28.2 过三点的圆 同步练习 2025-2026学年冀教版九年级数学上册

28.2 过三点的圆 一、单选题 1．①直径是弦②弦是直径③半圆是弧④弧是半圆，以上说法中正确的是（　　 ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 2．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 4．下列命题中是真命题有 （ ） A．弦是直径 B．直径是弦 C．弧是半圆 D．半圆不一定是弧 5．如图，以C为圆心的圆过的中点 D，则（ ）． A．2 B．3 C． D． 6．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 7．为内与不重合的一点，则下列说法正确的是（     ） A．点到上任意一点的距离都小于的半径 B．上有两点到点的距离最小 C．上有两点到点的距离等于的半径 D．上有两点到点的距离最大 8．下列说法中，不正确的是（    ） A．圆是轴对称图形 B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 二、填空题 9．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 10．如图，图中的直径有 ，非直径的弦有 ；图中以为端点的弧中，优弧有 ，劣弧有 ． 11．直角三角形的两直角边是，，则此三角形的外接圆的半径是 ． 12．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，圆的对称中心是圆心，圆的对称轴是 ． 13．经过点、的圆的圆心轨迹是 ． 14．如图，圆内有条半径，共有 个扇形． 三、解答题 15．第十届亚运会在广东召开，有三名运动员分别下榻在、、三个宾馆，三个宾馆由三条道路相连，如图所示．    （1）为建一个公共活动场地到三个宾馆的距离相等．请用尺规作图方法作出点，使得点落在△内部．保留作图痕迹，不要求写作法． （2）如果，那么______． 16．如图，三角形是直角三角形，其中O为圆心．已知三角形面积是，求圆形面积． 17．已知点P、Q，且PQ＝4cm， （1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合． （2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来． 18．如图所示，是的直径，图中的弦有哪些？哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？ 19．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据直径和弦的关系判断说法①、②的正误； 再根据半圆和弧的关系判断说法③、④的正误，从而确定正确说法的个数. 【详解】根据直径和弦的定义可知：直径是弦，但弦不一定是直径，故①正确，②错误； 再根据半圆和弧的定义可知：半圆是弧，但弧不一定是半圆，故③正确，④错误； 综上所述：正确的有①、③，共2个. 故选D. 【点睛】本题考查圆的基础知识，掌握基础定义是解题的关键. 2．D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．由点、、、在同一条直线上，点在直线外，即可求解 【详解】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆， 点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：根据图形可知，直线是的边上的中垂线，点D在的边上的中垂线上， ∴点D是外心． 故选：A． 4．B 【分析】根据圆的弦、弧的概念判断即可． 此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念． 【详解】解：A、弦不一定是直径，原命题是假命题，不符合题意； B、直径是弦，是真命题，符合题意； C、弧不一定是半圆，原命题是假命题，不符合题意； D、半圆一定是弧，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 5．D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出以及，然后用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图示，连接， 在中，点D是的中点，则， ∴ ∴依据勾股定理可得：． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等的知识，熟悉相关性质是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 7．C 【分析】结合题意，画出图形，根据图形解答即可. 【详解】圆内的点到圆上的点的距离一定大于0，且小于直径（如图，PG＞半径），选项A错误； 过点O、P作⊙O的直径，交⊙O于点Q、G，则点Q到点P的距离最小，点G到点P的距离最大时，选项B、D错误； 以P为圆心，以⊙O的半径为半径画弧交⊙O于两点M、N，则M、N到P的距离等于⊙O的半径，选项C正确. 故选C． 【点睛】本题主要考查了圆内的点与圆上的点之间的距离的大小，可以结合图形进行理解． 8．C 【分析】根据轴对称图形的概念并结合圆的特点判断各选项，然后求解即可． 【详解】A、圆是轴对称图形，正确； B、圆的任意一条直径所在得直线都是圆的对称轴，正确； C、圆的任一直径所在的直线都是圆的对称轴，错误； D、经过圆心的任意直线都是圆的对称轴，正确， 故选：C． 【点睛】本题主要是考查圆的特征、轴对称图形的特征，注意，语言要严密，不能说成圆的直径就是圆的对称轴，因为对称轴是一条直线，直径是线段． 9．2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 10． 、 ，，，， ，，， 【分析】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 【详解】解：图中的直径有，非直径的弦有、；图中以A为端点的弧中，优弧有，，，，；劣弧有，，，． 故答案为：；、；，，，，；，，，． 【点睛】本题考查了圆的认识，关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 11． 【分析】利用勾股定理可以求得该直角三角形的斜边长为，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为和， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 12．过圆心的任一条直线 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念和性质．圆是轴对称图形，对称轴是一条直线，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴． 【详解】解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的对称轴是过圆心的任一条直线． 故答案为：过圆心的任一条直线． 13．线段的垂直平分线 【分析】要求作经过已知点和点的圆的圆心，则圆心应满足到点和点的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解． 【详解】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点和点的距离相等，即经过已知点和点的圆的圆心的轨迹是线段的垂直平分线． 故答案为：线段的垂直平分线． 【点睛】此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键． 14． 【分析】本题考查了扇形的基本概念，分析题意可知，根据其中一条半径为始边，得到的扇形的个数进行分析求解即可，解题的关键是正确理解扇形的基本概念． 【详解】由两条半径，和连接两条半径的一段弧组成的图形叫做扇形， 以其中一条半径为始边，可以找到个扇形，顺时针数有个，逆时针还有个， 图中有四条半径，应有，且有个重合， ∴可以把这个图分成个扇形， 故答案为：． 15．（1）作两边的垂直平分线，交点即为所求，见解析；（2）． 【分析】（1）分别作三角形两条边的垂直平分线，两条直线的交点即为所求； （2）根据（1）的作法，可以确定点P是△ABC的外接圆的圆心，再根据圆周角定理即可确定∠APB是∠ACB的2倍，即可求得结论． 【详解】解：（1）如图所示，点P即为所求    （2）由（1）可知PA=PB=PC，所以点A、B、C在以P为圆心，PA为半径的圆上，即A、B、C三点共圆， ∴∠APB与∠ACB是所对的圆心角和圆周角， ∴∠APB=2∠ACB， 又∵， ∴∠APB=． 故答案为：．    【点睛】本题考查垂直平分线的作法和定义，三角形外心定义、三角形外接圆、圆周角定理，难度中等． 16． 【分析】由图形可知△AOB是等腰直角三角形，根据三角形面积为10，可求半径，由此可求圆的面积． 【详解】解：∵OA=OB ∴△AOB是等腰直角三角形 ∵=10 ∴ ∴圆的面积为 答：圆的面积是 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，圆的面积公式等内容，题目比较简单，由图形得出△AOB是等腰直角三角形是解题关键． 17．(1)见解析；(2)见解析. 【分析】根据圆的定义即可解决问题； 【详解】解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm的点的集合图中⊙Q． （2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及圆的集合定义，就是到定点的距离等于定长的点的集合． 18．图中的弦有，，，图中的劣弧有，，图中的优弧有， 【分析】根据弦，优弧，劣弧的定义求解即可，连接圆上任意两点的线段叫做弦；所对圆心角大于的圆弧叫作优弧；所对圆心角小于的圆弧叫作劣弧． 【详解】解：图中的弦有，，， 图中的劣弧有，， 图中的优弧有，． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，弦、优弧、劣弧的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 19．见解析 【分析】本题考查了圆的半径相等．利用半径相等得到，则利用等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理得到，同理可得，则，然后根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $