)，请在图上标出 C同学家的位置． 解：B同学家的坐标为(200，150)． 如图所示， C同学家的位置即为所求． 知4－练 [母题 教材P65例3]如图 3-2-6，已知正方形 ABCD 的边长为4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标． 例6 知4－练 (1)如果以点 C 为坐标原点，分别以 CB， CD 所在的直线为x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分别为 C(0，0)， A _______， B_______ ， D _______； (2)如果以点 A 为坐标原点，分别以 DA，AB 所在的直 线 为 x 轴、 y 轴建 立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分别为 A(0，0)，B _______， C_______ ， D _______； (3)如果以正方形的中心为坐标原点，分别以平行于 DA，AB 的直线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分别为 A _______， B_______ ， C_______ ， D _______． 知4－练 解题秘方：根据正方形 ABCD 的边长为 4，可得 AB=BC=CD=DA=4，再根据(1)(2)(3)给定的平面直角坐标系分别求解各点坐标即可． 知4－练 (1)如果以点 C 为坐标原点，分别以 CB， CD 所在的直线为x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分别为 C(0，0)， A _______， B_______ ， D _______； 解：因为正方形 ABCD 的边长为 4， 所以 AB=BC=CD=DA=4. 根据题意，点 A(4，4)，点 B(4，0)，点 C(0，0)，点 D(0，4) . (4，4) (4，0) (0，4) 知4－练 (2)如果以点 A 为坐标原点，分别以 DA，AB 所在的直 线 为 x 轴、 y 轴建 立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分别为 A(0，0)，B _________， C__________ ， D __________； 解：根据题意，点 A(0，0)，点 B(0， －4)，点 C(－4，－4)，点 D(－4，0) . (0， －4) (－4， －4) (－4，0) 知4－练 (3)如果以正方形的中心为坐标原点，分别以平行于 DA，AB 的直线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分别为 A _______， B__________ ， C_________ ， D _________． 解：根据题意，可得点 A(2，2)，点 B(2， －2)， 点 C(－2， －2)，点 D(－2，2) . (2，2) (2， －2) (－2， －2) (－2，2) 知4－练 6-1.如图，建立适当的直角坐标系，写出这个六角星 6 个顶点 A， B， C，D， E， F 的坐标． 知4－练 解：以BF所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则这6个顶点的坐标分别为 A(0，－1)，B(3，0)，C(3，3)， D(0，4)，E(－3，3)，F(－3，0)． 平面直角坐标系 平面直角 坐标系 构成 坐标轴 象限 应用 坐标 建立平 面直角 坐标系 课堂小结 S△ABC＝4×5－×2×4－×1×3－×3×5＝7. $$