2.1.1倾斜角与斜率6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.1.1倾斜角与斜率6题型分类 1．直线的倾斜角： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率： 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα. (2)斜率与倾斜角的对应关系： 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. （一） 直线的倾斜角 1、直线的倾斜角： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2、直线倾斜角的概念和范围： (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 题型1：求直线的倾斜角 1-1．（2024高二·江苏·假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（　　） A．0° B．30° C．60° D．90° 1-2．（2024高二下·全国·课后作业）已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高二·江苏·假期作业）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（　　） A．－6 B．－4 C．0 D．6 1-4．（2024高二上·浙江温州·期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 1-5．（2024高二下·江苏泰州·阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． （二） 直线的斜率 1、直线的斜率： (1)倾斜角求斜率： 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα. (2)两点求斜率： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. 2、求直线的斜率： (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关． 题型2：求直线的斜率 2-1．（山东省滨州高新高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（春考班））过点P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 2-2．（2024高二上·天津河西·期中）已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024高二·全国·课后作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角． (1)； (2)； (3)； (4)． （三） 倾斜角与斜率的关系 1、直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． 2、直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 题型3：倾斜角与斜率的关系 3-1．（2024高二上·四川宜宾·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二·全国·课后作业）设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高二上·江苏连云港·期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． （四） 直线斜率的应用 1、三点共线问题 （1）对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在． ①若都不存在，则三点共线； ②若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线． （2）若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等(也可能都不存在)．解决这类问题时，首先对斜率是否存在做出判断，必要时分情况进行讨论，然后下结论． 2、利用直线斜率的几何意义求最值应重视两点, （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且k＝tanα＝，（x1，y1）和（x2，y2）是直线上横坐标不相等的两点； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点P（x，y）与定点Q（x0，y0）所确定的直线的斜率，数形结合求出最值或取值范围. 题型4：三点共线问题 4-1．（2024高二上·山西临汾·期末）若三点在同一直线上，则实数等于（    ） A． B． C．6 D．12 4-2．（2024高二上·安徽六安·阶段练习）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 4-3．（2024高二上·山西临汾·期中）三点，，在同一条直线上，则值为（    ） A．2 B． C．或 D．2或 题型5：利用直线斜率的几何意义求最值 5-1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 5-2．（2024高二·全国·专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为 5-3．（2024高一上·四川达州·期末）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6：直线与线段的相交关系求斜率的范围 6-1．（2024高二上·江西抚州·期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（    ） A． B． C． D． 6-2．（2024高一上·宁夏中卫·期末）已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是(    ) A． B． C． D．或 6-3．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-4．（2024高二上·江苏南通·阶段练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 6-5．（2024高三·全国·专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 一、单选题 1．（2024高二上·江苏南京·期末）若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·全国·课后作业）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高二下·河南安阳·开学考试）已知点，直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·四川南充·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为，拉索下端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为．最短拉索的针，，满足，，则最长拉索所在直线的斜率约为（    ）（结果保留两位有效数字） A． B． C． D． 5．（2024高二上·四川）已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 6．（2024高二上·全国·课后作业）若如图中的直线的斜率为，则（    ）    A． B． C． D． 7．（2024高二上·贵州黔西·期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·福建福州·期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一下·河北邯郸·期末）图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 10．（2024高二上·湖南娄底·期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 11．（2024高二上·湖北武汉·期末）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2024高一上·江西景德镇·期末）已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5 13．（2024高二下·湖北荆州·阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（    ） A．0 B． C． D． 14．（2024高二上·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 15．（2024高二上·辽宁大连·期末）若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二上·江西赣州·阶段练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 17．（2024高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二上·广东深圳·期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 19．（2024高三上·新疆昌吉·期中）坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高三上·新疆）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（    ） A．0° B．1° C．2° D．3° 21．（2024高二·全国·期中）已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·四川绵阳·二模）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 23．（2024高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 24．（2024高二·全国·课后作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 25．（2024高二上·安徽黄山·期中）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（    ） A．B． C． D． 26．（2024高三·全国·专题练习）在下列四个命题中，错误的有（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 三、填空题 27．（2024高二上·全国·课前预习）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为 ．    28．（2024高二上·广西百色·期末）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 ． 29．（2024·湖南株洲·一模）过原点的直线l与曲线交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线交于C，D两点，则直线CD的斜率为 ． 30．（2024高二上·全国·课后作业）直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 31．（2024高二·江苏·假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是 ． 32．（2024高二下·上海闵行·开学考试）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为 . 33．（2024高二上·全国·专题练习）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过轴（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为 . 四、解答题 34．（2024高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）A(0，-1)，B(2，0)； （2）P(5，-4)，Q(2，3)； （3）M(3，-4)，N(3，-2). 35．（2024高二·江苏·假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)； (2)； (3)． 36．（2024高二上·河北唐山·阶段练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围． 37．（2024高二上·全国·课后作业）过，两点的直线l的倾斜角为，求的值． 38．（2024高二·全国·课后作业）已知． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 39．（2024高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.1.1倾斜角与斜率6题型分类 1．直线的倾斜角： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率： 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα. (2)斜率与倾斜角的对应关系： 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. （一） 直线的倾斜角 1、直线的倾斜角： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2、直线倾斜角的概念和范围： (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 题型1：求直线的倾斜角 1-1．（2024高二·江苏·假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（　　） A．0° B．30° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】由两点的纵坐标相等，可直接得到直线的倾斜角. 【详解】因为两点的纵坐标相等， 所以直线平行于轴， 所以直线的倾斜角为0°． 故选：A 1-2．（2024高二下·全国·课后作业）已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据两点间斜率公式求解即可； 【详解】解析：，又因为 所以， 故选：B. 1-3．（2024高二·江苏·假期作业）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（　　） A．－6 B．－4 C．0 D．6 【答案】C 【分析】 由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得的值． 【详解】 直线经过两，，． 又直线的倾斜角为，斜率一定存在， 则直线的斜率为 ，即． 故选：C． 1-4．（2024高二上·浙江温州·期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得答案. 【详解】因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则 ， 所以 ， 故选：D 1-5．（2024高二下·江苏泰州·阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，. 故选：D. （二） 直线的斜率 1、直线的斜率： (1)倾斜角求斜率： 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα. (2)两点求斜率： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. 2、求直线的斜率： (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关． 题型2：求直线的斜率 2-1．（山东省滨州高新高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（春考班））过点P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【分析】利用直线的斜率公式求解. 【详解】解：因为直线过点P(2，m)，Q(m，4)，且斜率为1， 所以 ，解得， 故选：D 2-2．（2024高二上·天津河西·期中）已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由斜率和倾斜角关系可直接得到结果. 【详解】由题意知：直线的斜率. 故选：A. 2-3．（2024高二·全国·课后作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为； (2)存在，斜率为，倾斜角为； (3)存在，斜率为，倾斜角为； (4)不存在. 【分析】根据横坐标是否相等判断斜率存在与否，若不相等时，斜率存在，再结合斜率公式求解倾斜角即可；若相等时，则斜率不存在. 【详解】（1）解：因为， 所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为， 设倾斜角为，则，故，即倾斜角为 （2）解：因为， 所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为， 设倾斜角为，则，故，即倾斜角为. （3）解：因为， 所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为， 设倾斜角为，则，故，即倾斜角为. （4）解：因为， 所以经过的直线斜率不存在， （三） 倾斜角与斜率的关系 1、直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． 2、直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 题型3：倾斜角与斜率的关系 3-1．（2024高二上·四川宜宾·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案. 【详解】设直线的倾斜角为， 则有，， 作出()的图象，如图所示： 由此可得. 故选：A. 3-2．（2024高二·全国·课后作业）设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分、两种情况讨论，求出对应的的取值范围，综合可得结果. 【详解】 由题意可知，，当时，则为钝角，且； 当时，此时，. 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：D. 3-3．（2024高二上·江苏连云港·期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ， 解得 ，即实数m的范围是， 故选：C （四） 直线斜率的应用 1、三点共线问题 （1）对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在． ①若都不存在，则三点共线； ②若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线． （2）若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等(也可能都不存在)．解决这类问题时，首先对斜率是否存在做出判断，必要时分情况进行讨论，然后下结论． 2、利用直线斜率的几何意义求最值应重视两点, （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且k＝tanα＝，（x1，y1）和（x2，y2）是直线上横坐标不相等的两点； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点P（x，y）与定点Q（x0，y0）所确定的直线的斜率，数形结合求出最值或取值范围. 题型4：三点共线问题 4-1．（2024高二上·山西临汾·期末）若三点在同一直线上，则实数等于（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】C 【分析】由题意得，列式求解即可. 【详解】因为，又， 所以，即. 故选：C. 4-2．（2024高二上·安徽六安·阶段练习）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 【答案】 【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值. 【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 4-3．（2024高二上·山西临汾·期中）三点，，在同一条直线上，则值为（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】D 【解析】根据三点共线，可得，由两点求斜率即可求解. 【详解】由题意可得， 因为A，B，C三点共线， 所以，即， 解得或． 所以的值为2或． 故选：D． 题型5：利用直线斜率的几何意义求最值 5-1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    5-2．（2024高二·全国·专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为 【答案】 【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案. 【详解】 如图，，，， 则，. 因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率， 由图象可知，， 所以有. 故答案为：. 5-3．（2024高一上·四川达州·期末）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在函数的图象上可求出当时的两端点坐标，将看作函数的图象上的点与点（-1，-2）连线的斜率，即可求得答案. 【详解】因为点在函数的图象上， 所以时， ；当时，； 故设 而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率， 故时，, 而 ,所以 故选：B. 题型6：直线与线段的相交关系求斜率的范围 6-1．（2024高二上·江西抚州·期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解. 【详解】如图所示， ， 因为为的边上一动点， 所以直线斜率的变化范围是. 故选：D. 6-2．（2024高一上·宁夏中卫·期末）已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是(    ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】因为,,直线过定点,且与线段相交,画出图像,即可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】画出图像,如图: 结合图像可知,要保证线段与直线相交 需满足斜率的取值范围: 或 故选:D. 【点睛】本题考查了求过定点直线的斜率范围问题,解题关键是根据题意画出图像,数形结合,考查了分析能力,属于基础题. 6-3．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线过定点P ，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解. 【详解】如图所示：    若直线与线段相交， 则或 ， 因为，， 所以直线的斜率取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 6-4．（2024高二上·江苏南通·阶段练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围． 【详解】解：如图， ，，， ，， 则使直线与线段有公共点的直线的斜率 的范围为，， 又直线倾斜角的范围是：，且 直线l的倾斜角的范围为． 故答案为：． 6-5．（2024高三·全国·专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围. 【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为， 且，， 当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角， 此时，； 当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角， 此时，. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024高二上·江苏南京·期末）若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，再求对应的倾斜角即可． 【详解】由直线经过，两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则有， 又，所以. 故选：A. 2．（2024高二上·全国·课后作业）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误. 【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确； 对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误； 对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误； 其中正确说法的个数为2. 故选：B. 3．（2024高二下·河南安阳·开学考试）已知点，直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率公式列式计算即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，， 可得直线的斜率为， 可得. 故选：C 4．（2024高二上·四川南充·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为，拉索下端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为．最短拉索的针，，满足，，则最长拉索所在直线的斜率约为（    ）（结果保留两位有效数字） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立坐标系，求出点的坐标，再利用斜率坐标公式及对称性求解作答. 【详解】依题意，以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 显然，，因此点， 直线的斜率为，由对称性得直线的斜率为， 所以最长拉索所在直线的斜率约为. 故选：C 5．（2024高二上·四川）已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于直线经过第二、四象限，可知直线的倾斜角为钝角，从而可求得答案 【详解】直线倾斜角的取值范围是， 又直线经过第二、四象限， ∴直线的倾斜角的取值范围是， 故选：D. 6．（2024高二上·全国·课后作业）若如图中的直线的斜率为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出三条直线的倾斜角，结合直线斜率的定义和正切函数图象，数形结合得到答案. 【详解】设直线的倾斜角分别为，显然，且， 所以， 又在上单调递增，故， 所以. 故选：C 7．（2024高二上·贵州黔西·期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算即可. 【详解】由题意可得直线l的斜率. 故选：D 8．（2024高一上·福建福州·期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得倾斜角的正切值即得． 【详解】k=tan120°=. 故选：B． 9．（2024高一下·河北邯郸·期末）图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果. 【详解】由图象可得，， 故选：C 10．（2024高二上·湖南娄底·期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角是， 所以此直线的斜率是. 故选:C. 11．（2024高二上·湖北武汉·期末）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据斜率和倾斜角的对应关系，结合充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】由直线的斜率可得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 12．（2024高一上·江西景德镇·期末）已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5 【答案】C 【解析】根据，知直线斜率存在，利用斜率相等求解. 【详解】因为三点，，在同一条直线上，且直线斜率存在， 所以， 解得或 故选：C 13．（2024高二下·湖北荆州·阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点斜率公式求解即可. 【详解】经过两点，的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为135°，∴，解得． 故选：D 14．（2024高二上·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可. 【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误； 对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误； 对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误； 对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确. 故选：. 15．（2024高二上·辽宁大连·期末）若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解 【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为， 设直线的倾斜角是， 故选：B. 16．（2024高二上·江西赣州·阶段练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】如图所示：      依题意，， 要想直线l过点且与线段AB相交， 则或， 故选：A 17．（2024高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解 【详解】可看作与的斜率， 则，， 因为点在线段上， 所以的取值范围为， 故选：A 18．（2024高二上·广东深圳·期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果. 【详解】设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A. 19．（2024高三上·新疆昌吉·期中）坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式求出，再利用三角函数求出的范围，利用斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围. 【详解】因为点，是相异两点， ，且， 设直线的倾斜角为，则 当，倾斜角的范围为． 当，倾斜角的范围为． 故选：B 【点睛】易错点睛：本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意是相异的两个点，利用求出斜率的范围，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角的范围，属于易错题. 20．（2024高三上·新疆）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（    ） A．0° B．1° C．2° D．3° 【答案】C 【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E并确定∠OO3E的大小，即可知AB所在直线的倾斜角. 【详解】∵O，O3都为五角星的中心点， ∴OO3平分第三颗小星的一个角， 又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°， 过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°， ∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°. 故选：C 21．（2024高二·全国·期中）已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围. 【详解】解：直线l的斜率为k，且， ∴，. ∴. 故选：B. 22．（2024·四川绵阳·二模）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围. 【详解】，则， 设直线的倾斜角为，故， 所以当时，直线的倾斜角； 当时，直线的倾斜角； 综上所述：直线的倾斜角 故选：B 二、多选题 23．（2024高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】ABC 【分析】根据斜率公式求解. 【详解】由题可得， 所以， 结合选项可得实数的可能取值有11,12,13， 故选:ABC. 24．（2024高二·全国·课后作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三条直线的倾斜角，直接判断斜率的大小关系. 【详解】由题图可知，，，，且，可知A，B，C错误. 故选：ABC． 25．（2024高二上·安徽黄山·期中）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论. 【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，， 由倾斜角定义知，，，，故C正确； 由，知，，，，故B正确； 故选：BC 26．（2024高三·全国·专题练习）在下列四个命题中，错误的有（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】ABCD 【分析】根据直线、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，由此判断选项是否正确. 【详解】对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B：直线倾斜角的取值范围是，所以B错误； 对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误； 对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误. 故选：ABCD 三、填空题 27．（2024高二上·全国·课前预习）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为 ．    【答案】 【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为， 所以，，故． 故答案为：. 28．（2024高二上·广西百色·期末）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接，如图当直线恰好经过时为临界情况， 又，当直线从位置顺时针转动到位置时， 由倾斜角和斜率的关系可知，. 故答案为：    29．（2024·湖南株洲·一模）过原点的直线l与曲线交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线交于C，D两点，则直线CD的斜率为 ． 【答案】 【分析】 设，，根据点，，共线，得出，得出，再由C，D两点的坐标，根据斜率公式，得出，代换即可得出答案． 【详解】设，，则点的坐标为，点的坐标为， 点，，共线， ， 即， 可得：，即， 又， ， 故答案为：． 30．（2024高二上·全国·课后作业）直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可. 【详解】如图：    当直线l的斜率， 直线l的倾斜角的取值范围为：. 故答案为：. 31．（2024高二·江苏·假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】， 【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】因为直线的倾斜角是钝角， 所以斜率，解得． 所以的取值范围是，． 故答案为：，． 32．（2024高二下·上海闵行·开学考试）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为 . 【答案】/ 【分析】根据两直线平行，倾斜角相等即可. 【详解】直线的斜率为 所以直线的倾斜角为， 直线与直线平行 所以直线的倾斜角为. 故答案为： 33．（2024高二上·全国·专题练习）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过轴（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】求点关于轴的对称点，由题意可知三点共线，利用斜率公式，即得解 【详解】设，点关于轴对称的点， 则，， 由题意，三点共线， ，即，解得，故点的坐标为. 故答案为： 四、解答题 34．（2024高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）A(0，-1)，B(2，0)； （2）P(5，-4)，Q(2，3)； （3）M(3，-4)，N(3，-2). 【答案】（1）斜率，倾斜角是锐角；（2）斜率；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为90°. 【分析】（1）（2）过两点的斜率存在，直接利用斜率公式求解即可，当斜率为正时，其倾斜角是锐角，当斜率为负时，其倾斜角是钝角；（3）由于两点的横坐标相同，所以其斜率不存在，则倾斜角为90°. 【详解】解：（1）kAB=， 因为kAB>0，所以直线AB的倾斜角是锐角. （2）kPQ=， 因为kPQ<0， 所以直线PQ的倾斜角是钝角. （3）因为xM=xN=3， 所以直线MN的斜率不存在， 其倾斜角为90°. 35．（2024高二·江苏·假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)存在，1 (2)存在， (3)不存在 【分析】根据两点的坐标，即可求出过两点的直线斜率是否存在，以及斜率的值. 【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率． （2）由题意得，存在，直线CD的斜率． （3）∵， ∴直线的斜率不存在． 36．（2024高二上·河北唐山·阶段练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，从而可求得答案； （2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）因为，， 所以 因为直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以直线的斜率的取值范围是．    （2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是， 所以的取值范围是． 37．（2024高二上·全国·课后作业）过，两点的直线l的倾斜角为，求的值． 【答案】. 【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：. 38．（2024高二·全国·课后作业）已知． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为 (2) 【分析】（1）根据斜率公式运算求解； （2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解. 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. （2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是．    39．（2024高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$