第08讲 相似三角形的判定（1个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第08讲 相似三角形的判定（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 题型强化 题型一．相似三角形的判定 1．（2023秋•贵池区月考）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•界首市期中）如图，在中，，，，为上一点，且，若在边上取点，使与相似，则的长为 　　． 3．（2023秋•蒙城县校级月考）如图，，．求证：． 题型二、证明两三角形相似 4．下列判断正确的是（    ） A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的菱形都相似 5．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有 ． 6．如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有和（三角形中的每个顶点都在格点上）．这两个三角形相似吗？请说明你的理由． 题型三、选择或补充条件使两个三角形相似 7．如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知P是边长为5的正方形内一点，且，于，若在射线上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形一定与相似，则的值为 ．    分层练习 一、单选题 1．在与中，，下列一定能使的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，已知，则添加下列条件能判定和相似的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 4．在和中，有下列条件：①；②；③；④，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（　　） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 5．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知在中，，，，下列阴影部分三角形与原三角形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是：                                                                     A． B． C． D． 8．在与中，有下列条件：①；②；③；④，下列组合不能判断的是（    ） A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 9．如图，，则图中相似三角形共有（    ）对．    A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，点为上一点，连接.若再添加一个条件，使，则需添加的一个条件是 . 12．如图，已知：，，，当的长为 时，与相似． 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）；（4）AB2＝BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（填序号） ． 14．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件： ①；②；③；④中的一个，不能得出和相似的是： （填序号）． 三、解答题 15．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，ABC 和EDF的点都在网格的格点上．求证：ABC～EDF． 16．如图，在中，于点.请利用尺规作图法，在边上求作点，使.（不写作法，保留作图痕迹） 17．如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 18．如图，E是平行四边形ABCD的边DA延长线上一点，连结EC交AD于P． (1)写出图中的三对相似三角形（不添加辅助线）； (2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由． 19．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 20．如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 21．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，    (1)求证：； (2)若，求的长； 22．如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，． (2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ 23．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为．反比例函数的图象交矩形的边、于D、E两点，连接． (1)当点D是的中点时，______，点E的坐标为______； (2)设点D的横坐标为m ①请用含m的代数式表示点E的坐标为______ ②求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相似三角形的判定（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 题型强化 题型一．相似三角形的判定 1．（2023秋•贵池区月考）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【解答】解：， ， ， 选项、根据两角对应相等判定， 选项根据两边成比例夹角相等判定， 选项中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 2．（2023秋•界首市期中）如图，在中，，，，为上一点，且，若在边上取点，使与相似，则的长为 　或　． 【分析】分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：，，， ， ， ， 当时，，即， 解得，， 当时，，即， 解得，， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 3．（2023秋•蒙城县校级月考）如图，，．求证：． 【分析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为，所以，即．问题得证． 【解答】证明：， ， ， 又， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定．两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键． 题型二、证明两三角形相似 4．下列判断正确的是（    ） A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的菱形都相似 【答案】B 【分析】根据相似多边形的判定逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、所有的等腰三角形对应角不一定相等，即不一定相似，故错误，不符合题意； B、所有的等腰直角三角形三个角均是、 、，一定相似，故正确，符合题意； C、所有的矩形的长与宽之比不一定相同，即对应边不一定成比例，即不一定相似，故错误，不符合题意； D、所有的菱形的对应边的比相等但对应角不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似图形的判定，解题的关键是了解相似图形的定义，根据三角形相似的判定定理及多边形相似的判定验证是解决问题的关键． 5．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵在△ABC中，AD和BE是高， ∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°， ∵点F是AB的中点， ∴FD=AB， ∵∠ABE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=BE， ∵点F是AB的中点， ∴FE=AB， ∴FD=FE，①正确； ∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠C， ∴AB=AC， ∵AD⊥BC， ∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE， 在△AEH和△BEC中， ， ∴△AEH≌△BEC（ASA）， ∴AH=BC=2CD，②正确； ∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB， ∴△ABD～△BCE， ∴，即BC•AD=AB•BE， ∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE， ∴BC•AD=AE2；③正确； ∵F是AB的中点，BD=CD， ∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF，④正确． 故填①②③④. 6．如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有和（三角形中的每个顶点都在格点上）．这两个三角形相似吗？请说明你的理由． 【答案】，理由见解析 【详解】根据网格的特点和勾股定理，求出三角形的三边长度，再根据相似三角形的对应边成比例来判定即可． 【分析】．理由如下： 解：∵正方形网格中的小正方形的面积都为1， ∴正方形网格中的小正方形的边长都为1， 如图，在中，，，， 在中，，，， ∵，， ， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，勾股定理，并正确计算． 题型三、选择或补充条件使两个三角形相似 7．如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断A、B选项，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断C选项，从而解题． 【详解】解：A、，， ，不符合题意； B、，， ，不符合题意； C、， ， ， ，不符合题意； D、，， 无法证明，符合题意； 故选：D． 8．如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故C不符合题意； 由，，不能判定， 故D符合题意； 故选：D． 9．如图，已知P是边长为5的正方形内一点，且，于，若在射线上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形一定与相似，则的值为 ．    【答案】3或 【分析】由于，同时减去后可得到，若以点，，为顶点的三角形与相似，那么必有：或，可据此求得的值． 【详解】解：四边形是正方形 ，； 又， ； 若以点，，为顶点的三角形与相似， 则：①如图1中，，即， 解得； ②如图2中，，即， 解得． 综上所述，满足条件的的值为3或． 故答案为：3或．    【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，应注意相似三角形的对应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解． 分层练习 一、单选题 1．在与中，，下列一定能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定条件：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）夹角相等，对应边成比例，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法，并结合题意逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意可画图如下：    ∵， ∴或可证得，故A、B选项都不符合题意； 可证得，故D选项符合题意． 故选：D． 2．如图，在和中，已知，则添加下列条件能判定和相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴． A、，对应的两角相等，可以证明，故本选项符合题意； B、，不是对应角，不可以证明，故本选项不符合题意； C、，不是对应边成比例，不可以证明，故本选项不符合题意； D、，不是夹角的对应边成比例，不可以证明，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 【详解】解：A. ，，不能得到，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C.，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 4．在和中，有下列条件：①；②；③；④，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（　　） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】A 【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解． 【详解】解：当时，； 当，时，； 当，时，； 综上所述：满足条件的组合为：①②、①④、③④，共3组， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 5．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：A、若，则，， ∴，故此选项不符合题意． B、若，，则，故此选项不符合题意； C、若，，则，故此选项不符合题意； D、若，其夹角不确定是否相等，则不能判定，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 6．已知在中，，，，下列阴影部分三角形与原三角形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项A符合题意； B、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项B不符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 7．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是：                                                                     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出4个图形中的每个三角形的边长，通过三角形三边的比是否相等就可以判断出结论，从而得出正确答案． 【详解】解：①三边长为：1，，； ②三边长为：，2，； ③三边长为：1，，； ④三边长为：2，，； 则可得①和②三边成比例，故一定相似的是①和②． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题需要我们熟练运用勾股定理，掌握相似三角形的判定定理，难度一般． 8．在与中，有下列条件：①；②；③；④，下列组合不能判断的是（    ） A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解． 【详解】解：∵①，②， ∴，∴；选项A不符合题意； ①，④，不能判定；选项B符合题意； ②，④，∴；选项C不符合题意； ③；④，∴；选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 9．如图，，则图中相似三角形共有（    ）对．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】因为是公共角，，所以可得；易得，所以，可得；所以共有4对． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴； ∴共有4对． 故选：B 【点睛】本题考查相似三角形的判定：有两组对应角相等的三角形相似． 10．如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析． 【详解】解：∵，， ∴， 故A选项不符合题意； ∵∠，， ∴， ∴∠DBF＝∠ECF， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； ∵，不能推出， ∴C选项符合题意； ∵， ∴，， ∴， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形判定的几种方法是解题的关键． 二、填空题 11．如图，在中，点为上一点，连接.若再添加一个条件，使，则需添加的一个条件是 . 【答案】∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或AP：AC=AC：AB 【分析】利用相似三角形的判定可求解． 【详解】解：①当∠ACP=∠B，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB，故可添加∠ACP=∠B； ②当∠APC=∠ACB，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB，故可添加∠APC=∠ACB； ③当AP：AC=AC：AB，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB，故可添加AP：AC=AC：AB； 故答案为∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或AP：AC=AC：AB． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似. 12．如图，已知：，，，当的长为 时，与相似． 【答案】或 【分析】首先利用勾股定理求出AC的长，再根据如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论即可. 【详解】解：∵AD=2，CD=， ∴AC==． 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有＝，∴AB=3； （2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有＝，∴AB=3． 即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似． 故答案为3或3. 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比. 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）；（4）AB2＝BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（填序号） ． 【答案】（2）（3）（4） 【分析】（1）根据直角三角形中两个锐角互余，即可判定∠BAD＝∠CAD，继而可得△ABC是等腰三角形，不能判定△ABC是直角三角形； （2）利用直角三角形中两个锐角互余的知识，可得∠BAC＝90°，则可得△ABC是直角三角形； （3）由，可得，推出sin∠ACD＝sin∠B，即∠ACD＝∠B，由此即可判定． （4）由AB2＝BD•BC与∠B是公共角，可判定△CBA∽△ABD，△ABD是直角三角形，则可得△ABC是直角三角形． 【详解】解：（1）不能， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵∠B+∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴无法证明△ABC是直角三角形； （2）能， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵∠B＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAD+∠B＝90°； （3）能， ∵， ∴， ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中 sin∠CAD＝， 在Rt△ABD中，sin∠B＝， ∴sin∠ACD＝sin∠B， ∴∠ACD＝∠B， ∵∠B+∠BAD＝90°， ∴∠CAD+∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形． （4）能， ∵能说明△CBA∽△ABD， 又∵△ABD是直角三角形， ∴△ABC一定是直角三角形． ∴一定能够判定△ABC是直角三角形的有（2）（4）（3）． 故答案为：（2）（3）（4）． 【点睛】本题结合直角三角形的性质考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解答关键. 14．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件： ①；②；③；④中的一个，不能得出和相似的是： （填序号）． 【答案】③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①不符合题意； ②，时，，故②不符合题意； ③，时，不能推出，故③符合题意； ④，时，，故④不符合题意， 故答案为：③ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 三、解答题 15．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，ABC 和EDF的点都在网格的格点上．求证：ABC～EDF． 【答案】见解析 【分析】利用勾股定理可分别求出两个三角形的各个边长，再验证对应边的比值相等即可证明． 【详解】解：∵，，，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用，验证两个三角形的对应边的比值相等是解题的关键． 16．如图，在中，于点.请利用尺规作图法，在边上求作点，使.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，相似三角形的判定．是直角三角形，和有公共角，若，则，所以只需过点A作的垂线即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，点即为所求． 17．如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 18．如图，E是平行四边形ABCD的边DA延长线上一点，连结EC交AD于P． (1)写出图中的三对相似三角形（不添加辅助线）； (2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由． 【答案】(1)△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC (2)△EAP∽△CBP，理由见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定，可得到△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC； （2）根据平行线定理可求得，进而可以求证△EAP∽△CBP即可解题． 【详解】（1）△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC． （2）选△EAP∽△CBP， 理由如下：在▱ABCD中AD//BC， ∴∠EAP＝∠B． 又∵∠APE＝∠BPC， ∴△EAP∽△CBP． 同理，利用“两角法”证得△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC． 【点睛】本题考查了相似三角形的证明，平行四边形的性质，利用相似三角形的判定是解题的关键． 19．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 【答案】或（答案不唯一），证明见详解 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键． 利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可； 【详解】解：使，则需添加的条件可以是：或， 理由：①添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； ②添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； 故答案为：或（答案不唯一）． 21．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，    (1)求证：； (2)若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 22．如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，． (2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)四边形的面积是，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变（答案不唯一） (3)当经过秒或3秒时，与相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定及矩形动点问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． （1）根据题意得出，由于，列方程并解出即可； （2）根据计算即可得出结论； （3）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：厘米，厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动， ∴， ， ∴， 解得：； （2）解：在中， ∵，QA边上的高， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； （3）解：在矩形中， ， 分两种情况： 当时，即， 解得：（秒）； 当时，即， 解得：（秒）． 故当经过秒或3秒时，与相似． 23．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为．反比例函数的图象交矩形的边、于D、E两点，连接． (1)当点D是的中点时，______，点E的坐标为______； (2)设点D的横坐标为m ①请用含m的代数式表示点E的坐标为______ ②求证： 【答案】(1)12，； (2)①②见解析 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①由题意得，点D的坐标为，则，则反比例函数表达式为，进而求解； ②证明即可． 【详解】（1）∵点B的坐标为，矩形 ∴，，点D的纵坐标为，点E的横坐标坐标为， 当点D是的中点时， ∴点D的坐标为， 把代入得： ∵点E的横坐标坐标为 ∴点E的坐标为 故答案为：12，； （2）①解：由题意得，点D的坐标为，则， 则反比例函数表达式为， 当时，， 即点E的坐标为； ②由①知，，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及一次函数的性质、相似三角形的判定等，有一定的综合性，难度适中． 学科网（北京）股份有限公司 $$