【每日一练】2024-2025学年苏科版九年级数学上册第二周

第二周 周一 有关圆的概念 1．下列说法中，①半圆是弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤确定半径则确定圆．其中错误的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 2．下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，图中有 　 　条直径，　 　条弦，以点A为端点的优弧有 　 　条，劣弧有 　 　条． 4．如图，已知正方形ABCD、正方形BEFG，点A、B、E在半圆O所在圆的直径上，点D、C、F在半圆O上，若EF＝4，则该半圆所在圆的半径为 　 　． 5．如图，点A、C和B都在⊙O上，且AC∥OB，BC∥OA （1）求证：四边形ACBO为菱形； （2）求∠ACB的度数． 【拓展思考】 6．如图a，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A，B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q． （1）如图b，当点P在半径OA上时，若QP＝QO，求∠OCP的度数． （2）当点P在直线l上其他位置时，是否还存在∠OCP使得QP＝QO？若存在，请求出∠OCP的度数；若不存在，请说明理由． 第二周 周二 点与圆的位置关系 1．已知⊙O的半径为4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 2．已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（　　） A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（　　） A．8＜r＜10 B．6＜r＜8 C．6＜r＜10 D．2＜r＜14 4．如图，点A、B的坐标分别为A（6，0），B（0，8），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 　 　． 5．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm． （1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　 　． 6．某矿区爆破时，导火索燃烧的速度是0.9cm/s，点导火索的工程人员需要跑到距离爆破点120m以外的安全区域．如图，点O处是炸药，OA为导火索，长度为18cm，工程人员在A处点燃导火索后，便迅速向安全区域跑出． （1）如果你是工程人员，你应朝哪个方向跑，才能最快到达安全区域？画出示意图； （2）当工程人员跑的速度是6.5m/s时，他是否安全？为什么？ 【拓展思考】 7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论． 第二周 周三 圆心角、弧、弦间的关系 1．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧分别为，，，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．无法确定 2．如图是小明完成的．作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB．当C点在半圆上移动时（C点不与A、B重合），∠OCD的平分线与⊙O的交点必（　　） A．平分弧AB B．三等分弧AB C．到点D和直径AB的距离相等 D．到点B和点C的距离相等 3．（1）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆心角是 　 　． （2）在圆中，与半径相等的弦所对的弧的度数为 　 　． 4．如下（左）图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点M，且OM＝CM．求证：3． 5．如上（右）图，已知在⊙O中，OA⊥OB，∠A＝35°，求和的度数． 【拓展思考】 6．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF． （1）求证：△BFG≌△CDG； （2）若AD＝BE＝4，求BF的长． 第二周 周四 垂径定理 1．如下图（左），⊙O的半径为13，弦AB＝24，OC⊥AB于点C．则OC的长为（　　） A．.10 B．.6 C．.5 D．.12 2．如上图（右），半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（　　） A．﹣3 B．3 C．4 D．6 3．如下图（左），AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为　 　． 4．如上图（右）所示，一圆弧过方格的格点A、B，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 　 　． 5．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD． 【拓展思考】 6．新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 第二周 周五 垂径定理的应用 1．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如下图（左）所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 2．高速公路的隧道和桥梁最多，如上图（右）是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（　　） A．5米 B．米 C．6米 D．米 3．如下图（左），某圆弧形拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝5m，则该拱桥的半径为 　 　m． 4．蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如上图（右）所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为　 　m． 5．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径． 【拓展思考】 6．如图，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位时水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m．如果水面到拱顶的距离小于3.8m，需要采取紧急措施以防流水对桥的危害．现洪水经过，测得水面宽MN＝32m，此时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二周 周一 有关圆的概念 1．下列说法中，①半圆是弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤确定半径则确定圆．其中错误的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 【分析】根据圆有关定义，以及根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；等弧是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，过三点的圆等知识分别判断得出答案即可． 【解答】解：①根据半圆是弧，故此选项说法正确，不符合题意； ②由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，故此选项说法正确，不符合题意； ③过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项说法错误，符合题意； ④长度相等的弧是等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项说法错误，符合题意； ⑤确定半径和圆心则确定圆，故此选项说法错误，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义是解题关键． 2．下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义一一判断即可． 【解答】解：①优弧比劣弧长，不一定，在同圆或等圆中结论成立，故①错误． ②三点可以确定一个圆，错误，应该是过不在同一直线上的三个点确定一个圆．故②错误． ③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误． ④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，故④正确． 故选：C． 【点评】本题考查等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 3．如图，图中有 　一　条直径，　三　条弦，以点A为端点的优弧有 　四　条，劣弧有 　十三　条． 【分析】根据直径、弦、优弧和劣弧的定义写出答案即可． 【解答】解：圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有13条， 故答案为：一，三，四，十三． 【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是能够了解圆内有关的定义． 4．如图，已知正方形ABCD、正方形BEFG，点A、B、E在半圆O所在圆的直径上，点D、C、F在半圆O上，若EF＝4，则该半圆所在圆的半径为 　4　． 【分析】先根据正方形的性质得BC＝AD，则利用勾股定理可证明OA＝OB，设OB＝x，则OE＝x+4，AD＝2x，再根据勾股定理，在Rt△AOB中有OD2＝OA2+AD2＝5x2，在Rt△OEF中有OF2＝OE2+EF2＝（x+4）2+42，则（x+4）2+42＝5x2，然后解方程得到x＝4，再利用ODx进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OD、OC、OF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝AD， 而OD＝OC，OA，OB， ∴OA＝OB， 设OB＝x，则OE＝x+4，AD＝AB＝2x， 在Rt△AOD中，OD2＝OA2+AD2＝x2+（2x）2＝5x2， 在Rt△OEF中有OF2＝OE2+EF2＝（x+4）2+42， 而OD＝OF， ∴（x+4）2+42＝5x2， 整理得x2﹣2x﹣8＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣2（舍去）， ∴ODx＝4， 即该圆的半径为4． 【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用、一元二次方程的应用及正方形的性质，难度中等，是一道比较典型的圆的计算题．解答的关键是利用数形结合思想，设出适当的未知数，借助方程知识进行解答． 5．如图，点A、C和B都在⊙O上，且AC∥OB，BC∥OA （1）求证：四边形ACBO为菱形； （2）求∠ACB的度数． 【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； （2）根据等边三角形的性质解答． 【解答】（1）证明：∵AC∥OB，BC∥OA， ∴四边形ACBO为平行四边形， ∵OA＝OB， ∴四边形ACBO为菱形； （2）解：连接OC， ∵四边形ACBO为菱形， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠ACO＝60°， 同理∠BCO＝60°， ∴∠ACB＝120°． 【点评】本题考查的是圆周角定理和菱形的性质，掌握圆周角定理、菱形的性质定理是解题的关键． 【拓展思考】 6．如图a，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A，B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q． （1）如图b，当点P在半径OA上时，若QP＝QO，求∠OCP的度数． （2）当点P在直线l上其他位置时，是否还存在∠OCP使得QP＝QO？若存在，请求出∠OCP的度数；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设∠QPO＝x，由QO＝QP得到∠QPO＝∠QOP＝x，再根据三角形内角和定理得∠Q＝180°﹣2x，由OQ＝OC，得出∠C＝180°﹣2x，再根据三角形外角性质得∠OPQ＝∠C+∠POC，得180°﹣2x+30°＝x，求得x的值，进而即可求得∠OCP的度数． （2）分类讨论：如图2，设∠QOC＝x，则∠QOP＝x+30°，由QO＝QP得到∠QPO＝∠QOP＝x+30°，再根据三角形外角性质得∠QCO＝∠COP+∠CPO＝x+60°，而OQ＝OC，所以∠OQC＝∠OCQ＝x+60°，然后根据三角形内角和定理得x+x+60°+x+60°＝180°，解得x＝20°，再利用∠OCP＝∠QOC+∠OQC进行计算即可；当点Q在C点时，则∠OCP＝120°；利用同样的方法，解决如图3的情况． 【解答】解：（1）如图1，设∠QPO＝x， ∵PQ＝QO， ∴∠QOP＝∠QPO＝x， ∴∠Q＝180°﹣2x， ∵OQ＝OC， ∴∠C＝180°﹣2x， ∵∠OPQ＝∠C+∠POC， ∴180°﹣2x+30°＝x，解得x＝70°， ∴∠OCP＝180°﹣2×70°＝40°； （2）存在， 如图2，设∠QOC＝x，则∠QOP＝x+30°， ∵QO＝QP， ∴∠QPO＝∠QOP＝x+30°， ∴∠QCO＝∠COP+∠CPO＝30°+x+30°＝x+60°， ∵OQ＝OC， ∴∠OQC＝∠OCQ＝x+60°， ∴x+x+60°+x+60°＝180°，解得x＝20°， ∴∠OCP＝∠QOC+∠OQC＝20°+20°+60°＝100°； 当点Q在C点时，易得∠OCP＝120°； 如图3，设∠QPO＝x， ∵PQ＝QO， ∴∠QOP＝∠QPO＝x， ∴∠CQO＝2x， 而OC＝OQ， ∴∠C＝2x， ∵∠AOC＝∠APC+∠C， ∴x+2x＝30°，解得x＝10°， ∴∠OCP＝2x＝20°． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质． 第二周 周二 点与圆的位置关系 1．已知⊙O的半径为4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）． 【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点P在圆内． 故选：A． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键． 2．已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（　　） A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部 【分析】解一元二次方程根，据点与圆的关系直接判定即可得到答案． 【解答】解：解方程x2﹣4x﹣5＝0可得，x1＝5，x2＝﹣1， ∵点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根， ∴d＝5＜8， ∴点P在⊙O的内部， 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半径关系判断点与圆的关系． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（　　） A．8＜r＜10 B．6＜r＜8 C．6＜r＜10 D．2＜r＜14 【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CD＝6， 则BD＝BC﹣CD＝14﹣6＝8，， ∵点A恰在⊙D外，点B在⊙D内， ∴8＜r＜10． 故选：A． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r． 4．如图，点A、B的坐标分别为A（6，0），B（0，8），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 　　． 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝6，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝8，OD＝6，∠BOD＝90°， ∴BD＝10， ∴CD＝11， ∴OMCD，即OM的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标和图形的性质，点和圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 5．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm． （1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　6cm＜r＜10cm　． 【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【解答】解：（1）如图，连接AC， ∵AB＝6cm，AD＝8cm， ∴AC＝10cm， ∵⊙A的半径为6cm长， ∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外； （2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm． 故答案为：6cm＜r＜10cm． 【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 【拓展思考】 6．某矿区爆破时，导火索燃烧的速度是0.9cm/s，点导火索的工程人员需要跑到距离爆破点120m以外的安全区域．如图，点O处是炸药，OA为导火索，长度为18cm，工程人员在A处点燃导火索后，便迅速向安全区域跑出． （1）如果你是工程人员，你应朝哪个方向跑，才能最快到达安全区域？画出示意图； （2）当工程人员跑的速度是6.5m/s时，他是否安全？为什么？ 【分析】（1）根据点和圆的位置关系即可判断； （2）首先求得导火线燃烧的时间，然后求得人在这一时间内所能跑的路程，再根据点和圆的位置关系判断是否在安全地区． 【解答】解：（1）如图， 沿虚线方向跑才能最快到达安全区域； （2）点导火索的人非常安全．理由如下： 导火索燃烧的时间为 18÷0.9＝20（s）， 导火索燃烧完工程人员跑的路程为 6.5×20＝130（m）． 因为130＞120， 所以当工程人员跑的速度是 6.5m/s时，他是安全的． 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，根据点和圆的位置关系和数量关系之间的联系作出判断是解题的关键． 7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论． 【分析】连接BD，在△ABD中，利用勾股定理求得BD的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形即可证得． 【解答】解：A、B、C、D在同一个圆上． 证明：连接BD． 在直角△ABD中，BD10， 在△BCD中，∵82+62＝100，即BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形． ∴B、C、D在以BD为直径的圆上． 又∵△ABD是直角三角形，则A、B、D在以BD为直径的圆上． ∴点A、B、C、D在以BD为直径的圆上． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 第二周 周三 圆心角、弧、弦间的关系 1．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧分别为，，，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．无法确定 【分析】在上截取，如图，则，所以AB＝EM，CD＝MF，然后根据三角形三边之间的关系进行判断． 【解答】解：在上截取，如图， ∵， ∴， ∴AB＝EM，CD＝MF， ∵EM+MF＞EF， ∴AB+CD＞EF． 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边之间的关系． 2．如图是小明完成的．作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB．当C点在半圆上移动时（C点不与A、B重合），∠OCD的平分线与⊙O的交点必（　　） A．平分弧AB B．三等分弧AB C．到点D和直径AB的距离相等 D．到点B和点C的距离相等 【分析】先求出∠DCE＝∠ECO，再利用内错角相等，两直线平行的OE∥CD，再利用角的平分线的性质可解． 【解答】解：设∠OCD的平分线与⊙O的交点为E，连接OE，∵OE＝OC，∴∠E＝∠ECO，∵∠DCE＝∠ECO，∴OE∥CD，∵CD⊥AB，∴OE⊥AB，∴有弧AE＝弧BE，所以点E是弧AB的中点． 故选：A． 【点评】本题利用了：1、等边对等角，2、内错角相等，两直线平行，3、角的平分线的性质求解． 3．（1）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆心角是 　90°　． （2）在圆中，与半径相等的弦所对的弧的度数为 　60°或300°．　． 【分析】（1）AB，OA＝OB＝1，则AB2＝OA2+OB2，根据勾股定理的逆定理得到△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°． （2）画出符合题意的几何图形，证明△OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数． 【解答】解：（1）如图，在⊙O中，AB，OA＝OB＝1， ∴AB2＝OA2+OB2， ∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°， 即长度等于的弦所对的圆心角是90°． 故答案为：90°． （2）如图， ∵OA＝OB＝AB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°． ∴的度数为60°， ∴弦AB所对的优弧的度数为300°， 故答案为：60°或300°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理的逆定理，利用了等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键． 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点M，且OM＝CM．求证：3． 【分析】连接OC，OD．根据等腰三角形的性质及圆心角、弧、弦、弦心距四者关系可得结论． 【解答】证明：连接OC，OD． ∵CM＝OM， ∴∠C＝∠COB， ∴∠OMD＝∠COB+∠C＝2∠COB． ∵OC＝OD， ∴∠C＝∠D． ∵∠D+∠OMD＝∠AOD， ∴∠AOD＝3∠COB， ∴． 【点评】本题侧重考查关圆心角、弧、弦、弦心距四者关系、等腰三角形的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 5．如图，已知在⊙O中，OA⊥OB，∠A＝35°，求和的度数． 【分析】连接OC，根据三角形内角和定理可得∠AOB＝90°和∠OBC的度数，又得∠DOC的度数，根据弧的度数等于所对圆心角的度数，可得结论． 【解答】解：连接OC， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵∠A＝35°， ∴∠OBC＝90°﹣35°＝55°， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝55°， ∴∠COB＝70°， ∴∠COD＝90°﹣70°＝20°， ∴的度数为20°，的度数为70°， 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【拓展思考】 6．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF． （1）求证：△BFG≌△CDG； （2）若AD＝BE＝4，求BF的长． 【分析】（1）首先利用已知条件和垂径定理证明CD＝BF，然后根据AAS证明△BFG≌△CDG； （2）连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解． 【解答】（1）证明：∵C是 中点， ∴， ∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB， ∴， ∴， ∴CD＝BF， 在△BFG和△CDG中， ， ∴△BFG≌△CDG（AAS）； （2）解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r， Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣42， Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣4）2， ∵， ∴， ∴BD＝CF， ∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2， 即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]， 解得：r＝2（舍）或6， ∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48， ∴BF＝4． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 第二周 周四 垂径定理 1．如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，OC⊥AB于点C．则OC的长为（　　） A．.10 B．.6 C．.5 D．.12 【分析】先利用垂径定理得到AC＝BC＝12，然后利用勾股定理计算OC的长． 【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝12， ∴AC＝BCAB24＝12， ∵⊙O的半径为13， ∴在Rt△OAC中，OA＝13， ∴OC5． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理的应用是解题的关键． 2．如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（　　） A．﹣3 B．3 C．4 D．6 【分析】过A作AD⊥BC于D，连接AB，根据点B和点C的坐标求出BC，再根据垂径定理求出BD＝CD＝4，根据勾股定理求出AD即可． 【解答】解：过A作AD⊥BC于D，连接AB， ∵半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10）， ∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2， ∵AD⊥BC，AD过圆心A， ∴CD＝BD＝4， 由勾股定理得：AD3， ∴点A的横坐标是3， 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能根据垂径定理求出BD＝CD＝4是解此题的关键． 3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为　5　． 【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【解答】解：连接OC， 设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2， ∵CD⊥AB， ∴CECD＝4， 由勾股定理得，OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣2）2+42， 解得，R＝5， 则⊙O的半径为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 4．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 　（﹣1，1）　． 【分析】先根据点A的坐标建立坐标系，再根据圆心一定是线段AB和线段AC垂直平分线的交点进行画图求解即可． 【解答】解：如图所示，建立坐标系， 由图可知该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）， 故答案为：（﹣1，1）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，确定圆心的位置，熟知圆心一定在圆中弦的垂直平分线上是解题的关键． 5．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD． 【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH，而OC＝OD，由等腰三角形三线合一的性质得OH平分CD，然后即可证得AC＝BD． 【解答】证明：作OH⊥AB于H，如图， 则AH＝BH， ∵OC＝OD，OH⊥AB， ∴CH＝DH， ∴CH﹣AH＝DH﹣BH， 即AC＝BD． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形三线合一的性质． 【拓展思考】 6．新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD＝OE，即可判定矩形ADOE是正方形； （2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠BAC∠BOC＝45°，∠ACD∠AOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论． 【解答】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°， ∴四边形ADOE是矩形， ∵AB，AC是⊙O的等垂弦， ∴AB＝AC， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AEAC，ADAC， ∴AE＝AD， ∴矩形ADOE是正方形． （2）证明：设AB交CD于点E，连接AC， ∵OD⊥OA，OC⊥OB， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°， ∴∠AOB＝∠COD， ∴AB＝CD， ∵∠BAC∠BOC＝45°，∠ACD∠AOD＝45°， ∴∠BEC＝∠ACD+∠BAC＝90°， ∴AB⊥CD， ∵AB＝CD，AB⊥CD， ∴AB，CD是⊙O的等垂弦． 【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 第二周 周五 垂径定理的应用 1．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可． 【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝24cm， ∴BDAB＝12（cm）， ∵⊙O的直径为26cm， ∴OB＝OC＝13（cm）， 在Rt△OBD中，OD5（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm）， 即水的最大深度为8cm， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 2．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（　　） A．5米 B．米 C．6米 D．米 【分析】设⊙O的半径是r米，由垂径定理，勾股定理，列出关于r的方程，即可求解． 【解答】解：设⊙O的半径是r米， ∵CD⊥AB， ∴ADAB＝4（米）， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（8﹣r）2+42， ∴r＝5， ∴⊙O的半径OA是5米． 故选：A． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于半径的方程． 3．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝5m，则该拱桥的半径为 　8.9　m． 【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，半径为r m，连接OA．根据垂径定理得AD＝8m，再由勾股定理求解即可． 【解答】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上， 设圆心是O，半径是r m，连接OA． 根据垂径定理，得：ADAB＝8m， 在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2＝82+（r﹣5）2， 解得：r＝8.9， 即该拱桥的半径为8.9m， 故答案为：8.9． 【点评】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 4．蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为　4　m． 【分析】根据垂径定理和勾股定理求解． 【解答】解：∵CD垂直平分AB， ∴AD＝8． ∴OD6m， ∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）． 故答案为：4． 【点评】此题考查了垂径定理的应用与勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用． 5．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径． 【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM＝DM＝5，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC． 【解答】解：如图，连接OC， ∵M是弦CD的中点，EM过圆心O， ∴EM⊥CD． ∴CM＝MD． ∵CD＝10， ∴CM＝5． 设OC＝x，则OM＝25﹣x， 在Rt△COM中，根据勾股定理，得 52+（25﹣x）2＝x2． 解得 x＝13． ∴⊙O的半径为13． 【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形． 【拓展思考】 6．如图，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位时水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m．如果水面到拱顶的距离小于3.8m，需要采取紧急措施以防流水对桥的危害．现洪水经过，测得水面宽MN＝32m，此时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【分析】先利用Rt△AOC求出半径，再利用勾股定理求出MN的弦心距，再求出水面离拱顶的距离，即可作出正确判断． 【解答】解：不需要采取紧急措施． 设OA＝r，在Rt△AOC中，AC＝30m，CD＝18m， 得r2＝302+（r﹣18）2， ∴r2＝900+r2﹣36r+324， 解得r＝34（m）， 连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16， 342＝162+（34﹣x）2， 162+342﹣68x+x2＝342， x2﹣68x+256＝0 解得x1＝4，x2＝64（不合题设，舍去） ∴DE＝4， ∵4＞3.8， ∴此时不需采取紧急措施． 【点评】本考查了垂径定理和勾股定理在实际生活中的应用．把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$