28.3 圆心角和圆周角-2024-2025学年九年级上册数学冲冠同步卷(冀教版)

冀教新版九年级上学期《28.3 圆心角和圆周角》2024年同步练习卷 一．选择题（共15小题） 1．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（　　） A． B． C． D． 2．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（　　） A．1 B．1+2 C．2 D．21 3．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD，BC＝1，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 4．如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点且sin∠CAB，点E、F分别为、的中点，弦EF分别交AC，CB于点M、N．若MN，则AB＝（　　） A．10 B．10 C．18 D．6 5．如图所示，在⊙O中，线段AB是直径，点D是弧AB上一点，延长AB至点C，使得AB＝2BC，连接AD，OD，CD．若∠C＝30°，则∠ADO的余弦值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，E为上一点，CE，AB，则EB的长为（　　） A． B．2 C． D． 7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为（　　） A．32 B．36 C．40 D．48 8．如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧BC的中点，下列结论中：①∠CBD＝∠DAB；②CG＝CH；③AH＝2BD；④BD2+GD2＝AG2；⑤AGDG．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，A，B为圆O上的点，且D为弧AB的中点，∠ACB＝120°，DE⊥BC于E，若ACDE，则的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．1 10．“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，⊙O中有圆内接四边形ABCD，已知BD＝8，CD＝5，AB＝6，∠BDC＝60°，则AD＝（　　） A． B． C． D． 11．正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一动点，∠AED＝45°，AP＝1，线段PE的最大值是（　　） A．5 B．2 C．2+2 D．2 12．如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的圆O分别交BC，CD于点E，F．若AB＝13，BC＝14，CE＝9，则线段EF的长为（　　） A． B． C． D． 13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD，则AD+CD的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．不能确定 二．填空题（共15小题） 16．如图，线段AB＝8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，AF＝　 　． 17．如图，在⊙O中，∠ABO＝52°，若弦BC∥OA，则∠BAC＝　 　°． 18．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角∠AOD＝60°，则裙长AB为 　 　． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，若∠A＝102°，则∠DCE的度数为 　 　． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，3）、，点C是第一象限内AB右上方的一动点，且满足∠ACB＝60°．若点C坐标为（a，b），则a+b的最大值为 　 　． 21．如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠DAE＝　 　度；的值等于 　 　． 22．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是　 　度． 23．如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于 　 　． 24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝29°，则∠D＝　 　°． 25．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝100°．若点D为⊙O上一点（不与点A，C重合），则∠ADC的度数为 　 　． 26．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠BOD＝2∠BAD；③AC＝BD；④∠CAB＝∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO＝180°．其中正确命题的代号是 　 　． 27．如图，在⊙O中，已知∠AOB＝80°，则∠ACB＝　 　． 28．如图，将一块含30°角的直角三角板的锐角顶点A放在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E．则的度数为 　 　． 29．如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝　 　． 30．如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径，连接OC，若点C为的中点，∠BCD＝140°，则∠ABC 的度数为 　 　°． 三．解答题（共30小题） 31．已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点． （1）如图，若△ABC为等边三角形，BM＝1，CM＝2，求AM的长； （2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BM＝a，CM＝b（其中b＞a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）． 32．如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，，点E为OD上任意一点（不与O、D重合）． 求证：AE＝BE． 33．（1）如图（a），已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC、AD．求证：①∠BAD＝∠CAG；②AC•AD＝AE•AF； （2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其他条件不变． ①请你在图（b）中画出变化后的图形，并对照图（a），标记字母； ②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝4，求⊙O的直径． 35．如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求BC、AD的长； （2）求四边形ADBC的面积． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC． （1）求证：四边形ABFC是菱形； （2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积． 37．如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD＝40，AC＝20． （1）求弦AB的长； （2）求sin∠ABO的值． 38．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E． （1）若∠B＝70°，求∠D的读数． （2）若AB＝5，AC＝4，求DE的长． 39．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F． （1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由； （2）若AE＝6，BE＝8，求EF的长． 40．已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线 （1）如图1，连接BD，若∠CDB＝60°，求证：AC是∠DAB的平分线； （2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC＝7，AB＝5，求线段AE的长度． 41．如图所示，在△ABC中，已知D是BC边上的点，O为△ABD的外接圆圆心，△ACD的外接圆与△AOB的外接圆相交于A，E两点．求证：OE⊥EC． 42．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：OB⊥DF． 43．如图，△ABC中，AC＝AB，以AB为直径作半圆O，交AC于点E，交BC于点D． （1）如图1，求证：CD＝BD； （2）如图2，连接CO交半圆O于点F，若AB＝10，AE＝8，求CF的长． 44．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E． （1）求证：ID＝BD； （2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID＝6，AD＝x，DE＝y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 45．已知，如图，△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D，过点P作PE∥AB交圆于E． 求证：（1）AC＝PE；（2）PB2＝PD•PA． 46．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证： （1）D是BC的中点； （2）△BEC∽△ADC； （3）AB•CE＝2DP•AD． 47．如图，已知⊙O2交⊙O1于A、B两点，且过⊙O1的圆心O1，AC是⊙O1的弦，直线CB交⊙O2于点D（异于A、B）．求证：DO1⊥AC． 48．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点，连接PA、PB、PC、PD． （1）如图，设PD2＝x，当x＝　 　时，∠PAB＝60°； （2）若△PAD是等腰三角形，求PA的长度． 49．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，∠BAD＝105°，． （Ⅰ）求∠BDC的大小； （Ⅱ）若⊙O的半径为3，求BC的长． 50．如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM＝∠DAN，∠BCM＝∠DCN． 求证：（1）M为BD的中点； （2）． 51．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点． （1）求∠D的度数； （2）求证：AC2＝AD•CE． 52．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数． 53．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，∠CAB的角平分线AE交BC于点D，交半圆O于点E．若AB＝10，tan∠CAB，求线段BC和CD的长． 54．如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠ABC＝∠BAC，则∠AOC与∠BOC相等吗？为什么？ 55．如图，⊙O与⊙P相交于B、C两点，BC是⊙P的直径，且把⊙O分成度数的比为1：2的两条弧，A是上的动点（不与B、C重合），连接AB、AC分别交⊙P于D、E两点． （1）当△ABC是锐角三角形（图①）时，判断△PDE的形状，并证明你的结论； （2）当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，请你分别在图②、图③中画出相应的图形（不要求尺规作图），并按图①标记字母； （3）在你所画的图形中，（1）的结论是否成立？请就钝角的情况加以证明． 56．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE． （1）求证：∠C＝∠BED； （2）如果AB＝10，tan∠BAD，求AC的长； （3）如果DE∥AB，AB＝10，求四边形AEDB的面积． 57．如图，等腰△ABC中，AC＝BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE＝BD+DE． 58．如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D．延长DA交△ABC的外接圆于点F． （1）求证：FB＝FC； （2）若FA＝2，AD＝4，求FB的长． 59．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝25，AC＝7． （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长； （2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长． 60．如图，AB是⊙O的直径，，C在上，且不与A、M重合，MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，连CM． ①求证：ME＝MF； ②若AC＝6，BC＝8，求线段CM的长． 冀教新版九年级上学期《28.3 圆心角和圆周角》2024年同步练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H． ∵∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∵OA＝OC，OH⊥AC， ∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH， ∴CH＝AH＝OC•sin60°， ∴AC＝2， ∵CN＝DN，DM＝AM， ∴MNAC， ∵CP＝PB，CN＝DN， ∴PNBD， 当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2， ∴PN+PM的最大值为2． 故选：D． 2．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（　　） A．1 B．1+2 C．2 D．21 【答案】B 【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT， ∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形， ∴∠OAT＝∠PAG＝30°， ∴∠OAP＝∠TAG， ∴， ∴△OAP∽△TAG， ∴，∵OP＝2， ∴TG＝2， ∵OG≤OT+GT， ∴OG≤1+2， ∴OG的最大值为1+2， 故选：B． 3．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD，BC＝1，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC． ∵∠AOD＝∠BOE， ∴， ∴AD＝BE， ∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE， ∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB， ∴∠CBE（360°﹣90°）＝135°， ∴∠EBF＝45°， ∴△EBF是等腰直角三角形， ∴EF＝BF＝1， 在Rt△ECF中，EC， ∵△OCE是等腰直角三角形， ∴OC． 故选：C． 4．如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点且sin∠CAB，点E、F分别为、的中点，弦EF分别交AC，CB于点M、N．若MN，则AB＝（　　） A．10 B．10 C．18 D．6 【答案】A 【解答】解：如图，连接OE、OF交AC、BC于点P、Q， ∵点E、F分别为、的中点， ∴OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC， 又∵AB为⊙O的直径，OE＝OF， ∴∠EOF∠AOB180°＝90°， ∴∠E＝∠F＝45°， ∴∠EMP＝∠CMN＝∠CNM＝∠FNQ＝45°， ∴△PEM、△QFN、△OEF、△CMN都是等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，由sin∠BAC， 在Rt△OEF中，MN＝2， ∴CM＝CNMN22， 设BC＝3x，则AB＝5x，由勾股定理可得AC4x， 又∵OE⊥AC，OF⊥BC，OA＝OB， ∴AP＝PC＝OQAC＝2x，OP＝QC＝QBBCx， ∴PE＝PM＝PC﹣CM＝2x﹣2，OP＝OE﹣PEx﹣2x+2， 又∵OP＝CQ， ∴x﹣2x+2x， 解得x＝2， ∴AB＝5x＝10， 故选：A． 5．如图所示，在⊙O中，线段AB是直径，点D是弧AB上一点，延长AB至点C，使得AB＝2BC，连接AD，OD，CD．若∠C＝30°，则∠ADO的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：过点O作OD′⊥CD于D′． ∵∠OD′C＝90°，∠C＝30°， ∴OC＝2OD′， ∵AB＝2BC，OA＝OB， ∴OC＝2OA＝2OD， ∴D与D′重合， ∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， ∴cos∠ADO， 故选：C． 6．如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，E为上一点，CE，AB，则EB的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解答】解：连接AC、BC，延长BE，过C作CH⊥BE的延长线于H， ∵AB为⊙O的直径，C为半圆的中点， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝45°， ∴∠2＝135°， ∴∠1＝45°， ∵CH⊥BE， ∴∠CHE＝90°， ∴∠HCE＝45°， ∴CH＝HE， ∵CE， ∴CH＝HE＝1， ∵AB， ∴BC， ∴BH3， ∴EB＝3﹣1＝2， 故选：B． 7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为（　　） A．32 B．36 C．40 D．48 【答案】D 【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT，BQ． ∵PB是⊙O的直径， ∴∠PQB＝∠CQB＝90°， ∴QTBC＝定值，AT是定值， ∵AQ≥AT﹣TQ， ∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x， 在Rt△ABT中，则有（4+x）2＝x2+82， 解得x＝6， ∴BC＝2x＝12， ∴S△ABC•AB•BC8×12＝48， 故选：D． 8．如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧BC的中点，下列结论中：①∠CBD＝∠DAB；②CG＝CH；③AH＝2BD；④BD2+GD2＝AG2；⑤AGDG．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解答】解：连接BG，延长BD交AC的延长线于T． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵， ∴AC＝CB，OC⊥AB， ∴∠ACO＝∠BCO＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵， ∴∠CBD＝∠DAB＝∠CAD，故①正确， ∵∠CGH＝∠ACG+∠CAG＝45°+∠CAG，∠CHG＝∠CBO+∠DAB＝45°+∠DAB， ∴∠CGH＝∠CHG， ∴CG＝CH，故②正确， ∵∠ACH＝∠BCT＝90°，AC＝CB，∠CAH＝∠CBT， ∴△ACH≌△BCT（ASA）， ∴AH＝BT， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠ADT＝90°， ∴∠DAB+∠ABD＝90°，∠CAD+∠T＝90°， ∴∠T＝∠ABD， ∴AT＝AB， ∵AD⊥BT， ∴BD＝DT， ∴AH＝2BD， ∵OC⊥AB，OA＝OB， ∴GA＝GB， ∵∠GDB＝90°， ∴BD2+DG2＝BG2＝AG2，故④正确， ∵GA＝GB， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵∠CAB＝45°，∠CAD＝∠DAB＝∠CBD， ∴∠GAO＝∠GAB＝∠CBD＝22.5°， ∵∠CBA＝45°， ∴∠CBG＝22.5°， ∴∠DBG＝45°， ∴△DBG是等腰直角三角形， ∴BG＝AGDG，故⑤正确， 故选：D． 9．如图，A，B为圆O上的点，且D为弧AB的中点，∠ACB＝120°，DE⊥BC于E，若ACDE，则的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．1 【答案】B 【解答】解：如图，连接AD，BD，CD，OA，OD，OB，在⊙O上取一点K，连接AK，BK，在EB上取点Q，使EQ＝CE，连接DQ． ∵D为弧AB的中点，∠ACB＝120°， ∴∠K＝60°，∠AOB＝120°，∠AOD＝∠BOD＝60° ∴∠DCB∠DOB＝30°， ∵CE＝QE，DE⊥BC， ∴CD＝DQ， ∴∠CDQ＝120°， ∵∠CDQ＝∠ACB＝120°， ∴∠CDA＝∠QDB， ∵∠DCE＝∠DQE＝30°， ∴∠DQB＝150°， ∵∠ACD＝120°+30°＝150°， ∴∠ACD＝∠DQB， 在△ACD与△BQD中， ， ∴△ACD≌△BQD（ASA）， ∴AC＝BQ， ∵CEDE，ACDE， ∴AC＝CE＝EQ＝BQ， ∴BE：CE＝2：1， 解法二：证明全等时，也可以用SAS证明． 故选：B． 10．“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，⊙O中有圆内接四边形ABCD，已知BD＝8，CD＝5，AB＝6，∠BDC＝60°，则AD＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，过点B作BG⊥AC，垂足为G， ∵∠BDC＝60°， ∴∠BDC＝∠BAC＝60°， 在Rt△BDE中，BD＝8， ∴DE＝BD•cos60°＝84， BE＝BD•sin60°＝84， ∵CD＝5， ∴CE＝CD﹣DE＝5﹣4＝1， 在Rt△BCE中，BC7， 在Rt△ABG中，AG＝AB•cos60°＝63， BG＝AB•sin60°＝63， 在Rt△BCG中，CG， ∴AC＝AG+CG＝3， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴AD•BC+AB•CD＝AC•BD， ∴7AD+6×5＝8（3）， 解得：AD， 故选：B． 11．正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一动点，∠AED＝45°，AP＝1，线段PE的最大值是（　　） A．5 B．2 C．2+2 D．2 【答案】D 【解答】解：①当点E在AD下方时，如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，EC，PE，作OH⊥AB于H． ∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°， ∴∠ACD＝∠AED， ∴A，C，E，D四点共圆， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴OE＝ODBD＝2， 在Rt△POH中，∵OH＝2，PH＝1， ∴OP ∵PE≤OP+OE2， ∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE2， 即线段PE的最大值为2， ②当点E在AD上方时，如图所示，点E是以点O'为圆心，2为半径的圆， 同①的方法得，线段PE的最大值为PM2， 即线段PE的最大值为2． 故选：D． 12．如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的圆O分别交BC，CD于点E，F．若AB＝13，BC＝14，CE＝9，则线段EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接AE，AF． ∵BC＝14，CE＝9， ∴BE＝BC﹣EC＝14﹣9＝5， ∵AC是直径， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， ∴AE12， ∴AC15， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝13， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠AFE＝∠ACB， ∴∠AFE＝∠DAC， ∵∠AEF＝∠ACD， ∴△AFE∽△DAC， ∴， ∴， ∴EF， 故选：C． 13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA交CA的延长线于G． ∴AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACD， ∴， ∴AD＝BD， ∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC， ∴EM＝EN，DH＝DH， ∵•AC•BC•AC•EN•BC•EM， ∴EM＝EN， ∵∠ECN＝∠CEN＝45°， ∴CN＝EN， ∴EC， ∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH， ∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL）， ∴AG＝BH， 同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHD（HL）， ∴CG＝CH， ∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14， ∴CG＝DG＝7， ∴CD＝7， ∴DE＝7， ∴． 解法二：过点C作CH⊥AB于H，连接OD． 证明△CHE∽△DOE，求出CH，OD，可得结论． 故选：A． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时， ∵HP是直径， ∴∠HDP＝90°， ∴BP⊥HC， ∴∠HDP＝∠BDH＝90°， 又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°， ∴∠PHD＝∠HBD， ∴△PHD∽△HBD， ∴， ∴HD2＝PD•BD， 同理可证CD2＝PD•BD， ∴HD＝CD， ∴BD垂直平分CH， ∴BH＝BC＝3， 在Rt△ACB中， AB10， ∴AH＝10﹣6＝4， ∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°， ∴△AHP∽△ACB， ∴， 即， ∴AP＝5， 故选：C． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD，则AD+CD的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F． ∵AB＝BC， ∴， ∴∠BDE＝∠BDF， ∵∠DEB＝∠DFB＝90°，DB＝DB， ∴△BDE≌△BDF（AAS）， ∴BE＝BF，DE＝DF， ∵∠AEB＝∠F＝90°，BA＝BC，BE＝BF， ∴Rt△BEA≌Rt△BFC（HL）， ∴AE＝CF， ∴AD+DC＝DE+AE+DF﹣CF＝2DF， ∵∠BDF＝∠BAC＝30°，BD， ∴BFBD， ∴DF， ∴DA+DC＝3， 故选：A． 二．填空题（共15小题） 16．如图，线段AB＝8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，AF＝　4　． 【答案】4． 【解答】解：连接CF，则CF＝DF＝EF， ∵∠EDC＝90°﹣∠E＝60°， ∴∠FCD＝60°． ∵∠DCB（180°﹣120°）＝30°， ∴∠FCB＝∠FCD+∠DCB＝60°+30°＝90°， ∴△ACF是直角三角形． 设BC＝x，则AC＝8﹣x，BC＝BD＝x，CD＝CFx，由勾股定理得： AF2． 当x＝2时，AF有最小值，最小值为4． 故答案为：4． 17．如图，在⊙O中，∠ABO＝52°，若弦BC∥OA，则∠BAC＝　14　°． 【答案】14． 【解答】解：∵∠ABO＝52°，OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝52°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣52°﹣52°＝76°， ∴， ∵BC∥OA， ∴∠ABC＝180°﹣∠OAB＝180°﹣52°＝128°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣128°﹣38°＝14°， 故答案为：14． 18．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角∠AOD＝60°，则裙长AB为 　0.8米　． 【答案】0.8米． 【解答】解：由题意知，，， 解得OA＝1，， ∴0.8（米）， 故答案为：0.8米． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，若∠A＝102°，则∠DCE的度数为 　102°　． 【答案】102°． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCE＝∠A＝102°， 故答案为：102°． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，3）、，点C是第一象限内AB右上方的一动点，且满足∠ACB＝60°．若点C坐标为（a，b），则a+b的最大值为 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，作等边三角形AMB，及两条高ML，BN，交于点K，则C在以K为圆心，BK为半径的优弧上运动，不包括A，B， ∵点A、B的坐标分别为（0，3）、， ∴，， ∴∠OBA＝60°， ∵∠ABM＝60°＝∠AMB， ∴AM∥OB， ∴，BN＝OA＝3，， ∴圆心， 设m＝a+b， ∴b＝﹣a+m，而C（a，b）， ∴C在直线y＝﹣x+m上， 而m最大， ∴直线y＝﹣x+m与⊙K相切，切点为C， ∴T（0，m）， 由半径为2可得：①， 由HK2+TH2＝TK2＝CK2+TC2可得： ②， 而m＝a+b③， 联立①②③解得：，， ∴， 即a+b的最大值为：； 故答案为：． 21．如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠DAE＝　72　度；的值等于 　　． 【答案】72，． 【解答】解：由折叠性质知∠BCO＝∠DCO， 设∠BCO＝∠DCO＝α，则∠BCD＝∠A＝2α， ∵OB＝OC，， ∴∠B＝∠BCO＝∠D＝α， ∴AD＝ED， ∴∠DEA＝∠A＝2α， 在△ADE中，α+2α+2α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠DAE＝2×36°＝72°； 设圆半径为r， ∵∠BEC＝∠DEA＝72°＝∠BCE，∠DCO＝∠B＝36°， ∴△BCE∽△CEO， 即， ∵∠COE＝2∠B＝72°＝∠CEO＝∠BCD， ∴CE＝OC＝r，BC＝BE＝OB+OE＝r+OE， ∴由得：OE2+r⋅OE﹣r2＝0， 解得：OEr，负值舍去； ∵△DAE∽△BCE， ∴， 而， 即． 故答案为：72，． 22．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是　60　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵AB＝OA＝OB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴弧的度数是60°． 故答案为60． 23．如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于 　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠D＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°， ∵AC＝2， ∴BC＝AC•tan60°＝2． 故答案为：2． 24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝29°，则∠D＝　61　°． 【答案】61． 【解答】解：如图，连接BC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝61°， ∴∠D＝∠ABC＝61°， 故答案为：61． 25．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝100°．若点D为⊙O上一点（不与点A，C重合），则∠ADC的度数为 　80°或100°　． 【答案】80°或100°． 【解答】解：当点D为优弧AC上一点时，如图， 则∠B+∠D＝180°， ∵∠ABC＝100°， ∴∠D＝80°； 当点D为劣弧AC上一点时，如图， 则∠D＝∠B＝100°， ∠ADC的度数为80°或100°． 故答案为：80°或100°． 26．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠BOD＝2∠BAD；③AC＝BD；④∠CAB＝∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO＝180°．其中正确命题的代号是 　①②③④　． 【答案】①②③④． 【解答】解：∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD，故①正确； ∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着， ∴∠BOD＝2∠BAD，故②正确； ∵， ∴AC＝BD，故③正确； ∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着， ∴∠CAB＝∠BDC，故④正确； 延长DO交⊙O于M，连接AM， ∵D、C、A、M四点共圆， ∴∠CDO+∠CAM＝180°， ∵∠CAM＞∠CAO， ∴∠CAO+∠CDO＜180°，故⑤错误； 故答案为：①②③④． 27．如图，在⊙O中，已知∠AOB＝80°，则∠ACB＝　40°　． 【答案】40°． 【解答】解：∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角， ∴， 故答案为：40°． 28．如图，将一块含30°角的直角三角板的锐角顶点A放在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E．则的度数为 　60°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OE，OD， ∵∠A＝30°， ∴∠EOD＝2∠A＝60°， ∴的度数是60°， 故答案为：60°． 29．如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝　15°　． 【答案】15° 【解答】解：设CD与⊙O相交于点E，连接BE， ∵BC＝BD， ∴∠C＝∠BDC＝25°， ∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝130°， ∵ED是⊙O的直径， ∴∠EBD＝90°， ∴∠BED＝90°﹣∠BDC＝65°， ∵四边形ABED是⊙O的内接四边形， ∴∠A＝180°﹣∠BED＝115°， ∴∠BDA＝∠CBD﹣∠A＝15°， 故答案为：15°． 30．如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径，连接OC，若点C为的中点，∠BCD＝140°，则∠ABC 的度数为 　70　°． 【答案】70． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于半圆O， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠BCD＝140°， ∴∠BAD＝40°， ∵点C为的中点， ∴∠BAC＝∠DAC＝20°， ∵AB是半⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°． 故答案为：70． 三．解答题（共30小题） 31．已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点． （1）如图，若△ABC为等边三角形，BM＝1，CM＝2，求AM的长； （2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BM＝a，CM＝b（其中b＞a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：延长MB至点E，使BE＝MC，连接AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形， ∴∠ABE＝∠ACM， 在△AEB和△AMC中 ， ∴△AEB≌△AMC， ∴∠AEB＝∠AMC， ∵∠AMC＝∠ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等）， ∴∠AEB＝∠ABC， ∵∠AME＝∠ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等）， 又∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠AEB＝∠AME＝60°， ∴△AEM是等边三角形， ∴AM＝ME＝MB+BE， ∵BE＝MC， ∴MB+MC＝MA＝1+2＝3． 即AM的长是3． （2）解：分为两种情况：①如图，AM（a+b）， 理由是：延长MB至点E，使BE＝MC，连AE， 由（1）知：∠ABE＝∠ACM， 在△ABE和△ACM中 ， ∴△ABE≌△ACM， ∴AM＝AE，∠E＝∠AMC， ∵∠AMC＝∠ABC＝45°，∠AMB＝∠ACB＝45°， ∴∠E＝∠AMB＝45°， ∴∠EAM＝90°， 在△EAM中，ME＝MB+BE＝MB+CM＝a+b，AE＝AM， 由勾股定理得：AM（a+b）， 即AM（a+b）． ②如图， 在CM上截取CN＝BM，连接AN， ∵∠ABM所对的弧和∠ACN所对的弧都是弧AM， ∴∠ABM＝∠ACN， 在△ABM和△ACN中 ， ∴△ABM≌△ACN（SAS）， ∴AM＝AN，∠BAM＝∠CAN， ∵∠BAC＝∠BAN+∠CAN＝90°， ∴∠BAN+∠BAM＝90°， ∴∠MAN＝90°， 则△MAN是等腰直角三角形， ∵MN＝CM﹣CN＝CM﹣BM＝b﹣a， 由勾股定理得：AM＝AN（b﹣a）， 即AM（b﹣a）． 即AM的长是（a+b）或（b﹣a）． 32．如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，，点E为OD上任意一点（不与O、D重合）． 求证：AE＝BE． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴∠AOE＝∠BOE， ∵OA、OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB， 在△AOE和△BOE中， ∴△AOE≌△BOE， ∴AE＝BE． 33．（1）如图（a），已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC、AD．求证：①∠BAD＝∠CAG；②AC•AD＝AE•AF； （2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其他条件不变． ①请你在图（b）中画出变化后的图形，并对照图（a），标记字母； ②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明： ①连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠AGC＝∠ADB＝90°． 又∵ACDB是⊙O内接四边形， ∴∠ACG＝∠B． ∴∠BAD＝∠CAG． ②连接CF， ∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB， ∴∠DAE＝∠FAC． 又∵∠ADC＝∠F， ∴△ADE∽△AFC． ∴． ∴AC•AD＝AE•AF． （2）①如图； ②两个结论都成立，证明如下： ①连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠ACB＝∠AGC＝90°． ∵GC切⊙O于C， ∴∠GCA＝∠ABC． ∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）． ②连接CF， ∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC， ∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG﹣∠GCF，∠E＝∠ACG﹣∠CAE． ∴∠ACF＝∠E． ∴△ACF∽△AEC． ∴． ∴AC2＝AE•AF（即AC•AD＝AE•AF）． 34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝4，求⊙O的直径． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点E，连接CE， ∵AD⊥BC，AC＝5，DC＝3， ∴AD4， ∵AB＝4， ∴在Rt△ABD中，sin∠B， ∴∠B＝45°， ∵AE是直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠E＝∠B＝45°， ∴AE5． ∴⊙O的直径为5． 35．如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求BC、AD的长； （2）求四边形ADBC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角）， 在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2， ∴BC4 ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠DCA＝∠BCD ∴， ∴AD＝BD， ∴在Rt△ABD中，AD＝BDAB＝3． 答：BC＝4，AD＝3． （2）∵四边形ADBC的面积＝S△ACB+S△ADB， ∴四边形ADBC的面积AC•BCAD•BD 2×4（3）2＝9+4． 答：四边形ADBC的面积是9+4． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC． （1）求证：四边形ABFC是菱形； （2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴AE⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， ∵AE＝EF， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵AC＝AB， ∴四边形ABFC是菱形． （2）设CD＝x．连接BD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， ∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2， ∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2， 解得x＝1或﹣8（舍弃） ∴AC＝8，BD， ∴S菱形ABFC＝8． ∴S半圆•π•42＝8π． 37．如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD＝40，AC＝20． （1）求弦AB的长； （2）求sin∠ABO的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵CD过圆心O，， ∴CD⊥AB，AB＝2AD＝2BD， ∵CD＝40，AC＝20，∠ADC＝90°， ∴AD20， ∴AB＝2AD＝40； （2）设圆O的半径为r，则OD＝40﹣r， ∵BD＝AD＝20，∠ODB＝90°， ∴BD2+OD2＝OB2，即202+（40﹣r）2＝r2， 解得，r＝25，OD＝15， ∴sin∠ABO． 38．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E． （1）若∠B＝70°，求∠D的读数． （2）若AB＝5，AC＝4，求DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵OD∥BC， ∴∠AOD＝∠B＝70°， ∵OA＝OD， ∴∠D＝∠OAD（180°﹣70°）＝55°． （2）∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC3， ∵OD∥BC， ∴∠AEO＝∠ACB＝90°， ∴OD⊥AC， ∴AE＝EC，∵OA＝OB， ∴OEBC＝1.5， ∴DE＝OD﹣OE＝1． 39．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F． （1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由； （2）若AE＝6，BE＝8，求EF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）BE平分∠ABC．（1分） 理由：∵CD＝AC， ∴∠D＝∠CAD． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB ∵∠EBC＝∠CAD， ∴∠EBC＝∠D＝∠CAD．（4分） ∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ACB＝∠D+∠CAD， ∴∠ABE＝∠EBC， 即BE平分∠ABC．（6分） （2）由（1）知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE． ∵∠AEF＝∠AEB ∴△BEA∽△AEF．（8分） ∴， ∵AE＝6，BE＝8． ∴EF．（10分） 40．已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线 （1）如图1，连接BD，若∠CDB＝60°，求证：AC是∠DAB的平分线； （2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC＝7，AB＝5，求线段AE的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵， ∴CD＝BD， ∵∠CDB＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴， ∴∠CAD＝∠BAC，即AC是∠DAB的平分线； （2）解：连接BD，在线段CE上取点F，使得EF＝AE，连接DF， ∵DE⊥AC， ∴DF＝DA， ∴∠DFE＝∠DAE， ∵， ∴CD＝BD，∠DAC＝∠DCB， ∴∠DFE＝∠DCB， ∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∵∠DFC+∠DFE＝180°， ∴∠DFC＝∠DAB， ∵在△CDF和△BDA中， ∴△CDF≌△BDA（AAS）， ∴CF＝AB＝5， ∵AC＝7，AB＝5， ∴AEAF（AC﹣CF）＝1． 41．如图所示，在△ABC中，已知D是BC边上的点，O为△ABD的外接圆圆心，△ACD的外接圆与△AOB的外接圆相交于A，E两点．求证：OE⊥EC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：如图，在上取点F，连接AF，BF，AO，BO，AD，AE，BE，则 ∵A，D，B，F共圆，A，D，E，C共圆 ∴∠AEC＝∠ADC＝∠F∠AOB ∵AO＝BO ∴ ∴∠AEO＝∠BEO∠AEB ∴∠CEO＝∠AEC+∠AEO（∠AOB+∠AEB）＝90° ∴OE⊥EC． 42．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：OB⊥DF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵A，C，D，F四点共圆， ∴∠BDF＝∠BAC， 又∵∠OBC（180°﹣∠BOC）＝90°﹣∠BAC， ∴OB⊥DF（直角三角形的性质）． 43．如图，△ABC中，AC＝AB，以AB为直径作半圆O，交AC于点E，交BC于点D． （1）如图1，求证：CD＝BD； （2）如图2，连接CO交半圆O于点F，若AB＝10，AE＝8，求CF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴CD＝BD； （2）解：延长CD交⊙O于点F， 根据切割线定理， CE•CA＝CF•CH， 2×10＝CF•（CF+10） 解得：CF＝35，CF＝﹣35（舍去） 44．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E． （1）求证：ID＝BD； （2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID＝6，AD＝x，DE＝y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心 ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI（2分） ∵∠CBD＝∠CAD ∴∠BAD＝∠CBD（3分） ∴∠BID＝∠ABI+∠BAD， ∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD， ∵∠IBD＝∠CBI+∠CBD， ∴∠BID＝∠IBD ∴ID＝BD；（5分） （2）解：∵∠BAD＝∠CBD＝∠EBD，∠D＝∠D ∴△ABD∽△BED（7分） ∴ ∴AD×DE＝BD2＝ID2（8分） ∵ID＝6，AD＝x，DE＝y ∴xy＝36（9分） 又∵x＝AD＞ID＝6，AD不大于圆的直径10 ∴6＜x≤10 ∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分） 说明：只要求对xy＝36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分． 45．已知，如图，△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D，过点P作PE∥AB交圆于E． 求证：（1）AC＝PE；（2）PB2＝PD•PA． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵PE∥AB， ∴ ∴∠BAP＝∠APE， ∵△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D， ∴∠CAP＝∠BAP ∴∠CAP＝∠APE， ∴， ∴， ∴AC＝PE； （2）∵∠CBP＝∠BAP，∠BPA＝∠BPA， ∴△PBD∽△PAB， ∴PB2＝PD•PA． 46．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证： （1）D是BC的中点； （2）△BEC∽△ADC； （3）AB•CE＝2DP•AD． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴D是BC的中点； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠ADB＝90°， 即∠CEB＝∠CDA＝90°， ∵∠C是公共角， ∴△BEC∽△ADC； （3）∵△BEC∽△ADC， ∴∠CBE＝∠CAD， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CBE， ∵∠ADB＝∠BEC＝90°， ∴△ABD∽△BCE， ∴， ∴， ∵∠BDP＝∠BEC＝90°，∠PBD＝∠CBE， ∴△BPD∽△BCE， ∴， ∵BC＝2BD，∴AB：AD＝2BD：BE， ∴， ∴AB•CE＝2DP•AD． 47．如图，已知⊙O2交⊙O1于A、B两点，且过⊙O1的圆心O1，AC是⊙O1的弦，直线CB交⊙O2于点D（异于A、B）．求证：DO1⊥AC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：连接AD，AO1，CO1，BO1； ∵AO1＝BO1， ∴弧AO1＝弧BO1，∠ADO1＝∠BDO1； 在⊙O1中，CO1＝BO1， ∴∠O1CB＝∠O1BC； ∵A，B，D，O1四点共圆， ∴∠O1BC＝∠O1AD＝∠O1CB； ∵O1D＝O1D，∠O1AD＝∠O1CB，∠ADO1＝∠BDO1， ∴△CDO1≌△ADO1； ∴AD＝CD，∠ADO1＝∠CDO1； ∴DO1⊥AC． 48．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点，连接PA、PB、PC、PD． （1）如图，设PD2＝x，当x＝　20﹣8　时，∠PAB＝60°； （2）若△PAD是等腰三角形，求PA的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点E作PE⊥AD于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝4， 若∠PAB＝60°，则需∠PAD＝30°， ∵AB是直径， ∴∠APB＝90°， ∴∠ABP＝30°， ∴PAAB＝2， ∴PEPA＝1， ∴AE， ∴DE＝AD﹣AE＝4， ∴PD2＝PE2+DE2＝20﹣8； 故答案为：20﹣8； （2）①当PA＝PD时， 此时P位于四边形ABCD的中心， 过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M， 则四边形EAMP是正方形， ∴PM＝PEAB＝2， ∵PM2＝AM•BM＝4， ∵AM+BM＝4， ∴AM＝2， ∴PA＝2， ②当PA＝AD时，PA＝4； ③当PD＝DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P． 连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G， 则△ADO≌△PDO， ∴DO⊥AP，AG＝PG， ∴AP＝2AG， 又∵DA＝2AO， ∴AG＝2OG， 设AG为2x，OG为x， ∴（2x）2+x2＝4， ∴x， ∴AG＝2x， ∴PA＝2AG； ∴PA＝2或4或． 49．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，∠BAD＝105°，． （Ⅰ）求∠BDC的大小； （Ⅱ）若⊙O的半径为3，求BC的长． 【答案】（Ⅰ）30°； （Ⅱ）3． 【解答】接：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠DCB+∠BAD＝180°， ∵∠BAD＝105°， ∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°， ∵∠DBC＝75°， ∴∠DCB＝∠DBC＝75°， ∴∠BDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°； （Ⅱ）∵∠BDC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝3． 50．如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM＝∠DAN，∠BCM＝∠DCN． 求证：（1）M为BD的中点； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明： （1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN＝∠DBC，∠DCN＝∠DBA． 又∵∠DAN＝∠BAM，∠BCM＝∠DCN， ∴∠BAM＝∠MBC，∠ABM＝∠BCM． ∴△BAM∽△CBM， ∴，即BM2＝AM•CM．① 又∠DCM＝∠DCN+∠NCM＝∠BCM+∠NCM＝∠ACB＝∠ADB， ∠DAM＝∠MAC+∠DAN＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝∠CDM， ∴△DAM∽△CDM， 则，即DM2＝AM•CM．② 由式①、②得BM＝DM， 即M为BD的中点． （2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP． ∴∠BCP＝∠PAB＝∠DAC＝∠DBC． ∵PC∥BD， ∴．③ 又∵∠MCB＝∠DCA＝∠ABD，∠DBC＝∠PCB， ∴∠ABC＝∠MCP． 而∠ABC＝∠APC， 则∠APC＝∠MCP， 有MP＝CM．④ 由式③、④得． 51．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点． （1）求∠D的度数； （2）求证：AC2＝AD•CE． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接OA，如图所示： ∵圆周角∠ABC与圆心角∠AOC所对的弧都为， ∴∠AOC＝2∠ABC，又∠ABC＝15°， ∴∠AOC＝30°， 又OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA75°， 又∠BAC＝45°，∠ABC＝15°， ∴∠ACB＝120°， ∴∠OCB＝∠ACB﹣∠ACO＝120°﹣75°＝45°， 又OC∥AD， ∴∠D＝∠OCB＝45°； （2）∵∠ABC＝15°，∠OCB＝45°， ∴∠AEC＝60°， 又∠ACB＝120°∴∠ACD＝60°， ∴∠AEC＝∠ACD＝60°， ∵∠D＝45°，∠ACD＝60°， ∴∠CAD＝75°，又∠OCA＝75°， ∴∠CAD＝∠OCA＝75°， ∴△ACE∽△DAC， ∴，即AC2＝AD•CE． 52．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°． ∵，∠BAC＝25°， ∴∠DCE＝∠BAC＝25°， ∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°． 53．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，∠CAB的角平分线AE交BC于点D，交半圆O于点E．若AB＝10，tan∠CAB，求线段BC和CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠C＝90°． ∵tan∠CAB， ∴． 设AC＝4k，BC＝3k， ∵AC2+BC2＝AB2，AB＝10， ∴（4k）2+（3k）2＝100． ∴k1＝2，k2＝﹣2（舍去）． ∴AC＝8，BC＝6． 过点D作DF⊥AB于F， ∵AD是∠CAB的角平分线， ∴CD＝DF． ∵∠DFB＝∠ACB＝90°，∠DBF＝∠ABC， ∴△DBF∽△ABC． ∴． 即． ∴CD． 54．如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠ABC＝∠BAC，则∠AOC与∠BOC相等吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：相等，理由如下： 圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC，∠BOC＝2∠BAC， ∵∠ABC＝∠BAC， ∴∠AOC＝∠BOC． 55．如图，⊙O与⊙P相交于B、C两点，BC是⊙P的直径，且把⊙O分成度数的比为1：2的两条弧，A是上的动点（不与B、C重合），连接AB、AC分别交⊙P于D、E两点． （1）当△ABC是锐角三角形（图①）时，判断△PDE的形状，并证明你的结论； （2）当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，请你分别在图②、图③中画出相应的图形（不要求尺规作图），并按图①标记字母； （3）在你所画的图形中，（1）的结论是否成立？请就钝角的情况加以证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△PDE是等边三角形，连DC． ∵弦BC把⊙O分成度数的比为1：2的两条弧， ∴的度数为120°， ∴∠BAC＝60° 又∵BC为⊙P的直径，∴∠BDC＝90°， 又∵∠A＝60°， ∴∠DCA＝30°， ∴∠DPE＝60° 又∵PD＝PE， ∴△PDE是等边三角形； （2）如图②、图③即为所画图形； （3）图②和图③中△PDE仍为等边三角形． 证明：如图③，连接BE、DC ∵BC为⊙P的直径， ∴∠BDC＝90° 又∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝30° 又∵四边形DBEC是⊙P的内接四边形， ∴∠DBE＝∠DCA＝30°，∠DPE＝60° 又∵PD＝PE， ∴△PDE是等边三角形． 56．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE． （1）求证：∠C＝∠BED； （2）如果AB＝10，tan∠BAD，求AC的长； （3）如果DE∥AB，AB＝10，求四边形AEDB的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A， ∴∠C+∠AOC＝90°； 又∵0C⊥AD， ∴∠OFA＝90°， ∴∠AOC+∠BAD＝90°， ∴∠C＝∠BAD． 又∵∠BED＝∠BAD， ∴∠C＝∠BED． （2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BAD， ∴tan∠C． 在Rt△OAC中，tan∠C，且OAAB＝5， ∴，解得． （3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE＝ED， 又∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠EDA，∴， ∴AE＝BD， ∴AE＝BD＝DE， ∴， ∴∠BAD＝30°， 又∵AB是直径，∴∠ADB＝90°， ∴BDAB＝5，DE＝5， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD， 过点D作DH⊥AB于H， ∵∠HAD＝30°，∴DHAD， ∴四边形AEDB的面积． 57．如图，等腰△ABC中，AC＝BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE＝BD+DE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：如图，在AE上截取AF＝BD，连接CF，CD； 在△ACF和△BCD中 ∴△ACF≌△BCD， ∴CF＝CD， ∵CE⊥AD于E， ∴EF＝DE， ∴AE＝AF+EF＝BD+DE． 58．如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D．延长DA交△ABC的外接圆于点F． （1）求证：FB＝FC； （2）若FA＝2，AD＝4，求FB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵A、C、B、F四点共圆 ∴∠FBC＝∠DAC 又∵AD平分∠EAC ∴∠EAD＝∠DAC 又∵∠FCB＝∠FAB（同弧所对的圆周角相等），∠FAB＝∠EAD ∴∠FBC＝∠FCB ∴FB＝FC； （2）解：∵∠BAC＝∠BFC，∠FAB＝∠FCB＝∠FBC ∴∠FCD＝∠BFC+∠FBC＝∠BAC+∠FAB＝∠FAC ∵∠AFC＝∠CFD， ∴△FAC∽△FCD ∴FA：FC＝FC：FD ∴FB2＝FC2＝FA•FD＝2636， ∴FB＝6． 59．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝25，AC＝7． （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长； （2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB， ∵AB是⊙O的直径且P是的中点， ∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°， 又∵在等腰三角形△APB中有AB＝25， ∴PA； （2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N， ∵P点为弧BC的中点， ∴OP⊥BC，∠OMB＝90°， 又因为AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠OMB， ∴OP∥AC， ∴∠CAB＝∠POB， 又因为∠ACB＝∠ONP＝90°， ∴△ACB∽△ONP ∴， 又∵AB＝25，AC＝7，OP， 代入得 ON， ∴AN＝OA+ON＝16， ∴在Rt△OPN中，有NP2＝OP2﹣ON2＝144 在Rt△ANP中 有PA20 ∴PA＝20． 60．如图，AB是⊙O的直径，，C在上，且不与A、M重合，MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，连CM． ①求证：ME＝MF； ②若AC＝6，BC＝8，求线段CM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连OM， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠MOB＝90°， ∴∠MCF∠MOB＝45°， ∴∠ECM＝45°，（2分） ∴MC平分∠ECF； 又∵EM⊥CE，MF⊥CB， ∴ME＝MF．（4分） （2）解：连接AM、BM； 由（1）得正方形EMFC，则MF＝FC＝CE， ∵， ∴AM＝BM， 又ME＝MF， ∴Rt△MBF≌Rt△MAE，（6分） ∴BF＝AE， ∴2BF＝BF+AE， ∴2BF＝BF+CF+AC＝8+6＝14， ∴BF＝7， ∴CF＝8﹣7＝1， ∴CMCF， ∴CM．（8分） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/2 14:05:40；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 学科网（北京）股份有限公司 $$