精品解析：重庆市荣昌区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

荣昌区2023—2024学年度第二学期期末学业质量测试 八年级数学试题 （本卷共6页三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡（卷）规定的位置上； 2.答选择题时，使用答题卡的必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑；若需改动，用擦皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，使用答题卷的，将正确答案的序号填在答题卷上； 3.答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡（卷）规定的位置上； 4.所有题目必须在答题卡（卷）上作答，在试题卷上答题无效； 5.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回； 6.本卷如没作特殊说明计算结果若有根号保留根号． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将你认为正确的答案代号填在答题卡（卷）表格中对应的位置． 1. 使有意义的x的取值范围是（　　） A. x≤3 B. x＜3 C. x≥3 D. x＞3 2. 如图，中，，则度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数y＝2x的图象大致是（　　） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间 6. 一组数据是：38，42，35，42，40，36，45，41，这组数据的中位数是（ ） A. 40 B. 40.5 C. 41 D. 42 7. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相平分的菱形是正方形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．其中是真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，若，则长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. D. 10. 已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每小题中，请将你认为正确的答案填在答题卡（卷）相应位置的横线上． 11. 化简：____ 12. 如图，中，，则____________． 13. 某“荣昌猪”联合经营公司对甲、乙两个养殖大户养殖的同一批次“荣昌猪”进行统计监测，计算得出，，则这两户养殖的这一批次“荣昌猪”长势更均匀的是____________养殖户（填甲或乙）． 14. 已知点是一次函数图象上的两点，如果，那么的大小关系是____________（用＞，＜或＝填空）． 15. 如图，矩形中，，边，于点M，连接，则图中阴影部分的面积是____________． 16. 已知，则代数式的值是____________． 17. 关于x的方程的解是整数，且k使关于y的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数k的值的和是____________． 18. 如果一个四位自然数的各位数字均不为0，其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，我们称这样的四位数为“二四数”，记．比如6451，其各位数字均不为0，千位数字6比百位数字4大2，十位数字5比个位数字1大4，所以6451是“二四数”，则____________；若一个“二四数”满足是7的倍数，则的最大值是____________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19小题8分，其余每小题各8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上． 19. 计算下列各题． （1）； （2）． 20. 在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在中，连接对角线于点E，过点B作的垂线，垂足为F，试证明线段与相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．请根据小刚的思路完成下面作图和解答： 用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）． 证明：∵四边形平行四边形， ∴____________①，． ．（____________②） ， ∴____________③． ． ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到____________④相等． 21. 为加强国家安全教育，提高学生国家安全意识，了解学生对国家安全知识的知晓程度，现从甲、乙两个学校中各随机抽取20名同学进行国家安全知识测试（百分制）并进行整理分析（成绩得分用表示，共分成五组：．，．，．，．，．），绘制了如下不完整的统计图表： 甲校成绩频数分布直方图 学校 平均数 中位数 众数 满分率 甲 91 乙 93 96 98 注：甲学校抽取20名同学的测试成绩由小到大排列后其中一部分数据是87，90，92，92，94，95； 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，并写出上表中，的值：____________，____________； （2）甲学校小花同学的成绩为93分，乙学校小军同学的成绩为95分，哪位同学的成绩在各自学校抽取的同学中排名更靠前，请说明理由； （3）甲学校共有1600人，估计该校此次测试成绩高于平均分91分的有多少人？ 22. 折扇是荣昌非遗产品．在传统佳节“端午节”来临之际，某特色商店购进两种折扇若干准备节日期间销售，已知种折扇的单价比种折扇的单价高20元/把，经测算，若用1200元购进种折扇的数量与用1000元购进种折扇的数量相同． （1）求购进，两种折扇的单价分别是多少？ （2）该商店对折扇在进价基础上提高、对折扇在进价基础上提高进行定价销售．端午节假期第一天，某外地客人到店预购买这两种折扇20把，计划总额不超过2700元，请你帮店主算一算，在满足该客人要求的情况下，应怎样推荐客人的购买方案，使商店在这次销售活动中所获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图1，已知矩形中，，点分别边中点，动点从点出发，沿路线运动到点停止，设点运动路程为，面积为． （1） 求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）在图2中画出该函数的图像，根据函数图像可知，该函数的性质是____________（写一条即可）； （3）结合函数图像，直接写出面积大于3时的取值范围． 24. 如图，多边形是一个小型人工湖，多边形各边构成环湖路某班数学综合实践两个小组对部分环湖路进行了测量，数据包括：甲小组在点处测得点在正西方向，点在正北方向，点在东北方向，在点处测得点在正西方向，点在正南方向；乙小组测得米，米，米，米．（参考数据：） （1）计算点与点的距离； （2）某同学从去处回收测量工具，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 25. 如图1，已知一次函数图象分别与x，y轴交于点两点，正比例函数图象与交于点M，已知点M的横坐标是． （1）求该一次函数的解析式； （2）y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，将一次函数图象沿y轴向下平移经过点O，点M对应点为，点N是坐标平面内一点，当以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点N的坐标． 26. 四边形是菱形，，点是边上一点，连接，． （1）如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； （2）线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接．求证：； （3）如图3，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣昌区2023—2024学年度第二学期期末学业质量测试 八年级数学试题 （本卷共6页三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡（卷）规定的位置上； 2.答选择题时，使用答题卡的必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑；若需改动，用擦皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，使用答题卷的，将正确答案的序号填在答题卷上； 3.答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡（卷）规定的位置上； 4.所有题目必须在答题卡（卷）上作答，在试题卷上答题无效； 5.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回； 6.本卷如没作特殊说明计算结果若有根号保留根号． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将你认为正确的答案代号填在答题卡（卷）表格中对应的位置． 1. 使有意义的x的取值范围是（　　） A. x≤3 B. x＜3 C. x≥3 D. x＞3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴x-3≥0， 解得x≥3． 故选C． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 2. 如图，中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据“平行四边形邻角互补”的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴． 故选：B． 3. 下列根式是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握定义并进行最简二次根式的判断是解题的关键．最简二次根式：满足被开方数不含有分母，或被开方数不含有开得尽方的因数或因式．根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、 ，原式被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； B、 ，原式含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，原式被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，原式是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 4. 一次函数y＝2x的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式知k=2>0，b=-3<0，则一次函数y＝2x的图象经过第一、第三，第四象限，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数y＝2x， ∴k=2>0, b=-3<0， ∴一次函数y＝2x的图象经过第一、第三，第四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，对于一次函数对于一次函数=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第三象限；当k>0，b<0时，一次函数图象经过第一、第三，第四象限；当k<0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第四象限；当k<0，b<0时，一次函数图象经过第二、第三，第四象限． 5. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、无理数估算大小等知识，熟练掌握二次根式运算法则和无理数估算大小方法是解题关键．首先解得，结合，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵，即， ∴， ∴的值在3和4之间． 故选：B． 6. 一组数据是：38，42，35，42，40，36，45，41，这组数据的中位数是（ ） A. 40 B. 40.5 C. 41 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，熟练掌握中位数的定义是解题关键．一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数或最中间两个数据的平均数叫做中位数．根据中位数的定义即可得出结论． 【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列，为35，36，38，40，41，42，42，45， 排在第4和第5位的是40和41， 所以，这组数据的中位数是． 故选：B． 7. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．利用三角形内角和定理求得的值，即可判断选项A、C；利用勾股定理的逆定理判断选项B、D即可． 【详解】解：A. ∵， ∴， ∴， 解得，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵， ∴，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，可设， 则有， ∴， ∴该三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D. ∵，可设， 则有，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 8. 下列命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相平分的菱形是正方形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．其中是真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度中等． 利用正方形、矩形、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，①错误，是假命题，不符合题意； 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，②错误，是假命题，不符合题意； 对角线相等的菱形是正方形，③错误，是假命题，不符合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，④错误，是假命题，不符合题意． 真命题有0个， 故选：A． 9. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，若，则长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，首先证明四边形为矩形，易得，；设，则，证明为等腰直角三角形，进而可得，再结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可得，解得，可知；证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形为正方形，， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∵为正方形的对角线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 10. 已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算、分式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，即可判断结论①；根据，即可判断结论②；由，易得若为正整数，则有或1或，分别求解即可判断结论③． 【详解】解：根据题意，， ①∵， ∴恒成立，该结论正确； ②∵， 又∵， ∴， ∴的最小值是； 的最小值是，该结论正确； ③∵， ∴若为正整数，则有或1或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， ∴整数值有3个，该结论正确． 综上所述，正确的有①②③，为3个． 故选：A． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每小题中，请将你认为正确的答案填在答题卡（卷）相应位置的横线上． 11. 化简：____ 【答案】 【解析】 【详解】此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案． 解： -=2-=． 故填：． 12. 如图，中，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理知识，理解并掌握勾股定理是解题关键．勾股定理：在直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13. 某“荣昌猪”联合经营公司对甲、乙两个养殖大户养殖的同一批次“荣昌猪”进行统计监测，计算得出，，则这两户养殖的这一批次“荣昌猪”长势更均匀的是____________养殖户（填甲或乙）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的应用，理解方差的定义和性质是解题关键．方差反映了一组数据的波动情况，方差越大，这组数据的波动就越大．根据题意可知，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这两户养殖的这一批次“荣昌猪”长势更均匀的是甲养殖户． 故答案为：甲． 14. 已知点是一次函数图象上的两点，如果，那么的大小关系是____________（用＞，＜或＝填空）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数的性质． 根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：已知一次函数， ∵， 故y随x的增大而减小，如果，则． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，边，于点M，连接，则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理和直角三角形的性质算出对应的底和高． 根据阴影部分的面积求解即可 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点M作， ∴， 则图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 16. 已知，则代数式的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式变形，以及二次根式的运算法则进行解题． 利用完全平方公式得到，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ， ， 故答案为：． 17. 关于x的方程的解是整数，且k使关于y的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数k的值的和是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，先解分式方程，求出a的值，再解一元一次不等式组，求出a的取值范围，最后再求出同时满足已知的两个条件的a的值，并求和即可． 【详解】解：解方程得， ∵关于x的方程的解是整数， ∴是整数， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴或2或3或或， ∴满足条件的所有整数k的值的和是， 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数的各位数字均不为0，其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，我们称这样的四位数为“二四数”，记．比如6451，其各位数字均不为0，千位数字6比百位数字4大2，十位数字5比个位数字1大4，所以6451是“二四数”，则____________；若一个“二四数”满足是7的倍数，则的最大值是____________． 【答案】 ①. 594 ②. 9794 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“二四数”，正确理解“二四数”的定义是解题关键．根据计算的值；对于自然数，根据“二四数”的定义，可知，，易得，进而可得，结合满足是7的倍数，且，，分多种情况取的值并进行验证，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，； 对于自然数，根据“二四数”的定义，可知，， ∴ ， ∴， ∵满足是7的倍数，且，， ∴当，时，，而，故不符合题意， 依次减小的值， 当时，，而，故不符合题意， 当时，，而，故不符合题意， 当时，，而，故不符合题意， 当时，，而，故不符合题意， 当时，，而，符合题意， 所以，的最大值是9794． 故答案为：594；9794． 三、解答题：（本大题8个小题，第19小题8分，其余每小题各8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上． 19. 计算下列各题． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简及二次根式的混合运算，涉及到完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简各个二次根式，再计算加减即可； （2）先根据完全平方公式和乘法分配律展开，再计算二次根式的加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在中，连接对角线于点E，过点B作的垂线，垂足为F，试证明线段与相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．请根据小刚的思路完成下面作图和解答： 用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴____________①，． ．（____________②） ， ∴____________③． ． ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到____________④相等． 【答案】作图见解析；①；②两直线平行内错角相等；③；④对角线的距离 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，先以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于M、N两点，再分别以M、N为圆心大于为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点F，根据平行四边形的性质和平行线的性质，证明即可得出答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴①，． ．（两直线平行内错角相等②） ， ∴③， ， ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到对角线的距离④相等． 21. 为加强国家安全教育，提高学生国家安全意识，了解学生对国家安全知识的知晓程度，现从甲、乙两个学校中各随机抽取20名同学进行国家安全知识测试（百分制）并进行整理分析（成绩得分用表示，共分成五组：．，．，．，．，．），绘制了如下不完整的统计图表： 甲校成绩频数分布直方图 学校 平均数 中位数 众数 满分率 甲 91 乙 93 96 98 注：甲学校抽取20名同学的测试成绩由小到大排列后其中一部分数据是87，90，92，92，94，95； 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，并写出上表中，的值：____________，____________； （2）甲学校小花同学的成绩为93分，乙学校小军同学的成绩为95分，哪位同学的成绩在各自学校抽取的同学中排名更靠前，请说明理由； （3）甲学校共有1600人，估计该校此次测试成绩高于平均分91分的有多少人？ 【答案】（1）见详解，92，100 （2）小花同学的成绩在各自学校抽取的同学中排名更靠前，理由见详解 （3）880人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、中位数、众数、利用样本估计总体等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算出甲校成绩组人数，然后补全频数分布直方图；计算出甲学校抽取学生中的满分（100分）的人数，结合中位数和众数的定义求解即可； （2）根据甲乙两学校的中位数分析判断即可； （3）首先确定甲学校所抽取的学生成绩在91分以上的人数，然后根据“甲学校总人数乘以抽取的同学中成绩在91分以上的占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：甲校成绩组人数为（人）， 故可补全频数分布直方图如下， 由统计表可知，甲学校抽取学生中的满分（100分）的有（人）， 由统计表可知，组有8人， 结合由小到大排列后其中一部分数据是87，90，92，92，94，95， 可甲学校成绩按照从大到小的顺序排列，排在第10和11位的是92和92， 故甲校成绩的中位数； 甲学校成绩中，出现次数做多的是100， 故甲学校成绩的众数． 故答案为：92，100； 【小问2详解】 小花同学的成绩在各自学校抽取的同学中排名更靠前，理由如下： 甲学校的中位数为92，而小花同学的成绩为93分，比其学校成绩的中位数大， 乙学校的中位数为96，而小军同学的成绩为95分，比其学校成绩的中位数小， 故小花同学的成绩在各自学校抽取的同学中排名更靠前； 【小问3详解】 由图表可知，甲学校所抽取的学生成绩在91分以上的有11人， （人）， 所以，估计该校此次测试成绩高于平均分91分的有880人． 22. 折扇是荣昌非遗产品．在传统佳节“端午节”来临之际，某特色商店购进两种折扇若干准备节日期间销售，已知种折扇的单价比种折扇的单价高20元/把，经测算，若用1200元购进种折扇的数量与用1000元购进种折扇的数量相同． （1）求购进，两种折扇的单价分别是多少？ （2）该商店对折扇在进价基础上提高、对折扇在进价基础上提高进行定价销售．端午节假期第一天，某外地客人到店预购买这两种折扇20把，计划总额不超过2700元，请你帮店主算一算，在满足该客人要求的情况下，应怎样推荐客人的购买方案，使商店在这次销售活动中所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）购进折扇的单价是120元，则购进折扇的单价是100元 （2）推荐客人的购买折扇10把，则购进折扇10把，使商店在这次销售活动中所获得的利润最大，最大利润为500元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识，理解题意，弄清熟练关系是解题关键． （1）设购进折扇的单价是元，则购进折扇的单价是元，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案； （2）设推荐客人的购买折扇把，则购进折扇把，首先根据“计划总额不超过2700元”列出关于的一元一次不等式，求解即可确定的取值范围；设商店在这次销售活动中所获得的利润为，根据题意列出关于的一次函数解析式，结合一次函数的性质，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设购进折扇的单价是元，则购进折扇的单价是元， 根据题意，可得， 解得（元）， 经检验，是该分式方程的解， 所以（元）． 答：购进折扇单价是120元，则购进折扇的单价是100元； 【小问2详解】 设推荐客人的购买折扇把，则购进折扇把， 根据题意，外地客人计划总额不超过2700元， 则有， 解得， 设商店在这次销售活动中所获得的利润为， 则有， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，即推荐客人的购买折扇10把，购进折扇10把， 使商店在这次销售活动中所获得的利润最大， 最大利润为（元）． 23. 如图1，已知矩形中，，点分别是边中点，动点从点出发，沿路线运动到点停止，设点运动路程为，面积为． （1） 求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）在图2中画出该函数的图像，根据函数图像可知，该函数的性质是____________（写一条即可）； （3）结合函数图像，直接写出面积大于3时的取值范围． 【答案】（1） （2）见详解；当时，随的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、矩形的性质，理解题意，正确确定关于的函数关系式是解题关键． （1）分点在线段上、点在线段上以及点在线段上三种情况，结合三角形面积公式，分别确定关于的函数关系式及自变量取值范围即可； （2）结合函数解析式画出函数图像即可；结合函数图像写出函数的性质即可； （3）合函数图像确定当时的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∵点分别边中点， ∴， 当点在线段上时，则有， 此时，则， ∴，即； 当点在线段上时，则有， 此时，即； 当点在线段上时，则有， 此时，则， ∴，即， 综上所述，关于的函数关系式为； 【小问2详解】 结合（1）中函数解析式，可画出函数图像如下所示： 根据函数图像可知，当时，随的增大而增大． 故答案为：当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 由函数图像可知，当时，或， ∴面积大于3时的取值范围为． 24. 如图，多边形是一个小型人工湖，多边形各边构成环湖路某班数学综合实践两个小组对部分环湖路进行了测量，数据包括：甲小组在点处测得点在正西方向，点在正北方向，点在东北方向，在点处测得点在正西方向，点在正南方向；乙小组测得米，米，米，米．（参考数据：） （1）计算点与点的距离； （2）某同学从去处回收测量工具，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 【答案】（1）400米 （2）选择线路①路程更短 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，易得米，米，再利用勾股定理解得的值，然后比较线路①和线路②的总路程，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，可知米，米，， ∴在中，米， 即点与点的距离为400米； 【小问2详解】 如下图，过点作于点， ∵米，米，米，米， ∴线路①总路程为米； ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米， ∴在中，米， ∴线路②总路程为米， ∵， ∴选择线路①路程更短． 25. 如图1，已知一次函数图象分别与x，y轴交于点两点，正比例函数图象与交于点M，已知点M的横坐标是． （1）求该一次函数的解析式； （2）y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，将一次函数图象沿y轴向下平移经过点O，点M对应点为，点N是坐标平面内一点，当以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点N的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为 （2）周长的最小值为， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）求出，根据待定系数法即可求解； （2）如图，作点关于y轴对称点，连接交y轴于点，连接，得出线段为的最小值，求出，，即可得周长的最小值，求出直线的解析式即可求出点Q； （3）求出一次函数图象沿y轴向下平移后的解析式为，即一次函数图象沿y轴向下平移了4个单位，得出，设，分类讨论求解即可； 【小问1详解】 解：点M的横坐标是，且在正比例函数图象上， ∴点M的纵坐标， ∴， 设一次函数的解析式为， 代入，得：， 解得：， 故一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作点关于y轴对称点，连接交y轴于点，连接， ， 故， 即线段为的最小值， 在中， 令， 则， ， ，， 即的最小值为； 即周长的最小值， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， 故直线的解析式为； 当时，， ； 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，∵， ∴一次函数图象沿y轴向下平移后的解析式为，即一次函数图象沿y轴向下平移了4个单位， ∴点M对应点为， 设，， 则，，， ∵以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形， 如图，过点作x轴平行线，过点作y轴的平行线，相交于点， 过点作y轴平行线，过点作x轴的平行线，相交于点， ①当且时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得，∴； 当且时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得，∴； ②当且时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得，∴； 当且时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得，∴； 综上，或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，函数的平移，利用轴对称性质求最小值，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等，本题综合性较强，难度较大． 26. 四边形是菱形，，点是边上一点，连接，． （1）如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； （2）线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接．求证：； （3）如图3，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可推出为等腰直角三角形，，从而得到，最后利用勾股定理即可求得答案 （2）延长至，使得，连接，根据菱形的性质和旋转的性质可知，，，，从而推出，进而得到，最后利用中位线的性质得到，得证； （3）过点作于点，过点作垂线，垂足为，设，同（1）易证为等腰直角三角形，从而得到，然后可证，得到，根据点的运动轨迹在直线上，当点与点重合时，取最小值，过点作，交的延长线于点，此时，然后利用 得到，先计算出，然后易证为等腰直角三角形，推出，再计算出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，菱形边长为4 ，， ， 为等腰直角三角形 在中， 【小问2详解】 证明：如下图，延长至，使得，连接 ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 又 点是中点， 为的中位线 【小问3详解】 解：如下图，过点作于点，过点作垂线，垂足为 设 ， 为等腰直角三角形 将线段绕点逆时针旋转得到线段 ， ，即 点的运动轨迹在直线上，当点与点重合时，取最小值 如下图，过点作，交的延长线于点 此时， ， ， 等腰直角三角形 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$