2.1.2两条直线平行和垂直的判定6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.1.2两条直线平行和垂直的判定6题型分类 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定： 图示 对应关系 l1⊥l2(斜率都存在) ⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在， l2的斜率为0⇔l1⊥l2 （一） 两条直线平行的判定 判断两条不重合的直线是否平行的方法： 题型1：两条直线平行的判定 1-1．（2024高二上·全国·课后作业）判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 1-2．（2024高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点. 1-3．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 题型2：两条直线平行的应用 2-1．（2024高二·江苏·假期作业）已知直线的倾斜角为，直线的斜率为，若∥，则的值为 ． 2-2．（2024高二·全国·课后作业）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为 . 2-3．（2024高二·江苏·假期作业）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（    ） A．－8 B．0 C．2 D．10 2-4．（2024高二上·天津蓟州·阶段练习）过点两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则 （二） 两条直线垂直的判定 判断两条直线是否垂直： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 题型3：两条直线垂直的判定 3-1．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 3-2．（2024高一上·陕西宝鸡·期末）下列说法中正确的是（    ） A．两条平行直线的斜率一定相等 B．两条平行直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两直线的斜率之积为-1 D．互相垂直的两直线的倾斜角互补 3-3．（2024高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． 题型4：两条直线垂直的应用 4-1．（2024高一·全国·课后作业）过点，的直线与过点，的直线垂直，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 4-2．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 4-3．（2024高二下·甘肃武威·开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 4-4．（2024高二上·山西晋中·期末）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4-5．（2024高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 （三） 两条直线平行或垂直的综合应用 利用两条直线的平行或垂直判断图形形状 题型5：利用两条直线平行或垂直判定图形形状 5-1．（2024高二上·全国·课后作业）以为顶点的四边形是（    ） A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 5-2．（2024高二·江苏·假期作业）已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形． 5-3．（2024高二·江苏）已知点，，，，试判定四边形ABCD的形状． 题型6：两条直线平行或垂直的综合应用 6-1．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 6-2．（2024高二上·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为 . 6-3．（2024高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 2．（2024高二下·福建·学业考试）已知直线：，：，若，则实数（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 3．（2024高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行 4．（2024高二上·山东泰安·期末）若直线与直线平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．3 5．（2024高二上·广东广州·期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一下·江西抚州·期末）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与 A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 7．（2024高二上·上海浦东新·期中）“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．（2024高二·全国·课后作业）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 9．（2024高三上·浙江丽水·期中）若直线与平行，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2024高二上·江苏）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（    ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 11．（2024高二上·江苏扬州·阶段练习）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则 C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则 12．（2024高二上·浙江丽水·阶段练习）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则斜率 B．若斜率，则 C．若倾斜角，则 D．若，则倾斜角 13．（2024高二上·吉林·期中）已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2024高二·全国·课后作业）若为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则斜率 B．若斜率，则 C．若，则倾斜角 D．若倾斜角，则 15．（2024高二·全国·课后作业）（多选）若，，，，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（2024高二下·山东菏泽·开学考试）已知三点，则△ABC为 三角形. 17．（2024高二上·全国·专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 四、解答题 18．（2024高一下·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. （1）直线经过点，直线经过点； （2）直线平行于y轴，直线经过点，； （3）直线经过点，直线经过点. 19．（2024高二·全国·课后作业）判断三点是否共线，并说明理由． 20．（2024高二上·四川成都·阶段练习）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长，宽，其中一条小路为，另一条小路过点.请建立合适的平面直角坐标系，在上找到一点，使得两条小路与互相垂直，并求. 21．（2024高二·江苏·假期作业）判断下列各题中直线与是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 22．（2024高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 23．（2024高二·全国·课后作业）已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状． 24．（2024高二·江苏·课后作业）已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.1.2两条直线平行和垂直的判定6题型分类 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定： 图示 对应关系 l1⊥l2(斜率都存在) ⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在， l2的斜率为0⇔l1⊥l2 （一） 两条直线平行的判定 判断两条不重合的直线是否平行的方法： 题型1：两条直线平行的判定 1-1．（2024高二上·全国·课后作业）判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行. 【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可. （2）根据直线的斜率即可判断. （3）求出两直线的斜率即可求解. 【详解】（1）经过，两点，则， 则，可得两直线平行. （2）经过，两点，可得平行于x轴， 平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以； （3）经过，两点，， 经过，两点，则， 所以. 1-2．（2024高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点. 【答案】(1)不平行，理由见解析 (2)不平行，理由见解析 【分析】（1）分别计算出和的斜率，再比较两斜率是否相等即可； （2）求出的斜率，再与的斜率比较即可. 【详解】（1）设直线，的斜率分别为，， 因为经过点，经过点， 所以，， 所以， 所以与不平行； （2）设直线，的斜率分别为，，则， 因为经过点， 所以， 所以， 所以与不平行. 1-3．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【答案】A 【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 题型2：两条直线平行的应用 2-1．（2024高二·江苏·假期作业）已知直线的倾斜角为，直线的斜率为，若∥，则的值为 ． 【答案】/2或/或2 【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线的斜率为，再由两直线平行，斜率相等列出等式，即可求出答案. 【详解】由题意知，解得. 故答案为： 2-2．（2024高二·全国·课后作业）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】由两条直线的位置关系可得直线的斜率与直线的斜率相等，然后根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】解：因为直线与直线平行，直线的斜率为， 所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 所以，即直线的倾斜角为， 故答案为：. 2-3．（2024高二·江苏·假期作业）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（    ） A．－8 B．0 C．2 D．10 【答案】A 【分析】由两点的斜率公式表示出直线的斜率，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案. 【详解】由题意可知，，解得． 故选：A 2-4．（2024高二上·天津蓟州·阶段练习）过点两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则 【答案】 【分析】根据题意,求出直线的斜率和直线的斜率，由，二者斜率相等构造方程解得答案. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 过两点的直线的斜率， 由直线与直线平行， 所以解得. 故答案为：. （二） 两条直线垂直的判定 判断两条直线是否垂直： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 题型3：两条直线垂直的判定 3-1．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【答案】(1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 【分析】（1）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （2）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （3）根据法向量关系判断两直线是否垂直. 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直． （2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． （3）因为，所以与的法向量垂直，所以与垂直． 3-2．（2024高一上·陕西宝鸡·期末）下列说法中正确的是（    ） A．两条平行直线的斜率一定相等 B．两条平行直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两直线的斜率之积为-1 D．互相垂直的两直线的倾斜角互补 【答案】B 【分析】根据直线平行与垂直满足的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,若两条直线平行，但没有斜率，故A错误， 对于B，两条直线平行，则倾斜角相等，故B正确， 对于C，若两条直线分别与坐标轴平行，则此时有一条直线没有斜率，故C错误， 对于D，若两条直线分别与坐标轴平行，则两条直线的倾斜角分别为和，则倾斜角不互补，故D错误， 故选：B 3-3．（2024高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 【分析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别计算出、的斜率，即可判断（1）组直线不垂直； （2）由题知轴，轴，即可判断（2）组直线垂直. 【详解】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为， ， ， ， ∴与不垂直． （2）由题意知的倾斜角为90°， 则轴； 由题知直线的斜率存在，设为， ， 则轴， ∴． 题型4：两条直线垂直的应用 4-1．（2024高一·全国·课后作业）过点，的直线与过点，的直线垂直，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由两线垂直则斜率之积为-1，列方程求m的值即可. 【详解】两条直线垂直，则：，解得， 故选：A． 4-2．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】设点，由为直角，得，然后由列式计算即可. 【详解】由题意，设点， 为直角，， 由， ， 解得或，所以点的坐标为或 故选：B 4-3．（2024高二下·甘肃武威·开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知求出的斜率，再根据两直线垂直的斜率关系即可求解. 【详解】，， 设边上的高的斜率为，则， 故选：C 4-4．（2024高二上·山西晋中·期末）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 4-5．（2024高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出直线的斜率为，分、两种情况讨论，在时，由两直线斜率之积为可求得实数的值；在时，直接验证.综合可得结果. 【详解】直线的斜率． ①当时，直线的斜率． 因为，所以，即，解得． ②当时，、，此时直线为轴， 又、，则直线为轴，显然． 综上可知，或. 故选：C. （三） 两条直线平行或垂直的综合应用 利用两条直线的平行或垂直判断图形形状 题型5：利用两条直线平行或垂直判定图形形状 5-1．（2024高二上·全国·课后作业）以为顶点的四边形是（    ） A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 【答案】D 【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状. 【详解】    在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中， ， ， 所以四边形ABCD是直角梯形； 故选：D. 5-2．（2024高二·江苏·假期作业）已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形． 【答案】证明见解析 【分析】先利用斜率的关系证明两组对边分别平行，可得四边形为平行四边形，再由一组邻边所在的直线的斜率乘积为，可得一组邻边垂直，从而可得结论. 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以∥，∥， 所以四边形为平行四边形， 因为， 所以， 所以四边形为矩形. 5-3．（2024高二·江苏）已知点，，，，试判定四边形ABCD的形状． 【答案】直角梯形 【分析】求出四边斜率，然后再判断形状． 【详解】由斜率公式可得： ， 与BC不平行 又， ， 故四边形ABCD是直角梯形． 【点睛】本题考查四边形形状的判断，要关注四条边的斜率关系，是否有垂直或者平行，是基础题． 题型6：两条直线平行或垂直的综合应用 6-1．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 6-2．（2024高二上·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为 . 【答案】(3,4) 【分析】设D为(x,y)，由平行四边形知对边所在的直线斜率相等，列方程组即可求D的坐标. 【详解】设顶点D的坐标为(x,y)， ∵ABDC，ADBC， ∴，解得， ∴点D的坐标为(3,4). 故答案为：(3,4). 6-3．（2024高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 一、单选题 1．（2024高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 【答案】C 【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可. 【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误； 对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以B错误； 对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确； 对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误； 故选：C 2．（2024高二下·福建·学业考试）已知直线：，：，若，则实数（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】两直线平行，则斜率相等求解. 【详解】已知直线：，：， 因为， 所以 故选：D 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题. 3．（2024高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行 【答案】C 【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案. 【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误； 若，则或，的斜率都不存在，B错误； 若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确； 若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误． 故选：C. 4．（2024高二上·山东泰安·期末）若直线与直线平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k的值. 【详解】因为直线与直线平行， 所以两直线斜率相等，即. 故选：D. 5．（2024高二上·广东广州·期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 故选：C. 6．（2024高一下·江西抚州·期末）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与 A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率；可知斜率乘积为，从而得到垂直关系. 【详解】直线经过，两点    直线的斜率： 直线的倾斜角为    直线的斜率：      本题正确选项： 【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 7．（2024高二上·上海浦东新·期中）“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】根据两直线垂直与斜率的关系判断即可得到结果. 【详解】当两条直线斜率乘积为时，两条直线互相垂直，充分性成立； 当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立； “两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（2024高二·全国·课后作业）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论. 【详解】，，则， 所以,与不平行， 因此 故构成的图形为直角梯形. 故选：B. 9．（2024高三上·浙江丽水·期中）若直线与平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】斜率存在的两直线平行，斜率相等截距不等. 【详解】直线与平行， 所以，. 故选：C. 二、多选题 10．（2024高二上·江苏）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（    ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 11．（2024高二上·江苏扬州·阶段练习）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则 C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则 【答案】BCD 【分析】由两直线斜率不存在可知A错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD正确. 【详解】对于A，当和倾斜角均为时，，但两直线斜率不存在，A错误； 对于B，若和斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知，B正确； 对于C，若，可知两直线倾斜角相等，C正确； 对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知，D正确. 故选：BCD. 12．（2024高二上·浙江丽水·阶段练习）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则斜率 B．若斜率，则 C．若倾斜角，则 D．若，则倾斜角 【答案】BCD 【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果． 【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误. B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确. C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确. D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确. 故选：BCD 13．（2024高二上·吉林·期中）已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断. 【详解】对A，若，则，故A正确； 对B，若，又两直线不重合，则，故B正确； 对C，若，则与不垂直，故C错误； 对D，若，则，故D正确. 故选：ABD. 14．（2024高二·全国·课后作业）若为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则斜率 B．若斜率，则 C．若，则倾斜角 D．若倾斜角，则 【答案】ABCD 【分析】根据直线平行、斜率、倾斜角之间关系，可直接判断出结果. 【详解】因为为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为， 若，则斜率相等，即；又斜率是倾斜角的正切值，所以，故AC正确； 若，则，所以，故BD正确； 故选：ABCD 15．（2024高二·全国·课后作业）（多选）若，，，，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可. 【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确； 又∵，∴，∴，故B正确； ∵，， ∴，，∴，故C正确； 又∵，，∴ ∴，故D错误． 故选:ABC． 三、填空题 16．（2024高二下·山东菏泽·开学考试）已知三点，则△ABC为 三角形. 【答案】直角 【分析】根据直线斜率关系即得. 【详解】如图，猜想是直角三角形， 由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率， 由，得即， 所以是直角三角形. 故答案为：直角. 17．（2024高二上·全国·专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可； 【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，. ①由于斜率都存在，若，则，此命题正确； ②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； ③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； ④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：． 四、解答题 18．（2024高一下·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. （1）直线经过点，直线经过点； （2）直线平行于y轴，直线经过点，； （3）直线经过点，直线经过点. 【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行. 【分析】（1），所以直线与不平行； （2）直线与y轴重合，所以直线与平行； （3）E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行. 【详解】解：（1）直线的斜率，直线的斜率，显然，所以直线与不平行. （2）直线与y轴重合，所以直线与平行. （3）直线的斜率，直线的斜率，所以，又，所以E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行. 19．（2024高二·全国·课后作业）判断三点是否共线，并说明理由． 【答案】共线，理由见解析. 【分析】根据直线斜率公式进行求解即可. 【详解】这三点共线，理由如下： 由直线斜率公式可得：， 直线的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点， 所以这三点共线. 20．（2024高二上·四川成都·阶段练习）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长，宽，其中一条小路为，另一条小路过点.请建立合适的平面直角坐标系，在上找到一点，使得两条小路与互相垂直，并求. 【答案】建系见解析， 【分析】建立平面直角坐标系，利用求得. 【详解】以为原点建立如图所示平面直角坐标系， 则，设， 依题意可知：直线和直线的斜率都存在， 由于与互相垂直， 所以，即， 所以. 21．（2024高二·江苏·假期作业）判断下列各题中直线与是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行 【分析】（1）求出、，即可判断； （2）求出、的方程，即可判断. 【详解】（1）因为经过点，，所以， 又经过点，，所以， 因为，所以与不平行； （2）直线经过点，的方程为， 直线经过点，的方程为， 故直线和直线平行； 22．（2024高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【答案】矩形 【分析】可借助斜率验证四边形对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解 【详解】由斜率公式，得， ， ， ， ， . ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形. 又，∴. 又，∴与不垂直， ∴四边形为矩形. 23．（2024高二·全国·课后作业）已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状． 【答案】直角梯形 【分析】计算四条边所在直线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形的形状 . 【详解】由斜率公式，得，，，, 所以，又因为 ,说明与不重合， 所以． 因为，所以与不平行． 又因为，所以． 故四边形为直角梯形． 24．（2024高二·江苏·课后作业）已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，只要证明四边形一组对边平行，且不相等，即可证明四边形为梯形. 【详解】由点，，，， 可得 , 而 , , 故,但 , 所以四边形ABCD是梯形． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$