28.4 垂径定理-2024-2025学年九年级上册数学冲冠同步卷(冀教版)

冀教新版九年级上学期《28.4 垂径定理》2024年同步练习卷 一．选择题（共15小题） 1．如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10，AB＝12，则CD＝（　　） A．2 B．2.4 C．3 D．4 2．⊙O的半径是10，弦AB∥CD，AB＝16，CD＝12，则弦AB与CD的距离是（　　） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 3．如图是某高速公路的一个隧道的横截面，若它的形状是以点O为圆心，线段OA的长为半径的圆的一部分，路面AB＝12米，隧道高CD＝9米，则⊙O的半径OA＝（　　） A．6米 B．米 C．7米 D．米 4．如图，在一个圆柱体容器内装入一些水，水面AB在圆心O下方，且AB＝24cm，水的最大深度是8cm，则图中截面圆的半径为（　　） A．8cm B．10cm C．13cm D．15cm 5．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 6．如图，⊙O的直径AB＝6，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．2 D． 7．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 8．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A．50m B．45m C．40m D．60m 9．圆O半径为5，弦AB⊥CD，且AB＝CD＝5，则黑色部分记为1，阴影部分记为Ⅱ，设Ⅰ、Ⅱ的面积分别记为S1，S2，则S1+S2为（　　） A． B． C． D． 10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．米 C．3米 D．米 12．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为（玻璃瓶厚度忽略不计）（　　） A．6cm B．7.5cm C．8cm D．8.5cm 13．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 14．如图，点C是⊙O的弦AB上一点．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 15．如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，DE长为4，则⊙O半径是（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 二．填空题（共15小题） 16．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是 　 　寸． 17．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 　 　． 18．如图，已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP的长为 　 　． 19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，EB＝2．则OA的长为 　 　． 20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 　 　． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径＝　 　． 22．在半径为13的圆中有两条互相平行的弦，其长分别为10和24，则这两条弦之间的距离为 　 　． 23．已知⊙O的半径为13cm，弦AB＝10cm，弦CD＝24cm，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离为 　 　cm． 24．如图，OA、OB、OC是⊙O半径，AC、OB交于D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD＝　 　． 25．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OC＝3，，则CD的长为 　 　． 26．如图，A，B，D三点在半径为5的⊙O上，AB是⊙O的一条弦，且OD⊥AB于点C，若AB＝8，则OC的长为 　 　． 27．如图，AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB于点H，若CH＝AB＝8，则DH的长等于 　 　． 28．如图，点C是AE的中点，在AE同侧分别以AC、CE为直径作半⊙B、半⊙D．直线l∥AE，与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点．若AE＝10，FG＝x，MN＝y，则y与x之间的函数表达式为 　 　． 29．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 　 　． 30．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半径为 　 　． 三．解答题（共30小题） 31．⊙O的半径为17cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝30cm．求AB和CD之间的距离． 32．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 　 　米． 33．一根排水管的截面如图所示．已知水面宽AB＝8dm，测得排水管内水的最大深度为2dm，求排水管截面的半径． 34．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB． （1）写出图中一个度数为30°的角：　 　，图中与△ACD全等的三角形是 　 　； （2）求证：△AED∽△CEB； （3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由． 35．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝EG＝8，求GF的长度． 36．明德麓谷学校计划在济和园制作一扇入园门，其形状是由矩形和弓形组成，如图所示，已知弓形的跨度AB＝2m，弓形的高EF＝0.5m，现请你帮工程师求出所在圆O的半径r． 37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，若AB＝4，求CD的长． 38．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD． （2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径． 39．如图所示，在⊙O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若BE＝4cm，CD＝16cm．求⊙O的半径． 40．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是：　 　．连接OA、OB，经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：　 　，解得r＝　 　．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 41．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径； （2）在（1）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？ 42．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度． 43．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC＝6，DE＝1，求AC的长． 44．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积． 45．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2． （1）求AB的长； （2）求⊙O的半径． 46．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF和AD相交于E．试猜想AE与BE的长度之间的关系，并请说明理由． 47．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH． （1）作OC⊥MN于点C，求OC的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少． 48．如图所示，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，点H为垂足，AH＝CD＝8，求⊙O的面积． 49．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC＝2．求BD的长． 50．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16米，拱高CN为4米． （1）求桥拱的半径； （2）若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度DE为12米时，求水面涨高了多少？ 51．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8． （1）求⊙O的半径长； （2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长． 52．如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，若OC＝2cm，OEcm，求弦AB的长． 53．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝6，EM＝9，求⊙O的半径． 54．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即CD＝8m），OC⊥AB， （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 55．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2． （1）求⊙O的半径； （2）求BF的长度． 56．证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧． 57．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点F，连接DO并延长交AC于点E，且DE⊥AC （1）求证：CE＝DF； （2）求∠BOD的度数． 58．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，AC长为半径的⊙C与AB相交于点D． （1）若弧AD的度数为70°，则∠B＝　 　°； （2）若AC＝6，BC＝8，求线段BD的长． 59．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的语言表述如下，请解答： 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长． 60．如图，已知点A，B，C是⊙O上三点，且OA⊥BC于点D，若半径OA＝3，AD＝1，求弦BC长． 冀教新版九年级上学期《28.4 垂径定理》2024年同步练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10，AB＝12，则CD＝（　　） A．2 B．2.4 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：∵⊙O的半径是10，AB＝12，OC是⊙O的半径且OC⊥AB， ∴OA＝OC＝10cm，， ∵在Rt△AOD中，OA＝10cm，AD＝6cm， ∴， ∴CD＝OC﹣OD＝10﹣8＝2cm， 故选：A． 2．⊙O的半径是10，弦AB∥CD，AB＝16，CD＝12，则弦AB与CD的距离是（　　） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA＝OC＝10， 则， ∵AB∥CD， ∴E、O、F三点共线， 在Rt△AOE中，， 在Rt△OCF中，， 当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离OF+OE＝8+6＝14； 当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离OF﹣OE＝8﹣6＝2． 所以AB与CD的距离是14或2． 故选：C． 3．如图是某高速公路的一个隧道的横截面，若它的形状是以点O为圆心，线段OA的长为半径的圆的一部分，路面AB＝12米，隧道高CD＝9米，则⊙O的半径OA＝（　　） A．6米 B．米 C．7米 D．米 【答案】B 【解答】解：设⊙O的半径为r米． ∵CD⊥AB，CD经过圆心O， ∴AD＝DBAB＝6（米）， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（9﹣r）2+62， ∴r． 故选：B． 4．如图，在一个圆柱体容器内装入一些水，水面AB在圆心O下方，且AB＝24cm，水的最大深度是8cm，则图中截面圆的半径为（　　） A．8cm B．10cm C．13cm D．15cm 【答案】C 【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C交⊙O于点D．设OB＝OD＝x cm． ∵OD⊥AB， ∴AC＝CB＝12（cm）， ∵OB2＝OC2+CB2， ∴x2＝（x﹣8）2+122， ∴x＝13， ∴图中截面圆的半径为13cm． 故选：C． 5．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 【答案】C 【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图， ∵∠AMB＝45°， ∴∠AOB＝2∠AMB＝90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴ABOA＝2， ∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB， ∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大， 即M点运动到D点，N点运动到E点， 此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EABAB•CDAB•CEAB（CD+CE）AB•DE24＝4． 故选：C． 6．如图，⊙O的直径AB＝6，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．2 D． 【答案】C 【解答】解：∵⊙O的直径AB＝6， ∴OBAB＝3， ∵BP：AP＝1：5， ∴BPAB＝1， ∴OP＝OB﹣BP＝2， 连接OC， ∵CD⊥AB， ∴CD＝2PC，∠OPC＝90°， ∴PC， ∴CD＝2PC＝2， 故选：C． 7．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】D 【解答】解：如图，以O为圆心，连接OC、OA、OB， 由题意可得，D为弧AB的中点， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵OA＝OB， ∴OD⊥AB，AC＝BC， 设OD＝r，则OC＝OD﹣CD＝r﹣1， 在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，， ∴r2＝（r﹣1）2+9， 解得：r＝5， ∴主桥拱所在圆的半径5m； 由题意得，水面下降为EF，连接OE， ∵水面下降1米， ∴OG＝OC﹣1＝4﹣1＝3（m）， 则， ∴EF＝2EG＝8m，即水面的宽度为8m． 故选：D． 8．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A．50m B．45m C．40m D．60m 【答案】A 【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示： 则OA＝OD＝250m，AC＝BCAB＝150m， ∴OC200（m）， ∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m）， 即这些钢索中最长的一根为50m， 故选：A． 9．圆O半径为5，弦AB⊥CD，且AB＝CD＝5，则黑色部分记为1，阴影部分记为Ⅱ，设Ⅰ、Ⅱ的面积分别记为S1，S2，则S1+S2为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：作OE⊥AB，垂足为E，OF⊥CD，垂足为点F，连接OB、OC， 由垂径定理可得：BE，CF， ∵AB＝CD，AB⊥CD， ∴OF＝OE， 在Rt△OBE和Rt△OCF中，由勾股定理得： OE＝OF， ∴∠BOE＝∠COF＝60°， ∴∠BOC＝360°﹣2×60°﹣90°＝150°， ∴S扇形BOC， S△BOE， S空白＝S正方形+2S△BOE+S扇形BOC2， ∴S1+S2＝25π． 故选：B． 10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径， ∴CO是△ABE的中位线， ∴EB＝2OC， 在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1， ∵AO2＝OC2+AC2， ∴x2＝（x﹣1）2+22， 解得：， 即，， ∴EB＝2OC＝3， 故选：B． 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．米 C．3米 D．米 【答案】D 【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接OC交AB于D， 则OC⊥AB，， 在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2， ∴， ∴， 即点C到弦AB所在直线的距离是米， 故选：D． 12．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为（玻璃瓶厚度忽略不计）（　　） A．6cm B．7.5cm C．8cm D．8.5cm 【答案】B 【解答】解：如图，设球心为点O，过O作OM⊥AD于M，连接OA， 设球的半径为r cm， 由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm）， 由垂径定理得：， 在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2， 即62+（12﹣r）2＝r2， 解得：r＝7.5， 即球的半径为7.5cm， 故选：B． 13．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，连接OA，OC． ∵OP⊥CD，CD∥AB， ∴OP⊥AB， ∴CN＝DN＝8，AM＝MB＝10， 设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a， 则有， 解得r＝4， 故选：B． 14．如图，点C是⊙O的弦AB上一点．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：作OD⊥AB于点D，如图所示， 由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3， ∴AB＝8， ∴AD＝BD＝4， ∴CD＝2， ∴OC， 故选：D． 15．如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，DE长为4，则⊙O半径是（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解答】解：如图，连接OB， ∵线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，AB＝16， ∴， 设⊙O半径为r，即OB＝OD＝r， 又∵DE＝4， ∴OE＝OD﹣DE＝r﹣4， ∴在Rt△OBE中，可有OE2+BE2＝OB2， 即（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10， ∴⊙O半径是10． 故选：D． 二．填空题（共15小题） 16．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是 　26　寸． 【答案】26． 【解答】解：1尺＝10寸． 根据题意可得ADAB＝5（寸）． 设圆O的半径为R， （R﹣1）2+52＝R2， ∴R＝13寸， ∴这块圆柱形木材的直径是：13×2＝26（寸）． 故答案为：26． 17．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 　（1，0）　． 【答案】（1，0）． 【解答】解：由题意建立直角坐标系，如图， ∵该圆弧所在圆的圆心是弦AC、AB的垂直平分线的交点O′， ∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（1，0）． 故答案为：（1，0）． 18．如图，已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP的长为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OB，则∠OCB＝90°， ∵PA＝4，PB＝6， ∴AB＝10， ∵OC⊥AB，OC过圆心O， ∴AC＝BC＝5， ∴PC＝AC﹣AP＝5﹣4＝1， ∵OB＝7， ∴OC2， ∴OP5． 故答案为：5． 19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，EB＝2．则OA的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：连接OC， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝DECD6＝3， 设⊙O的半径为x， 则OA＝OC＝x，OE＝OB﹣BE＝x﹣2， 在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2， ∴x2＝32+（x﹣2）2， 解得：x， ∴⊙O的半径为， 故答案为：． 20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 　16　． 【答案】16． 【解答】解：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴CE＝DECD， ∵AB＝20， ∴OCAB＝10， 在Rt△COE中，OE＝6， ∴CE8， ∴CD＝16， 故答案为：16． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径＝　　． 【答案】． 【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，连接OA， ∴OA， 故答案为：． 22．在半径为13的圆中有两条互相平行的弦，其长分别为10和24，则这两条弦之间的距离为 　17或7　． 【答案】17或7． 【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB＝24，CD＝10， ∴AE＝12，CF＝5， ∵OA＝OC＝13， ∴EO＝5，OF＝12， ∴EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， ∵AB＝24，CD＝10， ∴AE＝12，CF＝5， ∵OA＝OC＝13， ∴EO＝5，OF＝12， ∴EF＝OF+OE＝12+5＝17． 故答案为：17或7． 23．已知⊙O的半径为13cm，弦AB＝10cm，弦CD＝24cm，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离为 　17或7　cm． 【答案】17或7． 【解答】解：过O作OM⊥AB于M，OM交CD于N，连接OD，OB， ∵AB∥CD， ∴ON⊥CD， ①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB＝24cm，CD＝10cm，ON⊥CD，OM⊥AB， ∴BM＝AM＝12cm，DN＝CN＝5cm， ∵OB＝OD＝13cm， 由勾股定理得：OM5（cm）， ON12（cm）， ∴MN＝12cm﹣5cm＝7cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， MN＝OM+ON＝17cm， 所以AB与CD之间的距离为7cm或17cm． 故答案为：17或7． 24．如图，OA、OB、OC是⊙O半径，AC、OB交于D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD＝　4　． 【答案】4． 【解答】解：∵AD＝DC，OD经过圆心O， ∴OB⊥AC， ∴OA10， ∴BD＝OB﹣OD＝10﹣6＝4， 故答案为：4． 25．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OC＝3，，则CD的长为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：连接OA， ∵半径OC垂直弦AB于点D， ∴ADAB， ∵， ∴AD＝2， ∵OA＝OC＝3， ∴OD1， ∴CD＝OC﹣OD＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 26．如图，A，B，D三点在半径为5的⊙O上，AB是⊙O的一条弦，且OD⊥AB于点C，若AB＝8，则OC的长为 　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵OD⊥AB， ∴AC＝CBAB＝4， ∴OC3， 故答案为：3． 27．如图，AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB于点H，若CH＝AB＝8，则DH的长等于 　2　． 【答案】2． 【解答】解：连接OA， 设圆的半径是r， ∵CH＝8， ∴OH＝8﹣r， ∵直径CD⊥AB于点H， ∴AHAB8＝4， ∵OA2＝OH2+AH2， ∴r2＝（8﹣r）2+42， ∴r＝5， ∴CD＝2r＝10， ∴DH＝CD﹣CH＝10﹣8＝2． 故答案为：2． 28．如图，点C是AE的中点，在AE同侧分别以AC、CE为直径作半⊙B、半⊙D．直线l∥AE，与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点．若AE＝10，FG＝x，MN＝y，则y与x之间的函数表达式为 　y＝10﹣x　． 【答案】y＝10﹣x． 【解答】解：过B点作BQ⊥FM于Q，过D点作DH⊥NG于H点，连接BF、DG，如图，则FQ＝MQ，NH＝GH， ∵l∥AE， ∴BQ＝DH，BQ⊥AE，DH⊥AE， ∴四边形BDHQ为矩形， ∴QH＝BDAE＝5， 即QM+MN+NH＝5， ∴QM+NH＝5﹣y， ∵FQ，GH， 而BF＝DG， ∴FQ＝GH， ∴FQ＝MQ＝NH＝GH， ∵FG＝FM+MN+NG＝2QM+MN+2NH＝2（QM+NH）+MN， ∴x＝2（5﹣y）+y＝10﹣y， ∴y＝10﹣x， 故答案为：y＝10﹣x． 29．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 　4　． 【答案】4． 【解答】解： 过O作OF⊥DC于F，连接OC，则∠OFE＝∠OFC＝90°， ∵BE＝1，AE＝5， ∴AB＝BE+AE＝6， ∴OB＝OA＝OC＝3， ∴OE＝3﹣1＝2， ∵∠AEC＝30°， ∴OFOE＝1， ∴CF2， ∵OF⊥CD，OF过圆心O， ∴DF＝CF＝2， ∴CD＝CF+DF＝4， 故答案为：4． 30．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半径为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：连接OB， ∵OC⊥AB于点D，AB＝8， ∴BDAB＝4， 在Rt△BOD中， ∵OB2＝OD2+BD2 ＝32+42 ＝25， ∴OB＝5， 故答案为：5． 三．解答题（共30小题） 31．⊙O的半径为17cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝30cm．求AB和CD之间的距离． 【答案】7cm或23cm． 【解答】解：有两种情况：①圆心O在弦AB和CD的同旁，如图1，连接OC、OA， 过O作OE⊥AB于E，且直线OE交CD于F， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴∠OFC＝90°，∠OEA＝90°， ∵OE⊥AB，OE过O，AB＝16cm， ∴AE＝BEAB＝8cm， 同理CF＝DFCD＝15cm， 由勾股定理得：OE15（cm）， OF8（cm）， ∴EF＝OE﹣OF＝7cm； ②圆心O在弦AB和弦CD之间，如图2， 此时EF＝OE+OF＝23cm， 综上：AB和CD之间的距离为7cm或23cm． 32．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 　10　米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D， 则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FBAB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF， 由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2， 设圆的半径是r， 则：r2＝402+（r﹣20）2， 解得：r＝50； 即桥拱的半径为50米； （2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示 则MH＝NHMN＝30， ∴EH40（米）， ∵EF＝50﹣20＝30（米）， ∴HF＝EH﹣EF＝10（米）； 故答案为：10． 33．一根排水管的截面如图所示．已知水面宽AB＝8dm，测得排水管内水的最大深度为2dm，求排水管截面的半径． 【答案】排水管截面的半径为5dm． 【解答】解：过点O作AB的垂线，交AB于点P，交圆于C点，连结OB， ∵AB＝8dm， ∴BP＝4dm， 设排水管截面的半径为rdm， 由垂径定理和勾股定理得： （r﹣2）2+42＝r2， 解得r＝5dm， 故排水管截面的半径为5dm． 34．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB． （1）写出图中一个度数为30°的角：　∠1　，图中与△ACD全等的三角形是 　△BCD　； （2）求证：△AED∽△CEB； （3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由． 【答案】（1）∠1（答案不唯一），△BCD；（2）证明过程见解答；（3）菱形，理由见解答． 【解答】（1）解：连接OA、OB． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC， ∴点C在AB的垂直平分线上， ∵OA＝OB， ∴点O在AB的垂直平分线上， ∴CE是AB的垂直平分线， ∴∠1∠ACB＝30°， 在△ACD与△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（AAS）． 故答案为：∠1（答案不唯一），△BCD． （2）∵CE是AB的垂直平分线， ∴∠ADE＝90°， ∵CE过圆心O， ∴∠CBE＝90°， ∴∠ADE＝∠CBE， ∵∠3＝∠2， ∴△AED∽△CEB． （3）四边形OAEB是菱形．理由如下： ∵∠CBE＝90°，∠1＝30°， ∴BECE＝OB， ∴△OBE是等腰三角形， ∵AB⊥CE， ∴OD＝DE， ∴AB垂直平分OE， ∵OE垂直平分AB， ∴四边形OAEB是菱形． 35．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝EG＝8，求GF的长度． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，DF⊥CG， ∴∠DEB＝∠BFG＝90°， ∵∠EBD＝∠FBG． ∴∠D＝∠G， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠G， ∴CA＝CG； （2）解：∵CD⊥AB， ∴DE＝EC＝4， ∵∠D＝∠G， ∴tanD＝tanG， ∴， ∴， ∴EB＝2， ∴BG＝EG﹣EB＝8﹣2＝6， ∵tanG，BG2＝BF2+FG2， ∴62FG2+FG2， ∴FG（负根已经舍去）． 36．明德麓谷学校计划在济和园制作一扇入园门，其形状是由矩形和弓形组成，如图所示，已知弓形的跨度AB＝2m，弓形的高EF＝0.5m，现请你帮工程师求出所在圆O的半径r． 【答案】所在圆O的半径为m． 【解答】解：∵弓形的跨度AB＝2m，EF为弓形的高， ∴OE⊥AB于F， ∴AFAB＝1m， ∵所在圆O的半径为r，弓形的高EFm， 设AO＝r，OF＝r， 在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2＝AF2+OF2， 即r2＝（1）2+（r）2， 解得r． 答：所在圆O的半径为m． 37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，若AB＝4，求CD的长． 【答案】2． 【解答】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴CD＝2CE， ∵CD＝2OE， ∴CE＝OE， ∵CD⊥AB， ∴CE2+OE2＝2CE2＝OC2， ∴2CE2＝22， ∴CE， ∴CD＝2． 38．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD． （2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵OE⊥AB， ∴CF＝DF， ∵OA＝OB， ∴AF＝BF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB， ∴ 设⊙O的半径是r， ∵CO2＝CF2+OF2， ∴r2＝22+（r﹣1）2， ∴， ∴⊙O的半径是． 39．如图所示，在⊙O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若BE＝4cm，CD＝16cm．求⊙O的半径． 【答案】10cm． 【解答】解：连接OC， ∵OB⊥CD，O为圆心， ∴CECD＝8， 设OC＝OB＝r， ∴OE＝r﹣4， 在Rt△OCE中，由勾股定理得： （r﹣4）2+82＝r2， ∴r＝10． 40．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是：　垂直于弦的直径平分这条弦　．连接OA、OB，经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：　r2＝452+（r﹣15）2　，解得r＝　75　．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 【答案】垂直于弦的直径平分这条弦；452+（r﹣15）2；75． 【解答】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为r cm，作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点， 其推理依据为：垂直于弦的直径平分这条弦， 经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝45cm； 用含r的代数式表示OD，OD＝（r﹣15）cm． 在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝452+（r﹣15）2，解得r＝75． 通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 故答案为：垂直于弦的直径平分这条弦；52+（r﹣15）2；75． 41．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径； （2）在（1）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？ 【答案】（1）10cm； （2）小船能顺利通过这个管道．理由见解析． 【解答】解：（1）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB． ∵OE⊥AB， ∴BDAB16＝8cm， 由题意可知，ED＝4cm， 设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm， 在Rt△BOD中，由勾股定理得： OD2+BD2＝OB2 ∴（x﹣4）2+82＝x2 解得x＝10． 即这个圆形截面的半径为10cm． （2）如图，小船能顺利通过这个管道．理由： 连接OM，设MF＝6cm． ∵EF⊥MN，OM＝10cm， 在Rt△MOF中，OF8cm ∵DF＝OF+OD＝8+6＝14cm ∵14cm＞13cm， ∴小船能顺利通过这个管道． 42．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度． 【答案】（1）5米； （2）8米． 【解答】解：（1）∵点D是的中点，DC⊥AB， ∴AC＝BCAB＝3，DC经过圆心， 设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC， 联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1， 在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2， ∴R2＝（R﹣1）2+32， 解得R＝5． 答：主桥拱所在圆的半径长为5米； （2）设OD与EF相交于点G，连接OF， ∵EF∥AB，OD⊥AB， ∴OD⊥EF， ∴∠OGF＝90°， 在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣1＝3，OF＝5， ∴FG4， ∴EF＝2FG＝8， 答：此时水面的宽度为8米． 43．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC＝6，DE＝1，求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OC，如图所示． ∵点E是的中点， ∴∠BOE＝∠COE，OD⊥BC，BD＝DC． ∵BC＝6， ∴BD＝3． 设⊙O的半径为r，则OB＝OE＝r． ∵DE＝1， ∴OD＝r﹣1． ∵OD⊥BC即∠BDO＝90°， ∴OB2＝BD2+OD2． ∵OB＝r，OD＝r﹣1，BD＝3， ∴r2＝32+（r﹣1）2． 解得：r＝5． ∴OD＝4． ∵AO＝BO，BD＝CD， ∴OD是△ABC的中位线， ∴ODAC． ∴AC＝8． 44．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积． 【答案】． 【解答】解：设⊙O的半径是r， ∵点C是AB的中点，OC过圆心O， ∴OC⊥AB， ∵AB＝4，CD＝1， ∴BCAB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1， ∵OB2＝OC2+BC2， ∴r2＝（r﹣1）2+22， ∴r， ∴OD， ∴△BOD的面积OD•BC2． 45．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2． （1）求AB的长； （2）求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图连接AC， ∵AO⊥BC，AO过O， ∴CE＝BE， ∴AB＝AC， 同理AC＝BC， ∴AB＝BC＝2； （2）∵AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴∠BCD＝30°， 在Rt△CEO中，OC2， 即⊙O的半径为2． 46．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF和AD相交于E．试猜想AE与BE的长度之间的关系，并请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：AE＝BE，理由为： 补成完整的圆延长AD到点G， ∵AD⊥BC， ∴， 则∠ABF＝∠BAG（等弧所对的圆周角相等）， 则AE＝BE（等角对等边）． 47．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH． （1）作OC⊥MN于点C，求OC的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少． 【答案】（1）OC的长为10cm； （2）水面截线减少了28cm． 【解答】解：（1）连接OM， ∵O为圆心，OC⊥MN，MN＝48cm， ∴， ∵AB＝52cm， ∴， 在 Rt△OMC 中，， ∴OC的长为10cm； （2）过O作 OD⊥EF，连接OE， 由题得，OD＝10+14＝24cm， 在 Rt△OED 中，ED10cm， ∴EF＝2ED＝20cm， ∴48﹣20＝28cm ∴水面截线减少了28cm． 48．如图所示，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，点H为垂足，AH＝CD＝8，求⊙O的面积． 【答案】25π． 【解答】解：连接OC， 设⊙O的半径为r，则OH＝AH﹣OA＝8﹣r， ∵AB为⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴， 在Rt△OHC中，有OC2＝OH2+CH2， 即r2＝（8﹣r）2+42， 解之，得r＝5， 所以，⊙O的面积为S⊙O＝25π． 49．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC＝2．求BD的长． 【答案】2． 【解答】解：作OH⊥AB于H， ∴AH＝BH，CH＝DH， ∴AH﹣CH＝BH﹣DH， ∴BD＝AC＝2． 50．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16米，拱高CN为4米． （1）求桥拱的半径； （2）若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度DE为12米时，求水面涨高了多少？ 【答案】（1）10米； （2）2米． 【解答】解：如图半径OC⊥AB，OC⊥DE， （1）设桥拱的半径是r米， ∵OC⊥AB， ∴ANAB16＝8（米）， ∵拱高CN为4米， ∴ON＝（r﹣4）米， ∵OA2＝ON2+AN2， ∴r2＝（r﹣4）2+82， ∴r＝10， ∴桥拱的半径是10米； （2）∵CO⊥DE， ∴DMDE12＝6（米）， ∴OM8（米）， ∵ON＝OC﹣CN＝10﹣4＝6（米）， ∴MN＝8﹣6＝2（米）， ∴水面涨高了2米． 51．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8． （1）求⊙O的半径长； （2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长． 【答案】（1）5； （2）． 【解答】解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r， ∵AB⊥CD， ∴∠OED＝90°，DE＝CECD8＝4， 在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，OD＝r，DE＝4， ∴（r﹣2）2+42＝r2， 解得r＝5， 即⊙O的半径长为5； （2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8， ∴BC4， ∵OF⊥BC， ∴BF＝CFBC＝2，∠OFB＝90°， 在Rt△OBF中，OF， 即OF的长为． 52．如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，若OC＝2cm，OEcm，求弦AB的长． 【答案】2cm． 【解答】解：连接OB，如图所示： ∵半径OC过弦AB的中点E，OC＝2cm， ∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2， ∴BE（cm）， ∴AB＝2BE＝2（cm）． 53．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝6，EM＝9，求⊙O的半径． 【答案】5． 【解答】解：连接OC，设OC＝OE＝r． ∵EM⊥CD， ∴CM＝MDCD＝3， ∵OC2＝CM2+OM2， ∴r2＝32+（9﹣r）2， ∴r＝5． ∴⊙O的半径为5． 54．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即CD＝8m），OC⊥AB， （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 【答案】（1）该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米； （2）此货船不能顺利通过这座桥． 【解答】解：（1）解：连接OA， ∵AB＝24m，OC⊥AB， ∴， 设OA＝OC＝r， ∵CD＝8m， ∴OD＝（r﹣8）m， 在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：AD2+OD2＝OA2， 即122+（r﹣8）2＝r2， 解得：r＝13， 答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米． （2）解：∵r＝13米，CD＝8m， ∴OD＝OC﹣CD＝5（米）， 构造如图所示矩形MEFN，OM连接， 当EF＝MN＝10m时， ∵OC⊥AB， ∴OC⊥MN， ∴（米）， 根据勾股定理可得：（米）， ∴DH＝OH﹣OD＝12﹣5＝7（米）， ∵7＜7.5， ∴此货船不能顺利通过这座桥． 55．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2． （1）求⊙O的半径； （2）求BF的长度． 【答案】（1）5； （2）2． 【解答】解：（1）连接OB， 设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣2， ∵OA⊥BD， ∴BE＝EDBD＝4， 在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2， 即x2＝（x﹣2）2+42， 解得，x＝5， 即⊙O的半径为5； （2）在Rt△CEB中，BC4， ∵OF⊥BC， ∴BFBC＝2． 56．证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧． 【答案】答案见解析． 【解答】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M． 求证：AM＝BM，，． 证明：连接OA、OB， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等腰三角形， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC， ∴，． 57．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点F，连接DO并延长交AC于点E，且DE⊥AC （1）求证：CE＝DF； （2）求∠BOD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接AD， ∵DE⊥AC， ∴AE＝CE， ∴AD＝CD， 同理可得AC＝AD， ∴AC＝AD＝CD， ∴ACCD，即CE＝DF； （2）∵由（1）知△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝60°， ∵直径AB⊥CD于点F， ∴，∠DAB＝30°， ∴∠BOD＝2∠DAB＝60°． 58．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，AC长为半径的⊙C与AB相交于点D． （1）若弧AD的度数为70°，则∠B＝　35　°； （2）若AC＝6，BC＝8，求线段BD的长． 【答案】（1）35； （2）线段BD的长为2.8． 【解答】解：（1）连接CD， ∵弧AD的度数为70°， ∴∠ACD＝70°， ∵CA＝CD， ∴∠A＝∠CDA55°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝35°， 故答案为：35； （2）过点C作CH⊥AD于H， ∴AH＝DHAD， 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵△ABC的面积CH•ABAC•BC， ∴10CH＝6×8， 解得：CH＝4.8， 在Rt△ACH中，AH3.6， ∴AD＝2AH＝7.2， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣7.2＝2.8， ∴线段BD的长为2.8． 59．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的语言表述如下，请解答： 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长． 【答案】26寸． 【解答】解：连接OC， ∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径， ∴E为CD的中点， 又∵CD＝10寸， ∴CE＝DECD＝5寸， 设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸， 由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2， 即（x﹣1）2+52＝x2， 解得x＝13， ∴AB＝26寸， 答：直径AB的长为26寸． 60．如图，已知点A，B，C是⊙O上三点，且OA⊥BC于点D，若半径OA＝3，AD＝1，求弦BC长． 【答案】2． 【解答】解：连接OB， ∵OA⊥BC，OA为⊙O的半径， ∴BD＝CD， ∵OB＝OA＝3，AD＝1， ∴OD＝OA﹣AD＝2， ∴BD， ∴BC＝2BD＝2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/2 14:06:10；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 学科网（北京）股份有限公司 $$