精品解析：四川省绵阳市江油市五校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024年秋江油市九年级入学考试（八校联考） （数学） 一．选择题（共36分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是（ ） 尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26 销售量／双 1 3 10 4 2 A. 25 B. 10 C. 26 D. 2 3. 若，则等于（　　） A. 1 B. 5 C. D. 4. 如图，线段 AB的长为10，点 D在 AB 上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点 D作与 CD垂直的射线 DP，过 DP上一动点 G（不与 D重合）作矩形 CDGH，记矩形 CDGH的对角线交点为 O，连接 OB，则线段 BO的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 4 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试10次，平均成绩均为9.2环，方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.56 0.60 0.50 0.45 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，在菱形中，，点E在上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ） A. 图象不经过第三象限 B. 图象与直线的交点坐标为 C. 当时， D. 点，在函数图象上，则 8. 一个直角三角形的两条边分别为，那么这个直角三角形的面积是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），他从家到机场需要（ ） A. 10分钟 B. 15分钟 C. 18分钟 D. 20分钟 10. 如图，已知正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③；④的最小值为1．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. D. 二．填空题（共18分） 13. 已知，化简=______． 14. 若直线y＝2x是直线m向左平移3个单位再向下平移1个单位后得到的，则直线m的表达式为____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，若▱的三个顶点的坐标分别是、、，则顶点的坐标是______ ． 16. 某恒温棚升温过程中，温度与时间成一次函数关系．已知升温时间为时，棚内温度为，升温时间为时，棚内温度为，则棚内温度与升温时间之间的一次函数表达式为________． 17. 如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用_____秒钟． 18. 某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”的整体水平，随机抽取了该年级名学生进行测试，并将所得数据整理后，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端值，但不包括右端值），若以各组数据的中间值（如：的中间值为70）代表该组数据的平均水平，则可估计该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数约为_____次（精确到个位） 三．解答题（共46分） 19. 计算：． 20. 王华、张伟两位同学分别将自己次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： （1）如果两人测试成绩的平均数相同，那么张伟第次自我检测的成绩是 分． （2）将分以上（合分）的成绩视为优秀，则优秀率高的是 ． （3）现在要从这两位同学中选一位去参加数学竞赛，你可以根据以上的数据给老师哪些建议？ 21. 如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 22. 某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过万元购进台电脑，其中型电脑每台进价元，型电脑每台进价元，型每台售价元，型每台售价元，预计销售额不低于万元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元）． （1）请你设计出进货方案； （2）求出总利润（元）与购进型电脑（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，其中，，． （1）画出关于原点对称的，并写出坐标； （2）求经过点与的一次函数解析式． 24. 在正方形中，为正方形内部的一点，，连接． （1）图形介绍，如图1，若，连接，求证：． （2）图形研究，将绕点逆时针旋转至，连接，如图2，连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若点在内部且，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋江油市九年级入学考试（八校联考） （数学） 一．选择题（共36分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】考查了最简二次根式：满足①被开方数中不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）的二次根式叫最简二次根式． 2. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是（ ） 尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26 销售量／双 1 3 10 4 2 A. 25 B. 10 C. 26 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的定义求解即可． 【详解】解：由表可知，这组数据中25出现的次数最多，有10次， 这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是25， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数，熟练掌握众数的定义是解题的关键． 3. 若，则等于（　　） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故， 则， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数的符号是解题关键． 4. 如图，线段 AB的长为10，点 D在 AB 上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点 D作与 CD垂直的射线 DP，过 DP上一动点 G（不与 D重合）作矩形 CDGH，记矩形 CDGH的对角线交点为 O，连接 OB，则线段 BO的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC=OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB=30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论． 【详解】解：连接AO， ∵四边形CDGH是矩形， ∴CG=DH，OC=CG，OD=DH， ∴OC=OD， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC=AD，∠CAD=60°， 在△ACO和△ADO中 ， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠OAB=∠CAO=×60°=30°， ∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，OB的长最小， ∵∠OAB=30°，∠AOB=90°， ∴OB=AB=×10=5， 即OB的最小值为5， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的一半相等，为三角形全等作铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题． 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试10次，平均成绩均为9.2环，方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.56 0.60 0.50 0.45 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】先比较四个选手的方差的大小，根据方差的性质解答即可． 【详解】0.65>0.56>0.5>0.45 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁. 故选：D． 6. 如图，在菱形中，，点E在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步求出，则． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，分别求出是解题的关键． 7. 下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ） A. 图象不经过第三象限 B. 图象与直线的交点坐标为 C. 当时， D. 点，在函数图象上，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】A、∵ ∴y随x的增大而减小 ∵ ∴一次函数图象与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，此选项正确，故选项A不符合题意； B、将代入得， ∴一次函数的图象与直线的交点坐标为，此选项正确，故选项B不符合题意； C、当时，， ∵ ∴y随x的增大而减小 ∴当时，，故选项C符合题意； D、∵ ∴y随x的增大而减小， ∵点，在函数图象上， ∴ 此选项错误，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 8. 一个直角三角形的两条边分别为，那么这个直角三角形的面积是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，当是直角边和斜边两种情况讨论，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：当是直角边时：这个直角三角形的面积是：； 当是斜边时：另一个直角边为：， 这个直角三角形的面积是：； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，掌握勾股定理及三角形的面积公式是解题的关键． 9. 图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），他从家到机场需要（ ） A. 10分钟 B. 15分钟 C. 18分钟 D. 20分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键．根据题意可得当时，y与x的函数关系式，再把代入函数关系式求出x的值，然后根据网约车的速度可得答案． 【详解】解：根据图象可知，收费64元，行程以超过3千米， 设当时，y与x的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得， ∴， 当时，， 解得， （分钟）． 故选：D． 10. 如图，已知正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③；④的最小值为1．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练应用正方形和矩形的性质是解题的关键．利用正方形的性质，矩形的性质等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①四边形为正方形， ， ， ． ，，， 四边形为矩形， ， ． ①的结论正确； ②，，， 和为等腰直角三角形， ， 四边形的周长， ②的结论正确； ③连接，如图， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ． ． 由①知：四边形为矩形， ， ． ③的结论正确； ④由③知：， 当取最小值时，取得最小值， 点是对角线上一点， 当，即点为对角线的中点时，的值最小，此时， 的最小值为， ④的结论错误， 综上，正确结论的序号为：①②③， 故选：C 11. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，运用数形结合思维分析并正确确定和的交点是解题的关键．由题意首先确定和的交点以及作出的大致图象，进而根据图象进行判断即可． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 故选：B． 12. 如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点A作于点E，当点A在的上时的值最小，根据勾股定理依次求出，，，的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵ 当点A在上时的值最小，如图， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴∠， 又∵， ∴， 在中中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系． 二．填空题（共18分） 13. 已知，化简=______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键，根据题意化简二次根式，即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为1． 14. 若直线y＝2x是直线m向左平移3个单位再向下平移1个单位后得到的，则直线m的表达式为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的平移规律求解即可．函数的平移规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：∵直线y＝2x是直线m向左平移3个单位再向下平移1个单位后得到的， ∴直线y＝2x向右平移3个单位再向上平移1个单位后可得到直线m， ∴， ∴直线m的表达式为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了函数的平移规律，解题的关键是熟练掌握函数的平移规律：左加右减，上加下减． 15. 如图，在平面直角坐标系中，若▱的三个顶点的坐标分别是、、，则顶点的坐标是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，平移的性质，以及坐标与图形的关系，正确建立坐标系画出平行四边形是解题关键．根据图形，得出C点横纵坐标即可得出答案． 【详解】解：设， 四边形是平行四边形， ，且． ，即． ，即． ，， ． 故答案为：． 16. 某恒温棚升温过程中，温度与时间成一次函数关系．已知升温时间为时，棚内温度为，升温时间为时，棚内温度为，则棚内温度与升温时间之间的一次函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，根据题意，设一次函数解析式为，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：根据题意，设一次函数解析式为， 当升温时间为时，温度为，当升温时间为时，温度为的值代入， ， 解得，， ∴棚内温度与升温时间的一次函数解析式为：， 故答案为： ． 17. 如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用_____秒钟． 【答案】2.5秒． 【解析】 【分析】把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得． 【详解】解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB＝cm； （2）展开底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm； 所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2＝2.5秒． 【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 18. 某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”的整体水平，随机抽取了该年级名学生进行测试，并将所得数据整理后，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端值，但不包括右端值），若以各组数据的中间值（如：的中间值为70）代表该组数据的平均水平，则可估计该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数约为_____次（精确到个位） 【答案】 【解析】 【分析】根据直方图中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查频数分布直方图、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三．解答题（共46分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 王华、张伟两位同学分别将自己次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： （1）如果两人测试成绩的平均数相同，那么张伟第次自我检测的成绩是 分． （2）将分以上（合分）的成绩视为优秀，则优秀率高的是 ． （3）现在要从这两位同学中选一位去参加数学竞赛，你可以根据以上的数据给老师哪些建议？ 【答案】（1） （2）张伟 （3）选张伟参加竞赛 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握平均数，优秀率的计算，根据调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）先计算出王华的平均成绩，根据平均数的计算方法，即可求出张伟的成绩； （2）分别确定王华，张伟分以上（合分）的成绩的次数，根据某种率的计算方法即可求解； （3）根据优秀率进行决策即可． 【小问1详解】 解：王华的平均成绩（分）， 则张伟第次自我检测的成绩是：（分）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：因为王华的优秀率为，张伟的优秀率为， 所以优秀率高的同学是张伟； 故答案为：张伟； 【小问3详解】 解：因为王华和张伟的平均成绩相同，而张伟的优秀率高于王华， 所以可以选张伟参加竞赛（答案不唯一）． 21. 如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，且． ∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，是斜边的中点， ， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得四边形是平行四边形，得出，且，进而证明四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得结论； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长，根据菱形的性质得出的长，利用菱形面积公式即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴菱形的面积， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 22. 某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过万元购进台电脑，其中型电脑每台进价元，型电脑每台进价元，型每台售价元，型每台售价元，预计销售额不低于万元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元）． （1）请你设计出进货方案； （2）求出总利润（元）与购进型电脑（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台； （2）采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式组进行求解即可． （2）根据总利润等于单件利润乘以数量求出函数关系式，根据函数的性质，求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设型电脑购进台，则：型电脑购进台，由题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴ ∴有4种购买方案： 方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台； 方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台； 方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台； 方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台； 【小问2详解】 由题意，得： ， ． ∵， ∴随x的增大而增大， ∴时，元． 答：采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用和一次函数的应用．根据题意，正确的列出不等式组，一次函数解析式，是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，其中，，． （1）画出关于原点对称的，并写出坐标； （2）求经过点与的一次函数解析式． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形， ． （2） 【解析】 【分析】（1）分别确定A，B，C关于原点对称的点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标； （2）直接利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线为，而，， ∴，解得：， ∴直线为． 【点睛】本题考查的是画关于原点成中心对称的图形，求解一次函数的解析式，熟练掌握画关于原点成中心对称的图形以及待定系数法是解本题的关键． 24. 在正方形中，为正方形内部的一点，，连接． （1）图形介绍，如图1，若，连接，求证：． （2）图形研究，将绕点逆时针旋转至，连接，如图2，连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若点在内部且，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转可知，， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可证，由此即可求证； （2）由旋转可知，正方形的性质可证是等边三角形，可得，根据三角形全等的判定可证，可得，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可求证； （3）在与中，根据三角形内角和定理可得，再结合为等腰三角形，即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：在与中， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $