专题05 一次函数50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题05 一次函数50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 函数的图象压轴题型 题型二 一次函数的图象与性质压轴题型 题型三 一次函数的规律探究问题 题型四 一次函数与方程、不等式的关系 题型五 一次函数的应用压轴 题型六 一次函数的翻折问题 题型七 一次函数的旋转问题 题型八 一次函数中的最值问题 题型九 一次函数中的存在性问题 题型十 一次函数的综合 【经典例题一 函数的图象压轴题型】 1．如图表示的是小红和小星外出散步时，离家的距离与时间的函数关系．（图代表小红，图代表小星） ①小红从家出发，再回到家中共用了分钟； ②小星从家出发，当出发分钟后，就立即往回走； ③小红与小星离家最远距离都是米； ④小红与小星从家出发前分钟速度相同； ⑤如果小红与小星同一时刻从同一地点出发，从两个图象上看，他们整个过程是一路同行的； 以上描述，符合函数图象的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．③④⑤ 2．如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法不正确的是（　　）    A． B． C． D． 3．甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：（1）、之间的距离为；（2）乙行走的速度是甲的倍；（3）；（4）以上结论正确的是 ． 4．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行，先到终点的人原地休息．已知甲先出发，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离与甲出发的时间之间的关系如图所示，以下结论：①甲步行的速度为；②乙走完全程用了；③乙用追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有，其中错误的结论有 （填序号）． 5．“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，并由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，介绍与展示空间科学设施，旨在传播普及空间科学知识，激发广大青少年不断追寻“科学梦”、实现“航天梦”的热情．七（1）班“问天小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 声音在空气中的传播速度 阅读上述材料回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ； (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为 ； (4)某日的气温为，欢欢同学看到烟花燃放后才听到声响，那么欢欢同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【经典例题二 一次函数的图象与性质压轴题型】 1．1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 2．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．对于函数，当时有最大值，则的值为 ． 4．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为 . 5．在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【经典例题三 一次函数的规律探究问题】 1．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点、、、，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，，，…，在x轴上，点，，，…，在直线上．已知，轴，…，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为 ． 5．问题探究： （1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可） （2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：； 问题解决： （3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）． ①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程； ②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式． 【经典例题四 一次函数与方程、不等式的关系】 1．已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 2．在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是 ． ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． 4．如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么内（含边界）的整点共有 个． 5．对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．对于分段函数，在自变量不同的取值范围内，对应的函数表达式不同，例如：是分段函数，当时分段函数表示为．    (1)当时， ①直接写出此分段函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出相应的函数图象； ②当时，直接写出函数值的取值范围； ③当时，直接写出自变量的取值范围； (2)已知点的坐标点的坐标，当函数的图象与线段有两个公共点时，求的取值范围． 【经典例题五 一次函数的应用压轴】 1．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当铁块位于水面上方时，，当铁块入水后，．）则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里． B．当时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为． C．当铁块下降高度为6cm时，此时铁块所受浮力是1.5N． D．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm． 2．甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（      ） A．5分钟 B．9分钟 C．分钟 D．分钟 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，现将直线绕点按逆时针方向旋转交轴于点，则点的坐标是 ．    5．已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示．    (1)分别计算客车从甲地开往乙地的速度及货车的速度； (2)求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？ 【经典例题六 一次函数的翻折问题】 1．把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．将一次函数（为常数）的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数（为常数）的图像位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作轴的平行线，若该“”型折线在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图是函数的图象，它可看成是将函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折得到，若函数的图象与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ．    4．将函数（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若该图象与直线的两个交点的横坐标都满足，则b的取值范围为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 【经典例题七 一次函数的旋转问题】 1．已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1 3．已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是 ． 4．已知一次函数y＝x＋1的图像与y轴交于点A，将该函数图像绕点A旋转45°，旋转后的图像对应的函数关系式是 ． 5．（1）直线与轴的交点坐标为　　； （2）把直线沿着轴正方向平移2个单位后的直线解析式为　　； （3）将（2）中平移后的直线绕坐标原点顺时针旋转，求旋转后的直线解析式． 【经典例题八 一次函数中的最值问题】 1．如图，在Rt中，，点D在边上，，点C为的中点，点P为边上的动点，若使四边形周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，有点和，在轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系中的三个点：，，，经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，，分别计算的值，其中最小的值等于 ． 4．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点． （1） ； （2）点是轴上一动点，连接，若的周长最小，则点的坐标为 ． 5．如图，直线的函数表达式为，且分别交轴、轴于点，；直线的函数表达式为，经过点，分别交轴、直线于点，，且点坐标为．    (1)则_____，______； (2)直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一动点，是否存在点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 一次函数中的存在性问题】 1．已知函数的图像上，存在满足的点，则的最大值为（    ） A．7 B．6 C．3 D．2 2．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足，则称这个函数是有界函数，其中，M的最小值称为这个函数的边界值． （1）若函数（）是有界函数，请写出其中一个M的取值： ； （2）若函数（，且）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是 ． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．已知在轴上存在一点，使得的面积为，则点的坐标为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴，轴交于点、，直线与直线交于点，直线过点，与轴交于点，点的纵坐标是． (1)求直线的解析式； (2)若点E在x轴上，且，求点E坐标； (3)点在直线上，且在直线的左侧，，点是线段的动点，过点Q作轴，交直线与点，在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【经典例题十 一次函数的综合】 1．直线与函数的图像有且只有两个公共点，则k的取值范围是 ． 2．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为 . 3．已知一次函数． （1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是 ； （2）在平面直角坐标系中有一条线段，其中，，若这个一次函数的图象与线段相交，则的取值范围是 ． 4．新定义：对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）． 例如：对于关于的一次函数的3变函数为． (1)关于的一次函数的2变函数为，则当时， ． (2)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为，求函数和函数的交点坐标； (3)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为． ①当时，函数的取值范围是 （直接写出答案）． ②若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是 （直接写出答案）． 5．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 函数的图象压轴题型 题型二 一次函数的图象与性质压轴题型 题型三 一次函数的规律探究问题 题型四 一次函数与方程、不等式的关系 题型五 一次函数的应用压轴 题型六 一次函数的翻折问题 题型七 一次函数的旋转问题 题型八 一次函数中的最值问题 题型九 一次函数中的存在性问题 题型十 一次函数的综合 【经典例题一 函数的图象压轴题型】 1．如图表示的是小红和小星外出散步时，离家的距离与时间的函数关系．（图代表小红，图代表小星） ①小红从家出发，再回到家中共用了分钟； ②小星从家出发，当出发分钟后，就立即往回走； ③小红与小星离家最远距离都是米； ④小红与小星从家出发前分钟速度相同； ⑤如果小红与小星同一时刻从同一地点出发，从两个图象上看，他们整个过程是一路同行的； 以上描述，符合函数图象的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的图象，根据图象读懂信息是解题的关键． 根据图象逐一判断即可． 【详解】解：①由图象可知小红从家出发，再回到家中共用了分钟，故①正确； ②由图象可知小星从家出发，当出发分钟后，停留了分钟再往回走，故②错误； ③由，图象可知小红与小星离家最远距离都是米，故③正确； ④由，图象可知小红与小星从家出发前分钟速度都是(米/分钟)，故④正确； ⑤如果小红与小星同一时刻从同一地点出发，从两个图象上看，他们整个过程可能是一路同行，也可能朝相反的方向运动，故⑤错误； ∴正确的描述有①③④． 故选：C． 2．如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点的函数图象，三角形的面积，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键． 将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动， ∴． ∵， ∴， ∴A选项的结论正确，故该选项不符合题意； B选项的结论正确，故该B选项不符合题意； 由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处， ∴， 由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处， ∴， 由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处， ∴． ∴C选项不正确，故该选项符合题意；； ∵图①中各角均为直角， ∴， ∴D选项的结论正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：（1）、之间的距离为；（2）乙行走的速度是甲的倍；（3）；（4）以上结论正确的是 ． 【答案】（1），（2），（4） 【分析】本题考查了函数图象的识别，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．（1）由时，可得出A、B之间的距离为；（2）根据速度路程时间可求出乙的速度，再根据甲的速度路程时间乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1.5倍；（3）根据路程二者速度和运动时间，即可求出；（4）根据甲走完全程所需时间两地间的距离甲的速度，即可求出．综上即可得出结论． 【详解】解：（1）当时， ∴A、B之间的距离为，故结论（1）正确； （2）乙的速度为， 甲的速度为， ， ∴乙行走的速度是甲的倍，故结论（2）正确； （3），故结论（3）错误； （4），故结论（4）正确． 故结论正确的有（1），（2），（4）． 故答案为：（1），（2），（4）． 4．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行，先到终点的人原地休息．已知甲先出发，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离与甲出发的时间之间的关系如图所示，以下结论：①甲步行的速度为；②乙走完全程用了；③乙用追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有，其中错误的结论有 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查函数图像，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：根据图象，甲步行分钟走了米， 甲步行的速度为米分，故①正确； 由图象可知，甲出发分钟后乙追上甲，则乙用了分钟追上甲，故③错误； 乙的速度为米分， 则乙走完全程的时间为分，故②错误； 当乙到达终点时，甲步行了米， 甲离终点还有米)，故④错误； 综上，错误的结论有②③④． 故答案为：②③④． 5．“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，并由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，介绍与展示空间科学设施，旨在传播普及空间科学知识，激发广大青少年不断追寻“科学梦”、实现“航天梦”的热情．七（1）班“问天小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 声音在空气中的传播速度 阅读上述材料回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ； (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为 ； (4)某日的气温为，欢欢同学看到烟花燃放后才听到声响，那么欢欢同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度 (2) (3) (4) 【分析】本题考查变量之间的关系，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出变量之间的关系是正确解答的前提． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出变量之间的关系； （4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【详解】（1）据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 故答案为：； （3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得， ， 故答案为：； （4）当时， ， ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 【经典例题二 一次函数的图象与性质压轴题型】 1．1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据中线的定义和待定系数法求解析式，求出三条中线的交点点的坐标，再根据线段垂直平分线的性质以及两点之间的距离公式求出三角形三边的垂直平分线的交点，再运用待定系数法即可求解； 【详解】解：设边上的中线为交于点， 则点的坐标分别为、， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为①， 由点的坐标，同理可得直线的表达式为②， 联立①②并解得故点的坐标为； 设三角形三边的垂直平分线的交点，为，则， ∴， 解得．可得． 设该三角形的欧拉线方程为，将，代入可得： ，解得：， 则该三角形的欧拉线方程为， 故选：C． 【点睛】该题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间的距离公式，中点坐标公式，待定系数法求一次函数解析式以及函数交点求解等知识点，解题的关键是求出点和点W． 2．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象及性质．取连，取点P，轴轴，垂直分别为，可得均为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形进而得，继而得到线上的点为“成双点”，线上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解． 【详解】解：取连，取点P，轴轴，垂直分别为， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点是“成双点”，即线上的点为“成双点”，同理线上的点为“成双点”， ∴当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， ∵一次函数的图象l经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为， 当一次函数的图象经过点E时， ∴，解得：， 当一次函数的图象经过点G时， ∴，解得：， ∴k的取值范围：， 故选：D． 3．对于函数，当时有最大值，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义和一次函数的增减性，根据绝对值的意义；先得出的最大值为；分两种情况讨论：①，得一次函数，随的增大而增大，可知当时，取得最大值，然后代入计算即可得到的值；②，得一次函数，随的增大而增大，可知当时，取得最大值，然后代入计算即可得到的值，此时最大值为与的最大值为矛盾，舍去． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，，则，符合题意； 分两种情况： ①当时， ∵ ∴当时，随的增大而增大， 即当时，取得最大值， 即：， 解得：，此时，符合题意， ②当时， ∵， ∴当时，随的增大而减小， 即当时，取得最大值， 即：， 解得：，此时最大值为与的最大值为矛盾，舍去 ∴或， 故答案为：或． 4．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为 . 【答案】且 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，由题意可知，且在的上方，则，当经过点时，， 此时两直线相交，即可得到时，，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴直线经过定点， ∵无论取何值，始终有， ∴，且在的上方， ∴， 当经过点时， ， ∴， 此时两直线相交， ∴时，， 即且， 故答案为：且． 5．在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②1或 (2)图象G与x轴交点的坐标为 (3)满足条件的m的取值范围是 【分析】（1）①把点代入得出a的值即可； ②分两种情况求出b的值即可； （2）先分当时，当时，求出m的值，然后根据m的值，求出图象与x轴的交点坐标即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴把代入得： ； ②当时，把代入得：， 解得：； 当时，把代入得：， 解得：， 综上分析可知：b的值为1或． （2）解：当时，把点代入得： ， 解得：不符合题意； 当时，把点代入得： ， 解得：符合题意， ∴此时函数， 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴没有交点； 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴有交点， 把代入得：， 解得：， ∴图象G与x轴交点的坐标为； （3）解：当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵ ∴不符合题意； 当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴不符合题意； 当时， 时，， 时，， ∵当时，， ∴此时最大值为：，最小值， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解不等式组，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论． 【经典例题三 一次函数的规律探究问题】 1．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点、、、，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形、正方形的性质以及点的坐标的规律性，根据等腰直角三角形的性质、正方形的性质求出相应的边长是确定点坐标的关键．根据直线与轴、轴的交点坐标可判断出，、、，都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质以及正方形的性质可求出相应的边长，进而求出点、、、的坐标． 【详解】解：在中，令，得，令，得， 所以直线与轴交于点，与轴的交点坐标为， 因此有，、、，都是等腰直角三角形， 所以点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 即点， 故选：A． 2．如图，点，，，…，在x轴上，点，，，…，在直线上．已知，轴，…，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与图形规律的综合，解题的关键是掌握一次函数的性质，等腰三角形的性质，根据图形得到规律：，根据，求出，在根据点在，即可． 【详解】∵， ∴是等腰三角形， ∵轴， ∴， 同理可知：， ∴， ∵，，，， ∴； ∵点在， ∴当时，即是，， ∴点． 故选：D． 3．如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数字类的规律性问题，解题的关键在于能够求出．先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法求出（，0），（0，），则，，从而得到，由此求解即可． 【详解】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 故答案为：． 5．问题探究： （1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可） （2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：； 问题解决： （3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）． ①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程； ②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线的解析式为 【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格和梯形的面积公式求解即可； （2）根据，，即可求解； （3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，量出的中点Q，连接，由，可得，从而可得，可证，再由平分梯形的面积，即可求解； ②由题意可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据一次函数平移的规律可设直线的解析式为，再把代入求得直线的解析式为，从而可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一）， 理由如下：如图，直线l分别交、于点E、F， ∵，， ∵； （2）设、之间的距离为h，∵， ， ， ． （3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N， 量出的中点Q，连接，的位置如图所示． ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵平分梯形的面积， ∴平分五边形的面积， ②由题意得，，，，，， ． 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为，故可设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为． 当时，，解得． ． ， 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 【经典例题四 一次函数与方程、不等式的关系】 1．已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断； B、根据一次函数的性质即可判断； C、求得一次函数的图象过定点，再根据一次函数的图象不经过第四象限即可判断； D、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断． 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直线平行，始终有 ，求解当过时，，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ， 一次函数 过定点 ， ∵无论 取何值，始终有 ， ∴两直线平行，才会始终有 ， ∴， 当过时， ∴， 解得：， 此时两条直线相交， 如图，    ∴且， 当时，如图，不符合题意；    故选：D 3．一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是 ． ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，绝对值的性质等知识．熟练掌握一次函数的图像和性质是解题关键． 根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①； 利用待定系数法求出，结合一次函数的性质即可判断②； 求出，结合，即得出，解得或，故③错误； 将代入，即可求出 ，进而可得出，且，画出大致图像，可得出当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方，即，可判断④正确． 【详解】解：∵一次函数与的图像交于点， ∴联立的解为， 即方程的解为，故①正确； 将代入，得：， 解得：， ∴． ∵， ∴对于一次函数，y的值随x的增大而减小， ∴当时，；当时，， ∴无论何时与都为异号， ∴，故②正确； ∵，且， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或，故③错误； 将代入，得：， ∴． ∵，且， ∴，且， ∴画出图像如图所示．    由图可知当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方， ∴当时，，故④正确． 故答案为：①②④． 4．如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么内（含边界）的整点共有 个． 【答案】22 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数值的大小比较，正确理解内（含边界）的整点的含义是解答本题的关键．先用待定系数法求直线的解析式，然后分别求，1，2，，9时的函数值，可逐步求得相关整点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，两点的坐标代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 当时，，所以线段上有4个整点，，，，， 当时，，所以在直线上有3个整点符合要求，，，， 当时，，所以在直线上有3个整点符合要求，，，， 当时，，所以在直线上有3个整点符合要求，，，， 当时，，所以在直线上有2个整点符合要求，，， 当时，，所以在直线上有2个整点符合要求，，， 当时，，所以在直线上有2个整点符合要求，，， 当时，，所以在直线上有1个整点符合要求，， 当时，，所以在直线上有1个整点符合要求，， 当时，，所以在直线上有1个整点符合要求，， 综上所述，内（含边界）的整点共有22个． 故答案为：22． 5．对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．对于分段函数，在自变量不同的取值范围内，对应的函数表达式不同，例如：是分段函数，当时分段函数表示为．    (1)当时， ①直接写出此分段函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出相应的函数图象； ②当时，直接写出函数值的取值范围； ③当时，直接写出自变量的取值范围； (2)已知点的坐标点的坐标，当函数的图象与线段有两个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1)①，图象见解析；②；③或； (2)． 【分析】将代入求解即可； 将和分别代入对应解析式求解即可； 结合图象，将和代入对应解析式求解即可； 当图象与线段有两个交点时，直线，两侧图象都与有交点，代入临界值求解即可． 本题主要考查一次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，根据图象分类讨论求解． 【详解】（1）解：当时，分段函数表示为， 在平面直角坐标系内画出相应的函数图象如下：   当时，函数随增大而增大， 当时，，当时，， ， 当时，函数随增大而减小， 当时，，当时，， ， 综上所述，当时，； 时，， 时，， 时，， 结合图象可得时，或； （2）当函数的图象与直线有两个公共点时， 与有一个交点， 与有一个交点， 即， 与直线交点在上或上方，与直线交点在下方， 与直线交点在下方，与直线交点在上方， ， 解得． 【经典例题五 一次函数的应用压轴】 1．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当铁块位于水面上方时，，当铁块入水后，．）则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里． B．当时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为． C．当铁块下降高度为6cm时，此时铁块所受浮力是1.5N． D．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm． 【答案】D 【分析】根据函数图像待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图知，铁块下降到5cm时，刚好接触水面， ∴A选项错误； 当时，设所在直线的关系式为：， 把，代入得， 解得， ∴F与h的关系式为：， ∴B选项错误； 当时，， 由图知， ∵， ∴， ∴C选项错误； 当时，， 解得， 此时铁块底面距离水底， ∴D选项正确； 故选：D． 2．甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（      ） A．5分钟 B．9分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，一元一次方程等知识．从图像中获取正确的信息，正确的表示函数关系式是解题的关键． 根据图像与题意求甲的函数关系式为，乙的函数关系式为；然后令，分情况求解即可． 【详解】解：由图像可知，甲的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为； 令， 当时，， 解得（舍去）； 当时，， 当时，解得； 当时，解得； 当时，可得， 解得； 综上，的值可能为5或11或17，不可能为9， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴分界点为点， 如图， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， ∵直线与组成的新的图形有两个交点，且直线过定点， ∴当直线过点A时，，此时； 当直线过点B时，，此时； ∴直线与组成的新的图形有两个交点， 的取值范围是． 故答案为： 4．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，现将直线绕点按逆时针方向旋转交轴于点，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】过作轴于，过作，证明是等腰直角三角形，则有，再通过角度的和差，证明，根据性质得出点，最后通过待定求出直线的函数表达式即可． 【详解】解：如图，过作轴于，过作，交直线于D，作轴于，      ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为：， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为：， 令，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数与几何变换，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 5．已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示．    (1)分别计算客车从甲地开往乙地的速度及货车的速度； (2)求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？ 【答案】(1)客车从甲地开往乙地的速度为，货车的速度为； (2)； (3)或． 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）设两车第一次相遇后，再经过两车之间相距，分两种情况：①客车到达乙地前两车相距；②客车到达乙地后两车相距列出方程解答即可求解； 本题考查一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，客车从甲地开往乙地的速度为， 货车的速度为； （2）解：客车从甲地开往乙地需要的时间为， ∴点的坐标为， 设为，把、代入得， ， 解得， ∴客车返回时与之间的函数关系式为； （3）解：设两车第一次相遇后，再经过两车之间相距， ①客车到达乙地前两车相距， 由题意得，， 解得； ②客车到达乙地后两车相距，此时货车已到达甲地， 由题意可得，， 解得； 答：两车第一次相遇后，再经过或两车之间相距． 【经典例题六 一次函数的翻折问题】 1．把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与不等式的结合，熟练运用数形结合是解题的关键．画出大致图象，由函数的解析式求得最低点为，点关于直线的对称点为，由题意可知，解不等式即可． 【详解】解：函数的图象如图， 可知函数的最低点为， 点关于直线的对称点为， 当直线与图象有四个交点时，可得， 解得， 故选：B． 2．将一次函数（为常数）的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数（为常数）的图像位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作轴的平行线，若该“”型折线在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式3x+b＜1时，得x＜；再求出函数y=3x+b沿x轴翻折后的解析式为y=-3x-b，解不等式-3x-b＜1，得x＞-；根据x满足0＜x＜3，得出-=0，=3，进而求出b的取值范围． 【详解】∵y=3x+b， ∴当y＜1时，3x+b＜1，解得x＜； ∵函数y=3x+b沿x轴翻折后的解析式为-y=3x+b，即y=-3x-b， ∴当y＜1时，-3x-b＜1，解得x＞-； ∴-＜x＜， ∵x满足0＜x＜3， ∴-=0，=3， ∴b=-1，b=-8， ∴b的取值范围为-8≤b≤-1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，求出函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式是解题的关键． 3．如图是函数的图象，它可看成是将函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折得到，若函数的图象与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，画出函数图象，分析得出两个图象有个交点的情况，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意可知，经过点时与有个交点， ∴，解得：， 根据图象可知：函数的图象与函数的图象有两个交点，则的取值范围是， 故答案为：． 4．将函数（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若该图象与直线的两个交点的横坐标都满足，则b的取值范围为 ． 【答案】-6≤b≤-2 【分析】根据x满足0＜x＜4，进而求出b的取值范围． 【详解】解：如图的折线是函数（b为常数）的图象， 当x=4时，8+b≥2，b≥-6； 当x=0时，-b≥2即b≤-2， ∴b的取值范围为-6≤b≤-2． 故答案为：-6≤b≤-2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，求出函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3)解析式为 ． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，两直线平行问题，等腰直角三角形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将、两点代入即可求解； （2）过点作轴于点．设，根据可证明，可得，，由点恰好落在直线上即可求解； （3）连接交于，由翻折得，，根据等腰三角形的性质可得，可得，设过点且与直线平行的直线的解析式为，将代入即可求解． 【详解】（1）一次函数的图象与轴、轴相交于、两点， ， 解得， 即，； （2）过点作轴于点． 设， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ； ，， ， ，， 直线的解析式为， 点恰好落在直线上， ， 解得， ； （3）连接交于， 由翻折得，， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 设过点且与直线平行的直线的解析式为， 将代入得， 解得， 过点且与直线平行的直线的解析式为． 【经典例题七 一次函数的旋转问题】 1．已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，先求出直线的解析式，推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线的解析式，求出E的横坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点D的坐标． 【详解】解：∵，， ∴，，． 设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； ∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ 设直线的解析式是：， ∵ 代入得： 解得：   ∴直线的解析式为 令，则 ∴D的坐标为 故选A． 2．若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1 【答案】C 【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得，得到直线解析式为y＝x-2，将其向左平移2个单位，得到y＝x-1，绕着原点旋转180°，得解． 【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b， 根据题意，得， 解得， ∴直线解析式为y＝x-2， 将其向左平移2个单位，得y＝（x+2）-2， 即y＝x-1， ∴与y轴的交点为（0，-1），与x轴的交点为（2,0）， ∵绕着原点旋转180°， ∴新直线与与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-2,0）， ∵设直线的解析式为y=mx+1， ∴-2m+1=0， 解得m=， ∴y＝x+1， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键． 3．已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，把点的坐标分别代入求出k的值即可得到答案． 【详解】解：把代入直线得， ， 把代入直线得，， 解得 ∴的取值范围是， 故答案为： 4．已知一次函数y＝x＋1的图像与y轴交于点A，将该函数图像绕点A旋转45°，旋转后的图像对应的函数关系式是 ． 【答案】y＝－x＋1 或y＝3x＋1 【分析】分两种情况讨论，通过三角形全等，求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得旋转后的图象对应的函数关系式． 【详解】解：如图1， ∵一次函数y=x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B， ∴A（0，1），B（-2，0）， 当直线y=x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l， 过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD为等腰直角三角形， ∵∠EDB+∠FDA=∠EDB+∠EBD=90°，BD=AD， ∴∠FDA=∠EBD， ∴△ADF≌△DBE（AAS），设AF=a，则DE=a， ∵点A（0，1），点B（-2，0）， ∴DF=BE=OF=1+a，EF=ED+DF=a+1+a=OB=2， ∴a=， ∴DF=OF=1+a=， ∴D（-，）， 设直线l的解析式为y=kx+1，则=-k+1，解得k=-， ∴y=-x+1； 如图2， 直线y=x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形， 同理可得△ADF≌△BDE（AAS）， 设DF=b，则DE=b， ∵点A（0，1），点B（-2，0）， ∴AF=BE=1+b，BO=BE+OE=b+1+b=OB=2， ∴b=， ∴D（-，-）， 设直线l的解析式为y=kx+1，则-=-k+1，解得k=3， ∴y=3x+1； 综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y=-x+1或y=3x+1． 故答案为y=-x+1或y=3x+1． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，旋转的性质以及一次函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形． 5．（1）直线与轴的交点坐标为　　； （2）把直线沿着轴正方向平移2个单位后的直线解析式为　　； （3）将（2）中平移后的直线绕坐标原点顺时针旋转，求旋转后的直线解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）令，得出，解关于x的方程即可得出答案； （2）根据平移特点得出解析式即可； （3）求出直线与坐标轴的交点，然后再求出旋转后的坐标，用待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：（1）令得， ， ∴与x轴的交点坐标为：； 故答案为：； （2）直线沿着轴正方向平移2个单位后，， ； 故答案为：； （3）将，代入得：，， 解得：， ∴直线与坐标轴的交点为：，， ∴这两个点绕坐标原点顺时针旋转后的坐标为：，， 令旋转后的直线解析式为，把，代入得：， 得， ， 旋转后的直线解析式为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，与坐标轴的交点，求出旋转后对应点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式，是解题的关键． 【经典例题八 一次函数中的最值问题】 1．如图，在Rt中，，点D在边上，，点C为的中点，点P为边上的动点，若使四边形周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，正确找出点的位置是解题的关键；作点关于的对称点，连接，若使四边形周长最小，只要最小，当、、三点共线时，最小，设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，利用待定系数法求出直线和的解析式，求出交点即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ，， ， ， 点关于的对称点， ，， 若使四边形周长最小，只要最小， 当、、三点共线时，最小， 设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小， 点在轴上，且， ， ， 设直线的函数解析式为：， ， ， ， 又直线， ， 解得， 点， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，有点和，在轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作A关于x轴的对称点C，连接交x轴于P，连接，此时点P到点A和点B的距离之和最小，求出点C的坐标，设直线的解析式是，把C、B的坐标代入求出解析式，把代入求出x的值即可得到点P的坐标． 【详解】如图： 作A关于x轴的对称点C，连接交x轴于P，连接，则此时最小， 即此时点P到点A和点B的距离之和最小， ∵， ∴， 设直线的解析式是，， 把C、B的坐标代入得： ， 解得， ∴， 把代入得：， 解得， 即点P的坐标是， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目． 3．如图，平面直角坐标系中的三个点：，，，经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，，分别计算的值，其中最小的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，不妨设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，根据点的坐标，利用待定系数法，可求出的值，将其代入中，比较后即可得出结论． 【详解】解：不妨设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴； 将，代入得：， 解得：， ∴； 将，代入得：， 解得：， ∴． ∵， ∴其中最小的值等于． 故答案为：． 4．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点． （1） ； （2）点是轴上一动点，连接，若的周长最小，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，以及轴对称图形的性质： （1）先求出点B的坐标，可得直线的解析式，从而求出m的值，再把把代入，即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的周长最小．求出直线的表达式，即可求解． 【详解】解：（1）直线与轴交于点，且经过点， ， ， 直线， 直线经过点， ， ， 把代入，得：， 解得：； 故答案为： （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的周长最小． 设直线的表达式为， ， ∴， 解得：， 直线的表达式为， 令，得到， ． 故答案为： 5．如图，直线的函数表达式为，且分别交轴、轴于点，；直线的函数表达式为，经过点，分别交轴、直线于点，，且点坐标为．    (1)则_____，______； (2)直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一动点，是否存在点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求解； （）作点关于轴对称点，连接，交轴于点，此时周长最小，求出点，然后再用待定系数法求出直线解析式为即可； 本题考查一次函数的图象及性质，轴对称最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）∵， ∴由函数图象可得不等式的解集为：； （3）存在，理由， 如图，作点关于轴对称点，连接，交轴于点，此时周长最小，      ∵， ∴， 由（）得直线的函数表达式为， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点． 【经典例题九 一次函数中的存在性问题】 1．已知函数的图像上，存在满足的点，则的最大值为（    ） A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】B 【分析】如图，在直角坐标系中分别画出，，三条直线，分别交于A，B，C三点，根据的函数图像上下平移得到的函数图像，即可得出的最大值． 【详解】解：如图，在直角坐标系中分别画出，，三条直线，分别交于A，B，C三点， ，解得，，解得，，解得， ，，， 的函数图像由的函数图像上下平移得到， 当的函数图像过点A时，有最大值， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像性质，熟练掌握一次函数图像平移的性质及灵活运用数形结合的方法是解题的关键． 2．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点P是“成双点”， 即线段上的点为“成双点”， 同理线段上的点为“成双点”， ∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当一次函数的图象经过点E时， ，解得：， 当一次函数的图象经过点G时， ，解得：， ∴k的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 3．对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足，则称这个函数是有界函数，其中，M的最小值称为这个函数的边界值． （1）若函数（）是有界函数，请写出其中一个M的取值： ； （2）若函数（，且）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是 ． 【答案】 2（大于等于2即可） 【分析】本题主要考查一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键． （1）根据“有界函数”的定义求解即可； （2）根据可知函数（,且）的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可． 【详解】解：（1）当时， 故M的值为：2（答案不唯一，大于等于2即可） （2）∵ ∴函数（,且）的y随x的增大而增大， ∴当时，函数的函数值为边界值， ∵, ∵边界值小于3 ∴， 解得：． 故答案为：． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．已知在轴上存在一点，使得的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积，熟练掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标方法是解题的关键． 先求出点和点的坐标，根据三角形的面积公式可求得，结合题意即可求解． 【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则， 故； 令，则， 解得：， 故； ∵的面积为， 即， ∵， 故， 又∵点在轴上，， ∴或． 故答案为：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴，轴交于点、，直线与直线交于点，直线过点，与轴交于点，点的纵坐标是． (1)求直线的解析式； (2)若点E在x轴上，且，求点E坐标； (3)点在直线上，且在直线的左侧，，点是线段的动点，过点Q作轴，交直线与点，在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为：或； (3)存在，N的坐标为：，或，或， 【分析】本题是一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰直角三角形性质等知识； （1）由待定系数法即可求解； （2）过点作直线，在点的下方取点，使，则点，即可求解；当点在轴右侧时，同理可解； （3）求出直线解析式为，得到，再分类求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， 点的纵坐标是， ， 设直线的解析式为，把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：由、的坐标知，， 过点作直线，在点的下方取点，使， 则点， 则直线的表达式为：， 则点； 当点在轴右侧时， 同理可得：点； 综上，点的坐标为：或； （3）解：存在，理由： 在直线上存在点，使得， 设交直线于，如图： ，，， ， 在中，令得， ， 设，直线为， 则，解得， 直线为， 令得：， ， ， ， ，即， 解得， ； 在轴上存在点，使得为等腰直角三角形， 由，得直线解析式为， 设， 轴，在上， 在中令，得， ， ， ①当为直角顶点时，如图： ， ， 解得， ，； ②当为直角顶点时，如图： ， ， 解得， ，； ③当为直角顶点时，过作，如图： ， ， 解得， ，， ， ， ，； 综上所述，的坐标为：，或，或，． 【经典例题十 一次函数的综合】 1．直线与函数的图像有且只有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；先把函数化为分段函数的形式，再求解当过时，当过时，的值，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ； 而过， 如图， 当过时， ∴， 解得：， 当过时， ∴， 解得：， 此时的图象与的图象平行， ∴直线与函数的图象有且只有两个公共点，k的取值范围是； 故答案为： 2．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为 . 【答案】且 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，由题意可知，且在的上方，则，当经过点时，， 此时两直线相交，即可得到时，，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴直线经过定点， ∵无论取何值，始终有， ∴，且在的上方， ∴， 当经过点时， ， ∴， 此时两直线相交， ∴时，， 即且， 故答案为：且． 3．已知一次函数． （1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是 ； （2）在平面直角坐标系中有一条线段，其中，，若这个一次函数的图象与线段相交，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题． （1）将函数解析式转化为， 即可求解； （2）由（1）可知定点C，即可求解直线的解析式，由一次函数的图象与线段相交，即可求解的取值范围． 【详解】解：（1）将一次函数变形为： 当时，即时， 不论取何值，函数一定经过一个固定的点，这个点的坐标是 故答案为∶ ． （2）由（1）问可知一次函数经过一个固定的点为C点坐标为， 设直线解析式为：， 代入点坐标可得： ， 解得：， 设直线解析式为：， 代入点坐标可得： ， 解得：， 一次函数的图象与线段相交， 或． 故答案为：或． 4．新定义：对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）． 例如：对于关于的一次函数的3变函数为． (1)关于的一次函数的2变函数为，则当时， ． (2)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为，求函数和函数的交点坐标； (3)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为． ①当时，函数的取值范围是 （直接写出答案）． ②若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是 （直接写出答案）． 【答案】(1)3 (2)和 (3)①；② 【分析】（1）根据变函数的定义即可解决问题； （2）转化为方程组解决问题即可； （3）①根据变函数的定义，求出特殊点的函数值即可解决问题；②利用方程组求出交点坐标即可解决问题； 【详解】（1）解：根据变函数定义，关于的一次函数的2变函数为： ， 时，， 故答案为：3； （2）解：根据定义得：，， 求交点坐标：①， 解得； ②， 解得； ①，无解； ②，无解； 综上所述函数和函数的交点坐标为和； （3）解：①由题意：， 时，，时，， 时，， 故答案为． ②由题意：，， 同理，解得两个函数的交点为，， 观察图象可知：时，函数和函数有且仅有两个交点． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用、两直线平行或相交等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组确定两个函数的交点坐标． 5．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或6 【分析】（1）利用待定系数法即可求出线段所在直线的解析式． （2）过A点作轴于F点，先证明，则可得，，进而可得．然后分两种情况：①当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式．②当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式． （3）若为直角三角形，则P点只能在线段上．然后分两种情况：①当时，②当时，分别求出的长，即可求出t的值． 【详解】（1）解：设线段所在直线解析式为， 则， 解得， ∴线段所在直线解析式为． （2）解：过A点作轴于F点． ∵， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴． ①当时，P点在线段上，，，    则 ． ②当时，P点在线段上，    ． 综上，． （3）解：若为直角三角形，则P点只能在线段上． ①当时，P点与F点重合，    ∵， ∴． ②当时，    ∵平分， ∴， 则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当或6时为直角三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合运用，用待定系数法求一次函数解析式，列一次函数关系式以及动点问题．正确的画出图形，并且分类讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$