22.3 实际问题与二次函数（检测卷）-2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷【第2章《二次函数》】 22.3 实际问题与二次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.51（较难） 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024•从江县校级二模）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，的长米，菜园的面积为（单位：平方米）．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 2．（2分）（2024•陈仓区模拟）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．下列叙述正确的是　　 A．小球的飞行高度不能达到 B．小球的飞行高度可以达到 C．小球从飞出到落地要用时 D．小球飞出时的飞行高度为 3．（2分）（2024•孝义市模拟）生物学研究表明、在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值（单位：与温度（单位：的关系可以近似用二次函数来表示．则当温度为最适宜时，该种酶的活性值为　　 A．14 B． C．240 D．44 4．（2分）（2024•费县模拟）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，，，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点” ，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2024•山阳县三模）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：与足球被踢出后经过的时间（单位：之间的关系如表： 0 1 2 3 4 5 6 7 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论正确的是　　 A．足球被踢出时落地 B．足球飞行路线的对称轴是直线 C．足球距离地面的最大高度为 D．足球被踢出时，距离地面的高度是 6．（2分）（2024•阜阳三模）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：与运行的水平距离（单位：满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是　　 A．球运行的最大高度是 B．球不会过球网 C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网但会出界 7．（2分）（2024•什邡市模拟）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是　　 A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 8．（2分）（2024•龙亭区校级一模）如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点．连接，则下列结论 ①；②；③；④的面积最大值；其中正确的是　　 A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 9．（2分）（2023秋•硚口区期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面．则此时水面的值是　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2019•新华区校级自主招生）已知函数在闭区间，上有最大值3，最小值2，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024春•海淀区校级期末）将进货价为70元件的某种商品按零售价100元件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价元，设每天的利润为元，则关于的函数解析式是　　． 12．（2分）（2023秋•邻水县期末）在为期3天的广安市第五届运动会（青少年组）三人制篮球比赛中，某同学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为 　　． 13．（2分）（2024•武都区一模）如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离　　米． 14．（2分）（2023秋•海沧区期末）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离和飞行高度随飞行时间变化的数据如表： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 10 20 30 40 飞行高度 0 22 40 54 64 如图，活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台处）试飞该航模飞机以及回收区域，，．若飞机落到内（不包括端点，，根据学过的函数知识，估计发射平台相对于安全线的高度的变化范围是 　　． 15．（2分）（2024•祁阳市二模）如图，在直角坐标系中，为坐标原点，矩形，点坐标为，、分别在轴、轴上；若点坐标为，连结，点、点分别从点、点出发，在上相向而行，速度均为1个单位每秒，当、两点相遇时，两点停止运动；过点作交轴于点，交轴于点，连结、，在运动过程中，的最大面积为 　　． 16．（2分）（2024•二道区校级三模）如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为 　　米． 17．（2分）（2024•二道区校级一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为，高度为．则离地面处的水平宽度（即的长）为 　　． 18．（2分）（2024•南关区校级一模）随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥．下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点为原点，以原点所在的水平直线为轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点到的距离为．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为，已知普通轿车的安全涉水深度大于，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过 　　米． 19．（2分）（2022秋•安吉县校级月考）实数，满足，设，则的最大值是　　． 20．（2分）（2020•成都模拟）已知二次函数、、为常数且，当时，函数的最大值为，最小值为，记是关于的函数，若函数的图象经过点和，，且函数的最小值等于函数的最小值，则函数的表达式为　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•阳新县模拟）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量（千克）与售价（元千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价； （3）若该农产品的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 22．（6分）（2024•广西模拟）如图，用一段长为的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙长，这个矩形的长宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 23．（8分）（2024•陇县二模）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； （2）下边缘抛物线与轴交点的坐标为 　　； （3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 24．（8分）（2024•永城市校级一模）某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以的中点为原点建立平面直角坐标系（甲位于轴的点处，乙位于轴的点处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点，点，且的水平距离为，绳子甩到最高点处时，他们握绳的手到地面的距离与均为，最高点到地面的垂直距离为． （1）求出该抛物线的解析式； （2）如果身高为的小亮，站在之间，且与点的距离为，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出的取值范围； （3）经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于才能安全跳绳，小亮与其他4位同学一起跳绳，如果这4位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？ 25．（8分）（2024•巴东县模拟）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设 ． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积与边长（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． （1）请用含有的代数式表示的长； （2）花园的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （3）求面积与的函数解析式，写出的取值范围；并求当为何值时，花园面积最大？ 26．（8分）（2024•五华区校级模拟）云南昭通苹果因其独特的品质和特点而闻名，种植于高原季风性立体气候中，海拔高达2300米，有利于养分积累．昭通苹果外观颜色鲜艳，通常为深红色或浅红色，具有很高的光泽度；果肉细腻，酸甜适中，风味浓郁，口感脆甜，具有糖心：更是含有丰富的维生素、钾、镁等矿物质，以及一种特殊的苹果酸，具有清热解毒、生津止渴的功效．已知昭通苹果的种植成本为8元千克，经市场调查发现，某天昭通苹果的销售量（千克）与销售单价（元千克）满足的函数图象如图所示． （1）根据图象信息，求与的函数关系式； （2）求这一天销售昭通苹果获得的最大利润． 27．（8分）（2024•十堰一模）超市销售一种水果，进价为20元件，经过市场调查发现，该水果的日销售量（件与当天的销售单价（元件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单件（元件） 20 30 40 日销售量（件 400 300 200 （1）求与的关系式； （2）求该水果每天获得的利润（元的最大值； （3）春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为元为整数），该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元件，在实际销售过程中，发现该水果每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 28．（8分）（2024•大丰区三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度（千米时）是车流密度（辆千米）的函数，其图象近似的如图所示． （1）求关于的函数表达式； （2）求车流量和车流密度之间的函数表达式并求出车流量（辆时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度） （3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷【第2章《二次函数》】 22.3 实际问题与二次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.51（较难） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024•从江县校级二模）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，的长米，菜园的面积为（单位：平方米）．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 解：，，， ， 即， 与满足的函数关系是一次函数； ， 与满足的函数关系是二次函数． 故选：． 2．（2分）（2024•陈仓区模拟）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．下列叙述正确的是　　 A．小球的飞行高度不能达到 B．小球的飞行高度可以达到 C．小球从飞出到落地要用时 D．小球飞出时的飞行高度为 解：、当时，， 解得：，， 故小球的飞行高度能达到，故此选项错误； 、， 故时，小球的飞行高度最大为：，故此选项错误； 、时，， 解得：，， 小球从飞出到落地要用时，故此选项正确； 、当时，， 故小球飞出时的飞行高度为，故此选项错误； 故选：． 3．（2分）（2024•孝义市模拟）生物学研究表明、在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值（单位：与温度（单位：的关系可以近似用二次函数来表示．则当温度为最适宜时，该种酶的活性值为　　 A．14 B． C．240 D．44 解： ． 当温度为时，最适宜，该种酶的活性值最大，为240． 故选：． 4．（2分）（2024•费县模拟）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，，，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点” ，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 解：点是二次函数的“相反点”， ， ， 二次函数的图象上有且只有一个“相反点”， （即有且只有一个根， △， ， 解得，， ， 二次函数图象的对称轴为直线，函数的最大值为， 当时，， 解得，，， 当时，函数的最大值为，最小值为． 故选：． 5．（2分）（2024•山阳县三模）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：与足球被踢出后经过的时间（单位：之间的关系如表： 0 1 2 3 4 5 6 7 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论正确的是　　 A．足球被踢出时落地 B．足球飞行路线的对称轴是直线 C．足球距离地面的最大高度为 D．足球被踢出时，距离地面的高度是 解：由题意，抛物线的解析式为，把代入可得， ， 足球距离地面的最大高度为，抛物线的对称轴， 故正确，错误； 时，， 点在该抛物线上， 故正确； 当时，， 故错误． 故选：． 6．（2分）（2024•阜阳三模）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：与运行的水平距离（单位：满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是　　 A．球运行的最大高度是 B．球不会过球网 C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网但会出界 解：抛物线解析式为， 球运行的最大高度为，故说法错误，不符合题意； 在中，当时，， 球会过球网，故说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， 球会过球网且会出界，故说法错误，不符合题意，说法正确，符合题意； 故选：． 7．（2分）（2024•什邡市模拟）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是　　 A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 解：方案 设垂直于墙面的一边长为，则平行于墙面的边长为， 则菜园面积， 当时，有最大值，最大值为18； 方案 设等腰三角形底边长为，高为， 为等腰三角形， ，， ，即，整理得：， ， ， 令，则， 当时，有最大值，最大值为324， 当时，有最大值，最大值为18， 方案 设半圆半径为， 半圆的弧长为12米， ，解得：， ， ， 最佳方案是方案3． 故选：． 8．（2分）（2024•龙亭区校级一模）如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点．连接，则下列结论 ①；②；③；④的面积最大值；其中正确的是　　 A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 解：由对称得：，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，故②正确； 是的中点， ，， ，故①错误； 如图，作交的延长线于， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 过作于，则， ， 由勾股定理得：，即为定值， 当最大时，△的面积最大， 连接交于，当在上时，最大，此时于重合， ，， ， ，即△的面积的最大值为，故④正确； 综上所述，正确的有：②③④， 故选：． 9．（2分）（2023秋•硚口区期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面．则此时水面的值是　　 A． B． C． D． 解：如图，以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：，，，，，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，，，代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得，， ，，，， 根据题意可知，，设与轴的交点坐标，与轴交于点， 在中， ，， ， ， ， 直线的解析式为：， 将，，，代入， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令， 解得或， 点的横坐标为， 当时，， ，． ， 故选：． 10．（2分）（2019•新华区校级自主招生）已知函数在闭区间，上有最大值3，最小值2，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，与轴的交点为 其大致图象如图所示：由对称性可知，当时，或， 二次函数在闭区间，上有最大值3，最小值2， ． 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024春•海淀区校级期末）将进货价为70元件的某种商品按零售价100元件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价元，设每天的利润为元，则关于的函数解析式是　　． 解：设应降价元，销售量为个， 根据题意得：． 故答案为：． 12．（2分）（2023秋•邻水县期末）在为期3天的广安市第五届运动会（青少年组）三人制篮球比赛中，某同学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为 　3.6　． 解：， ， 当时，有最大值，最大值为3.6， 篮球在空中运行的最大高度为， 故答案为：3.6． 13．（2分）（2024•武都区一模）如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离　11　米． 解：， 当时，即， 解得，（不合题意舍去）， 答：该喷灌架喷出的水可到达的最远距离米， 故答案为：11． 14．（2分）（2023秋•海沧区期末）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离和飞行高度随飞行时间变化的数据如表： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 10 20 30 40 飞行高度 0 22 40 54 64 如图，活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台处）试飞该航模飞机以及回收区域，，．若飞机落到内（不包括端点，，根据学过的函数知识，估计发射平台相对于安全线的高度的变化范围是 　　． 解：根据题意得：航模飞机飞过的痕迹是抛物线，设该抛物线的函数解析式为， 将，，代入得：， 解得：， 该抛物线的函数解析式为． 当时，； 当时，． 若飞机落到内（不包括端点，，则发射平台相对于安全线的高度的变化范围是． 故答案为：． 15．（2分）（2024•祁阳市二模）如图，在直角坐标系中，为坐标原点，矩形，点坐标为，、分别在轴、轴上；若点坐标为，连结，点、点分别从点、点出发，在上相向而行，速度均为1个单位每秒，当、两点相遇时，两点停止运动；过点作交轴于点，交轴于点，连结、，在运动过程中，的最大面积为 　4.5　． 解：由题意可知， 设直线为， 把代入得，，解得， 直线为， ， 设直线的解析式为，则， 当时，， ，， ， ， ， ， ， 的最大面积为4.5， 故答案为：4.5． 16．（2分）（2024•二道区校级三模）如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为 　6　米． 解：由题意，如图，建立平面直角坐标系． 由顶点为， 可设抛物线的解析式为． 又， ． ． 抛物线为． 显示屏底部距离地面至少8米， 令． ． 或． ． 又显示屏两侧留1米， （米，此时是最大值． 故答案为：6． 17．（2分）（2024•二道区校级一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为，高度为．则离地面处的水平宽度（即的长）为 　　． 解：如图，建立平面直角坐标系， 设该抛物线的解析式为， 由图可知：点在该抛物线上， ， 解得， ， 当时，， 解得，， 点的坐标为，点的坐标为， ， 故答案为：． 18．（2分）（2024•南关区校级一模）随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥．下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点为原点，以原点所在的水平直线为轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点到的距离为．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为，已知普通轿车的安全涉水深度大于，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过 　17.32　米． 解：由题意，，主路桥面的最低点到的距离为， 点的坐标为． 从而可设抛物线的表达式为，把点代入，得， ． 抛物线的表达式为． （2）由题意，在中，令时， ． ． 又， 积水跨径的长度不能超过17.32米． 故答案为：17.32． 19．（2分）（2022秋•安吉县校级月考）实数，满足，设，则的最大值是　0　． 解：由，得知， 又， ， 由此可见，当时，随着的增大而减小， 又因为， 故当时，的最大值是0． 故答案为：0． 20．（2分）（2020•成都模拟）已知二次函数、、为常数且，当时，函数的最大值为，最小值为，记是关于的函数，若函数的图象经过点和，，且函数的最小值等于函数的最小值，则函数的表达式为　或　． 解：， 抛物线的开口方向向上， 二次函数的对称轴直线为， 当时，随的增大而减少， 当时，随的增大而增大， ①当时， 当时，， 当时，， ， 当时，， 函数的图象经过点和，， ，此时，函数没有最小值， 当时，，此函数是一次函数， 函数的图象经过点和，， 此种情况不存在， ②当时，同①的方法得，，此函数是一次函数， 函数的图象经过点和，， 此种情况不存在， ③当时， Ⅰ、当时，，， ， 函数的最小值等于0， 函数的最小值等于函数的最小值， 函数的最小值为0，即， ， 函数的图象经过点和，， ， ， 将，代入中，， ， 二次函数的表达式为， Ⅱ、当时，，， ， 函数的最小值等于0， 函数的最小值等于函数的最小值， 函数的最小值为0，即， ， 函数的图象经过点和，， ， ， 将，代入中，， ， 二次函数的表达式为， 故答案为或． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•阳新县模拟）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量（千克）与售价（元千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价； （3）若该农产品的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 解：（1）设与的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， 与的函数关系式为：； 即； （2）由题意得，， 整理得，， 解得，， ， ， 答：该食品的售价为30元千克； （3）， 解得， ， ， ， 开口向下， 对称轴为直线， 在时，随的增大而增大， 时，（元， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 22．（6分）（2024•广西模拟）如图，用一段长为的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙长，这个矩形的长宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形的宽为，面积为，根据题意得： ， 因为对称轴为．经分析可知时，长为时面积最大， 最大面积为， 即当矩形的长为（不超过墙长），宽为时，矩形菜园的面积最大，最大面积为． 23．（8分）（2024•陇县二模）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； （2）下边缘抛物线与轴交点的坐标为 　，　； （3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 解：（1）由题意得： 是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， 解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为， （2）对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得，（舍去）， 点坐标为， 点的坐标为， 故答案为：； （3）米，米，米， 点的坐标为， 当时，， 当时，随的增大而减小， 灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 24．（8分）（2024•永城市校级一模）某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以的中点为原点建立平面直角坐标系（甲位于轴的点处，乙位于轴的点处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点，点，且的水平距离为，绳子甩到最高点处时，他们握绳的手到地面的距离与均为，最高点到地面的垂直距离为． （1）求出该抛物线的解析式； （2）如果身高为的小亮，站在之间，且与点的距离为，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出的取值范围； （3）经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于才能安全跳绳，小亮与其他4位同学一起跳绳，如果这4位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？ 解：（1）由题意可设抛物线的解析式为， 将点代入中， 解得 ； （2）将代入， 解得，， ， ，． ； （3）他们可以安全跳绳．理由如下： 当时，则， 解得：，， 可以站立跳绳的距离为． ，且， 他们可以安全跳绳． 25．（8分）（2024•巴东县模拟）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设 ． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积与边长（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． （1）请用含有的代数式表示的长； （2）花园的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （3）求面积与的函数解析式，写出的取值范围；并求当为何值时，花园面积最大？ 解：（1）由题意， ， ． （2），则， ， 解得：或 （由于树与墙为，从而不合题意，舍去）， 花园的面积可等于，此时的值为12 ． （3）①． 在点与，的距离分别是和， ． ． 面积与的函数解析式为：． ②，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． 当时，取到最大值， 即当时，花园面积最大，最大值为． 26．（8分）（2024•五华区校级模拟）云南昭通苹果因其独特的品质和特点而闻名，种植于高原季风性立体气候中，海拔高达2300米，有利于养分积累．昭通苹果外观颜色鲜艳，通常为深红色或浅红色，具有很高的光泽度；果肉细腻，酸甜适中，风味浓郁，口感脆甜，具有糖心：更是含有丰富的维生素、钾、镁等矿物质，以及一种特殊的苹果酸，具有清热解毒、生津止渴的功效．已知昭通苹果的种植成本为8元千克，经市场调查发现，某天昭通苹果的销售量（千克）与销售单价（元千克）满足的函数图象如图所示． （1）根据图象信息，求与的函数关系式； （2）求这一天销售昭通苹果获得的最大利润． 解：（1）由题意，当时，设， 则， ． 当时，， 当时，， ． （2）由题意，设利润为，则： 当时，， 开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 时，． 当时，， 随的增大而增大， 时，． ， 最大利润为3840元． 27．（8分）（2024•十堰一模）超市销售一种水果，进价为20元件，经过市场调查发现，该水果的日销售量（件与当天的销售单价（元件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单件（元件） 20 30 40 日销售量（件 400 300 200 （1）求与的关系式； （2）求该水果每天获得的利润（元的最大值； （3）春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为元为整数），该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元件，在实际销售过程中，发现该水果每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 解：（1）设与的关系式为， 将和代入， 可得， 解得， 与的关系式为； （2）由题意得： ， ， 当时，有最大值，最大值为4000， 该商品每天获得的利润的最大值为4000元； （3）由题意得： ， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，， ， 解得：， 最小值为22． 28．（8分）（2024•大丰区三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度（千米时）是车流密度（辆千米）的函数，其图象近似的如图所示． （1）求关于的函数表达式； （2）求车流量和车流密度之间的函数表达式并求出车流量（辆时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度） （3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？ 解：（1）由图象知，当时，， 当时，设该段一次函数表达式是， 把两点坐标，，分别代入，得，解得， 关于的一次函数表达式是， 即； （2）由题知：当时，． 当时，， 当时，车流量有最大值4418辆时． ，当时，车流量有最大值4418辆时； （3）由题意得：，解得， 而， 当时，，当时，， 即， 即上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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