专题06 解三角形（真题5个考点精准练+精选模拟练）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（上海专用）

专题06 解三角形（真题5个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考11题 2024春考5题 解三角形 正弦定理 2023秋考8、11题 2023春考18题 余弦定理的应用、利用导数解三角形中几何问题 正弦定理、三角形面积公式 2022秋考19题 2022春考8题 正余弦定理和面积公式 正弦定理和余弦定理 2021秋考18题 2021春考18题 正、余弦定理的应用、三角形面积求法 正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用 一．正弦定理（共3小题） 1．（2024•上海）三角形中，，则　　． 2．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 3．（2021•上海）在中，已知，． （1）若，求． （2）若，求． 二．正弦定理与三角形的外接圆（共1小题） 4．（2022•上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为 　　． 三．余弦定理（共1小题） 5．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则　　． 四．三角形中的几何计算（共2小题） 6．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为．行人每沿着斜坡向上走消耗的体力为，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则　　． 7．（2022•上海）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，； （1）若点与点重合，求的大小； （2）在何位置，求五边形面积的最大值． 五．解三角形（共2小题） 8．（2024•上海）已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则　　．（精确到0.1度） 9．（2023•上海）在中，角、、所对应的边分别为、、，其中． （1）若，，求边长； （2）若，，求的面积． 一．选择题（共3小题） 1．（2024•奉贤区三模）在中，“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2024•嘉定区二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为　　 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 A． B． C． D． 3．（2024•徐汇区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为　　 A．1 B． C．2 D． 二．填空题（共14小题） 4．（2024•黄浦区二模）在中，，，，则　　． 5．（2024•黄浦区校级三模）在中，内角，，的对边是，，．若，，则　　． 6．（2024•黄浦区校级三模）的内角、、所对边长分别为、、，面积为，且，则角　　． 7．（2024•普陀区校级三模）的内角，，的对边分别为，，，若，则　　． 8．（2024•徐汇区模拟）在中，，，，则的外接圆半径为 　　 9．（2024•闵行区校级二模）在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 　　． 10．（2024•长宁区二模）在中，角，，的对边分别为，，，若，则　 　． 11．（2024•宝山区三模）在中，若，，的面积为，则　　． 12．（2024•浦东新区校级模拟）中，角，，所对的三边分别为，，，，若的面积为1，则的最小值是 　　． 13．（2024•虹口区二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为 　　． 14．（2024•浦东新区三模）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 　　米处观看？（精确到0.1米） 15．（2024•长宁区校级三模）如图，地在地的正东方向，相距；地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向、、三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元，从到修建公路的费用为20万元．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 　　万元（精确到 16．（2024•闵行区校级模拟）如图，河宽50米，河两岸、的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从走水路直接到，也可以从先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到．已知该气垫船在水中的速度是10米分钟，岸上的速度是20米分钟，则从到的最短时间为 　　分钟．（精确到小数点后两位） 17．（2024•金山区二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 　　．（结果精确到 三．解答题（共26小题） 18．（2024•黄浦区校级三模）的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为2，求． 19．（2024•静安区二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值． 20．（2024•杨浦区校级三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （Ⅰ）试判断的形状； （Ⅱ）若，求周长的最大值． 21．（2024•浦东新区校级模拟）如图所示，扇形中，圆心角，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点． （1）若是半径的中点，求线段的长； （2）若，求面积的最大值及此时的值． 22．（2024•松江区校级模拟）△中，角、、的对边分别为、、，已知，． （1）求； （2）已知△的面积为，点满足，求的值． 23．（2024•崇明区二模）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，为在方向上的投影向量，且满足． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 24．（2024•浦东新区校级三模）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若的面积为，边上的高为1，求的周长． 25．（2024•闵行区三模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，已知，． （1）若，求； （2）若，求的面积． 26．（2024•嘉定区校级模拟）在中，，，分别是角，，所对的边，，，． （1）求的值； （2）求的值． 27．（2024•青浦区校级模拟）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，为角，，的对边，且满足，且，求角的值． 28．（2024•闵行区校级三模）已知的内角，，的对边分别为，，，，，． （1）求角； （2）求的面积． 29．（2024•闵行区二模）在锐角中，角、、所对边的边长分别为、、，且． （1）求角； （2）求的取值范围． 30．（2024•松江区校级模拟）设的内角、、所对边分别为、、，若． （1）求证：、、成等差数列； （2）若、、均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角的大小． 31．（2024•普陀区模拟）设函数，，，它的最小正周期为． （1）若函数是偶函数，求的值； （2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值． 32．（2024•宝山区二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状． 33．（2024•徐汇区校级模拟）（1）已知，求的值． （2）已知中，，且，判断的形状，并说明理由． 34．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数． （Ⅰ）求函数的单调递减区间； （Ⅱ）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，求（B）的取值范围． 35．（2024•黄浦区校级模拟）在△中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）若△为钝角三角形，且，求的取值范围． 36．（2024•浦东新区校级模拟）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，，为的中点，求． 37．（2024•普陀区校级三模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，且满足． （1）若，求的面积； （2）求的最大值，并求其取得最大值时的值． 38．（2024•闵行区校级三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 39．（2024•杨浦区校级三模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）当，时，求边长和的面积． 40．（2024•普陀区校级模拟）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 41．（2024•奉贤区三模）已知三角形的三个角对应的边分别为、、． （1）求证：存在以，，为三边的三角形； （2）若以，，为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角． 42．（2024•嘉定区二模）在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 43．（2024•杨浦区二模）已知． （1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）已知，中，，，分别是角，，所对的边，若，，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解三角形（真题5个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考11题 2024春考5题 解三角形 正弦定理 2023秋考8、11题 2023春考18题 余弦定理的应用、利用导数解三角形中几何问题 正弦定理、三角形面积公式 2022秋考19题 2022春考8题 正余弦定理和面积公式 正弦定理和余弦定理 2021秋考18题 2021春考18题 正、余弦定理的应用、三角形面积求法 正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用 一．正弦定理（共3小题） 1．（2024•上海）三角形中，，则　　． 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【解答】解：三角形中，， ， 由正弦定理，，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题． 2．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值． （2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得，，的值，进而根据正弦定理可得的值． 【解答】解：（1）因为，可得， 又，可得， 由于，可得． （2）因为， 可得， 又， 可解得，，或，， 因为，可得，，可得为钝角， 若，，可得，可得， 可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去， 所以，由正弦定理，可得． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 3．（2021•上海）在中，已知，． （1）若，求． （2）若，求． 【分析】（1）由余弦定理求得，从而求得面积； （2）由正、余弦定理求得、值，从而求得周长． 【解答】解：（1）由余弦定理得， 解得， ； （2），由正弦定理得，又， ，，，，为锐角， ． 由余弦定理得：，又，， ，得：，解得：． 当时，时； 当时，时． 【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题． 二．正弦定理与三角形的外接圆（共1小题） 4．（2022•上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为 　　． 【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出结果． 【解答】解：在中，，，， 利用余弦定理，整理得， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 三．余弦定理（共1小题） 5．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则　　． 【分析】先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数间的基本关系求解． 【解答】解：，，， 由余弦定理得，， 又， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题． 四．三角形中的几何计算（共2小题） 6．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为．行人每沿着斜坡向上走消耗的体力为，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则　　． 【分析】先求出斜坡的长度，求出上坡所消耗的总体力的函数关系，求出函数的导数，利用导数研究函数的最值即可． 【解答】解：斜坡的长度为， 上坡所消耗的总体力， 函数的导数， 由，得，得，， 由时，即时，函数单调递增， 由时，即时，函数单调递减， 即，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小． 故答案为：． 【点评】本题主要考查生活的应用问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，是中档题． 7．（2022•上海）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，； （1）若点与点重合，求的大小； （2）在何位置，求五边形面积的最大值． 【分析】（1）在中，直接利用余弦定理求出，再结合正弦定理求解； （2）利用五边形的对称性，将所求的面积化为四边形的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题． 【解答】解：（1）点与点重合，由题意可得，，， 由余弦定理可得， 所以，在中，由正弦定理得， 所以，解得， 所以的大小为； （2）如图，连结，，，， 曲线上任意一点到距离相等， ， ，关于对称， 点在劣弧中点或劣弧的中点位置，， 则， 则五边形面积 ，其中， 当时，取最大值， 五边形面积的最大值为． 【点评】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题． 五．解三角形（共2小题） 8．（2024•上海）已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则　　．（精确到0.1度） 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解． 【解答】解：在中，根据正弦定理可得， 设，则， 所以，① 在中，根据正弦定理可得， ，② 联立①②，因为， 所以，利用计算器可得，，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题． 9．（2023•上海）在中，角、、所对应的边分别为、、，其中． （1）若，，求边长； （2）若，，求的面积． 【分析】（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求，，，然后结合锐角三角函数即可求解； （2）由已知结合正弦定理先求出，进而可求，再由正弦定理求出，结合三角形面积公式可求． 【解答】解：（1），且， ， ， ，，， ， ； （2）， 则， ， ， ， 为锐角， ，，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题． 一．选择题（共3小题） 1．（2024•奉贤区三模）在中，“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】观察两条件的互推性即可求解． 【解答】解：” “”是“的充分条件， 但时有无数解，可以是或， 不能推出， 故选：． 【点评】本题考查充分必要条件是高考的热点问题，值得一做． 2．（2024•嘉定区二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为　　 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 A． B． C． D． 【分析】作出示意图形，在四边形中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形的外接圆直径大小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出的大小，即可得到本题的答案． 【解答】解：如图所示，设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点， 点、分别是点在两条墙脚线上的射影，连接、、，由题意可知就是太阳高度角． 四边形中，，， ， 中，，可得， 四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径， 设的外接圆半径为，则， 中，，． 对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近． 故选：． 【点评】本题主要考查利用正弦定理与余弦定理解三角形、三角函数知识在实际问题中的应用等知识，属于中档题． 3．（2024•徐汇区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角，再根据正弦定理求出外接圆半径即可． 【解答】解：，，． ， ， ，，， ，设该三角形外接圆的半径为， 由正弦定理得， ． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 二．填空题（共14小题） 4．（2024•黄浦区二模）在中，，，，则　　． 【分析】由题意利用余弦定理即可求解． 【解答】解：因为在中，，，， 所以由余弦定理可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 5．（2024•黄浦区校级三模）在中，内角，，的对边是，，．若，，则　　． 【分析】在中，运用余弦定理：，代入计算即可得到． 【解答】解：， 又，． 故答案为：． 【点评】本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题． 6．（2024•黄浦区校级三模）的内角、、所对边长分别为、、，面积为，且，则角　　． 【分析】由三角形的面积公式及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小． 【解答】解：由题意可得， 由余弦定理可得， 所以可得，即， 而， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题． 7．（2024•普陀区校级三模）的内角，，的对边分别为，，，若，则　　． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而利用正弦定理可求的值． 【解答】解：因为， 且，为三角形内角； ，； 由正弦定理可得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 8．（2024•徐汇区模拟）在中，，，，则的外接圆半径为 　1　 【分析】可求得，利用正弦定理即可求得答案． 【解答】解：在中，，，， ，设的外接圆半径为， 由正弦定理得：， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题． 9．（2024•闵行区校级二模）在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 　3　． 【分析】由余弦定理可求得，再由三角形的面积公式计算即可求得． 【解答】解：由余弦定理得：， 即， 所以， 所以． 故答案为：3． 【点评】本题考查利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于基础题． 10．（2024•长宁区二模）在中，角，，的对边分别为，，，若，则　　． 【分析】利用余弦定理表示出，把已知等式变形后代入计算求出的值，即可确定出的度数． 【解答】解：中，，即， ， 则． 故答案为： 【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 11．（2024•宝山区三模）在中，若，，的面积为，则　　． 【分析】由的度数求出与的值，利用面积公式列出关系式，将，已知的面积与的值代入，求出的值，再利用余弦定理列出关系式，将，及的值代入，开方即可求出的值． 【解答】解：，，的面积为， ，即， 由余弦定理得：， 则． 故答案为： 【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 12．（2024•浦东新区校级模拟）中，角，，所对的三边分别为，，，，若的面积为1，则的最小值是 　　． 【分析】，可得，由三角形的余弦定理和面积公式、同角的平方关系可得，再由换元法和二次方程有实根的思想，结合判别式大于等于0，可得所求最小值． 【解答】解：设，由，可得， 由的面积为1，可得， 即，， 由余弦定理可得 ， 可设，，则， 两边平方可得， 即为， 由△，即，解得（或舍去）， 当，即，，，取得最小值， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及同角的平方关系，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题． 13．（2024•虹口区二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为 　　． 【分析】由已知结合余弦定理可求出，再由同角平方关系求出，结合正弦定理即可求解． 【解答】解：设，，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理可得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 14．（2024•浦东新区三模）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 　3.2　米处观看？（精确到0.1米） 【分析】根据题意作出示意图，设，分别在与中利用锐角三角函数的定义，将与表示为的式子，然后利用两角差的正切公式与基本不等式，算出的最大值，从而算出获得最佳视野时小明与大屏幕所在平面的距离． 【解答】解：设点在直线上的射影为，则就是小明与大屏幕所在平面的距离， 由题意得，，设，则，， 可得，当且仅当，即时取等号， 结合正切函数在锐角范围内是增函数，可知：当时，小明可以获得观看的最佳视野． 故答案为：3.2． 【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义、两角差的正切公式、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题． 15．（2024•长宁区校级三模）如图，地在地的正东方向，相距；地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向、、三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元，从到修建公路的费用为20万元．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 　85.83　万元（精确到 ． 【分析】由题意可得点的轨迹为双曲线的靠近点的一支，可得实轴长的值，由题意可得总费用，在中，由余弦定理可得的值，即求出总费用的最小值． 【解答】解：因为是（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远， 可得点的轨迹为以，为焦点的双曲线的靠近点的一支上，设实轴长为，焦距为， 由题意可得，， 设总费用为（万元），则 ， 由题意可得， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以（万元）． 故答案为：85.83． 【点评】本题考查双曲线的定义的应用及余弦定理的应用，属于中档题． 16．（2024•闵行区校级模拟）如图，河宽50米，河两岸、的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从走水路直接到，也可以从先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到．已知该气垫船在水中的速度是10米分钟，岸上的速度是20米分钟，则从到的最短时间为 　8.66　分钟．（精确到小数点后两位） 【分析】过点向河对岸作垂线，垂足为点，设气垫船从点开始走水路，设，将所需时间表示为关于的函数，利用导数求得最小值． 【解答】解：过点向河对岸作垂线，垂足为点， 设气垫船从点开始走水路，设， 则所需时间， 所以，则当时，取最小值，约为8.66分钟． 故答案为：8.66． 【点评】本题考查解三角形的应用，属中档题． 17．（2024•金山区二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 　475　．（结果精确到 【分析】先在三角形中求出，再利用正弦定理，在三角形中求出，进而转化到三角形中求解即可． 【解答】解：作交于， 由题意可得，，， 所以， ， 在中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 在直角中，， 即． 故答案为：475． 【点评】本题考查解三角形的应用，属于中档题． 三．解答题（共26小题） 18．（2024•黄浦区校级三模）的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为2，求． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出， （2）由（1）可知，利用三角形的面积公式求出，再利用余弦定理即可求出． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）可知， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题 19．（2024•静安区二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值． 【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解； （2）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【解答】解：（1），，， 则， ， 则； （2），，， ， 则， ， 则． 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 20．（2024•杨浦区校级三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （Ⅰ）试判断的形状； （Ⅱ）若，求周长的最大值． 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式化简已知等式可得，由余弦定理得，可得，即可得解是直角三角形； （Ⅱ）由（Ⅰ）及题意可得周长为，，利用正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）因为，得， 可得，即， 由余弦定理得，即， 可得，所以是直角三角形； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直角三角形中，，， 所以周长为，， 所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为． 【点评】本题考查了二倍角公式，余弦定理，两角和的正弦公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 21．（2024•浦东新区校级模拟）如图所示，扇形中，圆心角，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点． （1）若是半径的中点，求线段的长； （2）若，求面积的最大值及此时的值． 【分析】（1）通过已知条件，利用余弦定理，求出即可； （2）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把关系式变形成正弦型函数，进一步求出最值． 【解答】解：（1）在中，，， 由 得，解得（负舍去）． （2）在中，由余弦定理可得， 又， 即 当且仅当时等号成立． 所以面积． 时，取得最大值为． 【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用．属于中档题． 22．（2024•松江区校级模拟）△中，角、、的对边分别为、、，已知，． （1）求； （2）已知△的面积为，点满足，求的值． 【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式，算出且，然后在△中，根据余弦定理列式算出的值； （2）利用同角三角函数的基本关系算出，根据三角形的面积公式求出，可得，．然后在△中利用余弦定理算出长，根据正弦定理求出，结合△是等腰三角形，求出的值． 【解答】解：（1）在△中，，， 由正弦定理得且，所以，根据余弦定理得． （2）根据，可得（舍负）． 所以△中的面积，解得，，． 由题意得， 在△中，由余弦定理得 ， 根据正弦定理得，即，解得． 因为，所以，可得． 【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式、三角形的面积公式及其应用，属于中档题． 23．（2024•崇明区二模）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，为在方向上的投影向量，且满足． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 【分析】（1）由题意可知，，代入得，再利用正弦定理求解即可； （2）由余弦定理可得，再结合可求出的值，进而求出的值，得到的周长． 【解答】解：（1）为在方向上的投影向量， ， 又， ， ， 又，， ， ，，，， 又， ， 解得； （2），， ，， ， ，， ， ， 解得， ， 的周长为． 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 24．（2024•浦东新区校级三模）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若的面积为，边上的高为1，求的周长． 【分析】（1）由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求； （2）结合三角形面积公式可求出及，然后结合余弦定理即可求解，进而可求三角形周长． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理，得， 即， 因为在中，， 所以． 又因为，所以； （2）因为的面积为，边上的高为1， 所以，得． 即，所以． 由余弦定理，得， 即，化简得， 所以，即， 所以的周长为． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 25．（2024•闵行区三模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，已知，． （1）若，求； （2）若，求的面积． 【分析】（1）根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可； （2）先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得． 【解答】解：（1）由，应用正弦定理得，， ，即得； （2）因为，则， 又由正弦定理得， ． 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题． 26．（2024•嘉定区校级模拟）在中，，，分别是角，，所对的边，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）由余弦定理直接求出的值； （2）由余弦定理可得的值，进而求出的值，再由两角差的余弦公式，可得的值． 【解答】解：（1）中，，，， 由余弦定理可得， 即， 整理可得：，解得或（舍， 所以； （2）由余弦定理可得， 在三角形中，可得， 所以． 【点评】本题考查余弦定理的应用，两角差的余弦公式的应用，属于中档题． 27．（2024•青浦区校级模拟）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，为角，，的对边，且满足，且，求角的值． 【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间． （2）首先利用正弦定理，二倍角公式可得，分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，， 由，解得：， 所以单调递增区间为； （2）由及正弦定理可得， 因为在中，， 则， 所以，即， 所以 当时，； 当，即时，， 因为， 所以． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用，属于中档题． 28．（2024•闵行区校级三模）已知的内角，，的对边分别为，，，，，． （1）求角； （2）求的面积． 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，即可得出答案； （2）由（1）得，，，利用正弦定理求出，求出，利用三角形的面积公式，即可得出答案． 【解答】解：（1）在中，，即， 由余弦定理得， ， ； （2）由（1）得，，， 由正弦定理得，即，解得， 又， 的面积． 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 29．（2024•闵行区二模）在锐角中，角、、所对边的边长分别为、、，且． （1）求角； （2）求的取值范围． 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可求，结合为锐角，即可求解的值； （2）由题意可求得，可得，，可得，，利用三角函数恒等变换的应用化简可求，即可得解的取值范围． 【解答】解：（1）， ， 又， ， 为锐角三角形， ； （2）为锐角三角形，， ，解得， ，，可得，， 则，， 的取值范围是，． 【点评】本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 30．（2024•松江区校级模拟）设的内角、、所对边分别为、、，若． （1）求证：、、成等差数列； （2）若、、均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角的大小． 【分析】（1）根据题意化简已知等式，得到，然后利用两角和的正弦公式与诱导公式，推导出，结合正弦定理算出，可证出、、成等差数列； （2）设等差数列、、的公差为，利用“三角形两边之和大于第三边”与余弦定理，列式算出，然后根据三边长为整数且钝角的唯一存在，推算出，进而算出、、的大小，再利用余弦定理算出角的大小． 【解答】（1）证明：因为， 所以，即， 可得，即， 因为在中，，所以， 结合正弦定理，可得，即、、成等差数列； （2）若中，，且是钝角三角形，则由余弦定理得， 设等差数列、、的公差为，则，可得，整理得，解得， 由，得，解得，所以， 因为、、均为整数，且存在唯一的钝角满足条件， 所以公差，，，，， 因此，满足条件的中，角的大小为． 【点评】本题主要考查两角和的正弦公式与诱导公式、正弦定理与余弦定理及其应用、等差数列的定义与性质等知识，属于中档题． 31．（2024•普陀区模拟）设函数，，，它的最小正周期为． （1）若函数是偶函数，求的值； （2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值． 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式可求，又函数是偶函数，结合，即可求解的值； （2）由，可得，结合题意利用正弦定理可求，由余弦定理可求，进而可求的值． 【解答】解：（1）因为函数的最小正周期为，且， 所以，即， 则， 又函数是偶函数， 则，，即， 又， 则； （2）由（1）可得， 又，可得， 又，， 则，即， 由余弦定理得， 即，则． 【点评】本题考查了正弦函数的周期公式，三角函数的奇偶性以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 32．（2024•宝山区二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状． 【分析】（1）利用边角互化思想得，由余弦定理求出的值，从而得出角的值； （2）由三角形的面积公式得出的值，再由基本不等式即可计算得解． 【解答】解：（1）由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； （2）由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，此时为等边三角形． 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题． 33．（2024•徐汇区校级模拟）（1）已知，求的值． （2）已知中，，且，判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）由已知结合两角和的正切公式可求，然后结合同角基本关系可求； （2）由两角和的正切公式先求，进而可求，，再由二倍角公式及特殊角三角函数值求出，即可判断． 【解答】解：（1）， 原式， （2）因为， 所以， ，且， 所以或，即或， 当，则，此时无意义，矛盾． 当，则，满足题意，此时是正三角形． 【点评】本题主要考查了两角和的正切公式，三角形的诱导公式及二倍角公式，属于中档题． 34．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数． （Ⅰ）求函数的单调递减区间； （Ⅱ）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，求（B）的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简，再由正弦函数的单调性可得所求区间； （Ⅱ）由三角形的余弦定理求得，可得的范围，再由正弦函数的图象和性质，可得所求取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）， 令，则， 所以，单调减区间是． （Ⅱ）， 由得：， 由余弦定理可得，于是三角形的内角， 在中，得， 于是， 则， 所以， 则（B）的取值范围是，． 【点评】本题考查三角形的余弦定理和三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 35．（2024•黄浦区校级模拟）在△中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）若△为钝角三角形，且，求的取值范围． 【分析】（1）化切为弦，然后根据两角和的正弦公式化简即可求解； （2）利用正弦定理化边为角，根据辅助角公式化为，结合角的范围利用正弦函数的性质即可求解范围． 【解答】解：（1）因为， 所以， 即， 所以， 又因为，所以， 又且，所以； （2）由正弦定理，得， 所以，所以， 因为△是钝角三角形，不妨设为钝角，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是． 【点评】本题考查利用正余弦定理和三角恒等变换知识解三角形，属于中档题． 36．（2024•浦东新区校级模拟）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，，为的中点，求． 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求； （2）由已知结合余弦定理可求，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质可求． 【解答】解：（1）由结合正弦定理得，， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为为三角形内角，所以， 所以， 因为，所以； （2）在中，因为， 所以， 所以， 解得或， 当时，，则为钝角，不符合题意， 则，， 所以， 故． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题． 37．（2024•普陀区校级三模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，且满足． （1）若，求的面积； （2）求的最大值，并求其取得最大值时的值． 【分析】（1）首先由余弦定理求出，再结合三角形面积公式即可求解； （2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解． 【解答】解：（1）因为，， 所以，由正弦定理可得， 而， 可得，又因为， 可得； 由余弦定理可得：，，， 可得，解得或， 当时，可得； 当时，可得； （2），， 由正弦定理可得：， 所以，， 所以 ，其中，，，， 因为在中，，所以， 当时，取到最大值， 此时． 【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，辅助角公式的应用，属于中档题． 38．（2024•闵行区校级三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 【分析】（1）由正弦定理可得的值，再由角的范围可得角的大小； （2）由余弦定理及基本不等式可得的最大值，进而求出三角形面积的最大值． 【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得， 在三角形中，，可得， ，可得或； （2），当，由余弦定理可得：， 可得，此时， 所以该三角形面积的最大值为． 当，，可得， 此时， 此时三角形的面积最大值为． 综上所述：该三角形面积的最大值为． 【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题． 39．（2024•杨浦区校级三模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）当，时，求边长和的面积． 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积． 【解答】解：（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则，所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为，所以， 由正弦定理，得， 所以 ． 【点评】本题考查由正弦定理、和角公式及三角形面积公式解三角形，属中档题． 40．（2024•普陀区校级模拟）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案； （2）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案． 【解答】解：（1）因为， 所以由正弦定理得：， 即， 即， 所以， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以； （2）因为点是上的点，平分，且， 所以， 因为， 所以， 化简得：，所以，当且仅当时取等号， 解得：，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最小值为． 【点评】本题考查利用正、余弦定理，三角恒等变换知识，三角形的面积公式解三角形，属于中档题． 41．（2024•奉贤区三模）已知三角形的三个角对应的边分别为、、． （1）求证：存在以，，为三边的三角形； （2）若以，，为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角． 【分析】（1）利用正弦定理即可证明； （2）设，得到或，再分情况讨论即可． 【解答】证：（1）显然，，， 因为，，构成三角形，故， 设其外接圆半径为，由正弦定理可得，即， 同理可得，， 故存在以，，为三边的三角形； （2）因为，，，故，，为锐角， 不妨设，则或， 当时，，（舍， 当，，则， 则，又，故， ，因为为锐角，故，则，， 则三角形的最小角为． 【点评】本题考查三角变换以及正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 42．（2024•嘉定区二模）在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 【分析】（1）由已知结合二倍角公式进行化简可求，进而可求； （2）由已知锐角三角形可先求出的范围，然后结合正弦定理可表示，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）因为且为三角形内角， 所以或， 当时，， 当时，； （2）由题意结合（1）得， 所以，解得，， 因为， 由正弦定理得，， 所以，， 所以 ，，， 则，，， 故当时，取得最大值． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 43．（2024•杨浦区二模）已知． （1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）已知，中，，，分别是角，，所对的边，若，，，求的值． 【分析】（1）结合周期公式可求，再求出，结合函数奇偶性定义即可求解； （2）由已知若可求出，结合余弦定理可求． 【解答】解：（1）由题意可得，， ，， ，，，， 不是奇函数，不是偶函数； （2）， 则， ， ， ， ， ， ，， 即， ， 解得，． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$