专题03 位置与坐标（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题03位置与坐标思维导图 【类型覆盖】 类型一、用有序数对表示位置与路线 【解惑】教室里表示小明座位位置的数对是，表示小明前面一位同学座位位置的数对是．那么表示小明后面一位同学座位位置的数对是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，一方队正沿箭头所指的方向前进，点A的位置为三列四行，表示为，那么点B的位置为四列二行，可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知点在第四象限角平分线上，则a的值是 ． 3．如图，奥运福娃在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B、C、D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中 （1）B→D（ ， ）,C→ （-3，-4）； （2）若贝贝从A处去寻找妮妮的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋2，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出妮妮的位置E点． （3）在（3）中贝贝若每走1m需消耗1.5焦耳的能量,则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗多少焦耳的能量? 类型二、已知点所在的象限求参 【解惑】在平面直角坐标系中，第一象限内的点到轴的距离是5，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．8 【融会贯通】 1．已知在第四象限的点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．或 2．学校在少年宫南偏东 方向 处，则少年宫在学校 偏 方向，距离学校 处． 3．已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 类型三、用方向角和距离确定物体的位置 【解惑】根据下列表述，能确定具体位置的是（   ） A．电影城号厅排 B．贵州省遵义市 C．北纬，东经 D．南偏西 【融会贯通】 1．以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将轴绕点O逆时针依次旋转，，，…，后得到如图所示的“圆”坐标系，其中点B、C、D的坐标分别为、、，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是 ．    3．如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______； (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置； (3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示． 类型四、车牌、钟表、电子钟的镜面对称 【解惑】小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     【融会贯通】 1．小明从镜子里看到镜子对面的电子钟如图所示，则此时的实际时间是（        ）    A． B． C． D． 2．中，点，交轴于，交轴于．则的值为 ． 3．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    类型五、坐标与图形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为，以点为原点， 以的长为半径画弧，交 x轴的正半轴于点 A，则点A的横坐标介于（   ）      A．7 和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间 【融会贯通】 1．如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，且与全等，点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或或 2．如图，一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳到，然后接着按图中箭头所示方向跳动，即，且每秒跳动一个单位，那么第秒时跳蚤所在位置的坐标是 ． 3．已知的三个顶点位置分别是，，． (1)若，，求的面积； (2)如图，若顶点位于第二象限，且轴，与轴相交于点，当沿轴正半轴方向平移，得到，且与原重叠部分为，求阴影部分的面积； (3)若点到轴的距离为4，点，当，求点的坐标． 类型六、点坐标规律探索 【解惑】一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即]，且每秒跳动一个单位，那么第秒时跳蚤所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，小球从台球桌面上的点出发，撞击桌边发生反弹，反射角等于入射角，若小球以每秒个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第秒的小球所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如果点与关于轴对称，那么 ． 3．如图，在直角坐标系中，有一点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至乃处，，如此继续运动下去，设    (1)依次写出、、、、、的坐标：______． (2)计算的值，直接写出的值； (3)当时，写出的特征，直接写出的坐标． 类型七、轴对称中坐标与图形变化 【解惑】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点D是边上的点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，则的周长的最小值是 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为； (2)请画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标______； (3)为轴上一点，当的值最小时，请在图中找出点，并写出点的坐标．（保留找点的作图痕迹，不写作法） 类型八、轴对称中的最值问题 【解惑】如图，在中，点是边上的一点，，且的面积为10，则的周长的最小值是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【融会贯通】 1．如图，P是长方形内部的动点，，，的面积等于，则点P到、C两点距离之和的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．已知点在第一、三象限的角平分线上，则 ；若在第二、四象限的角平分线上，则 ． 3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 【一览众山小】 1．如果点和点关于直线对称，则的值是（    ） A． B． C． D．5 2．下列语句能确定物体具体位置的是（   ） A．东经，北纬 B．天安门广场右边 C．汽车站附近1000米 D．电影院第5排 3．在图中，学校大门位于点，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点( )．操场位于点( )，在大门的( )偏北( )°方向上． 4．如图，在下列正方形网格中，标注了射阳县城四个大型超市的大致位置（小方格的边长为个单位）．若用表示苏果超市的位置，用表示文峰超市的位置，则大润发超市的位置可表示为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，第个点为，后面依次为，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为 ．      6．请给下图建立平面直角坐标系，使文化馆的坐标为，超市的坐标为． (1)画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标； (2)在（1）的坐标系中，标出小明家，小刚家，学校的位置． 7．在平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，，，，，，，． (1)连接，，，，，描出它们的中点、、、、，并写出这些中点的坐标； (2)将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？ (3)根据你的发现，若某线段两端点的坐标分别为，，那么该线段的中点坐标为多少？ 8．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线a上一点．点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动；同时，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动，设运动的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动时，______，______（用含t的式子表示）； (2)当点P在线段上移动时，几秒后？ (3)若以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10，求点P的坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03位置与坐标思维导图 【类型覆盖】 类型一、用有序数对表示位置与路线 【解惑】教室里表示小明座位位置的数对是，表示小明前面一位同学座位位置的数对是．那么表示小明后面一位同学座位位置的数对是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查数对表示位置：第一个数字表示列，第二个数字表示行．结合小明在班级里的位置用数对表示是，所以小明是在第四列、第五行；他后面的同学应该与小明在同一列，即在第四列；在他的后面一行，即第六行；据此即可解答． 【详解】解：∵教室里表示小明座位位置的数对是， ∴表示小明前面一位同学座位位置的数对是 ∴表示小明后面一位同学座位位置的数对是； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，一方队正沿箭头所指的方向前进，点A的位置为三列四行，表示为，那么点B的位置为四列二行，可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，弄清题意，理解所给示例的表示方法解答本题的关键标． 根据的位置为三列四行，表示为，据此即可解答问题． 【详解】解：因为点A的位置为三列四行，表示为，点B的位置为四列二行， 所以应表示为． 故选：C． 2．已知点在第四象限角平分线上，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．根据第四象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在第四象限角平分线上， ， 解得， 故答案为： 3．如图，奥运福娃在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B、C、D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中 （1）B→D（ ， ）,C→ （-3，-4）； （2）若贝贝从A处去寻找妮妮的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋2，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出妮妮的位置E点． （3）在（3）中贝贝若每走1m需消耗1.5焦耳的能量,则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗多少焦耳的能量? 【答案】（1）+3，-2，A，（2）作图见解析；（3）22.5焦耳 【分析】（1）首先认真分析题意，理解题目所给的规则，再根据规则得出答案； （2）根据规则依次移动贝贝，故可得妮妮的位置； （3）计算贝贝走过的路程，再根据贝贝若每走1m需消耗1．5焦耳的能量，即可得出答案． 【详解】（1）B→D（+3，-2），C→A（-3，-4）； （2）如图， ； （3）|+2|+|+2|+|+2|+|-1|+|-2|+|+3|+|-1|+|-2| =2+2+2+1+2+3+1+2 =15 15×1.5=22.5（焦耳）， 答：则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗22.5焦耳的能量． 【点睛】本题考查了正负数在生活中的应用，解决本题的关键是弄清楚条件给出的规定． 类型二、已知点所在的象限求参 【解惑】在平面直角坐标系中，第一象限内的点到轴的距离是5，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据点的坐标定义、各象限内点的坐标特征即可解答． 【详解】解：第一象限内的点到轴的距离是5， ， ． 故选：C． 【融会贯通】 1．已知在第四象限的点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标．根据点P到两坐标轴的距离相等以及在第四象限可知，解方程可求出a值，再结合点P即可得答案． 【详解】解：∵第四象限的点的坐标为，点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故选：C 2．学校在少年宫南偏东 方向 处，则少年宫在学校 偏 方向，距离学校 处． 【答案】 北 西/西30度 【分析】此题主要考查了方向角与距离表示位置，根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图所示： 学校在少年宫南偏东方向处，则少年宫在学校北偏西30°方向，距离学校处． 故答案为：北，西30°；． 3．已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的横坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得：， 类型三、用方向角和距离确定物体的位置 【解惑】根据下列表述，能确定具体位置的是（   ） A．电影城号厅排 B．贵州省遵义市 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，逐项判断即可，熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． 【详解】解：A、电影城号厅排，不能确定具体位置，故本选项不合题意； B、贵州省遵义市，不能确定具体位置，故本选项不合题意； C、北纬，东经，能确定具体位置，故本选项符合题意； D、南偏西，不能确定具体位置，故本选项不合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将轴绕点O逆时针依次旋转，，，…，后得到如图所示的“圆”坐标系，其中点B、C、D的坐标分别为、、，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键．在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射线与x轴正半轴之间的夹角． 【详解】解：点A与圆心的距离为2，射线OA与x轴正方向之间的夹角为， 点A的坐标为 故选： 2．一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是 ．    【答案】浙A7936 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是找到对称轴，进而得出相应的结果． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可知图中所示车牌号应为浙A7936， 故答案为：浙A7936． 3．如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______； (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置； (3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示． 【答案】(1)，，， (2)目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站 (3)， 【分析】本题考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，理解题意、熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． （1）根据“目标C，F的位置表示为，”， 表示目标A，B，D，E的位置即可； （2）根据“目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站”，求出每一圈表示，观察图形，根据用方向角和距离确定物体的位置，写出目标A，B，D，E的实际位置即可； （3）根据“目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处”，观察图形并计算，写出G，H的位置表示即可． 【详解】（1）解：∵目标C，F的位置表示为，， ∴按照此方法表示：，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵，，目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站， ∴， 又∵，，，， ∴，，，， ∴目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站； （3）解：∵目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处， ∴，，，， ∴，． 类型四、车牌、钟表、电子钟的镜面对称 【解惑】小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     【答案】D 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有D与原图形成镜面对称． 故选：D． 【融会贯通】 1．小明从镜子里看到镜子对面的电子钟如图所示，则此时的实际时间是（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】解：根据题意，得实际时间为， 故选：C． 2．中，点，交轴于，交轴于．则的值为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质等知识，可以过点C分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则，，证明，得到，，从而得解． 【详解】解：过点C分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：4． 3．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    【答案】见解析 【分析】根据镜面对称的性质即可解答. 【详解】沿着镜面反射即可，如图所示．    【点睛】本题考查镜面对称，熟练掌握镜面对称的性质是解题关键. 类型五、坐标与图形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为，以点为原点， 以的长为半径画弧，交 x轴的正半轴于点 A，则点A的横坐标介于（   ）      A．7 和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理，无理数的估算，根据勾股定理求出线段的长是解题的关键．首先根据勾股定理求出，进而得出的长，再根据点A的位置得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， ∴． ∵点A在x轴的负半轴，以点为原点， 以的长为半径画弧， ∴点A的坐标是． ， ， 点A的横坐标介于6和5之间 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，且与全等，点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角坐标系中的轴对称问题，根据对称性分情况讨论即可，掌握数形结合的思路是解题的关键． 当，，时，对三种情况分析求解即可 【详解】解：当时，和关于轴对称，如下图所示： 点的坐标是， 当，过作，过点作，如上图所示， 边上的高与的边上高相等， ，， ， 点的坐标是， 当过作，如上图所示， 边上的高与的边上高相等， ，， ， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标是，或， 故选：D． 2．如图，一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳到，然后接着按图中箭头所示方向跳动，即，且每秒跳动一个单位，那么第秒时跳蚤所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律，通过观察可发现当n为奇数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；当n为偶数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；据此作答即可． 【详解】由题意得，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，， 当n为奇数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；当n为偶数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标； ∵没有一个整数的平方等于57，而离57较近的即为49， ∴当，解得， ∴表示49秒后跳蚤所在位置的坐标， ∴第57秒时跳蚤所在位置应前进8个单位， ∴坐标是， 故答案为：． 3．已知的三个顶点位置分别是，，． (1)若，，求的面积； (2)如图，若顶点位于第二象限，且轴，与轴相交于点，当沿轴正半轴方向平移，得到，且与原重叠部分为，求阴影部分的面积； (3)若点到轴的距离为4，点，当，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移性质，三角形的面积的计算，关键是正确确定组成图形关键点平移后对应点位置． （1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据梯形的面积公式即可得到结论； （3）当在轴的左侧时，设，当在轴的右侧时，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：，，， 的面积； （2）解：，， ， 是等腰直角三角形， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：由题意得，， 当在轴的左侧时，设， ， 解得：， 此时，或； 当在轴的右侧时，设， ， 解得：， 此时，或； 综上所述，或或或． 类型六、点坐标规律探索 【解惑】一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即]，且每秒跳动一个单位，那么第秒时跳蚤所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律，通过观察可发现当n为奇数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；当n为偶数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；据此作答即可． 【详解】解：由题意得，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，， 当n为奇数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；当n为偶数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标； ∵没有一个整数的平方等于2022，而离2022较近的即为2025， ∴当，解得， ∴表示秒后跳蚤所在位置的坐标， ∴第秒时跳蚤所在位置应后退2个单位， ∴坐标是， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图所示，小球从台球桌面上的点出发，撞击桌边发生反弹，反射角等于入射角，若小球以每秒个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第秒的小球所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，根据图形先画出小球运动的路径，结合小球运动速度，得出小球的运动为每16秒一个循环，根据，得出小球第50秒时所在位置与第2秒时所在位置相同，即可得出答案． 【详解】解：小球的运动路径如图所示： 沿小球的运动路径与网格格点的交点依次为： 小球第1秒时的位置， 第2秒时的位置， …， 根据解图可得：第16秒时，小球运动到点， 故小球的运动为每16秒一个循环， ， ∴小球第50秒时所在位置与第2秒时所在位置相同，为． 故选：A． 2．如果点与关于轴对称，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-轴对称，代数式求值，熟知关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在直角坐标系中，有一点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至乃处，，如此继续运动下去，设    (1)依次写出、、、、、的坐标：______． (2)计算的值，直接写出的值； (3)当时，写出的特征，直接写出的坐标． 【答案】(1)，，，，， (2)1008 (3)（m为自然数）， 【分析】本题考查坐标规律，数字规律，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系结合各点横坐标即可得出答案； （2）根据，，进而得出答案；根据，，…，，…，，进而得出答案； （3）观察规律得点，进一步求出结论． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系结合各点横坐标，得： ，，，，，， 故答案为：，，，，，． （2）解：∵，， ∴； ∵，，…，，…， ∵， ∴， ， ∴． （3）解：观察每组中的点的坐标可发现： 第1组中第2个点为中，，记作， 第2组中第2个点为中，，记作， 第3组中第2个点为中，，记作， 总结规律：点， 当时，则（m为自然数）， ， 点，即． 类型七、轴对称中坐标与图形变化 【解惑】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的对称性，掌握平面直角坐标系中点的对称性知识是解题的关键．点关于轴对称的点的坐标的特点是横坐标不变，纵坐标变为相反数，由此即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可． 【详解】解：∵图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，点D是边上的点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，则的周长的最小值是 【答案】8 【分析】 本题考查三角形的折叠及勾股定理解三角形，轴对称的性质，解题的关键是找到最小距离和的点． 连接，交于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，的值最小，即可得出此时的周长最小，最小值是，先求出和长，代入求出即可． 【详解】 解：连接，交于M， ∵， ∴， ∵沿折叠C和E重合， ∴， ∴，垂直平分，即C和E关于对称，， ∴当P和D重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值是， ∴的周长的最小值是． 故答案为8． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为； (2)请画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标______； (3)为轴上一点，当的值最小时，请在图中找出点，并写出点的坐标．（保留找点的作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据，两点坐标，确定平面直角坐标系即可． （2）分别作出，，的对应点，，即可解决问题． （3）连接交轴于，连接，点即为所求作． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： ； （2）解：如图所示： ； 故答案为：； （3）解：点如图所示： ． 类型八、轴对称中的最值问题 【解惑】如图，在中，点是边上的一点，，且的面积为10，则的周长的最小值是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作，作点关于直线对称点，交于，连接，交于，由已知得出，由三角形面积得出，从而得出，表示出的周长，得出要使周长最小，则需点与重合，即点、、共线，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作，作点关于直线对称点，交于，连接，交于， ， ∵， ∴，， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的周长， ∴要使周长最小，则需点与重合，即点、、共线，如图所示， ， 由勾股定理得：， ∴周长最小值为， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，P是长方形内部的动点，，，的面积等于，则点P到、C两点距离之和的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】先根据三角形的面积求出中边上的高，过作 的平行线，找点关于直线的对称点，推出的最小值即为的长即可． 【详解】解：设中边上的高是． ，， ， ， 动点在与平行且与的距离是3的直线上， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 则， 的最小值就是的长， 与关于直线对称， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，解答时涉及三角形的面积、轴对称的性质、线段和最短问题，将两条线段和最短的问题转化为一条线段的长是解题的关键． 2．已知点在第一、三象限的角平分线上，则 ；若在第二、四象限的角平分线上，则 ． 【答案】 2 1 【分析】本题主要考查的是坐标与图象的性质，明确第一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相同；第二、四象限的角平分线上个点的横纵坐标互为相反数是解题的关键，根据第一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相同；第二、四象限的角平分线上个点的横纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得； ∵在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得， 故答案为：2，1． 3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 【答案】（） ；（） ；（） ；【拓展延伸】:． 【分析】（）作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，，求出直线的解析式为，联立求解即可； （）点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小，要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于，设，则，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，由勾股定理和两点之间线段最短即可求解； 【拓展延伸】：直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为，由勾股定理即可求解． 【详解】（）∵在中，，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，， ∵直线经过点， ∴直线的解析式为, 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； （）解：点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小， ∴，，， ∴要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于， 设，则， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∴， 故点的坐标为：， 故答案为：； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为； 【拓展延伸】：如图所示， 直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为， ∵，， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短问题，垂线段最短，两点之间线段最短，直角三角形度角的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，一次函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【一览众山小】 1．如果点和点关于直线对称，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化对称，根据两点关于直线对称，可求出，的值，进而解决问题． 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以，， 则，， 所以． 故选：C． 2．下列语句能确定物体具体位置的是（   ） A．东经，北纬 B．天安门广场右边 C．汽车站附近1000米 D．电影院第5排 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用坐标确定位置，熟练掌握其概念是解决本题的关键． 根据坐标可以表示位置即可得出结论． 【详解】解：对于BCD选项的描述都不能确定物体的具体位置，A选项的描述能确定物体具体位置． 故选：A． 3．在图中，学校大门位于点，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点( )．操场位于点( )，在大门的( )偏北( )°方向上． 【答案】 东 【分析】此题考考查了用有序数对确定位置，方向角等知识，根据图形进行解答即可． 【详解】解：在图中，学校大门位于点，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点．操场位于点，在大门的东偏北方向上． 故答案为：，，东， 4．如图，在下列正方形网格中，标注了射阳县城四个大型超市的大致位置（小方格的边长为个单位）．若用表示苏果超市的位置，用表示文峰超市的位置，则大润发超市的位置可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标位置的确定，根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以得到大润发超市位置所在的坐标．解题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系． 【详解】解：由题意可得，如图所示的平面直角坐标系， ∴大润发超市的位置可表示为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，第个点为，后面依次为，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为 ．      【答案】 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，从“”方向考虑斜边上点的个数的变化规律解答是解题的关键． 根据“”方向，按照三角形斜边方向上的点的个数为连续自然数求出总个数的表达式，并且第奇数排从横坐标为1开始，第偶数排到最后一个点的横坐标为1结束，然后求出与第110个点最接近的点，然后确定答案即可． 【详解】解：从直角三角形斜边考虑，斜边上的点的个数分别为1、2、3、4、， 所以点的总个数为： ， 当时，， 所以第110个点是当时的第5个点， 即第15个斜边上点为： ，，，， 所以第110个点的坐标为． 故答案为：． 6．请给下图建立平面直角坐标系，使文化馆的坐标为，超市的坐标为． (1)画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标； (2)在（1）的坐标系中，标出小明家，小刚家，学校的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了建立平面直角坐标系和点的坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先建立合适的坐标系，再表示出所求点的坐标即可； （2）直接在坐标系中标出各点即可． 【详解】（1）解：画坐标轴如图所示，火车站，体育场，医院； （2）解：如图所示． 7．在平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，，，，，，，． (1)连接，，，，，描出它们的中点、、、、，并写出这些中点的坐标； (2)将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？ (3)根据你的发现，若某线段两端点的坐标分别为，，那么该线段的中点坐标为多少？ 【答案】(1)，，，， (2)见解析，中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标和的一半，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标和的一半 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标 为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数． （）根据坐标的确定方法：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各个点的坐标； （）根据（）中的坐标与中点坐标找到规律； （）利用（）中的规律进行答题即可； 【详解】（1）解：如图，各中点的坐标分别是，，，，； （2）对于点的坐标来说：，； 对点来说：，； 对点来说：，； 对点来说：，； 对点来说：，； 由此发现中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标和的一半，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标和的一半； （3）若某线段两端点的坐标分别为，， 那么该线段的中点坐标为． 8．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线a上一点．点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动；同时，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动，设运动的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动时，______，______（用含t的式子表示）； (2)当点P在线段上移动时，几秒后？ (3)若以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)秒后 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形，一元一次方程的实际应用，代数式表示式． （1）根据题意得：，，由即可解答； （2）根据题意先表示出和的长，再列式即可； （3）对于点的不同位置分类讨论列式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：点P在线段上运动，点，， ，， ，， ； （2）解：设秒后， 由题意得：，则，， ∴，解得：， ∴当点P在线段上移动时，秒后； （3）解：设点P的坐标为， ①当点在轴右侧时： ∵以A，O，Q，P为顶点的四边形为直角梯形，， ∴，此时点P运动时间为：， ∴此时， ∵以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10， ∴，解得：， ∴； ②当点在轴左侧时： ∵以A，O，Q，P为顶点的四边形可分为两个直角三角形，， ∴，，此时点P运动时间为：， ∴， ∴，解得：， ∴， 综上，点P的坐标为或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$