第06讲 直线的倾斜角与斜率（七大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版2019）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第06讲 直线的倾斜角与斜率 学习目标： 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3．掌握倾斜角和斜率之间的关系. 4．掌握过两点的直线斜率的计算公式. 重点难点： 重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式. 难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系. 知识点一、直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点二、直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 知识点三、直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 知识点四、两条直线平行与垂直 1．两条直线平行 如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有． 2．两条直线平行 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 考点01 直线的倾斜角与斜率定义 1．若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 2．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 3．图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 4．已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．下列命题正确的是（　　） A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．若分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60° D．若是直线l的倾斜角，且，则 6．（多选）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 考点02 斜率与倾斜角的变化关系 8．直线只经过第一、三、四象限，则直线的斜率（    ） A．大于零 B．小于零 C．大于零或小于零 D．以上结论都有可能 9．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值可以为 ． 12．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 考点03 已知两点求斜率、已知斜率求参数 13．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 14．已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 15．已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 16．若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 17．已知点，在曲线图像上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点 ， ． 18．已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 19．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 考点04 直线与线段相交关系求斜率范围 20．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 23．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 24．已知实数满足，则的取值范围为 . 25．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 考点05 直线平行 26．在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 27．若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 28（多选）．下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 29．已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ． 30．已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ． 31．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 考点06 直线垂直 32．（多选）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 33．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 34．直线过点，两点，直线过点，两点，若，则 . 35．在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 36．判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 考点07 直线平行、垂直在几何问题的应用 37．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 38．以，，为顶点的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 39．已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 40．已知，，，，四点构成的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 41．已知点，，，，证明四边形ABCD为矩形． 基础试炼 1．已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（　　） A． B．- C．2 D．-2 2．已知直线过点、，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（    ） A．两条平行直线的斜率一定相等 B．两条平行直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两直线的斜率之积为-1 D．互相垂直的两直线的倾斜角互补 4．已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 7．直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 8．在平面直角坐标系中，矩形，，，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围为 . 9．已知直线的倾斜角为，直线的斜率，若，则的值为 . 10．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 11．（1）如图，直线的倾斜角，直线，求，的斜率； （2）求经过两点，的直线的斜率． 12．已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形． 高阶突破 1．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 5．过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 6．已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 7．已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 8．已知直线与x轴交于点A点，与y轴交于点B． (1)若，求a的值； (2)求直线l的倾斜角的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第06讲 直线的倾斜角与斜率 学习目标： 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3．掌握倾斜角和斜率之间的关系. 4．掌握过两点的直线斜率的计算公式. 重点难点： 重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式. 难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系. 知识点一、直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点二、直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 知识点三、直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 知识点四、两条直线平行与垂直 1．两条直线平行 如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有． 2．两条直线平行 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 考点01 直线的倾斜角与斜率定义 1．若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【详解】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 2．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 故选：C. 3．图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】C 【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角， 图③中的的对顶角为直线的倾斜角， 图②中的的补角为直线的倾斜角， 图④中的为直线的倾斜角. 故符合题意的只有①③. 故选：C 4．已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为. 故选：C. 5．下列命题正确的是（　　） A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．若分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60° D．若是直线l的倾斜角，且，则 【答案】A 【详解】对于A，两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行，A正确； 对于B，当时，直线不存在斜率，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，由，得，D错误. 故选：A 6．（多选）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：AB 7．（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由图可得，，故A、D正确. 故选：AD. 考点02 斜率与倾斜角的变化关系 8．直线只经过第一、三、四象限，则直线的斜率（    ） A．大于零 B．小于零 C．大于零或小于零 D．以上结论都有可能 【答案】A 【详解】由图像可知：    故选:A 9．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 10．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上的图象如图所示， 由图可知，当时， 倾斜角的取值范围为. 故选：C. 11．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值可以为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得，则实数a的取值可以为2. 故答案为：2 12．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 考点03 已知两点求斜率、已知斜率求参数 13．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 14．已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【详解】因为斜率为的直线经过点， 所以，解得. 故选：B. 15．已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 【答案】3 【详解】三点A，B，C在同一直线上， ，，解得. 故答案为：3. 16．若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 【答案】1 【详解】由已知可得， 过点，的直线的斜率， 解得， 故答案为： . 17．已知点，在曲线图像上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点 ， ． 【答案】 【详解】由题意， 在中，点，在曲线上， 设，， ，两点连线的斜率为2， ∴， 解得：， ∴当时，，． 故答案为：，. 18．已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】． 【详解】设．．． 又， ，即． 又，垂直于轴． 直线的倾斜角为． 19．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【答案】或 【详解】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得， . 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或 考点04 直线与线段相交关系求斜率范围 20．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，画出图像，如图所示：    根据图像知：. 故选：D. 21．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负， 当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正， 当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在O点时，直线l的斜率不存在. 综上，直线l的斜率的取值范围是. 故选：C      22．已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出图象如下图所示， ， 所以直线的斜率的范围是， 对应倾斜角的取值范围是. 故选：D    23．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为， , 所以，即， 由题意知：， 解得：或． 倾斜角的取值范围是 故BCD错误，A正确， 故选：A 24．已知实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】   可以看成上的点和构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 故答案为：. 25．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，，所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 考点05 直线平行 26．在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【答案】A 【详解】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5， 故两直线平行， 故选：A 27．若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【详解】由于无解，则表示两直线无交点， 故两直线是平行关系，因此，解得，经检验满足题意， 故选：C 28（多选）．下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】两直线， 其平行的充要条件为且或， 对于A项，易知且，即A正确； 对于B项，易得，有且，即B正确； 对于C项，易知且，即C正确； 对于D项，易知，D项不符合. 故选：ABC 29．已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】因为两条直线互相平行，所以，所以， 当且仅当时取等号，故实数a的最大值为． 故答案为：． 30．已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 故答案为： 31．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 考点06 直线垂直 32．（多选）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】D 【详解】由题意点和点， 所以直线斜率不存在，且直线的方程为， 所以直线与直线垂直. 故选：D. 33．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 34．直线过点，两点，直线过点，两点，若，则 . 【答案】0或5 【详解】当直线斜率不存在，直线斜率为0时，满足，此时，解得； 当直线斜率存在时，因为，所以，解得； 综上，或. 故答案为：0或5 35．在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【详解】由已知， 当时， 所以，解得， 当时， ，解得， 经验证：当时，不重合. 故答案为：；. 36．判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 考点07 直线平行、垂直在几何问题的应用 37．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 38．以，，为顶点的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】C 【详解】因为，， 所以，， ∴，∴， ∴是以点为直角顶点的直角三角形. 故选：C 39．已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 设边上的高的斜率为，则， 故选：C 40．已知，，，，四点构成的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【答案】或或. 【详解】由题，， 所以，，， 设的坐标为（且且），分以下三种情况： ①当为对角线时，有，， 所以，，， 解得，即； ②当为对角线时，有，， 所以，，解得，即； ③当为对角线时，有， 所以，解得，即； 所以D的坐标为或或. 故答案为：或或 41．已知点，，，，证明四边形ABCD为矩形． 【答案】证明见解析 【详解】方法一： 由题意，可得，，，，∴，， 又A，B，C，D四点不共线，∴，，∴四边形ABCD为平行四边形． 又，∴直线，即．∴四边形ABCD为矩形． 方法二 ：∵，，，∴，， 由四点不共线可得，，∴四边形ABCD为矩形． 基础试炼 1．已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（　　） A． B．- C．2 D．-2 【答案】B 【详解】设点是直线上的一点， 将点右平移4个单位长度， 再向下平移2个单位长度，得到点仍在该直线上， 则直线的斜率． 故选：B． 2．已知直线过点、，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线过点、， 所以直线斜率为. 设直线的倾斜角为，， 所以，即. 故选：A. 3．下列说法中正确的是（    ） A．两条平行直线的斜率一定相等 B．两条平行直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两直线的斜率之积为-1 D．互相垂直的两直线的倾斜角互补 【答案】B 【详解】对于A,若两条直线平行，但没有斜率，故A错误， 对于B，两条直线平行，则倾斜角相等，故B正确， 对于C，若两条直线分别与坐标轴平行，则此时有一条直线没有斜率，故C错误， 对于D，若两条直线分别与坐标轴平行，则两条直线的倾斜角分别为和，则倾斜角不互补，故D错误， 故选：B 4．已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 若，，可知直线的斜率存在， 设，则，， 则，即，解得，即． 故选：D. 5．（多选）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 由题意，，， 且直线与连接点的线段总有公共点，如下图所示， 所以，即 又因为．故. 故选：AD． 6．（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 7．直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，所以， 故答案为：. 8．在平面直角坐标系中，矩形，，，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】设点折叠后落在线段上的点为点，所以点与点关于折痕所在直线对称， 所以点与点的连线与折痕所在直线垂直， 又因为，直线的斜率不存在， 所以两点连线的斜率的取值范围是， 所以折痕所在直线的斜率的取值范围为， 当折痕所在直线的斜率为0时，符合题意， 所以的取值范围为. 故答案为：. 9．已知直线的倾斜角为，直线的斜率，若，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意得，解得. 10．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 【答案】 【详解】若，则那么的倾斜角范围，倾斜角为； 若，则那么的倾斜角范围，倾斜角为. ∴的倾斜角为. 11．（1）如图，直线的倾斜角，直线，求，的斜率； （2）求经过两点，的直线的斜率． 【答案】（1）120°，（2）答案见解析 【详解】（1）的斜率． ∵的倾斜角， ∴的斜率． （2）当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率． 12．已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形． 【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以∥，∥， 所以四边形为平行四边形， 因为， 所以， 所以四边形为矩形. 高阶突破 1．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于点满足关系式，且， 可知在线段上移动，且 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A.    2．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,; 因此； 所以. 故选：C 3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意两直线均有斜率，所以， 若取，则有，但； 若，又， 所以，而， 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 4．（多选）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】AC 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为；    如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为，    如图：根据直线的对称性可得：； 故选：AC． 5．过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 【答案】. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：. 故答案为: 6．已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 【答案】/ 【详解】由直线l经过，两点， 则直线的斜率， 所以直线的斜率， 由，所以. 故答案为： 7．已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． （2）设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 8．已知直线与x轴交于点A点，与y轴交于点B． (1)若，求a的值； (2)求直线l的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）根据题意，直线， 其斜率，在轴上的截距为， 若，则，，则直线的倾斜角为， 则有， 变形可得， 解可得：， 若，则，，则直线的倾斜角为， 则有， 变形可得， 解可得：， 综上：或 （2）根据题意，直线的斜率，设直线的倾斜角为. 当时，，直线的倾斜角为， 此时直线与x轴没有交点，不符合题意； 当时，， 又由，当且仅当时等号成立， 必有，则有，则； 当时，， 又由，当且仅当时等号成立， 必有，则有，则； 综上所述：故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$