辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题

鞍山市普通高中2024一2025学年高三第一次质量检测 数学科参考答案 一、选择题： 1~5、DBDAB, 6-8、DAC 9、ACD10、BC 11、ACD 二、填空题： 12、12 13、 、3 14、2√2或4√55或25 三、解答题： 15.解：(1)取AD中点E,连接PE,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, PEC平面PAD,在等边△PAD中，PE⊥AD, 所以PE⊥平面ABCD,··························3分 PE=5,m-454 ,所以四棱锥P-ABCD的体积为4 ··6分 3 (2)取BC中点F,连接EF,则EF⊥AD,以E为坐标原点，分别以EA,EF,EP的方向 为x,y,z轴的正方向，A(1,0,0),P(0,0,√3)，C(-1,2,0),B1,2,0), AP=(-1,0,V5,AC=(-2,2,0)······ ········7分 设元=(：，，)为平面APC的法向量，则有 m·AP=-x+V521=0 令2=1，得m=55.), 。··。。。······10分 n1·AC=-2x+2y=0 取n2=(0,0,1)为平面ABC的法向量， h1·2 1√万 C0s<h1,n2>= 1%2万7 。·········12分 由图可知，二面角P-AC-B的大小为钝角， 二面角P-AC-B的余弦值为- ·······。·····13分 7 1 16(1) 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 ·········3分 x2=905x10-20x5=9>6.635 60×30×75×15 能有99%的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关·········6分 (2)记这4个问题为a,b,c,d,记振华答对a,b,c,d的事件分别记为A,B.C,D,分别记按方案一、 二晋级的概率为P,B,则P=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD) ··········…······…10分 -27 月=名P4+名P4O+P4D+Psg+PBD+名PcD 6 =}x3+2xx3=7 ········13分 63 32 18 因为4>乙，振华选择方案一晋级的可能性更大 ·············15分 2718 c=2 a=3 17解：(1)由题意 c 2 ,可得 a 3 b=5 a2=b2+c2 ÷椭圆c: 2 95 设MK,号+号=1，又4-30.6B0. 9 5 ww=3与星5 x+3x-3x2-9x2-99 2 所以，k4为定值-日······产 6分 ②）kP=kM=号kP=6N=子，K6w=3丛····· 8分 3 kww-wkw=-专 设直线MN:x=m+1,代入。+号=1，得(5m2+9y2+10m+52-45=0, 95 M(x,为)，N(x2,2),则△>0,5m2+9>t2 -10mt 乃+3= 且有 5m2+9 5/2-45’“····””·”， 。。·········10分 2= 5m2+9 k6Mk6N=当为 2 -35-3m+m1-30+2)+-3=-3 所以”45=-可得1或3（舍）·· ··········14分 直线MN过定点(，0)········ ··········15分 法二：设P6,yp),直线AP:y=K+3) 9 y=(x+3) 9 由+=1，得 95 (45+y,2)x2+16y2x+9y,2-405=0 △=72900>0，所以，-3w=9y2405,w=3+135w=022.10分 45+p25w= 45+ww45+月 同理x=3yp-15w=-10y2······ 5+p2w写 ········11分 5+yp 3 直线MW的斜率存在时，k=y-业=20,0，+1的. 20yp xM-xw-3yn+675-3yn2-15) MN:y 10yp= 3y2-15 20yp(x-- 5+730,1 ，5+,2令=0， r= 3y,2-153y2-15_3y,2+15_3.·.·..···········13分 5+Jy,2 2(5+y2)2(5+y,2)2 当MN的斜率不存在时，，xM= “34,2=15w=w 3+135=w3-5, 45+yp 2 直线MN过定点(，0)···· ············15分 18.(1)f0)=ge2r-x,x∈[0，+o) f"(x)=ae2r-1,x∈(0，+o),(注：导函数的定义域按[0，+oo)写不扣分，下同) ··································1分 ①a≤0时，f'(x)<0恒成立，所以f(x)在[0，+o)上递减（注：写(0，+o)上递增不扣分，下同） ②a≥1时，f'(x)≥e2r-1>0(x>0)恒成立，所以fx)在[0，+o)上递增 ③0<a<1时，令f'(x)=0得x=三ln 2 a xe0nr)<0,f)单调递减，xen。+o>0,)单调递增 1,1 a ·。·········。。··5分 综上：a≤0f(x)在[0，+o)上单调递减， a≥1时f(x)在[0，+oo)上递增， ae0,)时，f)在(0，)n上单调递减，fm)在(n二+o)上单调递增 2 a 2 a (2)因为fx)不是单调函数，由(1)知，a∈(0，)，且f(x)在(0，。n)上单调递减，f(x)在 2 a 4 付n。+回)上单调递增，要使得f有2个零点6，则必有n0-n<0, 所以，a∈(0，) 7分 又当ae0,3时，f0)=g>0 先证：>2x>0,令o)x>0,p)=，>0,令p)>00<x<2 令p()<0,x>2,p)在0,2)上单调递增，在(2，+四)上单调递减，所以，p)≤2)=子<1 4 所以e>x2(x>0成立，所以，x>2lnxx>0,即：lnr<<xx>0成立， 2 取6=六则有a>h>0,且/)-e->0,所以ae0,的时，有2个零 2a 2a 2 a 点 综上：a∈(0，-) ·········10分 8)令F=fe-0-oe-(-0easx=号e24-r-0-oe-(受-cosx,xe0+m) 2 则F(x)≥0恒成立，且F(O)=0 F=ac2-1+a-1g+9-sinx,xe0,+o,F0)=2a-2····11分 ①a≥1时，F'≥ae2-1+(-sin,当xe0,时，F'≥0，当xex,o)时， 2 re2am2l-空--m-兰ae-30 xe[0,+o)时，F'(x)≥0恒成立，所以，F(x)在[0，+o)上递增， 所以，F(x)≥F(O)=0,符合题意······················ 13分 ②a≤0时，F孕-号0-号+a-<0,与题意不符，舍去，14分 22 ③0<a<1时，F'(0)=2a-2<0,，x>0时， 5 F>ae2-1+a-le-l-1pae2+a-le-12-1>e24+a-e-2+ 2 >etae+a-》-2+引=cae2-3-2由ae-3-号=0得x=h6”>0 2 2a Fm69)>0,所以，存在6∈0，h69,使F')=0,且可使x∈0，)，F)<0, 2a 2a F()单调递减，x∈(0，)时，F()<F(O)=0,舍去 综上：a∈[l,+∞)·················. 17分 (注：本题方法不唯一，可以参照上述答案给分情况酌情给分) 19解：(1)因为a=6,a2=4,所以2a2=a,+a或2a=a+a2,所以a=2或5， 当a3=2时，2a4=a+a,符合题意，当a3=5时，2a≠2+a且2a4≠2+a,不符合题意 所以=2·············、·· ···············5分 (2)因为a2=a5=ag=0,其余项均为正项，所以2a,=a4或2a4=a 若a4=2a时，对于a,a4,a5,因为a5=0,2a≠a+a且2a4≠a5+a,故舍去 所以2a=4即a=4,所以，2a=a,44,因为4=0，所以4=4，-4， 所以4宁-，又4>0，所以鲁冬-所以a,《,乌成等批数列 1.1 10分 (3)由题意am=a。=a,=0,其余项为正项，不妨设3<m<s<t,则p=t 又2a2=a+a,或2an1=a2+a,所以22-0型=-号或2-0u=l,。10分 0m+1-an2 an+1-an =0,可得2a1所以，002=口a 2am+l =am-1 m24时，an1-am-2=0--0a2=5-4.04-凸.0n1-a-2 a2-a1a2-44-a2am-2-am-3 6 设这m-3个因式中恰有个因式的值为-2，有m-3-i个因式的值为1，所以， o--0--YieNd-0-ism-3 所以， (dm+)max=4 13分 因为am=a,=a,=0,且不可能s=m+1,故s2m+2,同理，t2s+2 类似的，a1=-2a-4),当s>m+2, a--a-2=0m+2-0m+1..a-1-a-2 am+l-am dm+l-dm ax-2-a,-3 设等式右侧有恰有/个因式的值为？，有s-2-j个因式的值为1，则 a4-42=a3-02二82-口-a)=(之2.a1-a）,当s=m+2时等式 am+l-am as-2-as-3 也成立，所以，a1=a-4)=分=(，其中0≤js-2-mjeN, ········,15分 同理=（号a对60s1-2-eN,当且仅当-=6=1时取等 综上：4的最大值为 17分鞍山市普通高中2024一2025学年度高三第一次质量监测 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 已知集合4=p以，集合8仁<小 则AnB=() A.0,+o) B.[l,+oo) C.(-o,-1]U[l,+oo) D.(-o,-]U(1,+oo) 2.已知复数z满足1-z=(1+z)i,则z=() A.i B.-i C. D.之 3.已知向量a,b满足IbHa=1,Ia-2b月a+2b|,则|a-2b=(.) A.√2 B.3 C.2 D.5 4在=项式(-” 展开式中，常数项为( A.180 B.270 C.360 D.540 5.已知函数f因=+1为奇函数，则实数α的值为（) A.-2 B.2 C.-1 D.1 6.若M,N为随机事件，且P(M)=0.4,P(N)=0.3,则( ) A.若M,N为互斥事件，则P(MUN)=0.58 B.若M,N为互斥事件，P(M∩N)=0.12 为 C.若M,N为相互独立事件，P(MUN=0.7 D.若P(NM)=0.4,则PWM=0.15 7.已知双曲线C上 m24 =1(m>0),A(,y),B(2,y2)在双曲线上，且2>0，若 -y2<0恒成立，则实数m的取值范围为() A.[2+o) B.(0,2] C.[1,+o) D.(0,] 数学第1页（共4页） C扫描全能王 亿人在用的扫描A 8.已知定义在1，+o)上的函数f)=e-?,若fa)=f),则取得最小值时a的 值为() A.4 B.2e C.e2D.e( 二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分·1 9.已知函数f倒-2cos2x-2sin2x,g树=2cos2x-写引 定义域均为R,则下列说法正 确的是( A.函数y=f()与y=g(x)有相同的最小正周期 B.函数y=f(x)与y=g(x)的图象有相同的对称轴 C.y=g(x)的图象可以由函数y=f(x)的图象向右平移产个单位得到 D。函数y=的图象与y=8)的图象关于直线x=否对称 10.已知直线：：-y+k=0,圆C:x2+y2-6x+5=0,P(xo)为圆C上任意-点，则 下列说法正确的是( A.x+的最大值为5 B.的最大值为25 C.直线1与圆C相切时，k= 3 D.圆心C到直线1的距离最大为4 11.己知函数f(x)满足对任意x∈R,都有f(4-x)=f(x-2),且f(4x+3)为奇函数， f)=2,下列说法正确的是（)·： A.函数f(x)的一个周期是8 4》w B.函数f(2x+7)为偶函数 ,上正日4：代 ,件学 c.f0=2 ,书， D.2(-14-)=2 ,站，个，4卡图 出种的。 CS扫描全能王 】亿人在用的扫描Ap 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 41的，A 12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且有2an-3=Sn,则a= 13.已知ae0,动，5血a+5cosa=号则coa+写)月 14.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PB=AB=4,cos∠PCA= 4 则PC=”©，该四棱锥的高为化，·食8昌全 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.本小题满分13分 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正 方形，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD, (1)求四棱锥P-ABCD的体积： D (2)求二面角P-AC-B的余弦值. =出 第15小题图 16.本小题满分15分 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定 区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采 样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为 90的样本进行调查，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 (1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有99%的把握认为该校学生对探月工程 的关注与性别有关？ (2)为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有 两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级： 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级 22.21 已知振华同学答对这4个问题的概率分别为行了，了，2，振华同学回答这4个问题 正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？ 数学第3页（共4页） C扫描全能王 亿人在用的扫描A 附：= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 装8中高尊气 P(x2k) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 状1： 模公！ 17.本小题满分15分 已知椭圆c等+号-a>b>0,右焦点为rQ0且高心率为号 直线：x=6, 椭圆C的左右顶点分别为A、A2,P为1上任意一点，且 不在x轴上，P4与椭圆C的另一个交点为M,PA2与椭圆 C的另一个交点为N. (I)直线M4和直线MA,的斜率分别记为kM、飞M4' 求证：kM·kMM为定值： (2)求证：直线MW过定点. 第17小题图 18.本小题满分17分 已知函数f0)-e2-x,且定义城为0，+m,aeR. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若f有2个零点x,名，求实数a的取值范围：. 以，月 (3)若f之0-ae+(?-小osx恒成立，求实数a的取值范围八后 19.本小题满分17分 若数列{an}满足如下两个条件：①Vn∈N,2a+2=an1+an和2an+1=aa+2+an恰有一 个成立；②neN,an≥0.就称数列{an}为“中项随机变动数列”. 已知数列{an}为“中项随机变动数列”， (1)若a=6,a2=4,a4=3,求43的可能取值：yA,0/( (2)己知an=0的解集为{2,5,8}，求证：a,a6,ag成等比数列： (3)若数列{an}前3项均为正项，且a2-a1=1,an=0的解集为{m,s,,设m,s, t的最大值为p,求apt1的最大值. ”明头0>t 分日 1+ CS扫描全能王 】亿人在用的扫描A