第21章《一元二次方程》（章节培优检测卷）-2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷章节卷 第21章《一元二次方程》 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难）题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024•河南二模）一元二次方程根的情况是　　 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（2分）（2024•文昌校级模拟）一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2023秋•金牛区期末）用配方法解方程时，配方后正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2024春•怀宁县期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2024•罗湖区校级模拟）原价为60元瓶的某种药品两次降价后的价格为20元瓶，已知第二次降价的百分数比第一次多．设第一次降价的百分数为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024•郾城区校级模拟）关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是　　 A．无论取何值，方程总有两个相等的实数根 B．无论取何值，方程总有两个不相等的实数根 C．无论取何值，方程总没有实数根 D．方程的根的情况和的取值有关 7．（2分）（2024•东坡区模拟）对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的为　　 A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 8．（2分）（2024•桓台县二模）实数，，满足，则　　 A． B． C． D． 9．（2分）（2024•湖州一模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 10．（2分）（2023•滕州市校级开学）已知多项式，下列说法正确的个数为　　 ①若，则代数式的值为； ②当时，代数式的最小值为； ③当时，若，则的取值范围是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•望花区四模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 12．（2分）（2024•湖南）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 13．（2分）（2024•南山区校级模拟）已知是方程的一个根，则的值为 　　． 14．（2分）（2023秋•上饶期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 　　． 15．（2分）（2024•古浪县三模）若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　． 16．（2分）（2024•湖南模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 　　． 17．（2分）（2024•邹城市校级模拟）设，是一元二次方程的两个根，则　　． 18．（2分）（2024•埇桥区校级三模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是 　　． 19．（2分）（2024•岱岳区二模）已知，，为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是　　． 20．（2分）（2023春•定远县期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•雁塔区校级开学）解下列方程： （1）； （2）； （3） ； （4）． 22．（6分）（2023秋•焦作期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为． （1）那么运动几秒时，它们相距？ （2）的面积能等于60平方厘米吗？为什么？ 23．（8分）（2024春•大观区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求的值． 24．（8分）（2024•山海关区一模）已知整式★，其中“★”处的系数被墨水污染了．当，时，该整式的值为30． （1）则★所表示的数字是多少？ （2）嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由． 25．（8分）（2023秋•双台子区校级期末）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是7.2万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 26．（8分）（2023秋•碧江区 校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出20件，但最低单价应高于购进的价格，并且已知第二月后恤还有剩余；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低元． （1）填表 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元 80 　　 40 销售量（件 200 　　 　　 （2）如果批发商希望通过销售这批恤获利12000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 7．（8分）（2024•凉州区二模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？ 28．（8分）（2024春•相城区校级期末）阅读材料：若，求、的值． 解：， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知等腰的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长； （3）已知，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷章节卷 第21章《一元二次方程》 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难）题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024•河南二模）一元二次方程根的情况是　　 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【思路点拨】求出△的值，再判断即可． 【规范解答】解：， △， 所以方程没有实数根， 故选：． 【考点评析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根． 2．（2分）（2024•文昌校级模拟）一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据配方法即可求出答案． 【规范解答】解：， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 3．（2分）（2023秋•金牛区期末）用配方法解方程时，配方后正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据完全平方公式的形式将方程配方即可． 【规范解答】解：， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 4．（2分）（2024春•怀宁县期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【规范解答】解：方程， 整理得：， 配方得：，即． 故选：． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．（2分）（2024•罗湖区校级模拟）原价为60元瓶的某种药品两次降价后的价格为20元瓶，已知第二次降价的百分数比第一次多．设第一次降价的百分数为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设第一次降价的百分数为，则经过两次降价后的价格为元，利用原价为60元瓶的某种药品两次降价后的价格为20元瓶，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【规范解答】解：根据题意，得，即． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2分）（2024•郾城区校级模拟）关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是　　 A．无论取何值，方程总有两个相等的实数根 B．无论取何值，方程总有两个不相等的实数根 C．无论取何值，方程总没有实数根 D．方程的根的情况和的取值有关 【思路点拨】先计算出判别式得到△，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【规范解答】解：化简为：， △， 无论取何值， 一定有两个不相等的实数根． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 7．（2分）（2024•东坡区模拟）对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的为　　 A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【思路点拨】先根据新定义得到关于的方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【规范解答】解：， 可化为， △， 原方程有两个实数根， 故选：． 【考点评析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 8．（2分）（2024•桓台县二模）实数，，满足，则　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据根的判别式，一元二次方程有两个相等或不相等的实数根时，． 【规范解答】解：设一元二次方程为 当时，原方程化为 所以一元二次方程为有实数根， 所以． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是用特殊值法． 9．（2分）（2024•湖州一模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】关于的一元二次方程的判别式为△，若△，则方程有两个不相等的实数根；△，则方程有两个相等的实数根；△，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【规范解答】解：①当，，时，满足，，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②，， ， ， ， △，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当，，时，满足，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④，，， ，， △，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：． 【考点评析】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 10．（2分）（2023•滕州市校级开学）已知多项式，下列说法正确的个数为　　 ①若，则代数式的值为； ②当时，代数式的最小值为； ③当时，若，则的取值范围是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】①根据，解方程求得的值后求出代数式的值即可； ②当时，求出关于的解析式是一次函数，故可判断②； ③当时求出，再根据绝对值的意义得出，再根据二次函数的性质求出的取值范围． 【规范解答】解：①， ， 解得：或， ， ， ， ， 故①是错误的，不符合题意； ②当时， ， 没有最小值， 故②是错误的，不符合题意； ③当时，， ， ， ， ， 令， ， 有最大值， ， 当时， 解得，， 的解集为， 即当时，则的取值范围是． 故③错误，不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了配方的应用和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•望花区四模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　且　． 【思路点拨】根据当△时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△时，一元二次方程没有实数根，还要注意二次项系数不等于0解答即可． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式△与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 12．（2分）（2024•湖南）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　2　． 【思路点拨】利用判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【规范解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 解得：． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握△有两个相等的实数根是解题的关键． 13．（2分）（2024•南山区校级模拟）已知是方程的一个根，则的值为 　2024　． 【思路点拨】根据题意可得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【规范解答】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2024． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14．（2分）（2023秋•上饶期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 　1　． 【思路点拨】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 【规范解答】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ， ， 故答案为：1． 【考点评析】此题考查了一元二次方程的根和根与系数关系，利用整体代入法求解是解题的关键． 15．（2分）（2024•古浪县三模）若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是　且　． 【思路点拨】根据非负数的性质求出、的值，转化成关于的不等式即可解答． 【规范解答】解：， ，， 原方程为， 该一元二次方程有实数根， △， 解得：， 方程是一元二次方程， ， 的取值范围是：且， 故答案为：且． 【考点评析】本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于的不等式是解题的关键． 16．（2分）（2024•湖南模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 　　． 【思路点拨】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【规范解答】解：根据题意得△， 解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 17．（2分）（2024•邹城市校级模拟）设，是一元二次方程的两个根，则　11　． 【思路点拨】由、是一元二次方程的两个根，可得、，把变形为，接下来将，代入即可求出答案． 【规范解答】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ， ． 故答案为：11． 【考点评析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18．（2分）（2024•埇桥区校级三模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是 　　． 【思路点拨】根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可． 【规范解答】解：关于的一元二次方程有实数根， ，即，解得： 的最小整数值为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 19．（2分）（2024•岱岳区二模）已知，，为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是　有两个不相等的实数根　． 【思路点拨】根据题意确定、的符号，根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【规范解答】解：点在第二象限， ，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【考点评析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根． 20．（2分）（2023春•定远县期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 【思路点拨】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到、之间的关系，而、之间的关系正好适合， ③当，满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【规范解答】解：①解方程得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则，， 即，， ， ， ， ． 若时，则，， 即，则，， ， ， ， ， ． 故④正确， 故答案为：②③④ 【考点评析】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•雁塔区校级开学）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】（1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）； ， ， 或， ，； （2）， ， ， ， 或， ，； （3）， △， ， ，； （4）， ， ， ， ， 或， ，． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22．（6分）（2023秋•焦作期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为． （1）那么运动几秒时，它们相距？ （2）的面积能等于60平方厘米吗？为什么？ 【思路点拨】（1）设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设运动秒时，的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△可得出原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米． 【规范解答】解：（1）设运动秒时，，两点相距15厘米， 依题意，得：， 解得：，， 运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米； （2）的面积不能等于60平方厘米，理由如下： 设运动秒时，的面积等于60平方厘米， 依题意，得：， 整理，得：， △， 原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（8分）（2024春•大观区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求的值． 【思路点拨】（1）计算判别式的值得到△，即可得到结论； （2）利用因式分解法解方程得到，求出方程的两个解为，，再进行分类讨论即可． 【规范解答】（1）证明：△． 方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， ， 即、的长为、， 当时，即，满足三角形构成条件； 当时，，解得，满足三角形构成条件． 综上所述，或． 【考点评析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 24．（8分）（2024•山海关区一模）已知整式★，其中“★”处的系数被墨水污染了．当，时，该整式的值为30． （1）则★所表示的数字是多少？ （2）嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由． 【思路点拨】（1）把，代入整式得★，解之即可求解； （2）把（1）中所得的结果代入整式，化简后再利用完全平方公式即可求解． 【规范解答】解：（1）将，代入★得， ★， 即★， 解得★； （2）嘉淇的说法是正确的，理由如下： 由（1）求得的结果可得该整式为 ， ， ， 嘉淇的说法是正确的． 【考点评析】本题考查了整式的运算，配方法的应用，掌握整式的运算法则是解题的关键． 25．（8分）（2023秋•双台子区校级期末）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是7.2万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【思路点拨】（1）设月平均增长率是，利用8月份的销售量月份的销售量月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，再结合要尽量减少库存，即可求解． 【规范解答】解：（1）设月平均增长率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月平均增长率是； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依据题意得：， 即， 解得：，， 要尽量减少库存， ， 售价应降低20元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（8分）（2023秋•碧江区 校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出20件，但最低单价应高于购进的价格，并且已知第二月后恤还有剩余；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低元． （1）填表 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元 80 　　 40 销售量（件 200 　　 　　 （2）如果批发商希望通过销售这批恤获利12000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【思路点拨】（1）根据题意直接用含的代数式表示即可； （2）利用“获利12000元”，即销售额进价利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍． 【规范解答】解：（1）由题意可得： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元 80 40 销售量（件 200 故答案为：，，； （2）根据题意，得 整理得， 即， 解得：，， 时，， 故当， 答：第二个月的单价应是70元． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润售价进价． 27．（8分）（2024•凉州区二模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【思路点拨】设每件衬衫应降价元，那么就多卖出件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，根据每天盈利1200元，可列方程求解． 【规范解答】解：设每件衬衫应降价元， 由题意得：， 即， ， ， 解得：或 为了减少库存，所以． 故每件衬衫应降价20元． 【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意的能力，关键是看到降价和销售量的关系，然后根据利润可列方程求解． 28．（8分）（2024春•相城区校级期末）阅读材料：若，求、的值． 解：， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知等腰的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长； （3）已知，，求的值． 【思路点拨】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可； （2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ，， 解得，， 则； （2）， ， ， 则，， 解得，，， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， 的周长为； （3）， ， 则， ， ， 则，， 解得，，， ． 【考点评析】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$