八上数学第一次月考卷-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

2024-2025学年八上数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，勾股数是（    ） A．13，14，15 B．1，1， C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17 2．如图，在中，，则的长为（     ） A．6 B． C．24 D．2 3．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在实数，3，，，，4，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，方格纸中小正方形的边长为1．，两点在格点上，请在图中格点上找到点，使得的面积为2．满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 8．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 9．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 10．若，满足，那么（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．化简： ． 12．的平方根是 ；的立方根是 ． 13．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得， ，则A，B两点间的距离为 ． 14．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 ． 15．若，，那么的值为 . 16．如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ． 17．当时，化简： ． 18．如图，在长方形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．求下列各式中的值： (1) (2) 20．计算： (1)； (2)． 21．已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入? 22．已知的平方根是，的立方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 23．直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 24．阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 25．如图，已知在中，，，，点在线段上，且，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动．设点的运动时间为秒，连接．    (1)当时，求的长度； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 26．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！ 根据对话回答问题： (1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”） (2)已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________； (3)如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八上数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，勾股数是（    ） A．13，14，15 B．1，1， C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．欲判断是否为勾股数，首先判断是否整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； D、，是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，，则的长为（     ） A．6 B． C．24 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 故选：A ． 3．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式进行计算即可即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和立方根的性质、绝对值的性质、二次根式的加法，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 根据立方根的性质对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据绝对值的性质对C进行判断，根据二次根式的加法对D进行判断． 【详解】解：A．，本选项正确，符合题意； B．，本选项错误，不符合题意； C．，本选项错误，不符合题意； D．和不能合并，本选项错误，不符合题意； 故选：A． 5．在实数，3，，，，4，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知并运用无理数是无限不循环小数是解答本题的关键．直接利用无理数的定义：无理数是无限不循环小数，分析即可得到答案． 【详解】解∶在实数，3，，，，4，无理数有，，共2个， 故选∶A． 6．如图，，则数轴上点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理与实数．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，从而得出，再根据点A表示的数为，求出C点表示的数即可． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∵， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点C所表示的数为：． 故选：B． 7．如图，方格纸中小正方形的边长为1．，两点在格点上，请在图中格点上找到点，使得的面积为2．满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了网格与三角形面积，勾股定理，利用数形结合的思想解决问题是关键．由勾股定理可知，，再根据三角形面积找出与距离的格点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有6个； 故选：D． 8．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形面积，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示． ∴, ∴ ∴, 故选：C 9．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 10．若，满足，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、配方法等知识，先由二次根式有意义的条件得到，从而得到，，将恒等变形，代值求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件、配方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得， ， 此时，，则， ， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．化简： ． 【答案】 【分析】将分子、分母同乘即把分母中的根号化去，比较简单．，计算即可．本题主要考查二次根式的分母有理化． 【详解】解： 故答案为 12．的平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根．根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：的平方根是； 的立方根是， 故答案为：；． 13．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得， ，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】150 【分析】本题考查勾股定理的应用，直接利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 由勾股定理，得：； 故答案为：150． 14．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 ． 【答案】30 【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：，，即， 则，， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故答案为：30． 15．若，，那么的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，准确熟练利用题意计算是解题的关键． 根据被开方数的小数点向左移动两位，它的算术平方根的小数点只向左移动一位，即可解答． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：依题意，， ， ∴边上的高为， 故答案为：． 17．当时，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，去绝对值和二次根式的非负性，设，两边平方，并利用平方差公式进行整理化简，结合给定的范围即可去绝对值，根据非负性即可求得答案． 【详解】解：令，则 ， ∵， ∴， 则 ， ∵， ∴， 18．如图，在长方形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点最值，轴对称性质、三角形三边关系、勾股定理等知识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定线段的最小值情况．连接、，利用勾股定理得到，由三角形三边关系可知当、、三点共线时， 线段的值最小， 由对称性质可知，最后根据最小值情况求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 长方形中，，， ， 由三角形三边关系可知，即， 由对称性质可知， 当、、三点共线时， 线段的值最小， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：原方程整理得： ， 则； （2）解：原方程整理得： ， 则． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，实数的运算． （1）先算算术平方根，再算加减即可； （2）先算算术平方根，零指数幂，绝对值，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 21．已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入? 【答案】需要投入资金为7200元 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，连接BD，在直角三角形CBD中由勾股定理可求BC的长，在直角三角形ABD中可求得BA的长，由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解． 【详解】证明：连接BD ∵∠A=90°，∠CBD=90°， ∴△CBD，△ABD为直角三角形， 在Rt△CBD中， BC2 = CD2- BD2 ∴m 在△ABD中，AB2 =BD2-AD2 ∴AB=m ∴四边形ABCD面积 = S△BAD十S∆DBC=∙AD∙AB+∙DB∙ BC=m2， 36×200=7200（元） 所以需要投入资金为7200元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，得出△CBD，△ABD为直角三角形，用勾股定理求出BC，AB的长是解题的关键． 22．已知的平方根是，的立方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的估算，根据平方根和立方根求原数等等，先根据平方根的定义求出a的值，进而根据立方根的定义求出b的值，再由无理数的估算方法求出c的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：∵的平方根是 ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， ∴， ∵36的算术平方根是6， ∴的算术平方根6． 23．直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识．先根据勾股定理求出，由折叠可得：，，，进而求出，设，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两直角边，， ， 由折叠可得：，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ． 24．阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)正方形的面积为39 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算． （1）由正方形面积公式即可得到答案； （2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案； （3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； （2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； （3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 25．如图，已知在中，，，，点在线段上，且，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动．设点的运动时间为秒，连接．    (1)当时，求的长度； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4或 (3)或 【分析】（1）根据题意，得，当时，，进而勾股定理即可求解； （2）在中，，，勾股定理求得，若，则．若，则，在中，由勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论，①点在线段上时，如图，过点作于．②点P在线段的延长线上时，如图2，过点D作于E，结合图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 当时， 在中，， 由勾股定理，得． （2）在中，，， 由勾股定理，得． 若，则． 在中，由勾股定理，得， 解得 若，则，解得． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或 （3）①点在线段上时，如图，过点作于．    则． ． 平分，，， ，． ， ． 在中，由勾股定理，得， 解得 ②点在线段的延长线上时，如图，过点作于．    同①得， ， ， 在中，由勾股定理，得 解得 综上所述，在点的运动过程中，当平分时，的值为或 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． 26．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！ 根据对话回答问题： (1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”） (2)已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________； (3)如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积． 【答案】(1)正确 (2)2或 (3)周长为：，面积为：． 【分析】（1）将其三边长的平方写出来，看能否写成两边的平方等于第三边平方的两倍即可； （2）分三种情况讨论求解并进行验证即可； （3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将y、z用x表示，即可求出结果． 【详解】（1）解：设等边三角形三边长分别是a，b，c，则， ∴， ∴等边三角形是“类勾股三角形”， ∴小璐的说法正确， 故答案为：正确； （2）解：设另一边长为x， ①，解得，符合题意； ②，解得，符合题意； ③，无解； 故答案为：2或； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴周长为：， 面积为：． 【点睛】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$