第08讲 三角形中的边角关系（6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第08讲 三角形中的边角关系（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点4．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点5．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点6．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 题型强化 题型一．三角形 1．（2023秋•太和县月考）观察下列图形，其中是三角形的是　　 A． B． C． D． 2．（铜陵月考）观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题． 图形 横截线条数 0 1 2 三角形个数 6 　12　 　 　 问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有　 　条横截线． 题型二．三角形的角平分线、中线和高 3．（2023秋•长丰县期末）下列各组图形中，是的高的图形是　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•合肥月考）如图，在中，为边上的中线，的周长比的周长大4．若，则　　． 5．（2023秋•庐阳区校级期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长． 题型三．三角形的面积 6．（2023秋•颍州区期末）如图，已知是边的中线，是边的中线，为的中点．若的面积为2，则的面积为　　 A．12 B．14 C．16 D．18 7．（2023秋•八公山区校级月考）如图，在中，，，分别是，，的中点，，则　　． 8．（2023秋•寿县期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）分别写出各个顶点的坐标； （2）求的面积． 题型四．三角形三边关系 9．（2023秋•谢家集区期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是　　 A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9 10．（2021秋•包河区期中）三角形的三边长分别为3、、8，则的取值范围是 　　． 11．（2023秋•金安区校级期末）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长． （1）求的取值范围； （2）若为整数，当为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 题型五．三角形内角和定理 12．（2023秋•太和县期末）点是内一点，、分别平分、，，则　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•蒙城县期中）一个三角形的三个内角的度数之比为，这个三角形最小的内角的度数是 　　． 14．（2023秋•南陵县期末）如图，中，，平分，，，求的度数． 题型六．三角形的外角性质 15．（2023秋•裕安区校级期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•太和县月考）如图，和是的两个外角，若，则的度数为 　　． 17．（2023秋•金安区校级期中）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小． （2）若的面积为40，，求的长． 分层练习 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．三角形的三个角的度数分别是，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．已知三角形的两条边长分别是，，则该三角形的周长不可能是（） A． B． C． D． 4．如图，建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的（    ） A．任意两边之和大于第三边 B．任意两边之差小于第三边 C．稳定性 D．三角形三个内角的和为 5．下列作图中不是的边上高的是（　　） A．   B．   C．   D．   6．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 7．如图，为的中线，为的中点，连接．已知的面积为，则的面积等于（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，是边的高，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 10．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，以为边的三角形有 个． 12．已知，在△ABC中，∠B=48°，∠C=68°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为 ． 13．如图，于点，平分，若，，则 ． 14．将两个三角尺如图放置，，，，且点D在上，点B在上，，则的度数为 ． 三、解答题 15．已知三角形的三边长分别为，化简：． 16．在中，，是中线，若周长与的周长相差，求． 17．判断下列各图中，是不是中边上的高？如果不是，请你画出中边上的高． 18．如图，在中，，平分，于点F，和相交于点O．求的度数． 19．如图，在中，点在上，点在上，交于点．已知交于点，平分，交于点．    (1)求的度数． (2)若，，求的度数． 20．如图，分别是的高线、角平分线和中线． (1)有下列结论：①；②；③；④与互余．其中正确的是_______（填序号）． (2)若，求的度数． 21．如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 22．已知：在中，平分，相交于点O．    (1)如图①，若，，，求的大小； (2)如图②，若平分，且，求的大小； (3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 23．先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若 ①当x，y，n满足条件：时，求n的值； ②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 三角形中的边角关系（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点4．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点5．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点6．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 题型强化 题型一．三角形 1．（2023秋•太和县月考）观察下列图形，其中是三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．根据三角形的定义判断即可． 【解答】解：选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，故不是三角形； 满足三角形的定义，故是三角形； 有2条线段相交，没有首尾顺次相接，所以不是三角形，故不是三角形； 有1条线段的观点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，故不是三角形． 故选：． 【点评】本题考查三角形，理解三角形的定义是解题的关键． 2．（铜陵月考）观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题． 图形 横截线条数 0 1 2 三角形个数 6 　12　 　 　 问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有　 　条横截线． 【分析】观察图形，不难发现：当横线是0条的时候，有6个三角形；当横线是1条的时候有个三角形，即多一条横线，多6个三角形；所以当有条横线的时候，有个三角形．根据这一规律，得当有1条横线时，有12个三角形；当有2条横线时，有18个三角形；当有102个三角形的时候，即，． 【解答】解：表格中应是12，18； 有条横线的时候，有个三角形， ，，有16条横线． 故答案为：12，18；16． 【点评】此题主要是结合图形发现：多一条横线，则多6个三角形． 题型二．三角形的角平分线、中线和高 3．（2023秋•长丰县期末）下列各组图形中，是的高的图形是　　 A． B． C． D． 【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案． 【解答】解：根据三角形高的定义可知，只有选项中的线段是的高， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键． 4．（2022秋•合肥月考）如图，在中，为边上的中线，的周长比的周长大4．若，则　6　． 【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：为边上的中线， ， 的周长比的周长大4， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 5．（2023秋•庐阳区校级期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长． 【分析】根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式列方程，解方程得到答案． 【解答】解：设，则， 是边上的中线， ， 由题意得：，， 解得：，， ， ， 的长为44，的长为34， 答：的长为44，的长为34． 【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的周长计算，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 题型三．三角形的面积 6．（2023秋•颍州区期末）如图，已知是边的中线，是边的中线，为的中点．若的面积为2，则的面积为　　 A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形可以求出的面积，即可求出的面积，继而求出的面积． 【解答】解：如图，连接， 为的中点．若的面积为2， ， 是边的中线， ， 是边的中线， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 7．（2023秋•八公山区校级月考）如图，在中，，，分别是，，的中点，，则　2　． 【分析】根据三角形中线的性质“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”解答即可． 【解答】解：点是的中点， ，， ， ， 点是的中点， ． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了三角形中线的性质，深刻理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题关键． 8．（2023秋•寿县期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）分别写出各个顶点的坐标； （2）求的面积． 【分析】（1）直接利用坐标系得出各点坐标即可； （2）利用矩形面积减去相应的三个直角三角形的面积即可． 【解答】解：（1），，； （2）的面积为：． 【点评】考查坐标与图象性质、以及依据网格求出坐标系中三点围成的三角形的面积． 题型四．三角形三边关系 9．（2023秋•谢家集区期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是　　 A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可． 【解答】解：、，错误； 、，错误； 、，错误； 、，正确， 故选：． 【点评】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 10．（2021秋•包河区期中）三角形的三边长分别为3、、8，则的取值范围是 　　． 【分析】直接根据三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：三角形三边长分别为3，，8， ， 解得． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 11．（2023秋•金安区校级期末）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长． （1）求的取值范围； （2）若为整数，当为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 【分析】（1）根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，即可解决问题； （2）根据取值范围确定第三边，然后求得答案即可． 【解答】解：（1）三角形的第三边大于两边之差小于两边之和， 三角形的两边长分别是5、7， 则第三边长的取值范围是； （2）为整数， 当时，组成的三角形的周长最大， 最大值是． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 题型五．三角形内角和定理 12．（2023秋•太和县期末）点是内一点，、分别平分、，，则　　 A． B． C． D． 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【解答】解：在中，， ． 、分别平分、， ，， ． 在中，， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 13．（2023秋•蒙城县期中）一个三角形的三个内角的度数之比为，这个三角形最小的内角的度数是 　　． 【分析】根据题意可设三角形三个内角的度数为，，，则利用三角形内角和定理得到，然后解方程即可． 【解答】解：一个三角形的三个内角的度数之比为， 三角形三个内角的度数可设为，，， ， 解得， 即这个三角形最小的内角的度数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是． 14．（2023秋•南陵县期末）如图，中，，平分，，，求的度数． 【分析】由三角形的内角和可得，再由角平分线可求得，从而可得，结合，即可求的度数． 【解答】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，解答的关键是熟记三角形内角和为． 题型六．三角形的外角性质 15．（2023秋•裕安区校级期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出和的度数，再根据三角形外角性质求解即可． 【解答】解：由三角板的性质可得：，， ． 故选：． 【点评】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． 16．（2023秋•太和县月考）如图，和是的两个外角，若，则的度数为 　　． 【分析】根据三角形内角和定理得出，进而利用三角形外角解答即可． 【解答】解：， ， 和是的两个外角， ， 故答案为：． 【点评】此题考查三角形外角的性质，关键是根据三角形内角和定理得出解答． 17．（2023秋•金安区校级期中）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小． （2）若的面积为40，，求的长． 【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数； （2）先根据中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【解答】解：（1）， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）为中线， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． 分层练习 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的三边关系定理，理解在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形是解题的关键． 根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：A.， 不能组成三角形，结论错误，不符合题意； B.， 不能组成三角形，结论错误，不符合题意； C.， 不能组成三角形，结论错误，不符合题意； D. ， 能组成三角形，结论正确，符合题意； 故选：D． 2．三角形的三个角的度数分别是，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的特征，根据有一个角度为的三角形为直角三角形判断可得，熟悉直角三角形的意义是解题的关键． 【详解】解：三角形的三个角的度数分别是， 因为有最大的角为直角，另外两个角互余， 所以这个三角形为直角三角形， 故选：B． 3．已知三角形的两条边长分别是，，则该三角形的周长不可能是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．设第三边的长为，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，据此求出周长范围即可． 【详解】解：设第三边的长为，根据三角形的三边关系得：， 即， 设三角形的周长为 则该三角形的周长范围为：， 故选：A． 4．如图，建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的（    ） A．任意两边之和大于第三边 B．任意两边之差小于第三边 C．稳定性 D．三角形三个内角的和为 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解答的关键．根据三角形的稳定性可以解答． 【详解】解：建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的稳定性． 故选：C． 5．下列作图中不是的边上高的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的高，根据高的定义解题即可． 【详解】解：从三角形的一个顶点像它所对的边画垂线，顶点和垂足所连线段叫做三角形的高， 故选项B不符合高的定义， 故选B． 6．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为，故应该列两个方程组求，解题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，， 由题意得或， 解得或， ∵， ∴不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为， 故选：． 7．如图，为的中线，为的中点，连接．已知的面积为，则的面积等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，再由的面积为，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】∵为的中点，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在中，是边的高，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据平分求出的度数，根据求出的度数，由即可得出结论． 【详解】在中，，， ． 平分， ． 是边上的高， ， ， ． 故选：B 9．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得，，， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题 11．如图，以为边的三角形有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，，一共有2个． 故答案为：2． 12．已知，在△ABC中，∠B=48°，∠C=68°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为 ． 【答案】10°/10度 【分析】由三角形内角和求出的度数，然后利用角平分线的定义求出的度数，再根据AD⊥BC求出的度数，利用即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵∠B=48°，∠C=68° ∵AE平分∠BAC ∵AD⊥BC 故答案为 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键. 13．如图，于点，平分，若，，则 ． 【答案】110 【分析】根据直角三角形现两锐角互余求出∠DAC=44゜，从而可得∠EAC=55゜，再由角平分线的定义可求出∠BAC． 【详解】解：∵ ∴∠ADC=90゜ ∵∠ACD=46゜ ∴∠DAC=44゜ ∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=44゜+11゜=55゜ ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAC=2∠EAC=110゜ 故答案为：110゜ 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质以及角平分线的定义，求出∠DAC=44゜是解答此题的关键． 14．将两个三角尺如图放置，，，，且点D在上，点B在上，，则的度数为 ． 【答案】/165度 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的利用平行线的性质，三角形的外角的性质建立角与角之间的数量关系是解本题的关键． 先求解，再证明，再利用三角形的外角的性质求解，再利用邻补角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 15．已知三角形的三边长分别为，化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，三角形的三边关系，绝对值化简，根据三角形三边关系得到的不等式，再去绝对值后计算即可． 【详解】∵三角形的三边长分别为， ∴，， ∴，， ∴． 16．在中，，是中线，若周长与的周长相差，求． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差是解题关键． 根据三角形的中线的定义可得，然后依据周长与的周长相差，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图， 是中线， ， 周长的周长， 周长与的周长相差， ， ∵ 或． 17．判断下列各图中，是不是中边上的高？如果不是，请你画出中边上的高． 【答案】不是，图详见解析 【分析】（1）钝角三角形中，BC上的高应为过点A垂直于BC所在的直线的线段，所以过点A作BC的延长线的垂线交于点E，AE即为BC边上的高； （2）锐角三角形中，BC上的高应为过点A垂直于BC的线段，所以过点A作BC垂线交于点E，AE即为BC边上的高. 【详解】解：（1）和（2）中AD都不是中边上的高． 如图所示：即为中边上的高．        如图所示：即为中边上的高 【点睛】本题考查了三角形高线的定义及尺规作图，灵活掌握过直线外一点作直线的垂线是作出三角形高的关键. 18．如图，在中，，平分，于点F，和相交于点O．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程应用，角平分线定义，解题关键是根据三角形内角和定理求出，，． 【详解】解：设，则，，根据题意得： ， 解得：， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在中，点在上，点在上，交于点．已知交于点，平分，交于点．    (1)求的度数． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握各性质，理清角之间的关系是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由角平分线的定义可得，最后由平行线的性质即可得到答案； （2）根据三角形的外角的定义及性质结合得出，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ； （2）解：，， ， ， ． 20．如图，分别是的高线、角平分线和中线． (1)有下列结论：①；②；③；④与互余．其中正确的是_______（填序号）． (2)若，求的度数． 【答案】(1)②③④ (2) 【分析】（1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ，，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，通过外角求出，再利用角的关系计算即可． 【详解】（1）解：∵分别是的高线，角平分线和中线， ∴，故①错误； ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∴，与互余，故④正确； 故答案为：②③④； （2）解：∵分别是的高线，角平分线和中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． 21．如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义． （1）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （2）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：是的高， ， ，是的角平分线， ， ； （2）解：， ， 、是的角平分线， ，， ， ． 22．已知：在中，平分，相交于点O．    (1)如图①，若，，，求的大小； (2)如图②，若平分，且，求的大小； (3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的性质求出，进而求出的大小； （2）根据三角形的内角和定理得到，求出答案即可； （3）设，则，根据题意求出，即可得到答案． 【详解】（1）解： 平分， ； （2）解：平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：， 设， ， 平分， 设，则， 是的外角， ， ， 是的外角， ， 即， ， ， ， ． 23．先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若 ①当x，y，n满足条件：时，求n的值； ②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长． 【答案】(1) (2)①②或或或 【分析】（1）仿照“配方法”进行因式分解即可； （2）可求，①可得，即可求解；②可得，从而可求取、、、，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由题意得 ， ， 解得：， ①， ， ， ， 解得：； ②， ， 为偶数， 取、、、 ； 或 ； 或 ； 或 ； 故的周长为或或或． 【点睛】本题考查了“配方法”因式分解，非负数的和，三角形三边关系，幂的乘法的逆用，同底数幂的乘法，理解“配方法”因式分解，掌握三边关系及公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$